1.2矩形的性质与判定（9大题型）-（题型·技巧培优系列）2024-2025学年九年级数学上册同步精讲精练（北师大版）

（北师大版）九年级上册数学《第1章 特殊的平行四边形》 1.2 矩形的性质与判定 矩形的定义知识点一 ◆定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【注意】（1）由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. （2）矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可. （3）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用. 矩形的性质知识点二 ◆◆性质定理：矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等. 几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD. ★1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质. ★2、（1）矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线. （2）矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点. ★3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质. ★4、矩形的面积 = 长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之和. 矩形的判定知识点三 ◆矩形的判定方法： 方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法二：对角线相等的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法三：有三个角是直角的四边形是矩形； 几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形. ◆思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等. 题型一 利用矩形的性质求线段长 【例题1】（2022秋•滕州市校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC＝4，∠BOA＝120°，则AB的长是（　　） A． B．2 C．2 D．4 在利用矩形的性质计算线段长度时，常常与特殊三角形的性质和勾股定理结合起来应用. 【变式1-1】（2024春•郯城县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝60°，AC＝4，则AD的长为（　　） A．4 B． C．2 D． 【变式1-2】（2023春•余干县期末）已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（　　） A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm 【变式1-3】（2024春•满城区期末）如图，点E是矩形ABCD边AD上任意一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，若GH＝4，则AF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．5 【变式1-4】（2023秋•淮阳区期末）在长方形ABCD中，AB＝5，CB＝12，连接AC，∠BAC的角平分线交BC于点E，则线段BE的长为（　　） A． B． C．3 D．4 【变式1-5】（2024•秦都区校级一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（　　） A．2 B． C． D．3 【变式1-6】（2023春•碑林区校级期末）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　） A． B． C． D．不确定 【变式1-7】（2024•拱墅区一模）在矩形ABCD中，取CD的中点E，连接AE并延长，交BC的延长线于点F． （1）求证：AE＝EF． （2）已知AB＝4，AF＝6，求AD的长． 题型二 利用矩形的性质求角度 【例题2】（2023秋•衡南县期末）如图，分别在长方形ABCD的边DC，BC上取两点E，F，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝（　　） A．45° B．30° C．15° D．60° 矩形内求角度的问题主要是利用矩形的性质和结合题中的条件求解，有时要利用等腰三角形的性质. 【变式2-1】（2024春•来宾期末）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，则∠AEB的度数为（　　） A．75° B．60° C．45° D．30° 【变式2-2】（2023春•抚顺期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC＝3：2，则∠BDF＝　 　． 【变式2-3】（2024春•兖州区期末）如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE：∠BAE＝1：2，则∠CAE的度数（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【变式2-4】（2023秋•芗城区校级期中）长方形ABCD中，AB＝12，AD＝17，E，F分别在边BC，CD上，BE＝5，DF＝7，则∠AEB+∠AFD等于（　　） A．105° B．120° C．90° D．135° 【变式2-5】如图，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，则∠ACD的度数是　 ． 【变式2-6】（2024春•朔州期末）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E在边BC的延长线上，且BC＝2CE，连接AE，F为AE的中点，连接CF．若∠E＝α，则∠CFE＝　 　（用含α的代数式表示）． 【变式2-7】（2023•兴宁区三模）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G为EF中点，连接BD、DG． （1）试判断△ECF的形状，并说明理由； （2）求∠BDG的度数． 题型三 利用矩形的性质求面积 【例题3】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的面积是　 ． 求矩形的面积问题，主要是利用矩形的性质求出矩形的长和宽，再根据面积的计算公式求解即可，有时与勾股定理结合起来用. 【变式3-1】如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的面积为（　　） A．22 B．24 C．26 D．28 【变式3-2】（2024春•松山区期末）矩形ABCD中，点M在对角线AC上，过M作AB的平行线交AD于E，交BC于F，连接DM和BM，已知，DE＝2，ME＝4，则图中阴影部分的面积是（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式3-3】（2024•下城区校级模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F．若BC＝3，CD＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【变式3-4】（2023•鼓楼区校级二模）如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，点E是BC的中点，连接OA，OE．若OA＝2，OE＝1，则矩形ABCD的面积为　 　． 【变式3-5】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF． （1）求证：AE＝CF； （2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积． 题型四 利用矩形的性质证明 【例题4】（2024•富平县二模）已知：如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，求证：DE＝CE． 与矩形有关的问题，常与全等三角形和特殊三角形等知识融为一体进行探索，利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可. 【变式4-1】（2023秋•华安县校级期末）如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD． 求证：AO＝BO． 【变式4-2】（2024春•中阳县期中）如图，在矩形ABCD的对角线AC上有E，F两点，且AE＝CF．求证：DE＝BF． 【变式4-3】（2024•碑林区校级一模）如图，矩形ABCD，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且EF＝BC．求证：△ABE≌△DCF． 【变式4-4】在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F． （1）求证：DF＝AB； （2）若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD． 【变式4-5】（2023秋•梅县区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作BD的平行线交AB的延长线于点E． （1）求证：AC＝CE． （2）若∠BOC＝120°，CE＝4，求AB的长． 【变式4-6】（2022秋•南岸区校级期中）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．过点C作CG⊥AF于点G，连接DG、BG、CG． （1）求证：BG＝DG； （2）连接BD，求∠BDG的度数． 题型五 利用矩形的性质解决折叠问题 【例题5】（2023春•三台县月考）如图，长方形ABCD中将△ABF沿AF翻折至△AB'F处，若AB'∥BD，∠1＝26°，则∠BAF的度数为（　　） A．57° B．58° C．59° D．60° 求解关于矩形的折叠问题时往往通过找出折叠部分的线段或角与原图形之间的关系，从而得到折叠部分与原图形或其它图形之间的关系，有时要用到三角形全等、勾股定理等知识. 【变式5-1】（2023秋•金山区期末）如图，在长方形ABCD中，点E在边DC上，联结AE，将△AED沿折痕AE翻折，使点D落在边BC上的D1处，如果∠DEA＝76°，那么∠D1EC＝　 　度． 【变式5-2】（2023春•大足区期末）如图，在矩形ABCD中，在CD上取点E，连接BE，在BE上取点F，连接CF．将△BCF沿BE翻折，使得点C刚好落在AD边的G处，若∠CFG＝90°，AB＝3，AD＝5，那么FG的长是 　． 【变式5-3】（2023秋•余姚市校级期中）如图：长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△BEF的面积为（　　） A．6cm2 B．7.5cm2 C．8cm2 D．10cm2 【变式5-4】（2023春•任城区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A'处，如果A'恰在矩形的某条对称轴上，则AE的长为（　　） A． B． C． D． 【变式5-5】（2023秋•兴庆区校级期中）如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米， （1）求BF与FC的长； （2）求EC的长． 【变式5-6】（2023春•工业园区校级期末）已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于O，且OE＝OD，求AP的长． 题型七 判断平行四边形是矩形 【例题7】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，CF⊥AB，垂足分别为E，F．求证：四边形AFCE是矩形． 已知四边形是平行四边形时，判定矩形的方法只需再证有一个角为直角（定义法），或再证明对角线相等.当已知对角线相等时，只需证这个四边形是平行四边形即可. 【变式7-1】（2024春•山阳县期末）如图，添加下列一个条件可以使▱ABCD成为矩形的是（　　） A．AB＝BC B．∠D＝120° C．∠A+∠C＝120° D．∠B＝∠C 【变式7-2】（2024春•康巴什月考）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断四边形ADCE是矩形的是（　　） A．∠BAC＝90° B．AE＝CE C．AB＝AC D．AB＝AE 【变式7-3】（2023春•南票区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE． 求证：四边形BECD是矩形． 【变式7-4】（2023秋•长安区校级月考）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．求证：四边形AECF是矩形． 【变式7-5】如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形． 【变式7-6】（2024•昌吉州一模）如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，O是BD的中点，E，F是BD上的点，且BE＝DF，AF∥CE． （1）求证：△OEC≌△OFA； （2）若OA＝OB，求证：四边形ABCD是矩形． 【变式7-7】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD． （1）求证：四边形OBFE是平行四边形； （2）当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由． 题型六 判断四边形是矩形 【例题6】（2023秋•项城市期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB＝AD B．OA＝OB C．AB⊥AD D．∠ABO＝∠BAO 如果已知四边形的两个角是直角，此时可以选择“有三个角是直角的四边形是矩形”证明比较简单. 【变式6-1】（2023秋•中牟县期末）检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（　　） A．测量两条对角线，是否相等 B．测量两条对角线，是否互相平分 C．测量门框的三个角，是否都是直角 D．测量两条对角线，是否互相垂直 【变式6-2】（2023春•新市区校级期末）四边形ABCD的对角线AC、BD于点O，下列各组条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B．∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＝∠B C．OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90° D．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC 【变式6-3】已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DF、DE分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形． 【变式6-4】（2023春•西吉县期末）已知：如图，在▱ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形． 【变式6-5】如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形． 题型八 矩形的性质与判定的综合运用 【例题8】（2024•襄州区模拟）如图，在▱ABCD中，CE⊥AD于点E，BF＝DE．则下列结论错误的是（　　） A．CF＝DE B．AF＝CE C．AF⊥CB D．四边形AFCE是矩形 综合利用矩形的性质与判定方法实现相应线段、角之间的转化时解题的关键. 【变式8-1】（2024春•蔡甸区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，动点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列结论中： ①四边形ABCD是矩形； ②当CD＝4OF时，点E是AB的中点； ③当AB＝3，BC＝4时，线段OF长度的最大值为2； ④当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形， 其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-2】（2024春•惠东县期中）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的最小值是（　　） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【变式8-3】（2023秋•焦作期末）如图：在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）连接DE，交AC于点F，求出DF与AB之间的关系． 【变式8-4】（2024春•莆田期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）连接BF，若∠ABC＝60°，CF＝5，求BF的长． 【变式8-5】（2023秋•紫金县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）若AB＝AD，且，EC＝4，求四边形ABCD的面积． 【变式8-6】（2023春•惠州校级期中）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 题型九 矩形与菱形的综合应用 【例题9】（2023秋•铁西区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E交AC于点P，BF⊥CD于点F． （1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由； （2）如果BE＝3，BF＝6，求DP的长． 综合利用菱形、矩形的性质与判定方法实现相应线段、角之间的转化时解题的关键. 【变式9-1】（2024春•通州区期中）两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H．若∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的面积为（　　） A．4 B．4 C．8 D．16 【变式9-2】（2023•五华区校级模拟）如图，AP是△ABC的角平分线，MN垂直平分AP，且交AP于点D，判断以下结论错误的是（　　） A．MP∥AC B．AM＝AN C．PA是∠MPN的平分线 D．四边形AMPN是矩形 【变式9-3】（2024•江岸区校级模拟）已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG//DB交CB的延长线于G． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若四边形AGBD是矩形，直接写出四边形BEDF是什么特殊四边形．（不需要说明理由） 【变式9-4】（2024春•永定区期末）如图，在矩形ABCD中，点E为对角线BD中点，过E作FH⊥BD，交AD于点F，交BC于点H，连接BF，DH． （1）试判断四边形BFDH的形状，并说明理由； （2）若AB＝12，AD＝18，求BH的长． 【变式9-5】（2023春•虹口区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）判断四边形OEFG的形状，并证明． （2）若AC＝8，BD＝6，求四边形OEFG的面积． 【变式9-6】（2024春•嘉祥县期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC，EO为矩形BECO对角线，BC∥AD，AD＝EO． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接DE，若AC＝2，∠BCD＝120°，求DE的值． 【变式9-7】（2023春•武昌区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AD＝25，OE＝7，求AE的长． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）九年级上册数学《第1章 特殊的平行四边形》 1.2 矩形的性质与判定 矩形的定义知识点一 ◆定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【注意】（1）由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. （2）矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可. （3）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用. 矩形的性质知识点二 ◆◆性质定理：矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等. 几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD. ★1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质. ★2、（1）矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线. （2）矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点. ★3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质. ★4、矩形的面积 = 长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之和. 矩形的判定知识点三 ◆矩形的判定方法： 方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法二：对角线相等的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法三：有三个角是直角的四边形是矩形； 几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形. ◆思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等. 题型一 利用矩形的性质求线段长 【例题1】（2022秋•滕州市校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC＝4，∠BOA＝120°，则AB的长是（　　） A． B．2 C．2 D．4 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO＝CO＝BO＝DOAC＝2，再根据邻角互补求出∠AOD的度数，然后得到△AOD是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解． 【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝CO＝BO＝DOAC＝2， ∵∠AOB＝120°， ∴∠AOD＝180°﹣120°＝60°， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD＝AO＝2， ∴ABAD＝2， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出△AOD是等边三角形是解题的关键． 在利用矩形的性质计算线段长度时，常常与特殊三角形的性质和勾股定理结合起来应用. 【变式1-1】（2024春•郯城县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝60°，AC＝4，则AD的长为（　　） A．4 B． C．2 D． 【分析】根据矩形的性质以及∠AOD＝60°，可以得到△AOD是等边三角形、OA＝2，再根据等边三角形的性质即可解答． 【解答】解：∵矩形ABCD中，AC＝4， ∴， ∵∠AOD＝60°，OD＝OA＝2， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD＝OA＝2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练矩形的性质是解题的关键． 【变式1-2】（2023春•余干县期末）已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（　　） A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm 【分析】根据已知条件以及矩形性质证△ABE为等腰三角形得到AB＝AE，注意“长和宽分别为15cm和10cm”说明有2种情况，需要分类讨论． 