专题2.3 认识有理数（数轴）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.3 认识有理数（数轴）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴； 【知识点二】数轴三要素：原点、正方向、单位长度是数轴三要素； 【知识点三】数轴和画法： 1、画一条直线（通常画成水平直线）； 2、在直线上适当位置取一点为原点； 3、通常规定直线上从原点向右方向为正方向，用箭头表示出来； 4、根据需要，选取适当长度为单位长度，原点右边，每一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3...; 在原点左边用同样方法表示-1，-2，-3... 【知识点四】有理数与数轴上点的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，一般地，设a为一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离为a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离也为a单位长度； 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】用数轴上的点表示有理数并比较大小（理解数形结合） 【例1】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）在数轴上表示出下列有理数：并把它们从小到大的顺序用“”连接， 2，，0，3，，． 【变式1】（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·广东茂名·期中）有理数a，b，c在数轴上的大致位置如图所示，则将a，b，c从小到大排列为 ． 【题型2】数轴上两点之间的距离 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： （1）数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段___________； （2）数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段___________； （3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数． 【变式1】（2024·北京·二模）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移1个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（23-24七年级下·海南儋州·阶段练习）点A、B是数轴上的两点，且点A表示的数是，点A与点B之间的距离是6，则点B表示的数是 ． 【题型3】数轴上的动点问题 【例3】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    （1）当时，求点Q表示的数； （2）当时，求点Q表示的数； （3）当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【变式1】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）数轴上的点M和点N分别表示与4，如果把点N向左移动6个单位长度，那么点N现在表示的数比点M表示的数（    ） A．大2 B．大1 C．小2 D．小1 【变式2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点到点的距离与点到点的距离比是时，点表示的数是 ．    【题型4】由数轴上点的位置判断式子的符号 【例4】（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图．    （1）把这七个数用“”连起来； （2）判断正负，用“”或“”填空：_______________________0． 【变式1】（2024·陕西咸阳·一模）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·广东汕头·期中）如下图所示，在数轴上的位置，用“”“”“”填空：    （） ； （） ． 【题型5】数轴上动点问题与两点之间距离综合 【例5】（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． （1）请你在数轴上标出、、三点的位置，并填空：A表示的数为_______，B表示的数为_______，C表示的数为______． （2）把点到点的距离记为，则_____，______； （3）若点从（1）中的位置沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒使？ 【变式1】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从点A出发，向右爬了3个单位长度到达点B，则点B表示的数是（    ） A． B．7 C．或7 D．或1 【变式2】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在数轴上，点表示的数为，点以每秒3个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动经过 秒，点与原点的距离为个单位长度． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川广元·中考真题）将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（    ） A． B．1 C． D．3 【例2】（2023·湖北黄石·中考真题）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（    ）    A． B． C． D．无法确定 2、拓展延伸 【例1】如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为秒． （1）当时，求点到原点的距离； （2）当时，求点到原点的距离； （3）当点到点的距离为4时，求点到点的距离． 【例2】（23-24七年级上·陕西西安·期中）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； （2）点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） （3）P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ （4）在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 认识有理数（数轴）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴； 【知识点二】数轴三要素：原点、正方向、单位长度是数轴三要素； 【知识点三】数轴和画法： 1、画一条直线（通常画成水平直线）； 2、在直线上适当位置取一点为原点； 3、通常规定直线上从原点向右方向为正方向，用箭头表示出来； 4、根据需要，选取适当长度为单位长度，原点右边，每一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3...; 在原点左边用同样方法表示-1，-2，-3... 【知识点四】有理数与数轴上点的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，一般地，设a为一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离为a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离也为a单位长度； 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】用数轴上的点表示有理数并比较大小（理解数形结合） 【例1】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）在数轴上表示出下列有理数：并把它们从小到大的顺序用“”连接， 2，，0，3，，． 