2.4线段与角的轴对称 （第二课时） 课件 2024—2025学年苏科版 数学八年级上册

2.4　线段、角的对称性 苏科版初中数学八年级 上册 A B P A B C 第二课时 问题：角是轴对称图形吗？ 情境引入 如果角是轴对称图形，它的对称轴在哪里？ O A B 角是轴对称图形， 角平分线所在的直线是它的对称轴. C 1 2 ∠1=∠2， 射线OA与射线OB重合. 探究活动一 在∠AOB的角分线OC上任取一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PD和PE,再沿原折痕重新折叠，你有什么发现？ PD=PE 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. P P B A Ｏ D E D E P D E C A O B E D P C 证明： ∵ OP平分∠AOB，∴ ∠AOP=∠BOP ∵PD⊥AO,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90° 在△PDO和△PEO中 ∠PDO=∠PEO ∠AOC=∠BOC OP=OP ∴△PDO≌△PEO（AAS）∴ PD=PE 已知：如图，OC平分∠AOB，点P是OC上的任意一点， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. 角平分线上的点到角两边的距离相等. ∟ A O B E D P C 角平分线性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等. 且PD⊥OA，PE⊥OB 几何语言表述： ∵OP平分∠AOB ∴PD = PE ∟ 如果点在一个角的平分线上， 那么角分线上的任意一点到角两边的距离相等。 ∵∠DOP=∠EOP 且PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD = PE 1.如图：在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC. 若CD = 6，则点D到AB的距离是 . D C B A E ∟ DE=DC=6 2、如图：在△ABC中，∠B=90°，BC=18cm，AD是角平分线，且BD：CD=1：2，则点D到AC的距离是______cm. ∟ E 过点D 做DE⊥AC,垂足为E。 ∵点D 在∠BAC的平分线上 DE⊥AC且DB⊥AB ∴DE=DB 又∵ BD：CD=1：2, BC=18cm ∴ DE=DB =6 cm 3.如图：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F，且BD＝DC， 试说明：BE＝CF. E D C A B F ∟ ∟ 证明： ∵AD是∠BAC的平分线 且DE⊥AB， DF⊥AC ∴ DE=DF 且BD＝DC 且∠BED＝∠DFC=90° ∴⊿ BED ≌⊿DFC(HL) BE＝CF 　　角内部一点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线上吗？ 如图，点Q在∠AOB内部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE， QO＝QO ∴⊿ QDO ≌⊿QEO (HL) ∴∠QO D≌∠QOE ∴点Q在∠AOB的角平分线上 O A B Q D E ∟ ∟ 新课讲授 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 角分线判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. ∵ QD⊥OA， QE⊥OB 几何语言表述： 且QD = QE ∴OQ平分∠AOB O A B Q D E ∟ ∟ 如果角内部的任意一点到角两边的距离相等， 那么这个点在该角的平分线上。 4、如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且E是的DC的中点，问BE与BC与AB之间有何关系？ 图1.4-20 F 过点E做EF⊥AB,垂足为F ∵点E在∠BAD的平分线上 DE⊥AD且EF⊥AB ∴DE=EF 又∵E是DC的中点 ∴ EC=ED ∴EC=EF(等量代换) ∴点E在∠ABC的角平分线上 已知：如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P. 求证：点P在∠C的角平分线上． P A C B E D N M H ∟ ∟ ∟ 结论： 三角形的三个内角的角平分线相交于一点(内心)，该点到三角形的三边距离相等. 问题：⊿ABC三个角的平分线是否相交？ 如果这三条内角平分线相交，那么交点有什么特点？ 证明： 分别过点P做PM⊥AB,PN⊥BC,PH⊥AC,垂足分别为M、N、H。 ∵点P在角平分线AD、BE上 ∴PM=PH，PM=PN ∴PH=PN ∴点P在∠C的角平分线上 PM=PH=PN,P叫⊿ABC的内心。 5.已知：AD是⊿ABC的角平分线，DE⊥AC， DF⊥AB,垂足分别为E、F. 求证：AD垂直平分EF. 证明： ∵DE⊥AC,DF⊥AB ,垂足分别为E、F. ∠DAE=∠DAF ∴DE=DF 在⊿DAE和⊿DAF中 ∵∠DEA=∠DFA =90°,∠DAE=∠DAF ∴ ∠ADE=∠ADF ∴ AE=AF ∴ AD垂直平分EF 6.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在 （ ） A．△ABC三条中线的交点 B．△ABC三边的垂直平分线的交点 C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点 C $$