9.4.3菱形及其性质 同步练习 - 2023—2024学年苏科版数学八年级下册

9.4.3菱形及其性质 一、单选题 1．下列命题中正确的是（） A．一对邻角互补的四边形是平行四边形 B．矩形的对角线互相垂直平分 C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 D．菱形的对角线相等 2．小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（       ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．长方形 3．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个内角为100°的菱形，剪切线与折痕所成的角的大小等于（       ） A．80° B．60° C．40° D．20° 4．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．两组对边分别相等 5．如图，若四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，则菱形ABCD的边长是（       ） A．13 B．12 C．26 D．52 6．如图，菱形的对角线、相交于点，，，为过点的一条直线，则图中阴影部分的面积为（       ） A．4 B．6 C．8 D．12 7．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（        ） A．22 B．24 C．48 D．44 8．在菱形中，，，则（ ） A． B． C． D． 9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，E为BC的中点，则下列式子中，一定成立的是（   ） A．AC=2OE B．BC=2OE C．AD=OE D．OB=OE 10．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（       ） A． B． C．5 D．4 二、填空题 11．如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在边CD上的点F处，若∠A=63°，则∠BFC的度数为_________． 12．已知一个菱形的边长为 ，其中一条对角线长为 ，则这个菱形的面积为_______． 13．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝_____度． 14．如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10，AC、BD相交于点O，若CE//BD，BE//AC，连接OE，则OE的长是_____． 15．如图，在菱形中，，为边的中点，为对角线上任意一点，，则的最小值为__________． 三、解答题 16．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，过对角线AC的中点O的直线分别交AB、CD边于点E、F． (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)当四边形AECF是菱形时，求EF的长． 17．如图，△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，BF平分∠ABC，再从①DE∥ CF，②∠DEC=∠DFC，③∠FDE=∠C中选择两个条件： （1）求证：BD=DF； （2）在证得(1)的情况下，当四边形DECF是菱形时，判断△ABC的形状，并说明理由． 18．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE． （1）求证：CE＝DE； （2）当BE＝4，CE＝2时，求菱形的边长． 19．如图，在▱ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD． （1）求证：△AEB≌△CFD； （2）若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数． 20．如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上． (1)求证：BG＝DE； (2)若E为AD中点，菱形ABCD的周长是20，求FH的长． 21．【定义】我们把有一组对角是直角的四边形叫做“美妙矩形”：连接它的两个非直角顶点的线段，叫做“美妙对角线”． 如图（1），在四边形中，若，则四边形是“美妙矩形”，为“美妙对角线”． 【理解】 （1）在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是“美妙矩形”的是__________． （2）如图（2），在边长为1的正方形网格中，、、在格点（小正方形的顶点）上请在网格格点中找到一点，使得四边形为“美妙矩形”； 【应用】 （3）若四边形为“美妙矩形”，，，，则__________； （4）已知“美妙矩形”中，AC为“美妙对角线”，点为的中点，． ①如图（3），当四边形为菱形时，求“美妙矩形”的面积； ②在①的条件下，将沿着射线方向平移到当四边形为矩形时，__________． 答案 一、单选题 1．C 【解析】 A错误，梯形的邻角也互补． B错误，菱形的对角线互相垂直平分． C正确，一组对边平行则同旁内角互补，因四边形内角和为 一组对角相等则另一组同旁内角也互补，故另一组对边也平行，所以本选项说法正确． D错误，菱形的对角线互相垂直平分并不相等 ． 故本题选C 2.B 【解析】 解：由作法可知， 根据四条边都相等的四边形是菱形， 可知四边形一定是菱形． 故选：B． 3．C 【解析】 解：如下图， ∵四边形ABCD是菱形； ∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC； ∵∠BAD=， ∴∠ABC=－∠BAD=， ∴∠ABD=，∠BAC=， ∴剪切线与折痕所成的角的大小应为． 故选：C． 4．C 【解析】 解：选项A，菱形和矩形都是特殊的平行四边形，两组对边分别平行，不符合题意； 选项B，矩形的对角线相等，而菱形的对角线不相等，不符合题意； 选项C，菱形的对角线互相平分且互相垂直，而矩形的对角线相等且互相平分但不垂直，符合题意； 选项D，菱形和矩形都是平行四边形，对边都相等，不符合题意． 故选：C． 5．A 【解析】 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD， ∵AC=24，BD=10， ∴OA=12，OB=5， 在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB= =13， 故选：A． 