2.4线段与角的轴对称 （第一课时）课件 2024—2025学年苏科版 数学八年级上册

2.4　线段、角的对称性 苏科版初中数学八年级 上册 A B P A B C 第一课时 问题：线段AB是轴对称图形吗？ 情境引入 如果线段是轴对称图形，它的对称轴在哪里？ O 2 1 l P 在⊿POA和⊿POB中 ∵PO=PO 且∠POA=∠1=∠POB=∠2=90° 且AO=BO ∴⊿POA≌⊿POB(SAS) ∴PA=PB 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． ∵OP⊥AB,且OA=OB, ∴PA＝PB ． 性质定理：　线段垂直分线上的点到线段两端的距离相等． 如果点在线段的垂直平分线上， 那么这个点到线段的两个端点的距离相等。 几何语言表述： ∵∠POA=∠POB=90°,且AO=BO ∴PA=PB 新课讲授 　　线段垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？为什么？请你画出图形，试着说明. 想一想 如图，在线段AB的垂直平分线l外任取一点P， 因为点Q在AB的垂直平分线上，所以QA＝QB． 于是PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB． 因为三角形的两边之和大于第三边， 所以PQ＋QB＞PB，即PA＞PB． O 2 1 l B A P Q 1.如图，AD⊥BC，垂足为D,BD=CD,AB=5，BD=3,求ΔABC的周长； 课堂练习 2.如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长为7cm，则BC的长为( ) A. 3cm B. 2cm C. 1cm D. 4cm A 【解答】 解：∵MN是线段AB的垂直平分线， ∴AN=BN， ∵△BCN的周长是7cm， ∴BN+NC+BC=7(cm)， ∴AN+NC+BC=7(cm)， ∵AN+NC=AC， ∴AC+BC=7(cm)， 又∵AC=4cm， ∴BC=7-4=3(cm)． 故选A． A 3.如图，AB=AC=10，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则边BC的长度的取值范围是_______________． 0<BC<10 【解答】 解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴BE=AE， ∴BE+CE=AE+CE=AC=10， 在△BCE中，BE+EC >BC， ∴BC<10， 又BC>0， ∴0<BC<10． 故答案为0<BC<10． 如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？ ①若点Q在线段AB上，且QA=QB，结论成立吗？ A B Q ②若点Q在线段AB外，且QA=QB，结论成立吗？ A B Q M 探究活动一 情况一 ：点P在线段上 A B P （1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上. 情况二 :点P在线段外 A B P C 已知：如图，PA＝PB， 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C． 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， PA =PB，PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上． 新课讲授 判定定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 如果一个点到线段的两个端点的距离相等， 那么这个点在线段的垂直平分线上。 几何语言表述： ∵ PA =PB ∴ 点P在AB的垂直平分线上． P A B C 直线l 可以看成与两点A、B 的距离相等的所有点的集合． 线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合． 4.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD ∵EO=EO 且∠A=∠C OA=OC ∴⊿EOA≌⊿EOC(ASS) ∴∠AEO=∠CEO 且EO=EO 且BE=DE ∴⊿EOB≌⊿EOD(ASS) BO=DO 且BE=DE ∴OE垂直平分BD 证明： 实践操作 1.如何画线段的垂直平分线？需要分几步？   C D A B ∵CA=CB ∴点C在线段AB的垂直平分线上 ∵DA=DB ∴点D在线段AB的垂直平分线上 C D 证明：连接CA、CB、DA、DB ∵CA=CB，DA=DB ∴CD是线段AB的垂直平分线 简写成： ∴CD是线段AB的垂直平分线 已知：如图，在⊿ABC中，AB ，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O． 求证：点O在BC的垂直平分线上． B A C O 证明：连接OA，OB ， OC. ∵ AB ， AC的垂直平分线l1，l2相交于点O ， ∴OA=OB ， OA＝OC ， ∴OB=OC ， ∴点O在BC的垂直平分线上． 2.画⊿ABC三条边的垂直平分线？这三条垂直平分线是否相交？ 如果这三条垂直平分线相交，那么交点有什么特点？ 因OA=OB=OC，O叫⊿ABC的外心。 三角形的三条边的垂直平分线相交于一点(外心)，该点到三角形的三个顶点的距离相等. 5.在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为8cm． ⑴求BC的长； ⑵分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为18cm，求OA的长． 课堂练习 ⑴BD=AD,AE=EC, 则BC=BD+DE+EC=AD+DE+EA=8； ⑵分别连结OA、OB、OC， 则OA=OB=OC,△OBC的周长为18cm，OB+OC+BC=2OA+8=18,故OA=5． 6.如图，直线l与线段AB交于点O,点P在直线l上，且PA=PB,则下列结论正确的有（ ） （1）AO=BO （2）PO⊥AB （3）∠APO=∠BPO （4）点P在线段AB的垂直平分线上 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A O B P l $$