【解答】解：如图，∵矩形ABCD中，BE是角平分线． ∴∠ABE＝∠EBC． ∵AD∥BC． ∴∠AEB＝∠EBC． ∴∠AEB＝∠ABE ∴AB＝AE． 当AB＝15cm时：则AE＝15cm，不满足题意． 当AB＝10cm时：AE＝10cm，则DE＝5cm． 故选：B． 【点评】此题考查了矩形的性质与等腰三角形的判定与性质．注意出现角平分线，出现平行线时，一般出现等腰三角形，需注意等腰三角形相等边的不同． 【变式1-3】（2024春•满城区期末）如图，点E是矩形ABCD边AD上任意一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，若GH＝4，则AF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．5 【分析】利用三角形中位线定理求出BE，再利用直角三角形斜边中线的性质求出AF． 【解答】解：∵G，H分别是BC，CE的中点， ∴BE＝2GH＝8， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAE＝90°， ∵BF＝EF， ∴AFB4． 故选：A． 【点评】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式1-4】（2023秋•淮阳区期末）在长方形ABCD中，AB＝5，CB＝12，连接AC，∠BAC的角平分线交BC于点E，则线段BE的长为（　　） A． B． C．3 D．4 【分析】作EF⊥AC于点F，由∠B＝90°，AB＝5，CB＝12，根据勾股定理求得AC＝13，由角平分线的性质得FE＝BE，再证明Rt△AFE≌Rt△ABE，得AF＝AB＝5，则CF＝8，再由勾股定理得BE2+82＝（12﹣BE）2，即可求得BE． 【解答】解：作EF⊥AC于点F，则∠AFE＝∠CFE＝90°， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，CB＝12， ∴∠B＝90°， ∴EB⊥AB，AC13， ∵AE平分∠BAC， ∴FE＝BE， 在Rt△AFE和Rt△ABE中， ， ∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）， ∴AF＝AB＝5， ∵FE2+CF2＝CE2，且CF＝13﹣5＝8，CE＝12﹣BE， ∴BE2+82＝（12﹣BE）2， ∴BE， 故选：A． 【点评】此题重点考查矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式1-5】（2024•秦都区校级一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（　　） A．2 B． C． D．3 【分析】连接CE，由题意可得OE为对角线BD的垂直平分线，可得AE＝CE，S△BOE＝S△COE＝5，由三角形的面积则可求得DE的长，得出AE的长，然后由勾股定理求得答案． 【解答】解：如图，连接CE， 由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线， ∴AE＝CE，S△AOE＝S△COE＝5， ∴S△ACE＝2S△COE＝10． ∴AE•CD＝10， ∵CD＝4， ∴AE＝EC＝5， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE3． 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式1-6】（2023春•碑林区校级期末）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　） A． B． C． D．不确定 【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA＝OD＝2.5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOPOA•PE+OD•PF求得答案． 【解答】解：连接OP， ∵矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4， ∴S矩形ABCD＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝5， ∴OA＝OD＝2.5， ∴S△ACDS矩形ABCD＝6， ∴S△AODS△ACD＝3， ∵S△AOD＝S△AOP+S△DOPOA•PEOD•PF2.5×PE2.5×PF（PE+PF）＝3， 解得：PE+PF． 故选：A． 【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式1-7】（2024•拱墅区一模）在矩形ABCD中，取CD的中点E，连接AE并延长，交BC的延长线于点F． （1）求证：AE＝EF． （2）已知AB＝4，AF＝6，求AD的长． 【分析】（1）根据矩形的性质，得出AD＝BC，∠D＝∠C＝90°，又因为E为CD中点，得出DE＝CE，利用ASA证明△ADE≌△CEF，得出结论； （2）由（1）△ADE≌△CEF，得出AD＝CF，因为AD＝BC，得出BC＝CF＝AD，利用勾股定理求出BF，则进一步可推理出答案． 【解答】（1）证明：∵矩形ABCD， ∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90° ∵E为CD中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△CEF中， ， ∴△ADE≌△CEF（ASA） ∴AE＝EF． （2）解：由（1）△ADE≌△CEF，得出AD＝CF， ∵AD＝BC， ∴BC＝CF＝AD， 在Rt△ABF中， BF2， ∴ADBF． 【点评】本题考查矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 题型二 利用矩形的性质求角度 【例题2】（2023秋•衡南县期末）如图，分别在长方形ABCD的边DC，BC上取两点E，F，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝（　　） A．45° B．30° C．15° D．60° 【分析】长方形内角为90°，已知∠BAF＝60°，所以可以得到∠DAF，又因为AE平分∠DAF，所以∠DAE便可求出． 【解答】解：在长方形ABCD中，∠BAD＝90° ∵∠BAF＝60° ∴∠DAF＝90°﹣∠BAF＝30° 又AE平分∠DAF 所以∠DAE∠DAF＝15° 故选：C． 【点评】运用了长方形的四个角都是直角以及角平分线的概念即可解决． 矩形内求角度的问题主要是利用矩形的性质和结合题中的条件求解，有时要利用等腰三角形的性质. 【变式2-1】（2024春•来宾期末）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，则∠AEB的度数为（　　） A．75° B．60° C．45° D．30° 【分析】先证明∠BAE＝∠CAE＝∠ACE，再进一步的利用三角形的内角和定理可得答案． 【解答】解：∵矩形ABCD中，∠B＝90°； ∴∠BAC+∠ACB＝90°， ∵AE＝CE， ∴∠CAE＝∠ACE， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∴∠BAE＝∠CAE＝∠ACE， ∴3∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝30°， ∴∠AEB＝90°﹣30°＝60°； 故选：B． 【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，三角形的内角和定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【变式2-2】（2023春•抚顺期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC＝3：2，则∠BDF＝　 　． 【分析】根据∠ADC＝90°，求出∠CDF和∠ADF，根据矩形性质求出OD＝OC，推出∠BDC＝∠DCO，求出∠BDC，即可求出答案． 【解答】解：设∠ADF＝3x°，∠FDC＝2x°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴2x+3x＝90， x＝18°， 即∠FDC＝2x°＝36°， ∵DF⊥AC， ∴∠DMC＝90°， ∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝2OC，BD＝2OD，AC＝BD， ∴OD＝OC， ∴∠BDC＝∠DCO＝54°， ∴∠BDF＝∠BDC﹣∠CDF＝54°﹣36°＝18°， 故答案为：18°． 【点评】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理的应用，关键是求出∠BDC和∠CDF的度数，注意：矩形的对角线互相平分且相等． 【变式2-3】（2024春•兖州区期末）如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE：∠BAE＝1：2，则∠CAE的度数（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE：∠BAE＝1：2，根据矩形的性质，及已知条件求出，∠DAE，∠BAE的值，再根据矩形中对角线相等且平分得到∠OAB＝∠OBA＝30°，然后求出∠CAE的值． 【解答】解：∵∠DAE：∠BAE＝1：2，∠DAB＝90°， ∴∠DAE＝30°，∠BAE＝60°， ∴∠DBA＝90°﹣∠BAE＝90°﹣60°＝30°， ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30° ∴∠CAE＝∠BAE﹣∠OAB＝60°﹣30°＝30°． 故选：A． 【点评】本题考查矩形的性质，关键是根据矩形中对角线相等且平分解答． 【变式2-4】（2023秋•芗城区校级期中）长方形ABCD中，AB＝12，AD＝17，E，F分别在边BC，CD上，BE＝5，DF＝7，则∠AEB+∠AFD等于（　　） A．105° B．120° C．90° D．135° 【分析】根据题意画出图形，证明△ABE≌△ECF（SAS），可得∠EAB＝∠CEF，AE＝FE，∠AEB＝∠EFC，然后证明△AEF是等腰直角三角形，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，连接EF， 在长方形ABCD中，DC＝AB＝12，BC＝AD＝17， ∵BE＝5，DF＝7， ∴CE＝12，CF＝5， ∴AB＝EC，BE＝CF， ∵∠B＝∠C＝90°， 在△ABE和△ECF中， ， ∴△ABE≌△ECF（SAS）， ∴∠EAB＝∠CEF，AE＝FE，∠AEB＝∠EFC， ∵∠EAB+∠AEB＝90°， ∴∠CEF+∠AEB＝90°， ∴∠AEF＝90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴∠AFE＝45°， ∴∠AEB+∠AFD＝∠EFC+∠AFD＝180°﹣45°＝135°． 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质，解决本题的关键是得到△ABE≌△ECF． 【变式2-5】如图，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，则∠ACD的度数是　 ． 【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC，∠DCB＝90°，根据平行线的性质得到∠F＝∠ECB＝20°，根据三角形的外角的性质得到∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，于是得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠DCB＝90°， ∴∠F＝∠ECB＝20°， ∴∠GAF＝∠F＝20°， ∴∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°， ∴∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝60°， ∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查了矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对边平行；两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 【变式2-6】（2024春•朔州期末）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E在边BC的延长线上，且BC＝2CE，连接AE，F为AE的中点，连接CF．