6．B 【解析】 解：四边形为菱形， ，，， ， , ∴, ∴, ∴ 故选：． 7．B 【解析】 解： 菱形ABCD， 在Rt△BCO中， 即可得BD=8， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC=DE=6，    BE=BC+CE=10， ∴△BDE是直角三角形，    ∴S△BDE=DE•BD=24． 故选：B． 8．B 【解析】 解：在菱形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9．B 【解析】 解： 菱形ABCD， 为的中点， 为的中位线， 故选B． 10．A 【解析】 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD， ∵AC＝8，DB＝6， ∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°， 由勾股定理得：AB＝＝5， ∵S菱形ABCD＝， ∴， ∴DH＝， 故选：A． 二、填空题 11．63° 【解析】 解：由折叠的性质可知，AB=BF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠C=∠A=63°，AB=BC， ∴BF=BC， ∴∠BFC=∠C=63°， 故答案为：63°． 12．24 【解析】 解：如图， ∵菱形ABCD中，BD＝8，AB＝5， ∴AC⊥BD，OB＝BD＝4， ∴OA＝＝3， ∴AC＝2OA＝6， ∴这个菱形的面积为：AC•BD＝×6×8＝24． 故答案为：24． 13．24 【解析】 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OD＝OB，∠COD＝90°，∠DAB＝∠DCB＝48°， ∵DH⊥AB， ∴OH＝BD＝OB， ∴∠OHB＝∠OBH， 又∵AB∥CD， ∴∠OBH＝∠ODC， 在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°， 在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°， ∴∠DHO＝∠DCO＝∠DCB＝24°， 故答案为：24． 14．13 【解析】 解：∵CE//BD，BE//AC， ∴四边形OBEC是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OC＝OA＝AC＝12，OB＝OD＝BD＝5，AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴BC＝＝＝13， ∵四边形OBEC是平行四边形， ∴平行四边形OBEC是矩形， ∴OE＝BC＝13， 故答案为：13． 15． 【解析】 解：连接AC， ∵菱形， ∴=4，AC⊥BD且平分BD， ∴点和关于对称．则连接交于点，此时的值最小为CE的长， ∵，， ∴是等边三角形， ∵为边的中点， ∴， ∵为边的中点， ∴BE=2， 在Rt△BCE中， 故答案为． 三、解答题 16．(1) 证明：∵四边形ABCD是矩形，O是AC的中点， ∴AB∥DC，OA＝OC， ∴∠OAE＝∠OCF， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形． (2) 解：当四边形AECF是菱形时，AC⊥EF， 设AE＝x，则CE＝x，BE＝8﹣x． 在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2， ∴x2＝62+（8﹣x）2， 解得x＝，即AE＝． AEBC=ACEF ． 17．证明：（1）依题意，选择②，③， ∵四边形中，，， ∴ ∴ ∴ ∵，平分， ∴， ∴， ∴； （2）当四边形是菱形时，， 由（1）可知，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 18．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝CE， ∵AE＝DE， ∴CE＝DE； （2）解：如图，连接AC交BD于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH， ∵CE＝DE＝AE＝2， ∴BD＝BE+DE＝4+2＝6， ∴BH＝BD＝3，EH＝BE﹣BH＝1， ∴CH＝， ∴BC＝， ∴菱形的边长为2． 19．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，             ∴∠A=∠C，AD=BC，AB=CD． ∵点E、F分别是AD、BC的中点， ∴AE=AD，FC=BC． ∴AE=CF． ∴△AEB≌△CFD（SAS）． (2)∵四边形EBFD是菱形，         ∴BE=DE．      ∴∠EBD=∠EDB．    ∵AE=DE，        ∴BE=AE． ∴∠A=∠ABE． ∵∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE=180°， ∴∠ABD=∠ABE+∠EBD=×180°=90°． 20．(1) ∵四边形EFGH是矩形， ∴EH＝FG，EH∥FG， ∴∠GFH＝∠EHF， ∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF， ∴∠BFG＝∠DHE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠GBF＝∠EDH， 在△BGF和△DEH中， ， ∴△BGF≌△DEH（AAS）， ∴BG＝DE． (2) 如图，连接EG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵E为AD中点， ∴AE＝ED， ∵BG＝DE， ∴AE＝BG， 又∵AE∥BG， ∴四边形ABGE是平行四边形， ∴EG＝AB， ∵菱形ABCD的周长是20， ∴AB＝5＝EG， ∵四边形EFGH是矩形， ∴FH＝EG＝5． 21． 解：（1）由“美妙矩形”的概念可得， “平行四边形、矩形、菱形”中， 一定是“美妙矩形”的是：矩形， 故答案为：矩形； （2）D点如图所示： （3）若为直角， 则， 则， 若为直角， 则, 则， 故答案为：或； （4）①∵点为的斜边的中点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ， 同理的面积为， ∴“美妙矩形”的面积； ②如图，四边形为矩形时， 与O重合，与C重合， 故． 学科网（北京）股份有限公司 $$