精品解析：广东省肇庆市肇庆鼎湖中学2023-2024学年高二下学期期末统考模拟测试（6月月考）数学试题

肇庆鼎湖中学2025届高二年级期末统考模拟测试 数 学 命题人：易瑞平 审题人：高二数学备课组 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 70 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 的展开式中含的项的系数是（ ） A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 4. 甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 B. 乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C. 水果的质量服从的正态分布的参数 D. 甲类水果的平均质量 5. 已知函数，求（ ） A. 0 B. C. D. 120 6. 某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（ ） A. 288 B. 336 C. 576 D. 1680 7. 现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C为互斥事件 C. D. 8. 在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对得部分分，有选错的得0分． 9. 千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下列联表： 夜晚天气 “日落云里走” 下雨 未下雨 出现的天数 25 5 未出现的天数 25 45 附表： 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 经计算得到，下列对地区A天气的判断正确的是（ ） A. 夜晚下雨的概率约为 B. 未出现“日落云里走”时夜晚下雨的概率约为 C. 有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关 D. 出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨 10. 甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 互斥 D. 11. 若均为常数，则下列选项正确的是（       ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 销售量（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则__________. 13. 从六个数字中选5个数字组成的无重复数字的五位偶数，且3不在百位，共有______种． 14. 函数，，若对，，使得成立，则实数的范围是______． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 广东省深圳市是全国七大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中，，，均为常数. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（不能整除的相关系数保留2位小数） （2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？ 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，， ②参考数据：，，，. 16. 某校为了解高三年级1200名学生对成语的掌握情况，举行了一次“成语测试”比赛．从中随机抽取120名学生，统计结果如下：获奖人数与不获奖人数之比为，其中获奖人数中，女生占，不获奖人数中，女生占． （1）现从这120名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率； （2）对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动．若从这8人中随机选取2人． ①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率； ②记为入选的2人中的女生人数，求随机变量的分布列及数学期望． 17. 某车企随机调查了今年某月份购买本车企生产的台新能源汽车车主，统计得到以下列联表，经过计算可得. 喜欢 不喜欢 总计 男性 女性 总计 （1）完成表格并求出值，并判断有多大的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关； （2）采用比例分配的分层抽样法从调查的不喜欢和喜欢新能源汽车的车主中随机抽取12人，再从抽取的12人中抽取4人，设被抽取的4人中属于不喜欢新能源汽车的人数为，求的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18. 为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）. 阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 月用电范围（度） 某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下： 居民用电户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 用电量（度） 53 86 90 124 214 215 220 225 420 430 （1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电450度时应交电费多少元？ （2）现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望； （3）以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，记取到第一阶梯电量的户数为，当时对应的概率为，求取得最大值时的值. 19. 已知． （1）讨论函数的单调性． （2）设，若在时恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肇庆鼎湖中学2025届高二年级期末统考模拟测试 数 学 命题人：易瑞平 审题人：高二数学备课组 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 70 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列数与组合数的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】由排列数与组合数的计算公式，可得. 故选：D. 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，代入即可求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故选：C 3. 的展开式中含的项的系数是（ ） A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】因为，根据二项式定理分析求解. 【详解】因为， 且展开式的通项为， 所以展开式中含的项的系数为. 故选：C. 4. 甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 B. 乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C. 水果的质量服从的正态分布的参数 D. 