若∠E＝α，则∠CFE＝　 　（用含α的代数式表示）． 【分析】取BC的中点G，连接AG，易得CF为△AGE的中位线，则CF∥AG，从而有∠CFE＝∠GAE；由BC＝2BG，BC＝2AB，得AB＝BG，结合矩形的性质得∠AGB＝45°，再由三角形外角的性质即可求解． 【解答】解：如图，取BC的中点G，连接AG， ∴BC＝2BG＝2CG． ∵BC＝2CE， ∴CE＝CG． ∵F为AE的中点， ∴CF为△AGE的中位线， ∴CF∥AG， ∴∠CFE＝∠GAE． ∵BC＝2BG，BC＝2AB， ∴AB＝BG． ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝90°， ∴∠AGB＝∠GAB＝45°， ∴∠GAE＝∠AGB﹣∠E＝45°﹣α， ∴∠CFE＝45°﹣α， 故答案为：45°﹣α． 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质等知识，作辅助线利用三角形中位线定理是关键． 【变式2-7】（2023•兴宁区三模）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G为EF中点，连接BD、DG． （1）试判断△ECF的形状，并说明理由； （2）求∠BDG的度数． 【分析】（1）先证明∠BEA＝∠BAE＝45°，得出∠CEF＝45°，AB＝BE，得出∠F＝45°，再证出EC＝FC，即可得出结论； （2）由“SAS”可证△DCG≌△AEG，得出∠DGC＝∠BGE，证出∠BGD＝∠EGC＝90°，即可得出结果． 【解答】（1）解：△ECF是等腰直角三角形；理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE＝45°， ∴∠BEA＝∠BAE＝45°， ∴∠CEF＝45°，AB＝BE， ∴∠F＝90°﹣45°＝45°， ∴EC＝FC， 又∵∠ECF＝90°， ∴△ECF是等腰直角三角形； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD， ∵AB＝BE， ∴BE＝CD， ∵EC＝FC，∠ECF＝90°， ∴CGEF＝EG，∠ECG∠ECF＝45°， ∴∠DCG＝90°+45°＝135°， ∵∠BEG＝180°﹣45°＝135°， ∴∠DCG＝∠BEG， 在△DCG和△BEG中， ， ∴△DCG≌△BEG（SAS）， ∴DG＝BG，∠DGC＝∠BGE， ∴∠BGD＝∠EGC＝90°， 又∵DG＝BG， ∴∠BDG＝45°． 【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键． 题型三 利用矩形的性质求面积 【例题3】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的面积是　 ． 【分析】根据题意和矩形的性质，可以得到AC的长，然后根据直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理，可以得到AB和BC的长，从而可以求得矩形ABCD的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝4， ∴AC＝BD＝4，∠ABC＝90°， ∵∠ACB＝30°， ∴AB＝2，BC2， ∴矩形ABCD的面积是：2×24， 故答案为：4． 【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 求矩形的面积问题，主要是利用矩形的性质求出矩形的长和宽，再根据面积的计算公式求解即可，有时与勾股定理结合起来用. 【变式3-1】如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的面积为（　　） A．22 B．24 C．26 D．28 【分析】直接利用勾股定理得出DC的长，再利用角平分线的定义以及等腰三角形的性质得出BE的长，进而得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC， ∵ED＝5，EC＝3， ∴DC4， 则AB＝4， ∵AE平分∠BAD交BC于点E， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE＝4， ∴BC=BE+EC＝4+3=7 ∴长方形的面积为：4×7＝28． 故选：D． 【点评】此题主要考查了矩形的性质以及角平分线的定义，正确得出AB＝BE是解题关键． 【变式3-2】（2024春•松山区期末）矩形ABCD中，点M在对角线AC上，过M作AB的平行线交AD于E，交BC于F，连接DM和BM，已知，DE＝2，ME＝4，则图中阴影部分的面积是（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【分析】根据矩形的性质和三角形面积关系可证明S△DEM＝S△BFM，即可求解． 【解答】解：过M作MP⊥AB于P，交DC于Q，如图所示： 则四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形， ∴S△DEM＝S△DQM，S△QCM＝S△MFC，S△AEM＝S△APM，S△MPB＝S△MFB，S△ABC＝S△ADC， ∴S△ABC﹣S△AMP﹣S△MCF＝S△ADC﹣S△AEM﹣S△MQC， ∴S四边形DEMQ＝S四边形MPBF， ∵DE＝CF＝2， ∴S△DEM＝S△MFB2×4＝4， ∴S阴＝4+4＝8， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S四边形DEMQ＝S四边形MPBF． 【变式3-3】（2024•下城区校级模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F．若BC＝3，CD＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【分析】观察图形，阴影部分显然不规则，想想怎么将它们进行拼组，组成规则图形；首先结合矩形的性质可得OA＝OC，∠AEO＝∠CFO，试着证明△AOE≌△COF，进而可得△AOE与△COF的面积相等；接下来即可将阴影部分的面积转化为△BCD的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠AEO＝∠CFO． ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF，则S△AOE＝S△COF， ∴S阴影＝S△AOE+S△AOB+S△BOF＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD， ∴S△BCDBC•CD3×2＝3，故S阴影＝3． 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积公式的运用，解题的关键是把阴影图形的面积补为一个直角三角形的面积． 【变式3-4】（2023•鼓楼区校级二模）如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，点E是BC的中点，连接OA，OE．若OA＝2，OE＝1，则矩形ABCD的面积为　 　． 【分析】由三角形中位线定理求出OA＝2，由勾股定理求出AD的长，则可得出答案． 【解答】解：∵O为BD的中点，E是BC的中点， ∴OEDC， ∵OE＝1， ∴DC＝2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝2，∠BAD＝90°， ∵OA＝2， ∴BD＝2OA＝4， ∴AD2， ∴矩形ABCD的面积＝AD•DC＝2． 故答案为：4． 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【变式3-5】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF． （1）求证：AE＝CF； （2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积． 【分析】（1）由矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，证出OE＝OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE＝CF； （2）证出△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝6，AC＝2OA＝12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC6，即可得出矩形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°， ∵BE＝DF， ∴OE＝OF， 在△AOE和△COF中，， ∴△AOE≌△COF（SAS）， ∴AE＝CF； （2）解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝∠COD＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝6， ∴AC＝2OA＝12， 在Rt△ABC中，BC6， ∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝6×636． 【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和求出BC是解决问题的关键． 题型四 利用矩形的性质证明 【例题4】（2024•富平县二模）已知：如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，求证：DE＝CE． 【分析】由矩形的性质可得∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，由“SAS”可证△ADE≌△BCE，可得DE＝BC． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝BE， 在△ADE和△BCE中， ， ∴△ADE≌△BCE（SAS）， ∴DE＝BC． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 与矩形有关的问题，常与全等三角形和特殊三角形等知识融为一体进行探索，利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可. 【变式4-1】（2023秋•华安县校级期末）如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD． 求证：AO＝BO． 【分析】首先根据矩形的性质得到∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，利用角之间的数量关系得到∠AOD＝∠BOC，利用AAS证明△AOD≌△BOC，即可得到AO＝OB． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC﹣∠DOC＝∠BOD﹣∠DOC， ∴∠AOD＝∠BOC， 在△AOD和△BOC中， ， ∴△AOD≌△BOC（AAS）， ∴AO＝OB． 【点评】本题主要考查了矩形的性质的知识，解答本题的关键是证明△AOD≌△BOC，此题难度不大． 【变式4-2】（2024春•中阳县期中）如图，在矩形ABCD的对角线AC上有E，F两点，且AE＝CF．求证：DE＝BF． 【分析】连接DE，BF，根据矩形性质得AD＝BC，AD∥BC，进而∠DAE＝∠BCF，由此可依据“SAS”判定△DAE和△BCF全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论． 【解答】证明：连接DE，BF，如下图所示： ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCF， 在△DAE和△BCF中， AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，AE＝CF， ∴△DAE≌△BCF（SAS） ∴DE＝BF． 【点评】此题主要考查了矩形性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【变式4-3】（2024•碑林区校级一模）如图，矩形ABCD，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且EF＝BC．求证：△ABE≌△DCF． 【分析】由矩形的性质可得AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，AD＝BC，AD∥BC，由“SAS”可证△ABE≌△DCF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴∠ABE＝∠DCF＝90°， ∵EF＝BC， ∴BC﹣EC＝EF﹣EC， ∴BE＝CF， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 【变式4-4】在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F． （1）求证：DF＝AB； （2）若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD． 【分析】（1）利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得； （2）由∠ADF+∠FDC＝90°、∠DAF+∠ADF＝90°得∠FDC＝∠DAF＝30°，据此知AD＝2DF，根据DF＝AB可得答案． 【解答】证明：（1）在矩形ABCD中，∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAF， 又∵DF⊥AE， ∴∠DFA＝90°， ∴∠DFA＝∠B， 又∵AD＝EA， ∴△ADF≌△EAB， ∴DF＝AB． （2）∵∠ADF+∠FDC＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°， ∴∠FDC＝∠DAF＝30°， ∴AD＝2DF， ∵DF＝AB， ∴AD＝2AB＝8． 【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质． 【变式4-5】（2023秋•梅县区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作BD的平行线交AB的延长线于点E． （1）求证：AC＝CE． （2）若∠BOC＝120°，CE＝4，求AB的长． 【分析】（1）可证四边形BDCE是平行四边形以此求证； （2）利用直角三角形30度角的性质即可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AC＝BD， ∴BE∥CD． ∵BD∥CE， ∴四边形BDCE是平行四边形， ∴BD＝CE， ∴AC＝CE． （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB，∠ABC＝90°， ∴∠OAB＝∠OBA＝60°． ∴∠ACB＝30°， ∵CE＝4， ∴AC＝CE＝4， ∴AB＝2． 【点评】本题考查了平行四边形的判定、矩形的相关性质．熟记掌握矩形的性质是解答本题的关键． 【变式4-6】（2022秋•南岸区校级期中）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．过点C作CG⊥AF于点G，连接DG、BG、CG． （1）求证：BG＝DG； （2）连接BD，求∠BDG的度数． 【分析】（1）由BF平分∠BAD，得∠DAF＝∠BAF＝45°，则∠F＝∠DAF＝45°，可证明DF＝DA＝BC，由CG⊥AF于点G，得∠GCF＝∠F＝45°，则∠BCG＝∠F＝45°，CG＝FG，即可证明△BCG≌△DFG，得BG＝DG； （2）由∠CBG＝∠FDG，推导出∠GBD+∠BDG＝∠CBD+∠CDB＝90°，则∠GBD＝∠BDG＝45°． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝DA，BC∥DA，∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴∠BCF＝∠BCD＝90°， ∵BF平分∠BAD， ∴∠DAF＝∠BAF＝45°， ∴∠F＝∠DAF＝45°， ∴DF＝DA， ∴BC＝DF， ∵CG⊥AF于点G， ∴∠CGF＝90°， ∴∠GCF＝∠F＝45°， ∴∠BCG＝∠F＝45°，CG＝FG， 在△BCG和△DFG中， ， ∴△BCG≌△DFG（SAS）， ∴BG＝DG． （2）解：∵△BCG≌△DFG， ∴∠CBG＝∠FDG， ∴∠GBD+∠BDG＝∠CBD+∠CBG+∠BDG＝∠CBD+∠FDG+∠BDG＝∠CBD+∠CDB＝90°， ∵∠GBD＝∠BDG， ∴∠BDG＝45°， ∴∠BDG的度数是45． 【点评】此题重点考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明△BCG≌△DFG是解题的关键． 题型五 利用矩形的性质解决折叠问题 【例题5】（2023春•三台县月考）如图，长方形ABCD中将△ABF沿AF翻折至△AB'F处，若AB'∥BD，∠1＝26°，则∠BAF的度数为（　　） A．57° B．58° C．59° D．60° 【分析】由矩形的性质得∠ABC＝90°，AD∥BC，则∠AFB＝∠DAF，由翻折得∠B′＝∠ABF＝90°，∠AFB′＝∠AFB，所以∠AFB′＝∠DAF，由AB'∥BD，∠B′AM＝∠1＝26°，则∠AFB′+∠DAF＝2∠DAF＝∠AMB′＝64°，所以∠DAF＝32°，即可求得∠BAF＝∠B′AF＝58°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AD∥BC， ∴∠AFB＝∠DAF， 由翻折得∠B′＝∠ABF＝90°，∠AFB′＝∠AFB， ∴∠AFB′＝∠DAF， ∵AB'∥BD， ∴∠B′AM＝∠1＝26°， ∴∠AMB′＝90°﹣∠B′AM＝64°， ∴∠AFB′+∠DAF＝2∠DAF＝∠AMB′＝64°， ∴∠DAF＝32°， ∴∠BAF＝∠B′AF＝∠B′AM+∠DAF＝26°+32°＝58°， 故选：B． 【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，根据翻折的性质和平行线的性质证明∠AFB′＝∠DAF是解题的关键． 求解关于矩形的折叠问题时往往通过找出折叠部分的线段或角与原图形之间的关系，从而得到折叠部分与原图形或其它图形之间的关系，有时要用到三角形全等、勾股定理等知识. 【变式5-1】（2023秋•金山区期末）如图，在长方形ABCD中，点E在边DC上，联结AE，将△AED沿折痕AE翻折，使点D落在边BC上的D1处，如果∠DEA＝76°，那么∠D1EC＝　 　度． 【分析】利用翻折不变性求出∠DED1即可解决问题； 【解答】解：由翻折不变性可知， ∠AED＝∠AED1＝76°， ∴∠DED1＝152°， ∴∠CED1＝180°﹣152°＝28°， 故答案为：28． 【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及直角三角形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键 【变式5-2】（2023春•大足区期末）如图，在矩形ABCD中，在CD上取点E，连接BE，在BE上取点F，连接CF．将△BCF沿BE翻折，使得点C刚好落在AD边的G处，若∠CFG＝90°，AB＝3，AD＝5，那么FG的长是 　． 【分析】由折叠可知，BC＝BG＝5，CF＝GF，于是在Rt△ABG中，利用勾股定理求得AG＝4，进而可求出DG＝1，在Rt△CDG中，利用勾股定理可求出CG，易得△CFG为等腰直角三角形，由等腰直角三角形斜边和直角边的关系即可求解． 【解答】解：如图，连接CG， ∵四边形ABCCD为矩形，AB＝3，AD＝5， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5， 由折叠可知，BC＝BG＝5，CF＝GF， 在Rt△ABG中，AG4， ∴DG＝AD﹣AG＝5﹣4＝1， 在Rt△CDG中，CG， ∵∠CFG＝90°，CF＝GF， ∴△CFG为等腰直角三角形， ∴FG． 故答案为：． 【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质，利用勾股定理解决问题是解题关键． 【变式5-3】（2023秋•余姚市校级期中）如图：长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△BEF的面积为（　　） A．6cm2 B．7.5cm2 C．8cm2 D．10cm2 【分析】根据翻折变换可得BG＝DC＝3，∠G＝∠C＝90°，即可利用勾股定理求得BF的长，进而求出△BEF的面积． 【解答】解：长方形ABCD中，AB＝CD＝3，AD＝9，∠D＝90°， 根据翻折可知： ∠G＝∠D＝90°，BG＝CD＝3，GF＝CF， 设BF＝x，则GF＝CF＝9﹣x， 在Rt△BGF中，根据勾股定理，得 32+（9﹣x）2＝x2，解得x＝5， ∴S△BEFBF•AB5×3＝7.5（cm2）． 故选：B． 【点评】本题考查了翻折变换、三角形的面积、矩形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质． 【变式5-4】（2023春•任城区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A'处，如果A'恰在矩形的某条对称轴上，则AE的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】分为两种情况，一种是点A′在PQ上，利用轴对称的性质求出PA，PB，从而得出∠PA′B的度数，再利用折叠性质得出∠ABE的度数即可求解；另一种是点A′在MN上，利用轴对称的性质和勾股定理求出A′N，再利用折叠性质和勾股定理即可求解． 【解答】解：①如图，过A′作PQ∥AD交AB于点P，交CD于点Q， ∵PQ所在直线为矩形ABCD的对称轴， ∴PQ⊥AB，PA＝PB，AD∥PQ∥BC， ∴A′B＝2PB， ∴∠PA′B＝30°， ∴∠A′BC＝30°， ∴∠EBA′＝∠ABE＝30°， ∴AEAB， ②如图，过A′作MN∥CD交AD于点M，交BC于点N， ∵MN所在直线为矩形ABCD的对称轴， ∴AM＝BNAD＝4，MN＝AB＝5， ∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE， ∴A′E＝AE，A′B＝AB＝5， ∴A′N3， ∴A′M＝MN﹣A′N＝5﹣3＝2， 设AE＝x，则： A′E＝x，EM＝AM﹣AE＝4﹣x， 在Rt△A′EM中， A′M2+EM2＝A′E2，即： 22+（4﹣x）2＝x2， 解得：x， ∴AE， 综上，AE的长为或， 故选：D． 【点评】本题考查了折叠变换的性质，矩形的性质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是利用轴对称的性质求出PA，PB，BN的值，再利用折叠的性质列出方程． 【变式5-5】（2023秋•兴庆区校级期中）如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米， （1）求BF与FC的长； （2）求EC的长． 【分析】（1）根据矩形的对边相等可得AD＝BC，根据翻折变换的性质可得AF＝AD，然后利用勾股定理列式计算求出BF，再根据FC＝BC﹣BF计算即可得解； （2）根据翻折变换的性质可得EF＝DE，设EC＝x，表示出EF，再利用勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是长方形， ∴AD＝BC＝10cm， ∵折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处， ∴AF＝AD＝10cm， 在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF6cm， 所以，FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm； （2）∵折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处， ∴EF＝DE， 设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x， 在Rt△CEF中，根据勾股定理得，FC2+EC2＝EF2， 即42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， 即EC＝3cm． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，翻折前后对应边相等，对应角相等，此类题目，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 【变式5-6】（2023春•工业园区校级期末）已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于O，且OE＝OD，求AP的长． 【分析】由折叠的性质得出EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP＝OG，PD＝GE，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，根据勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：设CD与BE交于点G，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8， 由翻折的性质得：△ABP≌△EBP， ∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8， 在△ODP和△OEG中，， ∴△ODP≌△OEG（ASA）， ∴OP＝OG，PD＝GE， ∴DG＝EP， ∴AP＝EP＝DG， 设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x， ∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x， 在Rt△BCG中，根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2， 即62+（8﹣x）2＝（x+2）2， 解得：x＝4.8， ∴AP＝4.8． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 题型七 判断平行四边形是矩形 【例题7】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，CF⊥AB，垂足分别为E，F．求证：四边形AFCE是矩形． 【分析】由平行四边形的性质得出∠AFC＝∠AEC＝90°，则∠FCE＝∠EAF＝90°，可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵AE⊥CD，CF⊥AB， ∴∠AFC＝∠AEC＝90°， ∴∠FCE＝∠EAF＝90°， ∴四边形AFCE是矩形． 【点评】本题考查了平行四边形的性质及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 已知四边形是平行四边形时，判定矩形的方法只需再证有一个角为直角（定义法），或再证明对角线相等.当已知对角线相等时，只需证这个四边形是平行四边形即可. 【变式7-1】（2024春•山阳县期末）如图，添加下列一个条件可以使▱ABCD成为矩形的是（　　） A．AB＝BC B．∠D＝120° C．∠A+∠C＝120° D．∠B＝∠C 【分析】由矩形的判定、菱形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC ∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝120° ∴四边形ABCD不是矩形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠C＝120° ∴∠A＝∠C＝60°， ∴四边形ABCD不是矩形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， 又∠B＝∠C， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的判定、以及平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式7-2】（2024春•康巴什月考）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断四边形ADCE是矩形的是（　　） A．∠BAC＝90° B．AE＝CE C．AB＝AC D．AB＝AE 【分析】根据矩形的判定方法即可判断答案． 【解答】解：A、若∠BAC＝90°，则AD＝BD＝CD， ∵四边形ADCE是平行四边形， ∴AD＝CE，AE＝CD， ∴AD＝DC＝CE＝AE， ∴四边形ADCE为菱形， 且四边形ADCE不能判断为矩形，不符合题意； B、若AE＝CE， ∵四边形ADCE是平行四边形， ∴AD＝CE，AE＝CD， ∴AD＝DC＝CE＝AE， ∴四边形ADCE为菱形， 且四边形ADCE不能判断为矩形，不符合题意； C、若AB＝AC， ∵AD是△ABC的中线， ∴∠ADC＝90°， ∵四边形ADCE是平行四边形， ∴四边形ADCE是矩形，符合题意； D、若AB＝AE， ∵四边形ADCE是平行四边形， ∴AE＝CD， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∴BD＝AB， ∴∠BDA＝∠BAD， 根据三角形内角和等于180°，可得∠BDA＜90°， ∴四边形ADCE不能判断为矩形，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形是解题的关键． 【变式7-3】（2023春•南票区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE． 求证：四边形BECD是矩形． 【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC＝90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形． 【解答】证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD＝CD． ∵四边形ABED是平行四边形， ∴BE∥AD，BE＝AD， ∴BE＝CD， ∴四边形BECD是平行四边形． ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∴▱BECD是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【变式7-4】（2023秋•长安区校级月考）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．求证：四边形AECF是矩形． 【分析】先证四边形AECF是平行四边形，再由对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AD﹣DF＝BC﹣BE， 即AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC＝EF， ∴平行四边形AECF是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 【变式7-5】如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形． 【分析】连接EO，首先根据O为BD和AC的中点，得出四边形ABCD是平行四边形，在Rt△AEC中EOAC，在Rt△EBD中，EOBD，得到AC＝BD，可证出结论． 【解答】证明：连接EO，如图所示： ∵O是AC、BD的中点， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， 在Rt△EBD中， ∵O为BD中点， ∴EOBD， 在Rt△AEC中，∵O为AC中点， ∴EOAC， ∴AC＝BD， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形． 【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【变式7-6】（2024•昌吉州一模）如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，O是BD的中点，E，F是BD上的点，且BE＝DF，AF∥CE． （1）求证：△OEC≌△OFA； （2）若OA＝OB，求证：四边形ABCD是矩形． 【分析】（1）根据平行线的性质推出∠AFO＝∠CEO，∠FAO＝∠ECO，求出OE＝OF，即可证得结论； （2）根据全等得出OA＝OC，求出AC＝BD，再根据平行四边形和矩形的判定推出即可． 【解答】证明：（1）∵AF∥CE， ∴∠AFO＝∠CEO，∠FAO＝∠ECO， ∵O为BD的中点，即OB＝OD，BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF， 在△OEC和△OFA中， ， ∴△OEC≌△OFA（AAS）； （2）∵△OEC≌△OFA， ∴OC＝OA， ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵OA＝OD， ∴OA＝OB＝OC＝OD，即BD＝AC， ∴四边形ABCD为矩形． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形． 【变式7-7】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD． （1）求证：四边形OBFE是平行四边形； （2）当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由． 【分析】（1）首先证明OE是△ABC的中位线，推出OE∥BC，由EF∥OB，推荐可提出四边形OBFE是平行四边形． （2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形． 只要证明∠EOB＝90°即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴点O是AC的中点． 又∵点E是边AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥BC， 又∵点F在CB的延长线上， ∴OE∥BF． ∵EF∥BD，即EF∥OB， ∴四边形OBFE是平行四边形． （2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形． 理由：由（1）可知四边形OBFE是平行四边形， 又∵AD⊥BD，AD∥BC，且点F在BC的延长线上， ∴FC⊥BD， ∴∠OBF＝90°， ∴四边形OBFE是矩形． 【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、矩形的判定、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定，掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型． 题型六 判断四边形是矩形 【例题6】（2023秋•项城市期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB＝AD B．OA＝OB C．AB⊥AD D．∠ABO＝∠BAO 【分析】根据矩形的定义及其判定对各选项逐一判断即可得． 【解答】解：∵四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 当AB＝AD时，可判定四边形ABCD是菱形； 当AB⊥AD时，可判定四边形ABCD是矩形； 当OA＝OB时，AC＝BD，可判定四边形ABCD是矩形； 当∠BAO＝∠ABO时， ∴OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形； 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 如果已知四边形的两个角是直角，此时可以选择“有三个角是直角的四边形是矩形”证明比较简单. 【变式6-1】（2023秋•中牟县期末）检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（　　） A．测量两条对角线，是否相等 B．测量两条对角线，是否互相平分 C．测量门框的三个角，是否都是直角 D．测量两条对角线，是否互相垂直 【分析】对角线相等的平行四边形是矩形或有三个角是直角的四边形是矩形的原理即可突破此题． 【解答】解：根据“三个角是直角的四边形是矩形”可以得到测量门框的三个角，是否都是直角即可检验该四边形是不是矩形， 故选：C． 【点评】此题考查学生对矩形的判定的理解和掌握，要求学生熟练掌握矩形的判定方法，并学会在实际生活中灵活运用，学以致用． 【变式6-2】（2023春•新市区校级期末）四边形ABCD的对角线AC、BD于点O，下列各组条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B．∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＝∠B C．OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90° D．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC 【分析】矩形的判定定理有： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）有三个角是直角的四边形是矩形． （3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此利用排除法可判断． 【解答】解；A、AB＝CD，AD＝BC，可以判定为平行四边形，又有AC＝BD，可判定为矩形，故此选项错误； B、∠A＝∠C，∠B＝∠D，可以判定为平行四边形，又有∠A＝∠B，可得到∠A＝90°，可判定为矩形，故此选项错误； C、OA＝OC，OB＝OD，可以判定为平行四边形，又有∠BAD＝90°可判定为矩形，故此选项错误； D、A，B，C都错误，故此选项正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了矩形的判定定理，同学们一定要熟练掌握矩形的判定方法． 【变式6-3】已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DF、DE分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形． 【分析】利用等腰△ADC“三合一”的性质证得DE⊥AC，同理得DF⊥BC，根据有三个角是直角的四边形是矩形，证四边形DECF是矩形． 【解答】证明：如图， ∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴AD＝CD， ∵DE是∠ADC的角平分线， ∴DE⊥AC． ∴∠DEC＝90°， 同理得∠CFD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形DECF是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定．此题是根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形推知四边形DECF是矩形的． 【变式6-4】（2023春•西吉县期末）已知：如图，在▱ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形． 【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可得∠AFD＝∠BHC＝∠HGF＝∠HEF＝90°，由此可证四边形EFGH为矩形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°． ∵AF，BF分别平分∠DAB，∠ABC， ∴∠EAB+∠EBA（∠DAB+∠ABC）180°＝90°． ∴∠AEB＝90°， 同理可得：∠AFD＝90°，∠BHC＝90°，∠DGC＝90°， ∵∠HGF＝∠DGC＝90°，∠HEF＝∠AEB＝90°， ∴∠AFD＝∠HGF＝∠HEF＝90°， ∴四边形EGFH是矩形． 【点评】此题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，关键是掌握三个角是直角的四边形是矩形． 【变式6-5】如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形． 【分析】首先推出∠BAC＝∠DCA，继而推出AB∥CD；推出∠BCA＝∠DAC，进而推出AD∥CB，因此四边形ABCD平行四边形，再证明∠ABC＝90°，可得平行四边形ABCD是矩形． 【解答】证明：∵MN∥PQ， ∴∠MAC＝∠ACQ、∠ACP＝∠NAC， ∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ， ∴∠BAC∠MAC、∠DCA∠ACQ， 又∵∠MAC＝∠ACQ， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴AB∥CD， ∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC， ∴∠BCA∠ACP、∠DAC∠NAC， 又∵∠ACP＝∠NAC， ∴∠BCA＝∠DAC， ∴AD∥CB， 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD平行四边形， ∵∠BAC∠MAC，∠ACB∠ACP， 又∵∠MAC+∠ACP＝180°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形． 【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形． 题型八 矩形的性质与判定的综合运用 【例题8】（2024•襄州区模拟）如图，在▱ABCD中，CE⊥AD于点E，BF＝DE．则下列结论错误的是（　　） A．CF＝DE B．AF＝CE C．AF⊥CB D．四边形AFCE是矩形 【分析】根据平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BF＝DE， ∴AE＝CF， ∵AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AF＝CE，故B不符合题意； ∵CE⊥AD于点E， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形AFCE是矩形，故D不符合题意； ∴∠AFC＝90°， ∴AF⊥BC，故C不符合题意； 无法求得CF＝DE，故A符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 综合利用矩形的性质与判定方法实现相应线段、角之间的转化时解题的关键. 【变式8-1】（2024春•蔡甸区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，动点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列结论中： ①四边形ABCD是矩形； ②当CD＝4OF时，点E是AB的中点； ③当AB＝3，BC＝4时，线段OF长度的最大值为2； ④当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形， 其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据矩形的判定得出①正确，再根据中位线定理判断②正确，然后根据当点E与点D重合时，OF的值最大得出③正确，进而根据等边三角形的判定得出④错误，即可得出结论． 【解答】解：①∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故①正确，符合题意； ②由①可知，四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD， ∵点O，F分别是AC，CE的中点， ∴OF是△ACE的中位线， ∴AE＝2OF， ∵CD＝4OF， ∴CD＝AB＝2AE， ∴点E是AB的中点，故②正确，符合题意； ③当点E与点D重合时，OF的值最大， ∵AD＝BC＝4， ∴AE的最大值是4， ∴OF2， 即线段OF长度的最大值是2，故③正确，符合题意； ④当∠COF＝60°时，∠OAB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠OBA＝60°， ∴∠FON＝60°， ∵∠BEN＞∠OAB， ∴∠OFN≠60°， ∴△OFN不是等边三角形，故④错误，不符合题意； 综上所述，其中正确的有3个， 故选：C． 【点评】此题考查矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【变式8-2】（2024春•惠东县期中）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的最小值是（　　） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【分析】连接AP，先证明四边形AEPF是矩形，得EF＝AP，当AP⊥BC时，AP取得最小值，再由三角形面积公式和勾股定理求出AP的长，即可得出结论． 【解答】解：如图，连接AP， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠PEA＝∠PFA＝90°， 又∵∠A＝90°， ∴四边形AEPF是矩形， ∴EF＝AP， 当AP⊥BC时，AP取得最小值， 此时，S△ABCBC•APAB•AC， ∴BC•AP＝AB•AC， ∵AB＝6，AC＝8，∠A＝90°， ∴BC10， ∴10AP＝6×8， ∴AP＝4.8， ∴EF的最小值是4.8， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【变式8-3】（2023秋•焦作期末）如图：在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）连接DE，交AC于点F，求出DF与AB之间的关系． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，则∠ADC＝90°，再证∠DAE＝90°，然后证∠AEC＝90°，即可得出结论； （2）由矩形的性质得AC＝DE，DF＝EFDE，再证AB＝DE，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∴∠ADC＝90°， ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN＝∠CAN， ∴∠CAD+∠CAN180°＝90°， 即∠DAE＝90°， ∵CE⊥AN， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形； （2）解：DFAB，理由如下： 由（1）知，四边形ADCE为矩形， ∴AC＝DE，DF＝EFDE， 又∵AB＝AC， ∴AB＝DE， ∴DFAB． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【变式8-4】（2024春•莆田期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）连接BF，若∠ABC＝60°，CF＝5，求BF的长． 【分析】（1）由AC⊥BC，DE⊥BC，得AC∥DE，由四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，得AD∥CE，则四边形ACED是平行四边形，即可由∠ACE＝90°，根据矩形的定义证明四边形ACED是矩形； （2）由平行四边形的性质和矩形的性质得AE＝CD＝AB，AF＝EF，AD＝CE＝CB＝3，因为∠ABC＝60°，所以△ABE是等边三角形，则AB＝AE＝BE＝2CE＝2CF＝6，∠AFB＝90°，所以AFAE＝3，即可根据勾股定理求得BF3． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∵DE⊥BC， ∴AC∥DE， ∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上， ∴AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∵∠ACE＝90°， ∴四边形ACED是矩形． （2）解：∵四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形， ∴AE＝CD＝AB，AF＝EF＝CF＝DF＝5， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠AEB＝60°， ∴△CEF是等边三角形， ∴BF⊥AE，AB＝AE＝BE＝2CE＝2CF＝2×5＝10， ∴∠AFB＝90°，AFAE10＝5， ∴BF5， ∴BF的长是5． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明AC∥DE及△ABC是等边三角形是解题的关键． 【变式8-5】（2023秋•紫金县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）若AB＝AD，且，EC＝4，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质得CB∥AD，CB＝AD，而BE＝DF，可推导出CE＝AF，则四边形AECF是平行四边形，即可由AC＝EF，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”证明四边形AECF是矩形； （2）由矩形的性质得∠AEC＝90°，而AC＝4，EC＝4，则AE8，再由AB＝AD，BC＝AD，证明AB＝BC，由∠AEB＝90°，得AB2＝BE2+AE2，则BC2＝（BC﹣4）2+82，求得BC＝10，即可求得S四边形ABCD＝BC•AE＝10×8＝80． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CB∥AD，CB＝AD， ∵BE＝DF， ∴CB﹣BE＝AD﹣DF， ∴CE＝AF， ∵CE∥AF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC＝EF， ∴四边形AECF是矩形． （2）解：∵四边形AECF是矩形， ∴∠AEC＝90°， ∵AC＝4，EC＝4， ∴AE8， ∵AB＝AD，BC＝AD， ∴AB＝BC， ∵∠AEB＝90°， ∴AB2＝BE2+AE2， ∴BC2＝（BC﹣4）2+82， 解得BC＝10， ∴S四边形ABCD＝BC•AE＝10×8＝80， ∴四边形ABCD的面积为80． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出CE＝AF是解题的关键． 【变式8-6】（2023春•惠州校级期中）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，进而得出答案； （2）根据已知得出∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长； （3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可． 【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∵MN∥BC， ∴∠1＝∠5，∠3＝∠6， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴OE＝OF； （2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°， ∵CE＝12，CF＝5， ∴EF13， ∴OCEF； （3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形， 理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO， ∵EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 题型九 矩形与菱形的综合应用 【例题9】（2023秋•铁西区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E交AC于点P，BF⊥CD于点F． （1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由； （2）如果BE＝3，BF＝6，求DP的长． 【分析】（1）根据菱形的性质和矩形的判定解答即可； （2）根据菱形的性质和矩形的性质得出DE＝BF，进而利用勾股定理解答即可． 【解答】（1）解：四边形DEBF是矩形，理由如下： ∵DE⊥AB，BF⊥CD， ∴∠DEB＝∠BFD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴∠DEB+∠EDF＝180°， ∴∠EDF＝∠DEB＝∠BFD＝90°， ∴四边形DEBF是矩形； （2）解：连接PB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC垂直平分BD， ∴PB＝PD， 由（1）知，四边形DEBF是矩形， ∴DE＝FB＝6， 设PD＝BP＝x，则PE＝6﹣x， 在Rt△PEB中，由勾股定理得：（6﹣x）2+32＝x2， 解得：x， ∴PD． 【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对边平行和勾股定理解答． 综合利用菱形、矩形的性质与判定方法实现相应线段、角之间的转化时解题的关键. 【变式9-1】（2024春•通州区期中）两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H．若∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的面积为（　　） A．4 B．4 C．8 D．16 【分析】先证明四边形AGCH是平行四边形，然后证明AH＝AG，证得四边形AGCH是菱形，再求出AG即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AECF是矩形， ∴AD∥BC，AE∥CF，∠B＝∠F＝90°， ∴四边形AGCH是平行四边形， ∠AGB＝∠GCH＝∠AHF， 在△AFH和△AGB中， ， ∴△AFH≌△AGB（AAS）， ∴AH＝AG， ∴平行四边形AGCH是菱形， ∴AG＝GC＝CH＝HA， ∵∠AGB＝30°，AB＝2， ∴AG＝CG＝4， ∴四边形AGCH的面积＝CG•AB＝4×2＝8， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键． 【变式9-2】（2023•五华区校级模拟）如图，AP是△ABC的角平分线，MN垂直平分AP，且交AP于点D，判断以下结论错误的是（　　） A．MP∥AC B．AM＝AN C．PA是∠MPN的平分线 D．四边形AMPN是矩形 【分析】由线段垂直平分线的性质得AM＝PM，AN＝PN，则∠MAP＝∠MPA，∠NAP＝∠NPA，再证∠MAP＝∠MPA＝∠NAP＝∠NPA，则AM∥PN，MP∥AC，得四边形AMPN是平行四边形，然后证平行四边形AMPN是菱形，即可得出结论． 【解答】解：∵MN垂直平分AP， ∴AM＝PM，AN＝PN， ∴∠MAP＝∠MPA，∠NAP＝∠NPA， ∵AP是△ABC的角平分线， ∴∠MAP＝∠NAP， ∴∠MAP＝∠MPA＝∠NAP＝∠NPA， ∴AM∥PN，MP∥AC， ∴四边形AMPN是平行四边形， 又∵AM＝PM， ∴平行四边形AMPN是菱形， ∴AM＝AN，PA是∠MPN的平分线， 故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行线的判定、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【变式9-3】（2024•江岸区校级模拟）已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG//DB交CB的延长线于G． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若四边形AGBD是矩形，直接写出四边形BEDF是什么特殊四边形．（不需要说明理由） 【分析】（1）只要证明AE＝CF，∠C＝∠EAD，BC＝AD，即可根据SAS证明△ADE≌△CDF； （2）根据已知条件证明BE＝DF，BE∥DF，从而得出四边形BEDF是平行四边形，再证明DE＝BE，根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠C，AD＝CB，AB＝CD， ∵点E，F分别是AB，CD的中点， ∴AEAB，CFCD， ∴AE＝CF． 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）． （2）四边形BEDF是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD． ∵点E、F分别是AB、CD的中点， ∴BEAB，DFCD． ∴BE＝DF，BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵四边形AGBD是矩形， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ADB中，∵E为AB的中点， ∴AE＝BE＝DE， ∴平行四边形BEDF是菱形． 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定、矩形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式9-4】（2024春•永定区期末）如图，在矩形ABCD中，点E为对角线BD中点，过E作FH⊥BD，交AD于点F，交BC于点H，连接BF，DH． （1）试判断四边形BFDH的形状，并说明理由； （2）若AB＝12，AD＝18，求BH的长． 【分析】（1）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定即可； （2）设BH的长度为x，根据菱形的性质和勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）四边形FBHD为菱形，理由如下： ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠FDB＝∠HBD， ∵E为BD中点 ∴BE＝DE， ∵FH⊥BD， ∴∠FED＝∠HEB， ∴△FED≌△HEB（ASA）， ∴FE＝HE， 又BE＝DE， ∴四边形FBHD为平行四边形， ∵FH⊥BD， ∴平行四边形FBHD为菱形； （2）设BH的长度为x， 由（1）得四边形FBHD为菱形， ∴BH＝FD＝BF， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝90°， ∵AB＝12，AD＝18， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+AF2＝BF2， ∴122+（18﹣x）2＝x2， 解得：x＝13， ∴BH的长度为13． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和菱形的性质，灵活运用所学知识是解题关键． 【变式9-5】（2023春•虹口区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）判断四边形OEFG的形状，并证明． （2）若AC＝8，BD＝6，求四边形OEFG的面积． 【分析】（1）由三角形中位线定理可得AE＝DE，OE∥AB，由矩形的判定可求解； （2）由菱形的面积公式可求面积，利用面积法可求OG，即可求EF． 【解答】解：（1）四边形OEFG是矩形． 在菱形ABCD中，DO＝BO， 又∵E是AD的中点， ∴AE＝DE，OE∥AB， ∴OE∥FG， 又∵OG∥EF， ∴四边形OEFG是平行四边形． ∵EF⊥AB， ∴∠EFG＝90°， ∵四边形OEFG是矩形． （2）菱形的面积． ∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∴AB＝5． 由（1）知，四边形OEFG是矩形， ∴EF＝OG，OG⊥AB． ∴， ∴， ∴OEAB5， 四边形OEFG的面积＝OE×OG6． 【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 【变式9-6】（2024春•嘉祥县期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC，EO为矩形BECO对角线，BC∥AD，AD＝EO． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接DE，若AC＝2，∠BCD＝120°，求DE的值． 【分析】（1）根据矩形的性质得到BC＝EO，∠BOC＝90°，推出AC⊥BD，根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形； （2）根据菱形的性质得到∠ABC＝180°﹣120°＝60°，AB＝BC，AC⊥BD，AO＝CO＝1，BO＝DO，∠ABO＝∠CBO，推出△ABC是等边三角形，得到AB＝AC＝2，根据勾股定理得到，求得，根据矩形的性质得到BE＝CO＝1，∠DBE＝90°，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形BECO是矩形， ∴BC＝EO，∠BOC＝90°， ∴AC⊥BD， ∵AD＝EO， ∴AD＝BC， ∵BC∥AD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°， ∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，AB＝BC，AC⊥BD，AO＝CO＝1，BO＝DO，∠ABO＝∠CBO， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝2， ∴， ∴， ∵四边形BECO是矩形， ∴BE＝CO＝1，∠DBE＝90°， ∴． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 【变式9-7】（2023春•武昌区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AD＝25，OE＝7，求AE的长． 【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO＝CO，BC＝AB＝25，求得∠AEB＝∠AEC＝90°，得到AC＝2OE＝14，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BC＝AD＝25， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∴AC＝2OE＝14， ∵AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2＝AE2 ∴252﹣BE2＝142﹣（25﹣BE）2， ∴BE， ∴AE． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$