【答案】见解析； 【分析】本题考查的是数轴和有理数的大小，解题的关键是掌握在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大． 先在数轴上表示出有理数，根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大比较大小即可． 解：，在数轴上表示如下： ． 【变式1】（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴，有理数的比大小．观察数轴可得，再由，可得，即可求解． 解：观察数轴得：， ∵， ∴． 故选：A 【变式2】（22-23七年级上·广东茂名·期中）有理数a，b，c在数轴上的大致位置如图所示，则将a，b，c从小到大排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴、利用数轴比较有理数的大小等知识．根据“数轴右边的数始终大于数轴左边的数”即可作答． 解：观察数轴得，， 故答案为：． 【题型2】数轴上两点之间的距离 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： （1）数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段___________； （2）数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段___________； （3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数． 【答案】(1)7 (2)4 (3)另一个点表示的数为17或7 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （2）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （3）分两种情况讨论，当另一个点在表示12的点的右侧或当另一个点在表示12的点的左侧，再根据数轴上两点间的距离求解即可． 解:（1）解：数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段， 故答案为：7； （2）解：数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段， 故答案为：4； （3）解：由题可得：①当另一个点在表示12的点的右侧时，； ②当另一个点在表示12的点的左侧时，， 综上，另一个点表示的数为17或7． 【变式1】（2024·北京·二模）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移1个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了数轴和绝对值方程的解法，用含a的式子表示出点C是解决本题的关键． 先用含a的式子表示出点C，根据列出方程，求解即可． 解：由题意知：A点表示的数为a，B点表示的数为3，C点表示的数为， ， ， 解得或4， ， ， 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·海南儋州·阶段练习）点A、B是数轴上的两点，且点A表示的数是，点A与点B之间的距离是6，则点B表示的数是 ． 【答案】或2 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 根据数轴上两点间距离，分别列式计算即可得解． 解：∵点A表示的数是，点A与点B之间的距离是6， ∴点B表示的数或， 故答案为：或2． 【题型3】数轴上的动点问题 【例3】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    （1）当时，求点Q表示的数； （2）当时，求点Q表示的数； （3）当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【答案】(1)6 (2)2 (3)或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分两种情况，点在还没达到原点，点Q到原点O的距离为4；到达原点后距离原点后，点Q到原点O的距离为4，计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答。 解:（1）解：当时， 点Q表示的数为； （2）解：当时， 点Q运动的路程为， 点Q表示的数为 （3）解：①点还没达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为； ①点达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为， 故点P表示的数为或． 【变式1】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）数轴上的点M和点N分别表示与4，如果把点N向左移动6个单位长度，那么点N现在表示的数比点M表示的数（    ） A．大2 B．大1 C．小2 D．小1 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上动点问题，有理数的减法的应用；先求出点向左移动个单位长度后表示的数，再根据有理数的减法法则计算即可． 解：表示， 把点向左移动个单位长度后表示的数为， 点表示， ， 即点现在表示的数比点表示的数大， 故选：B． 【变式2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点到点的距离与点到点的距离比是时，点表示的数是 ．    【答案】或/或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离，可分为“当点运动到点右侧时”和“当点运动到点左侧时”两种情况讨论，根据“点到点的距离与点到点的距离比是”，列式计算即可，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 解：∵在点运动过程中，点到点的距离与点到点的距离比是， ∴， 当点运动到点右侧时，， ∴此时点表示的数是； 当点运动到点左侧时，， ∴此时点表示的数是， 综上所述，点表示的数是或， 故答案为：或． 【题型4】由数轴上点的位置判断式子的符号 【例4】（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图．    （1）把这七个数用“”连起来； （2）判断正负，用“”或“”填空：_______________________0． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数轴可得且离原点距离从远到近依次是有理数b、a、c表示的点的位置，由此即可得到答案； （2）由数轴可得且且离原点距离从远到近依次是有理数b、a、c表示的点的位置，由此逐个判断即可得到答案． （1）解：由数轴可得：且且离原点距离从远到近依次是有理数b、a、c表示的点的位置，， ； （2）解：由数轴可得且且离原点距离从远到近依次是有理数b、a、c表示的点的位置，， ，，，， 故答案为：． 【点拨】本题考查了利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负，根据数轴得出且且离原点距离从远到近依次是有理数b、a、c表示的点的位置，是解此题的关键． 【变式1】（2024·陕西咸阳·一模）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． ．（2024·陕西咸阳·一模）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与实数，数形结合即可求解． 解：根据数轴可知，，， A. ，故该选项正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，不符合题意；     C. ，故该选项正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·广东汕头·期中）如下图所示，在数轴上的位置，用“”“”“”填空：    （） ； （） ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算，由数轴判断出符号和大小，根据有理数的运算法则即可求解，通过数轴判断出符号和大小是解题的关键． 解：由数轴可得，， ∴，， 故答案为：，． 【题型5】数轴上动点问题与两点之间距离综合 【例5】（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． （1）请你在数轴上标出、、三点的位置，并填空：A表示的数为_______，B表示的数为_______，C表示的数为______． （2）把点到点的距离记为，则_____，______； （3）若点从（1）中的位置沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒使？ 【答案】(1) (2)5，8 (3)5或11 【分析】本题考查数轴上点的表示，数轴上两点间距离，数轴上动点问题． （1）根据题意利用观察即可得到本题答案； （2）根据题意利用两点间距离即可得到； （3）分情况讨论当点A在点C的左侧时和当点A在点C的右侧时，分别列式即可得到本题答案． 解:（1）解：由题意得：A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为4， 点A，B，C在数轴上表示如图： A表示的数为，B表示的数为1，C表示的数为4， 故答案为：； （2）解：∵A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为4， ∴，， 故答案为：5，8； （3）解∶①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：， 解得：； ②当点A在点C的右侧时， 设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：， 解得：， 综上，经过5或11秒后点A到点C的距离为3cm． 【变式1】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从点A出发，向右爬了3个单位长度到达点B，则点B表示的数是（    ） A． B．7 C．或7 D．或1 【答案】C 【分析】平移规律：向右加，向左减；据此即可求解． 解：设点A表示的数是， 所以， 当时，； 当时，； 所以点B表示的数或7； 故选：C． 【点拨】本题考查了数轴上点的平移规律，掌握规律是解题的关键． 【变式2】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在数轴上，点表示的数为，点以每秒3个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动经过 秒，点与原点的距离为个单位长度． 【答案】3或7 【分析】根据题意可得出点在和的时候与原点的距离为个单位长度，然后利用路程除以速度即可得出时间． 解:点与原点的距离为个单位长度，点表示的数为 在和的时候与原点的距离都为个单位长度 ，， ，， 故答案为：或 【点拨】此题考查两点间的距离，数轴，解题关键在于得出点的位置． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川广元·中考真题）将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，正确理解有理数所表示的点左右移动后得到的点所表示的数是解题的关键．将在数轴上对应的点向右平移2个单位，在数轴上找到这个点，即得这个点所表示的数． 解:根据题意：数轴上所对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是1． 故选B． 【例2】（2023·湖北黄石·中考真题）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据数轴上右边的数总大于左边的数求解即可． 解：由图可知，， 故选：C． 【点拨】本题考查利用数轴比较有理数的大小，熟知数轴上右边的数总大于左边的数是解答的关键． 2、拓展延伸 【例1】如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为秒． （1）当时，求点到原点的距离； （2）当时，求点到原点的距离； （3）当点到点的距离为4时，求点到点的距离． 【答案】(1)当时，点到原点的距离为6 (2)点到原点的距离为2 (3)点到点的距离为6或10或22 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）先计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）先计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）①点向左运动4个单位长度，②点向左运动8个单位长度到原点，再向右运动4个单位长度，③点向左运动8个单位长度到原点，再向右运动12个单位长度． （1）解：当时，， ， 当时，点到原点的距离为6． （2）解：当时，点运动的距离为， ， ∴点到原点的距离为2； （3）解：点到原点的距离为4时，分三种情况讨论： ①点向左运动4个单位长度，此时运动时间：（秒）， 点表示的数是，点表示的数是4； 此时点到点之间的距离是6． ②点向左运动8个单位长度到原点，再向右运动4个单位长度， 则点运动的距离为：，运动时间：（秒） 点表示的数是，点表示的数是4； 此时点到点之间的距离是10． ③点向左运动8个单位长度到原点，再向右运动12个单位长度， 则点运动的距离为：，运动时间：（秒） 点表示的数是，点表示的数是12； 此时点到点之间的距离是22． 综上，点到点的距离为6或10或22． 【例2】（23-24七年级上·陕西西安·期中）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； （2）点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） （3）P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ （4）在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 (4)或或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段的中点对应的数的计算方法，（1）利用数轴上两点之间的距离公式，数轴上线段的中点计算公式可得答案； （2）数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的数等于起点对应的数减去移动距离，从而可得答案； （3）由t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，表示，再构建绝对值方程，再解方程即可； （4）分①当时，O是线段的中点，②当时，P为线段的中点，③当时，Q为线段的中点，④当时，O为线段的中点，再利用中点对应的数的计算方法构建方程，再解方程即可． 解:（1）解：由数轴可得，A、B两点的距离为，线段的中点M所表示数为， 故答案为：16，； （2）解：点P运动t秒后所在位置的点表示的数为， 点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为 ． 故答案为：，； （3）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵P、Q两点相距5个单位长度， ∴， 解得：或， ∴P、Q两点经过或时相距5个单位长度； （4）解：①当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得． ②当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间， 当P、Q两点重合时，，即， ∴此时， 由题意得， 解得； ③当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间，此时， 由题意得， 解得； ④当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得不合题意，舍去， 综上所述：或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$