汇编10 2022-2024年中考数学真题知识点汇编 四边形之平行四边形（吉林适用）

2022-2024年中考数学真题汇编10 四边形之平行四边形 知识点1：平行四边形的性质 一、解答题 1．（2023·长春）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，当四边形是菱形时．的长为　 　． 二、证明题 1．（2024·吉林）如图，在▱ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E．求证：AE＝BC． 知识点2：平行四边形的判定与性质 一、解答题 1．（2023·吉林）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（） 　　 （1）的长为　 　，的长为　 　．（用含x的代数式表示） （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 2．（2023·吉林） （1）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形其中判定的依据是　 　． （2）【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，与边分别交于点M，N．求证：是菱形． （3）【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上．当时，延长交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，（为锐角），则四边形的面积为　 　． 3．（2024·长春）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB＝3，点M、N分别在边AC、BC上，且AM＝CN，试探究线段MN长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：AM＝MP； （2）∠CAP的大小为 　 　度，线段MN长度的最小值为　 　． （3）【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，∠ACB＝30°．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM＝DN．钢丝绳MN长度的最小值为　 　米． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2024年中考数学真题汇编10 四边形之平行四边形 知识点1：平行四边形的性质 一、解答题 1．（2023·长春）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，当四边形是菱形时．的长为　 　． 【本题考点】平行四边形的性质；菱形的性质；三角形全等；含30°角的直角三角形 【答案】（1）证明：由题意可知， ，， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】解：（2）由题意得∠BAC=30°，∠ACB=90°，CB=6cm， ∴BA=12cm，∠CBA=60°， ∵四边形AFDC为菱形， ∴∠ADF=∠ADC=30°， ∴∠DCB=30°， ∴∠ADC=∠DCB， ∴AD=DB+BA=18cm， 故答案为：18 二、证明题 1．（2024·吉林）如图，在▱ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E．求证：AE＝BC． 【本题考点】平行四边形的性质；三角形全等的判定 【答案】证明：∵点O是AB的中点， ∴AO＝OB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠E＝∠BCO， 又∠AOE＝∠BOC， ∴△AOE≌△BOC（AAS）， ∴AE＝BC． 知识点2：平行四边形的判定与性质 一、解答题 1．（2023·吉林）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（） 　　 （1）的长为　 　，的长为　 　．（用含x的代数式表示） （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 【本题考点】三角形全等；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质 【答案】（1）； （2）解：当时，点在上， 由（1）可得， 同理可得， ∵，， 则 ； 当时，如图所示， 则，， ， ∴； 综上所述，； （3）或 【解析】 （1）解：由题意得AP=x，则PB=（4-x）， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD=∠BAD=90°，CB∥DA， ∴∠NQC=∠QNA， ∵O为AC的中点， ∴NO=QO，PO=MO， ∴四边形NMQP为平行四边形， ∴NP=QM，QM∥PN， ∴∠NQM=∠PNQ， ∴∠CQM=∠PNA， ∴△MQC≌△PNA（AAS）， ∴CM=PA=x， 故答案为：（4-x）；x； （3）解：依题意，①当四边形 是矩形时，此时 即 解得： ， 当四边形 是菱形时，则 ， ∴ ， 解得： （舍去）； ②如图所示，当 时， ，解得 ， 当四边形 是菱形时，则 ，即 ，解得： （舍去）， 综上所述，当四边形 是轴对称图形时， 或 ． 2．（2023·吉林） （1）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形其中判定的依据是　 　． （2）【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，与边分别交于点M，N．求证：是菱形． （3）【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上．当时，延长交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，（为锐角），则四边形的面积为　 　． 【本题考点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定 【答案】（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴平行四边形是菱形； （3）80 【解析】解：（1）由题意得剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形， ∴FE∥NM，FM∥EN， ∴两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （3）∵将平行四边形纸条沿或平移， ∴GM∥DP，PG∥MD， ∴四边形DMGP、GHNM、FMDC为平行四边形， ∵GM=MD， ∴四边形DMGP为菱形， ∵四边形EFMN为菱形， ∴四边形HPCE为菱形， ∵四边形的周长为40， ∴FG=FH=10， 作CB⊥GQ于点Q， ∴， ∴QG=8， ∴四边形的面积为80， 故答案为：80 3．（2024·长春）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB＝3，点M、N分别在边AC、BC上，且AM＝CN，试探究线段MN长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：AM＝MP； （2）∠CAP的大小为 　 　度，线段MN长度的最小值为　 　． （3）【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，∠ACB＝30°．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM＝DN．钢丝绳MN长度的最小值为　 　米． 【本题考点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质 【答案】（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线， 四边形是平行四边形， ； （2）30； （3） 【解析】【解答】解：（2）∵是等边三角形， ∴，AC=AB=3. ； 当时，最小，此时最小， 在中， ， 线段长度的最小值为； 故答案为：30；. 【方法应用】：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接， 四边形是平行四边形， ，MP=ND. ∵ △ABC是等腰三角形，∠ACB＝30°；四边形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米， ，∠BCD=90°， ∵AM=DN， ∴AM=MP. ，. . 当时，最小，此时最小， 在等腰△ACD中，， 在中，， 线段长度的最小值为米． 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$