汇编11 2022-2024年中考数学真题知识点 四边形之矩形（吉林专用）

2022-2024年中考数学真题汇编11 四边形之矩形 知识点一：矩形的性质 一、选择题 1．（2024·吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2）．以OA，OC为边作矩形OABC．若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C'，则点B'的坐标为（　　） A．（﹣4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（2，4） D．（4，2） 【本题考点】矩形的性质 二、填空题 1．（2022·吉林）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则　 　． 【本题考点】矩形的性质；三角形的中位线定理 三、解答题 1．（2022·长春）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想． （1）【问题解决】 小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，． ∴． ∴． 请你补全余下的证明过程． （2）【结论应用】 的度数为　 　度，的值为　 　； （3）在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为　 　．（用含a的代数式表示） 【本题考点】矩形的性质；四边形的综合 2．（2023·吉林）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下： 填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日 活动任务：测量古树高度 活动过程 【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量． 【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺． 【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点． 如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角． 测出眼睛到地面的距离． 测出所站地方到古树底部的距离． ． ． ． 【步骤四】计算古树高度．（结果精确到） （参考数据：） 请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】． 【本题考点】矩形的性质；直角三角形 3．（2023·吉林）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（） 　　 （1）的长为　 　，的长为　 　．（用含x的代数式表示） （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 【知识点】三角形全等；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质 知识点二：矩形的判定 一、证明题 1．（2024·长春）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形． 【知识点】矩形的判定 二、解答题 1．（2023·长春）如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（） （1）当点和点重合时，线段的长为　 　； （2）当点和点重合时，求； （3）当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由； （4）作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 【本题考点】三角形全等的判定；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2024年中考数学真题汇编11 四边形之矩形 知识点一：矩形的性质 一、选择题 1．（2024·吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2）．以OA，OC为边作矩形OABC．若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C'，则点B'的坐标为（　　） A．（﹣4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（2，4） D．（4，2） 【本题考点】矩形的性质 【答案】C 【解析】解：∵A（-4，0），C（0，2）， ∴OA=4，OC=2， ∵四边形OABC是矩形， ∴BC=OA=4， ∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C'， ∴OC'=OC=2，B'C'=BC=4， ∴点B'（2，4）. 故答案为：C. 二、填空题 1．（2022·吉林）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则　 　． 【本题考点】矩形的性质；三角形的中位线定理 【答案】 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=10，OA=AC，OD=BD=5， ∵， ∴，即点F是OA的中点． ∵点是边的中点， ∴EF是△AOD的中位线， ∴． 故答案为：． 三、解答题 1．（2022·长春）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想． （1）【问题解决】 小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，． ∴． ∴． 请你补全余下的证明过程． （2）【结论应用】 的度数为　 　度，的值为　 　； （3）在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为　 　．（用含a的代数式表示） 【本题考点】矩形的性质；四边形的综合 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，． ∴． ∴． 由折叠得，， ∴ ∴ 又AD=AF，AG=AG ∴ （2）22.5°； （3） 【解析】解：（2）由折叠得，∠ 又∠ ∴∠ 由得，∠ ∠ 又∠ ∴∠ ∴∠ ∴ 设则 ∴ ∴ ∴ （3）如图，连接 ∵ ∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称， 连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长； 过点P作交AD于点R， ∵∠ ∴∠ ∴ 又 ∴ ∴ 在中， ∴ ∴的最小值为 2．（2023·吉林）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下： 填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日 活动任务：测量古树高度 活动过程 【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量． 【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺． 【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点． 如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角． 测出眼睛到地面的距离． 测出所站地方到古树底部的距离． ． ． ． 【步骤四】计算古树高度．（结果精确到） （参考数据：） 请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】． 【本题考点】矩形的性质；直角三角形 【答案】解：测角仪显示的度数为，∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形，， 在中，， ∴． 3．（2023·吉林）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（） 　　 （1）的长为　 　，的长为　 　．（用含x的代数式表示） （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）解：当时，点在上， 由（1）可得， 同理可得， ∵，， 则 ； 当时，如图所示， 则，， ， ∴； 综上所述，； （3）或 【知识点】三角形全等；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质 【解析】 （1）解：由题意得AP=x，则PB=（4-x）， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD=∠BAD=90°，CB∥DA， ∴∠NQC=∠QNA， ∵O为AC的中点， ∴NO=QO，PO=MO， ∴四边形NMQP为平行四边形， ∴NP=QM，QM∥PN， ∴∠NQM=∠PNQ， ∴∠CQM=∠PNA， ∴△MQC≌△PNA（AAS）， ∴CM=PA=x， 故答案为：（4-x）；x； （3）解：依题意，①当四边形 是矩形时，此时 即 解得： ， 当四边形 是菱形时，则 ， ∴ ， 解得： （舍去）； ②如图所示，当 时， ，解得 ， 当四边形 是菱形时，则 ，即 ，解得： （舍去）， 综上所述，当四边形 是轴对称图形时， 或 ． 知识点二：矩形的判定 一、证明题 1．（2024·长春）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形． 【知识点】矩形的判定 【答案】证明：是边AB的中点， ， 在和中， (ASA)， ， ， ∴∠A+∠B=180°， ， 四边形ABCD是平行四边形， 又， 四边形ABCD是矩形. 二、解答题 1．（2023·长春）如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（） （1）当点和点重合时，线段的长为　 　； （2）当点和点重合时，求； （3）当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由； （4）作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 【本题考点】三角形全等的判定；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质 【答案】（1） （2）解：如图所示， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， 则四边形是矩形， ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形； （4）或或 【解析】解：（1） 如图所示，连接 ， ∵四边形 是矩形 ∴ ∵ ， ∴四边形 是矩形， 当点 和点 重合时， ∴ ， 在 中， ， 故答案为： ． （4） ①如图所示，当点 在 上时， ∵ ， 在 中， ， 则 ， ∵ ，则 ， ， 在 中， ， ∴ 解得： 当 时，点 在矩形内部，符合题意， ∴ 符合题意， ②当 点在 上时，当 重合时符合题意，此时如图， 则 ， ， 在 中， ， 解得： ， ③当点 在 上，当 重合时，此时 与点 重合，则 是正方形，此时 综上所述， 或 或 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$