精品解析：山东省济宁市邹城市北大新世纪高级中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

北大新世纪邹城实验学校2024年高二第二学期期末考试 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 若函数是幂函数且在是递减的，则（ ） A. -1 B. 2 C. -1或2 D. 3 4. 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直，则 A. B. -2 C. 0 D. -1 5. “”是“方程”表示椭圆的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为，则为（ ） A B. C. D. 7. 已知定义在R上的函数满足，，且对任意的，当时，都有，则满足不等式的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. “以直代曲”是重要的数学思想．具体做法是：在函数图像某个切点附近用切线代替曲线来近似计算．比如要求的近似值，我们可以先构造函数，由于0.05与0比较接近，所以求出处的切线方程为，再把代入切线方程，故有，类比上述方式．则（ ） A. 1.001 B. 1.005 C. 1.015 D. 1.025 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 设具有相关关系两个变量的样本相关系数为，则越接近于，之间的线性相关程度越强 B. 随机变量，若，则 C. 随机变量服从两点分布，若，则 D. 某人在次射击中击中目标的次数为，若，则当时概率最大 10. 若正实数，满足，则下列选项正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最小值7 C. 有最小值 D. 有最小值 11. 已知为函数的导函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递增 C. 函数仅有一个极值点，且为极大值点 D. 对，都有成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量ξ服从正态分布，若，则_________. 13. 展开式中含项的系数为______. 14. 定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则__. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某商场销售小天鹅、小熊猫两种型号的家电，现从两种型号中各随机抽取了100件进行检测，并将家电等级结果和频数制成了如下的统计图： （1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为家电是否为甲等品与型号有关； 甲等品 非甲等品 总计 小天鹅型号 小熊猫型号 总计 （2）以样本估计总体，若销售一件甲等品可盈利90元，销售一件乙等品可盈利60元，销售一件丙等品亏损10元.分别估计销售小天鹅，小熊猫型号家电各一件的平均利润. 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 某医院为筛查某病毒，需要检验血液是不是阳性，现有份血液样本，为了优化检验方法，现在做了以下两种检验方式：实验一：逐份检验，则需要检验次.实验二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这份血液样本全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液样本究竟哪几份为阳性，就要对这份血液样本再逐份检验，此时这份血液样本的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，需要检验的这份样本的总次数为，采用混合检验方式，需要检验的这份样本的总次数为. （1）若每份样本检验结果是阳性的概率为，以该样本的阳性概率估计全市的血液阳性概率，从全市人民中随机抽取3名市民，（血液不混合）记抽取到的这3名市民血液成阳性的市民个数为，求的分布列及数学期望 （2）若每份样本检验结果是阳性的概率为，为使混合检验需要的检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求的最大值.（，，） 17. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若，设， （ⅰ）证明：函数在区间内有唯一的一个零点； （ⅱ）记（ⅰ）中的零点为，求证：． 18. 已知二次函数的值域为，求的最小值. 19. 已知为函数的导函数，且 的两个零点为-3和0. (1)求的单调区间. (2)若的极小值为，当时，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北大新世纪邹城实验学校2024年高二第二学期期末考试 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因，则， 由可得，解得，则， 因此，. 故选：C. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】特称命题的否定是全称命题 【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以，命题“，”的否定为：，． 故选：． 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题． 3. 若函数是幂函数且在是递减的，则（ ） A. -1 B. 2 C. -1或2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质列方程和不等式，求解即可． 【详解】解：函数是幂函数且在是递减的， 则，解得． 故选：A． 【点睛】本题考查幂函数的定义和性质，是基础题． 4. 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直，则 A. B. -2 C. 0 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】 由导数几何意义可得，由两直线垂直可得，再求解即可. 【详解】解：由函数， 则， 则， 由曲线在点处的切线与直线垂直， 则，即， 故选：B. 【点睛】本题考查了曲线在某点处的切线的斜率，重点考查了直线垂直的运算，属基础题. 5. “”是“方程”表示椭圆的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出方程表示椭圆，的取值范围，从而得到答案. 【详解】∵方程表示椭圆，∴ 解得：且，∴“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 故选：B 6. 设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为；②若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是，两种事件又是互斥的,可得，根据求数列的通项知识可得选项. 【详解】由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为. ①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为； ②若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是， 两种事件又是互斥的,∴，即，∴， ∴数列是以为公比的等比数列，而，所以， ∴当时，， 故选：D. 【点睛】本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题. 7. 已知定义在R上的函数满足，，且对任意的，当时，都有，则满足不等式的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件可知函数的奇偶性和单调性，进而利用其单调性解不等式. 【详解】解：由，推出， 因为，则在上为增函数， 又，所以为奇函数， 所以为奇函数，所以在R上为增函数. 因为，所以，，所以，即. 故选：B. 8. “以直代曲”是重要的数学思想．具体做法是：在函数图像某个切点附近用切线代替曲线来近似计算．比如要求的近似值，我们可以先构造函数，由于0.05与0比较接近，所以求出处的切线方程为，再把代入切线方程，故有，类比上述方式．则（ ） A. 1.001 B. 1.005 C. 1.015 D. 1.025 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可设，根据导数的几何意义求得在处的切线方程，根据在函数图像某个切点附近用切线代替曲线来近似计算，即可求得答案. 【详解】设，则， 则，故在处的切线方程为，设为， 故由题意得， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 设具有相关关系的两个变量的样本相关系数为，则越接近于，之间的线性相关程度越强 B. 随机变量，若，则 C. 随机变量服从两点分布，若，则 D. 某人在次射击中击中目标的次数为，若，则当时概率最大 【答案】BD 【解析】 【分析】根据相关系数的特点可知A错误；由正态分布可得，根据方差的性质可知B正确；由两点分布方差计算公式可知C错误；利用可求得，由此可知当时概率最大，D正确. 【详解】对于A，越接近于，之间的线性相关程度越弱，A错误； 对于B，随机变量，则，， 若，则，解得：，B正确； 对于C，随机变量服从两点分布，其中，， 则，，C错误； 对于D，，当时，对应的概率， 当时，， 令，解得：，又， 且，即当时，概率最大，D正确． 故选：BD． 10. 若正实数，满足，则下列选项正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最小值7 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】， 令，则，解得，即， 当且仅当时等号成立，故A正确； 由得，因为，，所以， ， 当且仅当，即，时等号成立，故B正确； ， 令，则，解得，即， 当且仅当时等号成立，故C错，D正确. 故选：ABD. 11. 已知为函数的导函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递增 C. 函数仅有一个极值点，且为极大值点 D. 对，都有成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据求导法则求出，即可判断A，令，利用导数说明的单调性，即可判断B、C，利用导数说明的单调性，结合函数图象判断D. 【详解】对于A：由， 所以，故A正确； 对于B：令，可得， 当时，则，所以在上是增函数， 则，所以， 函数在上单调递减，所以B错误； 对于C：B中的，， 当时，，在上是减函数， 则，则，所以在上单调递减，无极值点． 当时，令，， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 而，，即，无极值点， 时，单调递减，，， 所以在上必有唯一零点，则在上有唯一极值点，且为极大值点，故C正确； 对于D：由， 设， 可得， 所以，单调递减，即单调递减， 所以为单调递减函数，且单调递减函数（也称为凸函数）， 即的切线斜率随的增大而减小，图象下降速度逐渐加快，且， 所以函数的图象大致如上图所示，所以， 当且仅当时，等号成立，所以D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题B选项的关键是设，利用导数得到的单调性，D选项的关键是利用二次求导得到函数的凹凸性. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量ξ服从正态分布，若，则_________. 【答案】0.4## 【解析】 【分析】由题可得，然后利用正态分布的对称性，即得. 【详解】由随机变量服从正态分布，且， 所以，且， 又， 所以. 故答案为：0.4. 13. 展开式中含项的系数为______. 【答案】30 【解析】 【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案. 【详解】由于， 所以的展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为30. 故答案为：30. 14. 定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则__. 【答案】 【解析】 【分析】 推导出函数是周期为的周期函数，结合可求得的值. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以， 所以， 所以，所以函数的周期是， 由于函数是上的奇函数，且，， 所以 故答案为：. 【点睛】本题考查利用函数的周期性求值，利用函数的对称性推导出函数的周期是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某商场销售小天鹅、小熊猫两种型号的家电，现从两种型号中各随机抽取了100件进行检测，并将家电等级结果和频数制成了如下的统计图： （1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为家电是否为甲等品与型号有关； 甲等品 非甲等品 总计 小天鹅型号 小熊猫型号 总计 （2）以样本估计总体，若销售一件甲等品可盈利90元，销售一件乙等品可盈利60元，销售一件丙等品亏损10元.分别估计销售小天鹅，小熊猫型号家电各一件的平均利润. 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为家电是否为甲等品与型号有关 （2）销售一件小天鹅型号家电和一件小熊猫型号家电的平均利润分别为50.5元和54.5元 【解析】 【分析】（1）首先根据统计图，填写列联表，再根据公式计算，最后比照临界值，判断结果； （2）根据统计图，分别计算销售一件小天鹅和小熊猫型号家电的平均利润 【小问1详解】 根据已知数据可得列联表如下： 甲等品 非甲等品 总计 小天鹅型号 15 85 100 小熊猫型号 40 60 100 总计 55 145 200 ， 参照临界值表可知，有99.9%的把握认为家电是否为甲等品与型号有关. 【小问2详解】 销售一件小天鹅型号家电的平均利润为（元）； 销售一件小熊猫型号家电的平均利润为（元）. 16. 某医院为筛查某病毒，需要检验血液是不是阳性，现有份血液样本，为了优化检验方法，现在做了以下两种检验方式：实验一：逐份检验，则需要检验次.实验二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这份血液样本全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液样本究竟哪几份为阳性，就要对这份血液样本再逐份检验，此时这份血液样本的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，需要检验的这份样本的总次数为，采用混合检验方式，需要检验的这份样本的总次数为. （1）若每份样本检验结果是阳性的概率为，以该样本的阳性概率估计全市的血液阳性概率，从全市人民中随机抽取3名市民，（血液不混合）记抽取到的这3名市民血液成阳性的市民个数为，求的分布列及数学期望 （2）若每份样本检验结果是阳性的概率为，为使混合检验需要的检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求的最大值.（，，） 【答案】（1）分布列见详解；；（2） 【解析】 【分析】（1）利用二项分布的概率计算公式可列出分布列，根据二项分布的数学期望求法即可求解. （2）由题意可知，得到，结合推出，利用对数的运算法则，通过构造法，结合函数的导数，判断函数的单调性转化为求解的最大值. 【详解】（1）由题意可知血液程阳性的概率为， 可得， ， ， ， ， 的分布列如下： . （2）由题意知， 得，即， ， ，， 设， 则，令，则， 时，，即在上单调递减， 又，， ，又，， ，的最大值为 17. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若，设， （ⅰ）证明：函数在区间内有唯一的一个零点； （ⅱ）记（ⅰ）中的零点为，求证：． 【答案】（1）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）(i)见详解；（ii）见详解. 【解析】 【分析】（1）求导后，求出的两根，再讨论两根的大小可得的单调性； （2）（ⅰ）根据的单调性及零点存在定理可证结论成立； （ⅱ）转化所证的不等式，再利用（i）的结论即可. 【小问1详解】 ， 令，得或， 当时，由，得或，由，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得，由，得，所以在上单调递增； 当时，由，得或，由，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，，与的单调性相同， 由（1）知，上单调递减，在上单调递增， ，， 令，则 令则， 所以，即，所以， 所以， 所以函数在区间内有唯一的一个零点； （ⅱ）由（ⅰ），，， 即， 因为当时，，所以 又，所以. 【点睛】关键点睛：分析结论表达式与所及函数的关系，可得解题思路. 18. 已知二次函数的值域为，求的最小值. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意分析可得，进而可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为二次函数的值域为， 则，可得，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 19. 已知为函数的导函数，且 的两个零点为-3和0. (1)求的单调区间. (2)若的极小值为，当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 单调递增区间(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)；(2) 【解析】 【分析】（1）由题意，求得函数的导数 )，令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，根据－3和0是y＝g(x)的零点，进而可求解函数的单调区间； (2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，列出方程组，求得的值，进而求得函数的单调区间和最值，进而可求解实数k的值. 【详解】解:(1)f′(x)＝， 令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，由于ex>0. 令f′(x)＝0，则g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c＝0， ∴－3和0是y＝g(x)的零点，且f′(x)与g(x)的符号相同.又因为a>0，所以－3<x<0时，g(x)>0，即f′(x)>0，当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0， 故f(x)单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞). (2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点， 所以有，解得a＝1，b＝5，c＝5， 所以f(x)＝. 因为f(x)的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞). 所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值， 故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者， 又f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)，所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5. ，即所求范围为 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和求解函数的最值，以及利用导数解决函数不等式恒成立问题，其中对于恒成立问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$