1.3 正方形的性质与判定 课件 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

3 正方形的性质与判定 第1课时 配套北师大版 学习目标 准备好了吗？一起去探索吧！ 正方形的定义及性质 1.理解正方形的概念，了解它与菱形、矩形、平行四边形之间的关系. 2.探索并证明正方形的性质定理，进一步发展推理能力. 3.会用正方形的性质进行有关的证明与计算. 4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想. 重点 重难点 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 图中的四边形都是特殊的平行四边形. 观察这些特殊的平行四边形，回答问题： 观察 每个平行四边形一组邻边相等且有一个角是直角. 你能发现它们有什么共同特征？ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 邻边相等 矩形 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 归纳总结 一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 定义 正方形既是矩形，也是菱形. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 正方形既是矩形，也是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质，你能说一说它的这些性质吗？ 议一议 平行四边形的性质 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 菱形的性质 四条边相等 对角线互相垂直 四个角都是直角 对角线相等 矩形的性质 正方形的性质 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 归纳 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 定理 几何语言： ∵四边形ABCD是正方形， ∴ ∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°， AB = BC = CD = DA； AC=BD，AO = BO = CO = DO，AC⊥BD. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 正方形有几条对称轴？ 想一想 4条对称轴 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形. 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 典型例题 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下： (1)∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BC = DC，∠BCE = 90°(正方形的四条边都 相等，四个角都是直角). ∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°- 90°= 90°. ∴∠BCE =∠DCF. 又∵CE = CF， ∴△BCE≌△DCF. ∴BE = DF. 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 典型例题 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. (2)延长 BE 交 DF 于点 M. ∵△BCE ≌ △DCF， ∴∠CBE = ∠CDF. ∵∠DCF = 90°， ∴∠CDF +∠F = 90°. ∴∠CBE +∠F = 90°. ∴∠BMF = 90°. ∴BE ⊥ DF. 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 议一议 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地表示它们之间的关系吗 ？与同伴交流. 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 探究新知 应用新知 课堂小结 布置作业 巩固新知 创设情境 随堂练习 2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （　　） A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2 A 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 A 探究新知 应用新知 课堂小结 布置作业 巩固新知 创设情境 3．在正方形ABC中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= . 4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 . A D B C O A D B C O E 45° 90° 22.5° 第3题图 第4题图 45° 随堂练习 探究新知 应用新知 课堂小结 布置作业 巩固新知 创设情境 抢答 随堂练习 5. 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，图中有多少个等腰三角形？ 解：图中共有 8 个等腰三角形. △OAB、△OBC、 △OCD、△ODA、 △ABC、△BCD、 △CDA、△DAB. 探究新知 应用新知 课堂小结 布置作业 巩固新知 创设情境 抢答 随堂练习 6.如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，连 接 BF， DF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明. 解：图中的全等三角形共有 3 对. 分别是 △ADC 与 △ABC， △FCD与 △FCB，△FAD 与 △FAB． 选择△FAD≌△FAB 证明，过程如下： ∵四边形 ABCD是正方形， ∴AD = AB，∠DAF =∠BAF. 又∵AF = AF， ∴△FAD≌△FAB. 探究新知 应用新知 布置作业 巩固新知 课堂小结 创设情境 探究新知 应用新知 布置作业 巩固新知 课堂小结 创设情境 正方形的性质： 正方形的定义及性质 正方形的定义： 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 探究新知 应用新知 课堂小结 布置作业 巩固新知 创设情境 拓展训练 【拓展1】（易错题）四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小． 解：①当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°. ∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°； 探究新知 应用新知 课堂小结 布置作业 巩固新知 创设情境 ②当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC的大小为30°或150°. 易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部． 探究新知 应用新知 课堂小结 布置作业 巩固新知 创设情境 【拓展2】如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF. A B C D P E F 解: 又∵PE⊥BC ， PF⊥DC, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD, ∴四边形PECF是矩形, ∴PC=EF. ∴AP=PC. ∴AP=EF. 在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明. 归纳 再见 $$