精品解析：福建省泉州市泉州科技中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

泉州科技中学2023-2024学年下学期期末考试 高二数学 一、单选题 1. 已知集合，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若向量，则向量与向量夹角为锐角的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若正数，满足，则的最小值为（ ） A 2 B. C. 3 D. 7. 已知直三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，，球的体积为，则该三棱柱的体积为（ ） A. B. 1 C. D. 3 8. 在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 二、多选题 9. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确是（ ） A. B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 C. 若，则的最大值为 D. 若是关于的方程的一个根，则 10. （多选）某学校为了解同学们某天上学的交通方式，在高一年级开展了随机调查，将学生某天上学的交通方式归为四类：A一家人接送，B一乘坐地铁，C一乘坐公交，D一其他方式，学校把收集到的数据整理绘制成条形图和扇形图，如图只给出了其中部分信息，根据图中信息，下列说法正确的是（ ） A. 若该校高一年级有学生1300人，则高一年级约有780人乘坐公共交通工具上学 B. 估计该校高一年级有学生某天家人接送上学 C. 扇形图中B的占比为40% D. 估计该校学生上学交通方式为乘坐地铁或者其他方式的人数占全校学生的一半 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且∥平面，则下列说法正确的有（ ） A. 记的中点为，上存在一点，使得面∥面 B. 动点轨迹的长度为 C. 三棱锥体积的最小值为 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 三、填空题 12. 如图，在中，已知，，为线段上一动点，则的最小值为______． 13 已知，，，则______． 14. 已知函数的定义域为，，，且对于，恒有，则________________. 四、解答题 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 16. 对于函数. （1）若，求在上的值域； （2）若与图象恰有一个交点，求实数a的取值范围. 17. 某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生成绩全部介于40和100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率直方图． （1）求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩； （2）若成绩在 的为A等级，的为B等级，其他为C等级， ①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数． ②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率．（注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取） 18. 如图1，已知矩形ABCD中，为CD上一点且.现沿着折起，使点到达点的位置，且，得到的图形如图2. （1）证明为直角三角形； （2）设动点在线段上，判断直线与平面的位置关系，并说明理由. （3）若为中点且平面APE，求三棱锥的体积. 19. 已知函数. （1）若为单调函数，求的取值范围； （2）设函数，记的最大值为. （i）当时，求的最小值； （ii）证明：对. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泉州科技中学2023-2024学年下学期期末考试 高二数学 一、单选题 1. 已知集合，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集、并集的定义求出，，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以，，，故A、B、C正确，D错误； 故选：D 2. 已知，若向量，则向量与向量夹角为锐角的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型列出向量的所有可能，由与的夹角为锐角找出所有符合题意的向量，即可求得其概率. 【详解】向量与向量夹角为锐角等价于且与不同向， 即，且； 易知共有16个，分别是， ， 满足条件的为共4个， 故所求的概率为， 故选：B． 3. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的模长关系可得，再由投影向量的定义即可求出结果. 【详解】根据题意可得， 所以，则 所以， 则在方向上的投影向量为. 故选：B 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构建，根据题意结合单调性分析可得.对于AB：结合指数函数单调性分析判断；对于CD：举反例说明即可. 【详解】若，可得，且， 构建， 因为在内单调递增，可知在内单调递增， 由，即，可得. 对于选项AB：因为，则， 且在内单调递增，所以，故A正确，B错误； 对于选项CD：利用，满足， 但，故CD错误； 故选：A. 5. 已知函数在R上单调递增，则a取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 6. 若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 7. 已知直三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，，球的体积为，则该三棱柱的体积为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】首先求三棱柱底面三角形外接圆的半径，再求三棱柱外接球的半径，根据球的体积公式求三棱柱的高，最后代入三棱柱的体积公式，即可求解. 【详解】，则，则， 所以外接圆的半径， 设，所以直三棱柱外接球的半径， 球的体积，所以，即， 所以三棱柱的体积. 故选：A 8. 在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解. 【详解】由余弦定理得，即，即，又， ，即，当且仅当时等号成立. ， . . 故选：B 二、多选题 9. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 C. 若，则的最大值为 D. 若是关于的方程的一个根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数判断C；利用复数相等求出判断D. 【详解】对于A，设，则，，A错误； 对于B，，则复平面内对应的点位于第二象限，B正确； 对于C，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，可看作该单位圆上的点到点的距离，则距离最大值为，C正确； 对于D，依题意，，整理得， 而，因此，解得，D正确． 故选：BCD 10. （多选）某学校为了解同学们某天上学的交通方式，在高一年级开展了随机调查，将学生某天上学的交通方式归为四类：A一家人接送，B一乘坐地铁，C一乘坐公交，D一其他方式，学校把收集到的数据整理绘制成条形图和扇形图，如图只给出了其中部分信息，根据图中信息，下列说法正确的是（ ） A. 若该校高一年级有学生1300人，则高一年级约有780人乘坐公共交通工具上学 B. 估计该校高一年级有的学生某天家人接送上学 C. 扇形图中B的占比为40% D. 估计该校学生上学交通方式为乘坐地铁或者其他方式的人数占全校学生的一半 【答案】AD 【解析】 【分析】根据柱形图和扇形图，可求得总人数，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】因为C一乘坐公交的调查人数为，所占比例为， 所以调查的总人数为， 对于A选项：，所以A选项正确， 对于B选项：，所以B选项错误， 对于C选项：，所以C选项错误， 对于D选项：，所以D选项正确． 故选：AD． 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且∥平面，则下列说法正确的有（ ） A. 记的中点为，上存在一点，使得面∥面 B. 动点轨迹的长度为 C. 三棱锥体积的最小值为 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，取中点，中点，通过证明平面平面，从而判断A；对于B，结合A选项分析可得点轨迹为线段，从而判断B；由此可得与点重合时，三棱锥体积的最小，求体积判断C；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可判断. 【详解】对于A，取中点，的中点，连接，则， 正方体中易知，从而， 又平面，而平面，所以平面， 又正方体中与平行且相等，从而与平行且相等， 则是平行四边形，所以，同理可证平面， 又，平面，所以平面平面， 所以当点与点重合，即点为的中点时，有平面平面，故A正确； 对于B，平面平面，所以当时，平面， 即线段为点的轨迹，，故B不正确； 对于C，点到平面即平面的距离为， 而于三角形的面积而言，底边是固定的，而线段为点的轨迹， 当且仅当点与点重合时，此时点到的距离最短，且为， 综上所述，三棱锥体积的最小值为，故C正确； 对D，如图， 当在处时，三棱锥的体积最大时，由已知得此时, 所以在底面的射影为底面外心，, 所以底面为直角三角形，所以在底面的射影为中点，设为， 如图，设外接球球心为O，半径为，由， ， 可得外接球半径，外接球的表面积为，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 如图，在中，已知，，为线段上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，得， ，利用向量的数量积公式结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设，则，由图可得， 所以， 则，所以当时，的最小值为， 故答案为： 13. 已知，，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】对角进行配凑，利用和差角的正弦公式，结合同角公式计算即得. 【详解】由，得， 即， 整理得，由，得， 则，，于是，又， 所以. 故答案为：2 14. 已知函数的定义域为，，，且对于，恒有，则________________. 【答案】## 【解析】 【分析】赋值求得，由可得，从而可求，进而求得当时，，从而利用求解即可. 【详解】由可得，所以， ， ， ，. 因为对于，恒有， 所以当时，，而， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键点是根据题意求得，，进而求得当时，. 四、解答题 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再用余弦定理边化角，即可求出角； （2）由中线向量公式来计算中线长，再利用边化角得到中线与角的三角函数，再利用三角恒等变换，再结合锐角三角形得到角的范围，即可求出中线长的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 所以， 由余弦定理得， 又，所以； 【小问2详解】 因为，所以． 因为D是线段AC的中点，所以， 所以， 由正弦定理得，所以，， 所以 , 又为锐角三角形，所以，解得，所以， 即，则，所以， 即，则BD的长的取值范围是． 16. 对于函数. （1）若，求在上的值域； （2）若与图象恰有一个交点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2）或或 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的单调性求解值域即可； （2）把函数图象恰有一个交点问题转化为方程只有一个交点，分类讨论，根据二次方程根的分布列式求解即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，，则， 故当时，函数在上的值域为； 【小问2详解】 方程， 所以， 由①可得，，即， 当时，方程有唯一解，满足②，所以符合条件； 当时，方程有两相等解，满足②，所以符合条件； 当且时，方程有两不等解，， 若满足②，则， 若满足②，则，所以当时方程恰有一个实根； 综上，实数a的取值范围为或或. 17. 某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率直方图． （1）求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩； （2）若成绩在 的为A等级，的为B等级，其他为C等级， ①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数． ②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率．（注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取） 【答案】（1）0.012，68.4 （2）①10人，②0.784 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1，可求的值，再利用各区间的中间值估计区间的平均数，估计样本的平均数. （2）根据分层抽样的计算方法求B等级中抽取的人数；根据独立事件和对立事件的概率公式进行计算. 【小问1详解】 由频率直方图知(0.004＋0.022＋0.030＋0.028＋m＋0.004)×10＝1， ∴0.012 易知，，，，，相应的频率分别为 0.04，0.22，0.30，0.28，0.12，0.04 ， ∴100名同学的平均成绩估计值为： 004×45＋0.22×55＋0.30×65＋0.28×75＋0.12×85＋0.04×95＝68.4. 【小问2详解】 ①由(1)知A等级的频率为0.04，A等级的人数为100×0.04＝4人， B等级的频率为(0.28＋0.12)＝0.4，B等级的人数为100×0.4＝40人， C等级的频率为(0.04＋0.22＋0.30)＝0.56，C等级的人数为100×0.56＝56人， ∴抽取25人中B等级中的人数为25×＝10人. ②用频率代替概率，所以抽取一次，B等级被抽中的概率为0.4 ， 抽取三次都没有抽中B等级的概率＝(1－0.4)3＝0.216， 所以随机抽取3人至少有一人为B等级的概率＝1－0.216＝0.784. 18. 如图1，已知矩形ABCD中，为CD上一点且.现沿着折起，使点到达点的位置，且，得到的图形如图2. （1）证明为直角三角形； （2）设动点在线段上，判断直线与平面的位置关系，并说明理由. （3）若为中点且平面APE，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用勾股定理运算说明； （2）根据线面平行的判定定理结合空间中线面关系分析说明； （3）先由平面PAE求得三棱锥的体积，再根据题意结合转换顶点法求三棱锥的体积. 【小问1详解】 在折叠前的图中，连接BE，如图： 由题意可得：，则 折叠后，所以， 又，所以，即， 所以为直角三角形. 【小问2详解】 当动点在线段上，设， 同样在线段上取，使得，则， 当时，则， 又且，所以，且， 则四边形CEMN为平行四边形，所以， 平面平面 所以平面； 当时，此时，但，所以四边形CEMN为梯形， 所以与必然相交，则与平面必然相交. 综上所述：当动点满足时，平面； 当动点满足时，与平面相交. 【小问3详解】 因为平面PAE，则三棱锥的高为 所以三棱锥的体积， 又因为Q为PB中点， 所以三棱锥的体积. 19. 已知函数. （1）若为单调函数，求的取值范围； （2）设函数，记的最大值为. （i）当时，求的最小值； （ii）证明：对. 【答案】（1）或 （2）（i）2;（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用对称轴与区间的关系，即可求得的取值范围； （2）对于（i）表示出再根据的大小讨论即可；对于（ii）先讨论对称轴与区间的关系并表示出，再对表达式中的绝对值大小进行讨论. 【小问1详解】 由，可得的对称轴， 要使单调函数，则或， 解得或. 【小问2详解】 （i）当时，， 则 当时，， 当且仅当时，等号成立； 当时，； 所以的最小值为2. （ii）下面根据对称轴对进行讨论： 当时，， ①若，显然， ②若，则. 当时，，则， ①若，显然， ②若，则. 当时，， 则 ①若，显然 ②若，记，则， 当时，，则，所以； 当时，，则，所以； 当时，易知恒成立， 下面再讨论与的大小关系： 当时，， 当时，， ， 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于对二次函数的对称轴与区间的关系进行讨论，同时对中的绝对值问题进行讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$