甲类水果的平均质量 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的曲线特征可判断出的值以及的大小关系，结合曲线表示的含义，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由图象可知甲类水果的平均质量为，D正确， 乙类水果的平均质量为， 故甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小，A错误； 由于甲曲线比乙曲线更“高瘦”，故 故甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，B，C错误； 故选：D 5. 已知函数，求（ ） A. 0 B. C. D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】令，则，求导后赋值即可. 【详解】令，则，两边求导得到，令，得到. 故选：B. 6. 某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（ ） A. 288 B. 336 C. 576 D. 1680 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,分2步进行分析,由分步计数原理计算可得答案. 【详解】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有种, 第二步,排黑车,若白车选,则黑车有共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有种， 根据分步计数原理,共有种, 故选：B 7. 现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C为互斥事件 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件求出，由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式进行逐一判断即可 【详解】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有不同的安排方法， 事件“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有种方法； 若跳高比赛安排1人，则有种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种，则，同理， 若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有种不同的安排方法，所以， 因为，事件A与B不相互独立故A错误； 对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A与C不是互斥事件，故B错误； 对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有种，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 8. 在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为,设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为，根据马尔可夫不等式可得，再根据二项分布求得，令，求导判断单调性即可求得最大值. 【详解】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为. 设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为， 则根据马尔可夫不等式可得， ， 因为， 所以， 令，则， ，即， 在上单调递增. ，即. 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对得部分分，有选错的得0分． 9. 千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下列联表： 夜晚天气 “日落云里走” 下雨 未下雨 出现的天数 25 5 未出现的天数 25 45 附表： 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 经计算得到，下列对地区A天气的判断正确的是（ ） A. 夜晚下雨的概率约为 B. 未出现“日落云里走”时夜晚下雨的概率约为 C. 有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关 D. 出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式判断A、B，根据独立性检验的思想判断C、D； 【详解】解：用频率估计概率可得，夜晩下雨的概率约为，所以A正确； 未出现“日落云里走”时夜晚下雨的概率约为，所以B正确； 由，可得有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现” 与“当晚是否下雨”有关，所以C正确，D错误． 故选：ABC． 10. 甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 互斥 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用条件概率和全概率公式可求答案. 【详解】由题意，，所以，A不正确； 从甲箱中取出一个白球放入乙箱，则乙箱有5个白球和2个黑球，所以，B正确； 由互斥事件的概念可知，互斥，C正确； ，D正确. 故选：BCD 11. 若均为常数，则下列选项正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】将展开与合并，利用二项展开式的通项公式，求得，，，，， 的值，从而判断各个选项. 【详解】 ， 令，可得，，故A正确； 由于的展开式的通项公式为， 令，得项的系数为，即，， 令，得项的系数为，即，， 令，得项的系数为，即，， 令，得项的系数为，即，， 令，得项的系数为，即，， 即解得，，，，， ，， 故B正确；C错误；D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 销售量（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则__________. 【答案】0.28 【解析】 【分析】根据样本中心点求得正确答案. 【详解】，， 所以. 故答案为： 13. 从六个数字中选5个数字组成的无重复数字的五位偶数，且3不在百位，共有______种． 【答案】 【解析】 【分析】对5个数字分情况讨论，利用分类，分布计数原理，结合排列数公式，即可求解. 【详解】第一种情况，5个数字没有3时， 0在个位有种方法， 0不在个位有种方法， 共种方法， 第二种情况，有3无0，有种方法， 第三种情况，有3无2， 个位排0，有种方法， 个位不排0，3排首位有种方法， 个位不排0，3不排首位，有种方法， 共有种方法， 第四种情况，有3无4，这种情况和有3无2一样，所以也有种方法， 第五种情况，有3无1， 个位排0，有种方法， 个位不排0，3排首位有种方法， 个位不排0，3不排首位，有种方法， 所以共有种方法， 第六种情况，有3无5，和有3无1的情况一样，所以也是46种情况， 综上可知，共有种方法. 故答案为： 14. 函数，，若对，，使得成立，则实数的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先分别求函数和得到最小值，根据题意转化为，即可求解. 【详解】，得， 所以当时，，在单调递增，的最小值为， ，在区间单调递增，的最小值为， 由题意可知，，即，则. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将不等式恒能成立问题，转化为最值问题. 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 广东省深圳市是全国七大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中，，，均为常数. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（不能整除的相关系数保留2位小数） （2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？ 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，， ②参考数据：，，，. 【答案】（1）模型②的拟合程度更好 （2），13（百万辆） 【解析】 【分析】（1）分别求出两个模型的相关系数，比较大小即可解答. （2）令，则，结合题目数据，最小二乘法求得回归方程，然后将代入方程运算求解即可. 【小问1详解】 设模型①和②的相关系数分别为，. 由题意可得：， （说明：若化简成，再比较与的大小亦可） 令，则， 则， 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好； 【小问2详解】 由条件得：， 又由，，得， 所以，即回归方程为， 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. 16. 某校为了解高三年级1200名学生对成语的掌握情况，举行了一次“成语测试”比赛．从中随机抽取120名学生，统计结果如下：获奖人数与不获奖人数之比为，其中获奖人数中，女生占，不获奖人数中，女生占． （1）现从这120名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率； （2）对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动．若从这8人中随机选取2人． ①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率； ②记为入选的2人中的女生人数，求随机变量的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）① ； ②的分布列为： 0 1 2 期望为 【解析】 【分析】（1）借助全概率公式计算即可得； （2）①借助分层抽样的性质与条件概率计算即可得；②计算出的所有可能取值及其概率即可得. 【小问1详解】 记事件分别为抽取的1名学生获奖与不获奖，事件为抽取的1名学生是女生， 则，且互斥，， 由题意可知，， 且， 由全概率公式可知， 即从120名学生中随机抽取1名学生，恰好是女生的概率为； 【小问2详解】 由题意得120名学生的获奖情况如表所示． 获奖 不获奖 男生 60 20 女生 20 20 ①根据分层随机抽样方法得，选取的8人中，男生有（人），女生有（人）， 记事件为“选出的2人中有女生”，共有（种）不同的选法， 事件为“选出的2人为1名男生、1名女生”，共有（种）不同的选法， 则， ②根据题意，的所有可能取值为0，1，2， 则，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 则． 17. 某车企随机调查了今年某月份购买本车企生产的台新能源汽车车主，统计得到以下列联表，经过计算可得. 喜欢 不喜欢 总计 男性 女性 总计 （1）完成表格并求出值，并判断有多大的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关； （2）采用比例分配的分层抽样法从调查的不喜欢和喜欢新能源汽车的车主中随机抽取12人，再从抽取的12人中抽取4人，设被抽取的4人中属于不喜欢新能源汽车的人数为，求的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，，有的把握 （2）分布列见解析，的数学期望1人 【解析】 【分析】（1）根据已知条件补全列联表，根据列式求解得到，根据卡方的独立性检验相关知识判断有的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关； （2）根据分层抽样的含义，结合超几何分布的相关知识直接求解分布列和期望即可. 【小问1详解】 补充表格数据如下： 喜欢 不喜欢 总计 男性 女性 总计 根据数表可得， 又因为，所以； 提出假设：购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别无关， 由题意，， 所以有的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关 【小问2详解】 由（1）可知，抽取喜欢新能源汽车有：9人；抽取不喜欢新能源汽车有：3人 由题的可能值为： 所以的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望（人）， 所以的数学期望1人. 18. 为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）. 阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 月用电范围（度） 某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下： 居民用电户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 用电量（度） 53 86 90 124 214 215 220 225 420 430 （1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电450度时应交电费多少元？ （2）现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望； （3）以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，记取到第一阶梯电量的户数为，当时对应的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】（1）259元 （2）分布列： 0 1 2 3 期望为 （3）4 【解析】 【分析】（1）依题意，分段计算电价； （2）设取到第二阶梯电量的户数为，可知第二阶梯电量的用户有4户，则可取0，1，2，3，4，分别求其概率，即可列出分布列，计算期望； （3）依题意，服从二项分布，设抽到户概率最大，解不等式组，再根据即可求出. 【小问1详解】 （元）. 【小问2详解】 设取到第二阶梯电量的户数为，可知第二阶梯电量的用户有4户， 则可取0，1，2，3，4 ， ，， 故的分布列为 0 1 2 3 . 【小问3详解】 据题意，从全市中抽取的10户中用电量为第一阶梯的有户，则服从二项分布， 可知， （注：两个不等式写出一个即可.） 解得，，. 当时用电量为第一阶梯的可能性最大. 19. 已知． （1）讨论函数的单调性． （2）设，若在时恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）见解析； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，上单调递增. （2） 【解析】 【详解】（1）由于， 当时，在上单调递减； 当时，由得，由得，所以在上单调递减，上单调递增. （2）令，显然时. 当时，. 所以在上单调递增. 又因为，所以时， 时，. 综上，时，；时，. 要使在上恒成立，只需在上恒成立即可. 又. 令，则. 由知在上单调递减； 由知在上单调递增. 所以，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $