2.3.1 空间向量的分解与坐标表示课件-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

2.3.1　空间向量的分解与坐标表示 第2章　空间向量与立体几何 湘教版 数学 选择性必修第二册 课标要求 1.理解共面向量定理以及空间向量基本定理的意义,并能简单应用. 2.理解空间向量的基、基向量及向量的线性表示的概念,并能应用其解决有关问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 共面向量 1.共面向量:一般地,能　　　　　　　　　　的向量叫作共面向量.  空间中任意两个向量都是共面的 2.共面向量定理:如果两个向量e1,e2　　　　,那么向量p与向量e1,e2共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得p=xe1+ye2.  　唯一的一组　 平移到同一平面内 不共线 名师点睛 设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组{x,y,z},使 ,当且仅当x+y+z=1时,P,A,B,C四点共面. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若三个向量两两共面,则这三个向量是共面的.(　　) (2)若空间中有两个向量共线,则这两个向量与任何向量都是共面的.(　　) 2.为什么空间中的任何两个向量都是共面向量? × √ 提示 由于向量是自由的,因此任何两个向量可以平移到同一个平面内. 知识点2 空间向量基本定理 设e1,e2,e3是空间中三个　　　　　　向量,则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和p=xe1+ye2+ze3.  其中{e1,e2,e3}称为空间的一组基,e1,e2,e3叫作　　　　　　,(x,y,z)称为向量p=xe1+ye2+ze3在基{e1,e2,e3}下的　　　　.  具有唯一性 不共面 基向量 坐标 名师点睛 1.由于空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一组基,因此空间中的基不唯一. 2.由于零向量与任意一个非零向量共线、与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面时,隐含着三个向量均不能是零向量. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一组基,则a,b,c共面.(　　) (2)若a,b是两个不共线的向量,且c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一组基.(　　) 2.平面向量的基要求两个基向量不共线,那么构成空间向量基的三个向量有什么条件?基选定后的向量表示有何特征? √ × 提示 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一组基,基选定后,空间任意向量均可由基唯一表示. 知识点3 空间向量的直角坐标表示 标准正交基 空间任意三个两两　　　　、长度均为1的向量i,j,k不共面,可将它们组成空间的一组基  空间向量 的坐标表示 空间每个向量p都可以分解成基向量的实数倍之和: p=xi+yj+zk,系数x,y,z按顺序排成的实数组(x,y,z),称为向量p的坐标,记为　　 　  向量的坐标运算 一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标,等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标 向量在坐标轴上的投影与坐标的关系 向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标 垂直 p=(x,y,z) 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)以基向量i,j,k的方向为坐标轴正方向,建立空间直角坐标系,若点B的坐标为(1,0,0),则 =i.(　　) (2)若向量p= ,则向量p在标准正交基{i,j,k}下的坐标就是点P在这个直角坐标系中的坐标.(　　) (3)在空间直角坐标系中,以有序实数组(x,y,z)为坐标的向量只有一个.(　　) √ × √ 2.在空间直角坐标系中,点的坐标与向量的坐标有何区别? 提示 在空间直角坐标系O-xyz中,以坐标原点O为起点的向量的坐标就是该向量终点的坐标,反之亦然.而由于向量可以根据需要进行平移,如果向量不是以原点为起点的向量,那么向量坐标就不是终点的坐标. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　共面向量定理的应用 【例1】 已知A,B,C三点不共线,点O是平面ABC外的任意一点,点M满足 规律方法　判断三个(或三个以上)向量共面的方法 (1)向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合,即若p=xa+yb,x,y∈R,则向量p,a,b共面. (2)若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任一点O,有 ,且x+y+z=1成立,则P,A,B,C四点共面. 变式训练1已知A,B,C三点不共线,点O是平面ABC外的任意一点,若点P分别满足下列关系: 探究点二　用基表示空间图形中的向量 规律方法　用基表示空间向量的解题策略 (1)若基确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及数乘向量的运算律进行相关计算. (2)若没给定基,首先选择基,选择时,要尽量使所选的基能方便地表示其他向量;再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求. (3)在空间几何体中选择基时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基向量.例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量的组合作为基. 探究点三　空间向量的坐标表示 规律方法　用坐标表示空间向量的步骤 变式训练3在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC的边长为1,三棱柱的高为2,建立适当的空间直角坐标系,并写出 的坐标. 探究点四　利用基表示向量的坐标 【例4】 已知向量p在基{a,b,c}下的坐标为(2,1,-1),求p在基{2a,b,-c}与基{a+b,a-b,c}下的坐标. 解 由题意知p=2a+b-c, 则向量p在基{2a,b,-c}下的坐标为(1,1,1), 设向量p在基{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=x(a+b)+y(a-b)+zc =(x+y)a+(x-y)b+zc, 规律方法　求已知向量在给定基下的坐标的方法 首先应表示出坐标对应的基的形式,然后设出待求的给定的基的形式,利用待定系数法求解. A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3) C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9) B 本节要点归纳 1.知识清单: (1)共面向量定理;(2)空间向量基本定理;(3)空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.方法归纳:利用共面向量定理证明向量共面;利用三角形法则、平行四边形法则、数乘向量及向量的加减法运算用基表示未知向量;利用标准正交基建立空间直角坐标系求向量的坐标. 3.特别提示:空间中的任何两个向量都是共面的,但是空间中的任何三个向量却不一定共面;空间的基不是唯一的,构成基的三个向量不能是共面向量,因此基中不能有0;空间中点的坐标与向量的坐标是不同的,只有以原点为始点的向量的坐标才是向量的终点的坐标;由于向量可以平移,因此平移后向量的坐标不变,但是向量的始点与终点的坐标是变化的. 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (x,y,z)=(　　) A.(1,1,1) B.(1,1,-1) C.(1,-1,1) D.(-1,1,1) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.下列说法正确的是(　　) A.已知a,b,c是空间三个向量,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=xa+yb+zc D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.设{i,j,k}是标准正交基,已知向量p在基{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在基{i,j,k}下的坐标是(　　) A.(12,14,10) B.(10,12,14) C.(14,12,10) D.(4,3,2) A 解析 依题意,知p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,故向量p在基{i,j,k}下的坐标是(12,14,10). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知空间A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,若 ,则λ=(　　) A.2 B.-2 C.1 D.-1 B 由A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,可得6-3+λ=1,解得λ=-2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选题)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是平行四边形,且 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,建立如图所示的空间直角坐标系,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,则 的坐标为　　　　　.  解析 ∵PA=AD=AB=1,且PA⊥平面ABCD,AD⊥AB, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7. 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间内任意一点,设 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱B1B和D1D上, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且 B 级 关键能力提升练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(多选题)若{a,b,c}构成空间的一组基,则下列向量共面的是(　 　) A.b+c,b,b-c B.a,a+b,a-b C.a+b,a-b,c D.a+b,a+b+c,c ABD 解析 因为b= [(b+c)+(b-c)],故b+c,b,b-c共面;因为a= [(a+b)+(a-b)],故a,a+b,a-b共面;因为c=a+b+c-(a+b),故a+b,a+b+c,c共面;对于C,若a+b,a-b,c共面,则存在实数λ,μ,使得c=λ(a+b)+μ(a-b)=(λ+μ)a+(λ-μ)b,故a,b,c共面,这与{a,b,c}构成空间的一组基矛盾.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12. 已知在棱长为2的正四面体ABCD中,以△BCD的中心O为坐标原点,OA为z轴,OC为y轴建立空间直角坐标系,如图所示,M为AB的中点,则 的坐标为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C 级 学科素养创新练 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =x+y+z . (1)判断三个向量是否共面; (2)判断点M是否在平面ABC内. 解 (1)因为,所以6=3+2,所以3-3=(2-2)+(),因此3=2=-2. 故向量共面. (2)由(1)知向量共面,三个向量又有公共点M,故M,A,B,C共面,即点M在平面ABC内. =x+y+z (1)+2=6-3; (2)=4. 试判断点P是否与点A,B,C共面. 解 (方法一)(1)∵3-3+2-3=()+(2-2), ∴3+2,即=-2-3. 根据共面向量定理的相关结论知,点P与点A,B,C共面. (2)假设+x+y(x,y∈R), 则+x+y=4, ∴+x()+y()+=4, ∴(1-x-y-4)+(1+x)+(1+y)=0,由题意知均为非零向量, ∴x,y满足 显然此方程组无解,故点P与点A,B,C不共面. (方法二)(1)由题意,, ∵=1, ∴点P与点A,B,C共面. (2)∵=4,而4-1-1=2≠1, ∴点P与点A,B,C不共面. 【例2】 如图所示,四棱锥P-OABC的底面为一矩形,PO⊥平面OABC,设=a,=b,=c,点E,F分别是PC,PB的中点,试用基{a,b,c}表示. 解 连接BO,则)=(c-b-a)=-a-b+c.)==-a-b+c. )=-a+c+(-c+b)=-a+b+c. 变式训练2如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,已知=a,=b,=c,点M,N分别是BC',B'C'的中点,试用基{a,b,c}表示向量. 解 '='+) ='+)=b+a+(c-b)=b+a+c-b=a+b+c. =a+b+) =a+b+(c-b)=a+b+c. 【例3】 在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,建立适当的空间直角坐标系,求的坐标. 解 连接O1D,OD,OA1,由已知AO⊥OB,O1O⊥OA,O1O⊥OB,从而建立以的方向为标准正交基{i,j,k}的基向量的正方向的空间直角坐标系O-xyz,如图,则=4i,=2j,=4k, =-=-()=-[)]=- =-2i-j-4k, 故的坐标为(-2,-1,-4). -()==-4i+2j-4k,故的坐标为(-4,2,-4), 即=(-2,-1,-4),=(-4,2,-4). 解 分别取BC,B1C1的中点D,D1,连接AD,DD1,AB1,AC1,所以DC,DA,DD1两两垂直,以D为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系.设i,j,k分别是x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,因为AD=,DC=,所以=2k,=-i-j+2k, i+j+2k, 所以=(0,0,2),=(,-,2),=(,2). 又p=2a+b-c,∴解得x=,y=,z=-1. ∴p在基{a+b,a-b,c}下的坐标为(,-1). 变式训练4已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,向量a在基{}下的坐标为(2,1,-3),则向量a在基{}下的坐标为(　　) 解析 ∵a=2-3=2-3=-+2-3,∴向量a在基{}下的坐标为(-1,2,-3).故选B. 1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若=x+y+z,则 解析 连接B1D1,,又 , ∴=x+y+z, ∴x=-1,y=1,z=1,故选D. B.若所在的直线是异面直线,则不共面 C.若三个向量a,b,c两两共面,则a,b,c共面 D.已知A,B,C三点不共线,若,则A,B,C,D四点共面 =6-4+λ 解析 =6-4+λ,即=6-4+λ,整理得=6-3+λ. =a,=b,=c,则(　　) A.a-b-c= B.a+b+c= C.a+b-c= D.a-b+c= 解析 由=b+c-a,可知A选项错误; 由=a+b+c,可知B选项正确; =a+b-c,可知C选项正确; -()=b-a-c,可知D选项错误. (-,0,) ∴M(0,,0),P(0,0,1),C(-1,1,0),则N(-).∴=(-,0,). =a,=b,=c,则向量可用a,b,c表示为　　　　　.  a-b+c 解析 )=a-b+c. 且BE=BB1,DF=DD1. (1)证明:A,E,C1,F四点共面; (2)若=x+y+z,求x+y+z的值. (1)证明 因为=()+()=()+()=, 所以共面, 又三者有公共点A,所以A,E,C1,F四点共面. (2)解 因为-()==-, 所以x=-1,y=1,z=, 所以x+y+z=-1+1+. =2,若=x+y+z,则x+y+z的值为(　　) A.- B. C.1 D. 11.(多选题)已知M,A,B,C四点互不重合且任意三点不共线,则下列式子中能使{}成为空间的一个基的是(　　) A. B.+2 C.+2+3 D.=3-2 解析 对于选项A,因为,且≠1,由平面向量基本定理知点M不在平面ABC内,向量能构成空间的一组基; 对于选项B,因为+2,由平面向量基本定理知向量共面,不能构成空间的一组基; 对于选项C,由+2+3,1+2+3≠1,由平面向量基本定理可知三向量不共面,因此能构成空间的一组基; 对于选项D,由=3-2,由平面向量的基本定理知向量共面,因此三向量不能构成空间的一组基.故选AC. (,-) 13.已知空间四边形OABC各边及其对角线OB,AC的长都是6, =2=x+y+z,则x+y+z=　　　　,OG的长为　　　　.  解析 四边形OABC为正四面体,)=)+)=. ∴x+y+z=1. 又=6×6×cos 60°=18, ×36+×36+×36+×18+×18+×18=25. 所以||=5. 14.已知{e1,e2,e3}为空间的一组基,且=2e1-e2+3e3,=e1+2e2-e3, =-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3. (1)判断P,A,B,C四点是否共面. (2)能否以{}作为空间的一组基?若能,试以这一组基表示;若不能,请说明理由. 解 (1)假设P,A,B,C四点共面,则存在实数x,y,z,使=x+y+z,且x+y+z=1, 即2e1-e2+3e3=x(e1+2e2-e3)+y(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3). 又e1,e2,e3不共面,所以解得与x+y+z=1矛盾,故P,A,B,C四点不共面. (2)若共面,则存在实数m,n,使=m+n,同(1)可得关于m,n的方程无解,所以不共面,因此{}可以作为空间的一组基. 令=a,=b,=c,由e1+2e2-e3=a,-3e1+e2+2e3=b,e1+e2-e3=c,得所以=2e1-e2+3e3=2(3a-b-5c)-(a-c)+3(4a-b-7c)=17a-5b-30c=17-5-30. 15. 在如图所示的平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,已知AB=AA'=AD,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°,,N为C'D'上一点,且=λ,若DM⊥AN,则λ=(　　) A. B. C. D. 证明 设=a,=c,=b,有a·b=0,a·c=0,b·c=0. 则)=)=) =(-a+b+c),=a+b. ∴(-a+b+c)·(a+b)=(|b|2-|a|2)=0. ∴,即EF⊥AB1.同理EF⊥B1C. ∵AB1∩B1C=B1,∴EF⊥平面B1AC. $$