精品解析：甘肃省白银市会宁县第四中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

会宁四中2023—2024学年度第二学期高一级期中考试 数学试卷 命题：王健 审核：刘娟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，且 ，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据夹角公式计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 又，所以， 即向量与的夹角为. 故选：B 2. 若复数为纯虚数，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法求出复数的代数形式，再根据纯虚数的概念列式求解. 【详解】, 因为复数为纯虚数， ，解得 故选：A. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式和倍角公式化简. 【详解】. 故选：D 4. 平行四边形（是原点，按逆时针排列），，则点坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据四边形是平行四边形，由求解. 【详解】四边形是平行四边形， 又O为原点， ， 故选：A. 5. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. 8 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，结合正弦定理即可得解. 【详解】在中，， 因为，所以， 则由正弦定理得. 故选：B． 6. 在中，，且的面积为，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求解. 【详解】因为， 所以，解得， 即， 故选：A. 7. 如图，，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的正切值，即可得出的正切值，进而求出的度数. 【详解】由题意及图得，，， ∴． ∵，， ∴． 故选：B. 8. 已知向量.若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算法则求解. 【详解】由题意：，，， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为2人．则（ ） A. 的值为0.015，的值为40 B. 平均分为72，众数为75 C. 中位数为75 D. 已知该校共1000名学生参加模拟训练，则不低于90分的人数一定为50人 【答案】AB 【解析】 【分析】由各组的频率之和为1可得的值；由区间的人数以及频率可得；众数看图可得，中位数通过计算可得. 【详解】①由图可知，，，， ，，， 由频率之和为1可得，故； ②因为，所以； ③由图可知，众数为75； ④平均数为； ⑤，所以中位数位于区间， 设中位数为，则，解得； 综上所述，AB正确，而C错误； 样本可以估计总体，但是不能通过样本直接确定总体，样本与总体之间总是存在一定的偏差，故选项D错误. 故选：AB 10. 已知直角三角形中，，，则实数k的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分类讨论，角A，角B，角C分别为直角时，由数量积为0列出方程，求出实数k的值. 【详解】当角A为直角时，，解得：，故A选项正确； 当角B为直角时，， 则有，解得：，故C选项正确； 当角C为直角时，， 解得：，故D选项正确. 故选：ACD 11. 设函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 在上单调递减 C. 的最大值为2 D. 的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简为，再根据余弦函数的性质即可一一判断各选项. 【详解】， 对于A，，所以是偶函数，故A正确； 对于B，令，，得，， 当时，，∴在上单调递减，故B正确； 对于C，当，即时，有最大值，故C错误； 对于D，，是最小值，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式求值即可. 【详解】由. 故答案为： 13. 已知平面向量满足，与的夹角为，则的值______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据平面向量数量积的定义计算；再根据求向量模长的方法，结合向量数量积的运算法则即可求解. 【详解】因为，与的夹角为， 所以，，. 则. 故答案为： 14. _________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据诱导公式及两角和的正弦公式即得. 【详解】 . 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，求以及的值． 【答案】，7 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系得到，，然后根据和差公式求和即可. 【详解】因为，所以，， ， . 16. 已知为第二象限角，且满足．求值： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）为第二象限角，由和，解出与，代入求值即可； （2）利用两角和的余弦公式展开求值即可． 【小问1详解】 若为第二象限角，则． 又因为，故． ． （也可以由得，．） 【小问2详解】 . 17. 已知复数，且为纯虚数. （1）求复数； （2）若，求复数以及模. 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（1）由复数的乘法法则化简后，根据复数的分类求解； （2）由复数除法法则计算出，再由复数模的定义计算． 【小问1详解】 由题意，它为纯虚数， 则，∴， ∴； 【小问2详解】 ， ． 18. 已知. （1）求函数的最小正周期； （2）已知均为锐角，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦二倍角公式和降幂公式直接化简函数，再结合三角函数的周期公式直接求解； （2）根据已知条件求出，再根据正弦的差角公式求值. 【小问1详解】 ， 所以， 即函数的最小正周期为 【小问2详解】 因为，所以， 又因为，所以. 因为，所以， 所以 19. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，再从条件①、条件②这两个条件中选一个条件作为已知，求： （1）的值； （2）的面积和边上的高． 条件①：，； 条件②：，． 【答案】（1） （2）的面积为，边上的高为 【解析】 【分析】选条件①：第一问由余弦定理求出，得出，再求即可；第二问直接使用公式求出三角形面积，借助面积求高即可； 选条件②：第一问求出和，由和两角和的正弦公式求解；第二问由得出，使用公式求出面积即可，作出边上的高，由直角三角形的三角函数求高即可. 【小问1详解】 选条件① 由余弦定理，，∴， 又∵，∴，， 又∵中， ∴. 选条件② ∵中，，， ∴，， ∴ . 【小问2详解】 选条件① 的面积为， 设边上的高为，则， ∴边上的高为. 选条件② 由第（1）问有，∵，为三角形内角，∴，∴， ∴的面积为， 过作，垂足为，则为边上的高， 在直角中，， ∴边上的高为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 会宁四中2023—2024学年度第二学期高一级期中考试 数学试卷 命题：王健 审核：刘娟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，且 ，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 2. 若复数为纯虚数，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. （ ） A. B. C. D. 4. 平行四边形（是原点，按逆时针排列），，则点坐标（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. 8 B. 5 C. 4 D. 3 6. 在中，，且的面积为，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 7. 如图，，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量.若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为2人．则（ ） A. 的值为0.015，的值为40 B. 平均分为72，众数为75 C. 中位数为75 D. 已知该校共1000名学生参加模拟训练，则不低于90分的人数一定为50人 10. 已知直角三角形中，，，则实数k的值可以为（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 在上单调递减 C. 的最大值为2 D. 的图象关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为__________. 13. 已知平面向量满足，与的夹角为，则的值______. 14. _________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，求以及的值． 16. 已知为第二象限角，且满足．求值： （1）； （2）． 17. 已知复数，且为纯虚数. （1）求复数； （2）若，求复数以及模. 18. 已知. （1）求函数的最小正周期； （2）已知均为锐角，，求的值. 19. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，再从条件①、条件②这两个条件中选一个条件作为已知，求： （1）的值； （2）的面积和边上的高． 条件①：，； 条件②：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $