阶段测试卷2—第二次月考（范围：第一章～第三章）-2024-2025学年高一数学上学期同步测试卷（单元+周测+月考+专项+期中+期末）》（人教A版2019）

阶段测试卷2—第二次月考（范围：第一章~第三章） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知函数，若，则a的值是(    ) A. 3 B. C. D. 5 3.已知，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.若且，则的最小值为(    ) A. B. 4 C. D. 5 5.下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格： 一次购买件数 件 件 件 件 300件以上 每件价格 37元 32元 30元 27元 25元 张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具(    ) A. 116件 B. 110件 C. 107件 D. 106件 6.若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.设，其中，则所有的交集为(    ) A. B. C. D. 8.已知函数的定义域为R，且满足，，，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. 是奇函数 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是(    ) A. 是的充分不必要条件 B. 若集合中只有一个元素，则 C. 已知，，则对应的x的集合为 D. 已知集合，则满足条件的集合N的个数为4 10.已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是(    ) A. B. ab的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 11.波恩哈德黎曼是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是(    ) A. B. C. D. 关于x的不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.命题“，”的否定是__________. 13.定义在R上的函数满足，，则__________. 14.已知，函数，若函数的值域为则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知集合，集合，其中 若，求； 设命题，命题，若p是的必要而不充分条件，求实数a的取值范围． 16.本小题15分 已知函数， 若在区间上最大值为2，求实数a的值； 当时，求不等式的解集. 17.本小题15分 某洗发水厂商为扩大销量，拟开展广告促销活动．根据前期调研，该款洗发水的月销售量a万瓶与投入的广告费用x万元满足关系式为常数，若不进行广告宣传，该产品的月销售量为16万瓶．已知该产品每一万瓶需要投入成本30万元，厂商将每瓶洗发水的销售价格定为元，且每月该产品都能销售完．设该产品的月销售利润为y万元．注：销售利润=销售收入-投入成本-广告费用 求出k的值，并将y表示为x的函数； 求投入的广告费用为多少万元时，该产品的月销售利润最大？最大为多少？ 18.本小题17分 已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，有 判断函数的单调性； 解不等式：； 若对所有恒成立，求实数t的取值范围. 19.本小题17分 已知是定义在上的函数，且，对任意的a，，都有，当时，都有成立． 解不等式； 若对任意的，恒成立，求实数k的取值范围． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查集合的交集运算，属于基础题. 化简集合M，根据交集的定义直接计算即可. 【解答】 解： ， ， ， 故选 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查根据分段函数求自变量，属于基础题. 分类讨论与，代入解析式，根据求出a的值即可. 【解答】 解：依题意有当时，， 解得不合题意，舍去， 当时，，解得，舍去， 综上所述， 故选： 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查由基本不等式求取值范围，充分、必要、充要条件的判断，属于基础题. 利用基本不等式“1”的妙用求出，充分性成立，举出反例，得到必要性不成立，即可判断正确答案. 【解答】 解：当时，因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故充分性成立； 当时，满足，但不满足，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了基本不等式的应用，属于基础题. 由，且满足得，由，利用乘1法可得最小值. 【解答】 解：由，且满足得， 则 当且仅当，即，时取等号； 所以的最小值为 故选： 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查分段函数模型的实际应用，属于基础题. 根据题意，设购买的件数为 x，花费为 y元，根据表中的数据列出x，y满足的函数关系式，当时，求出x的最大值即可. 【解答】 解：设购买的件数为 x，花费为 y元， 则为整数， 当时，， 当时，， 故张师傅最多可买这种玩具107件 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查利用一元二次函数的单调性解决参数问题，以及一元二次函数的性质，属于基础题． 根据题意，求出一元二次函数的对称轴，结合一元二次函数的性质分析可得，即可求得a的取值范围． 【解答】 解：根据题意，函数的对称轴为， 若在区间上是减函数，则， 解可得：， 则实数a的取值范围是 故选 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查交集运算的定义，函数值域的求解，对勾函数的性质等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于拔高题． 利用对勾函数的性质逐一考查所给函数的值域，结合交集的定义整理计算即可求得最终结果． 【解答】 解：， 利用对勾函数的性质可得： 函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 当函数的最小值为，当或2时最大值为， 所以，又时，， 所以所有的的交集为： 故选： 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查抽象函数的奇偶性，求函数值，属于难题. 令，，结合已知数据可求解判断A；令，求得，令，，可得可判断B；令，y取x，又不恒为0可得，可判断令x取，，得，令x取，y取x，则得判断 【解答】 解：令，， 得， 又，， 则，故，故A正确； 令，得， 得， 令，， 得， 又， 故，故B错误； 令，y取x， 得， 得， 又，故不恒为0， 故，则为奇函数，故C正确； 令x取，， 得， 则， 令x取，y取x， 得， 故，则， 故D正确. 故选： 9.【答案】ABCD  【解析】【分析】 本题考查的是充分条件和必要条件，含有量词命题的否定，集合的并集运算和子集. 逐项判断即可得出答案. 【解答】 解：对A，若，则，但反之不成立， 例如，但，则是的充分不必要条件，故A正确； 对B，若，则，不合题意； 若，则， 故B正确； 对C，，则，即对应的x的集合为，故C正确； 对D，由，得，则集合 N的个数为，故D正确. 故选： 10.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查由基本不等式求最值，属于中档题. 利用二次不等式的解集得方程的两根为和，结合一元二次方程根与系数的关系得，从而判断A，再利用基本不等式计算判断 【解答】 解：由题意，不等式的解集为， 可得，且方程的两根为和， 所以， 所以，， 所以，故A正确； 因为，， 所以，可得， 当且仅当时取等号，所以ab的最大值为，故B正确； 由 ， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最小值为8，故C错误； 由 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD 11.【答案】AB  【解析】【分析】 本题考查函数的新定义问题，属于较难题. 根据黎曼函数的定义域分类对函数进行分析，再对每一个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【解答】 解：对于选项A，当时，，当时，，而， 当时，，若x是无理数，则是无理数，有， 若x是有理数，则是有理数，当为正整数，为最简真分数， 则为正整数，为最简真分数，此时， 综上，当时，，所以选项A正确; 对于选项B，当和无理数时，，显然有， 当是正整数，是最简真分数时， ，，故， 当时，，有， 当时，，，有， 当a为无理数，时，，有， 综上可知，，所以选项B正确； 对于选项C，取，则，而，所以选项C错误; 对于选项D，若或或内的无理数，此时，显然不成立; 当为正整数，互质，由，得到， 整理得到，又为正整数，互质，所以或均满足，所以x可以取或，所以选项D错误. 故选 12.【答案】，  【解析】【分析】 本题主要考查了含有一个量词的命题的否定，属于基础题． 命题的否定就是把存在量词改成全称量词，并把结论进行否定即可． 【解答】 解：命题“，”的否定是， 故答案为， 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数值的求解，属于中档题. 根据题意，分别令，得到，再令，求得，进而求得，即可求得的值. 【解答】 解：因为， 当时，可得；当时，可得； 当时，可得；当时，可得； 所以， 又因为， 当时，可得；当时，可得； 当时，可得；当时，可得； 由，，可得， 又因为，所以，所以 故答案为： 14.【答案】2  【解析】【分析】 本题考查函数的值域，参数的取值范围，解中注意转化思想的应用，属于中档题． 考虑  ，  ，  三种情况，根据二次函数性质和函数单调性计算最值得到  和  ，分别计算，再验证得到答案. 【解答】 解：当  时，  时，  ，  ， 当  时，  ，  在  上单调递增，在  上单调递减，故  ， 故  ， 当  时，  ，此时满足值域. 当  时，  ，此时  ，不满足，故  . 当  时，  时，  ，当  时，  ，不满足； 当  时，  时，  ，单调递增，  ， 当  时，  ，不成立； 综上所述：  故答案为： 2 15.【答案】解：， 因为， 所以 或， 若，则或，， ； ，， 若p是的必要而不充分条件，则， ，解得 的取值范围是   【解析】本题考查充分、必要、充要条件与集合的关系，交并补混合运算，解不含参的一元二次不等式，属于中档题. 把代入集合B，再由交、并、补集的混合运算得答案； 由p是的必要而不充分条件，得，进一步转化为两集合端点值间的关系列不等式组求解． 16.【答案】 函数图象的对称轴为， 当，即时，，解得，则； 当，即时，，解得，矛盾， 所以 显然，而， 则不等式化为， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为， 所以当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为   【解析】本题考查一元二次函数的性质，解含参的一元二次不等式，属于中档题. 求出二次函数图象的对称轴，再利用二次函数性质求解即得. 分类讨论求解含参数的一元二次不等式即得. 17.【答案】解：由题知，时，， 于是，，解得 ， 所以，根据题意，， 即， 所以； ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当投入的广告费用为6万元时，该产品的月销售利润最大，最大利润为162万元.   【解析】本题考查利用一次、二次、分式函数模型解决实际问题，由基本不等式求最值，属于中档题. 先由已知条件求出待定系数k，写出关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可； 将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值. 18.【答案】解： 为奇函数，所以， 则由，得，得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递增， 综上，函数在上单调递增 由知函数为上的增函数， 则 解得，故不等式的解集为 因为，所以 若对所有恒成立， 则成立，且， 所以对恒成立，即对恒成立. 令， 则即得， 即，解得， 故实数t的取值范围是   【解析】本题考查了函数的单调性，不等式的解集，不等式恒成立，属于较难题. 根据函数单调性的知识判断出函数在上的单调性. 根据函数的定义域、单调性求得不等式的解集. 先求得的最大值，然后利用转换主参变量的方法，列不等式来求得t的取值范围. 利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号来判断单调性.单调性的定义还可以表现为或，或或 19.【答案】解：解法1：令  ，  ，则 ，故  ， 由  ，根据题意得  ，即 . 又对任意的a，  ，当  时，都有  成立， 所以函数  在区间  上单调递增，所以  ， 即  ，所以  ，故不等式解集是  . 解法2：已知  是定义在  上的函数，所以定义域关于原点对称， 令  ，  ，则  ，故  ，令  ，  ，则 ， 即   ，所以函数  是  上的奇函数． 又对任意的a，  ，当  时，都有  成立， 所以函数  在区间  上单调递增， 因为  ，所以 ，即  ， 所以  ，所以  ，所以  ，故不等式解集是  . 已知  对任意的  ，  恒成立，所以  ， 由知函数  在区间  上单调递增， ，所以  ，所以 ， 即  ，  对任意的  恒成立． 设  ，即  ，因为函数  图象开口向上，对称轴  ， 当  ，即  时，  ，解得  ，此时 k无解; 当  ，即  时，  ， 整理得  ，解得  ，所以  ； 当  ，即  时，  ，解得  ， 所以  ; 综上所述，实数k的取值范围是  .   【解析】本题考查抽象函数的单调性，函数不等式，不等式恒成立问题，属于中档题. 解法1：令  ，  ，得  ，将不等式转化为，再结合单调性即可得解； 解法2：令  ，  ，得  ，判断函数的奇偶性，将不等式转化为，再利用单调性即可得解. 由题知对任意的，恒成立，即  对任意的  恒成立．设  ，即  ，利用二次函数的性质求解即可. 第20页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阶段测试卷2—第二次月考（范围：第一章~第三章） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知函数，若，则a的值是(    ) A. 3 B. C. D. 5 3.已知，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.若且，则的最小值为(    ) A. B. 4 C. D. 5 5.下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格： 一次购买件数 件 件 件 件 300件以上 每件价格 37元 32元 30元 27元 25元 张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具(    ) A. 116件 B. 110件 C. 107件 D. 106件 6.若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.设，其中，则所有的交集为(    ) A. B. C. D. 8.已知函数的定义域为R，且满足，，，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. 是奇函数 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是(    ) A. 是的充分不必要条件 B. 若集合中只有一个元素，则 C. 已知，，则对应的x的集合为 D. 已知集合，则满足条件的集合N的个数为4 10.已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是(    ) A. B. ab的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 11.波恩哈德黎曼是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是(    ) A. B. C. D. 关于x的不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.命题“，”的否定是__________. 13.定义在R上的函数满足，，则__________. 14.已知，函数，若函数的值域为则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知集合，集合，其中 若，求； 设命题，命题，若p是的必要而不充分条件，求实数a的取值范围． 16.本小题15分 已知函数， 若在区间上最大值为2，求实数a的值； 当时，求不等式的解集. 17.本小题15分 某洗发水厂商为扩大销量，拟开展广告促销活动．根据前期调研，该款洗发水的月销售量a万瓶与投入的广告费用x万元满足关系式为常数，若不进行广告宣传，该产品的月销售量为16万瓶．已知该产品每一万瓶需要投入成本30万元，厂商将每瓶洗发水的销售价格定为元，且每月该产品都能销售完．设该产品的月销售利润为y万元．注：销售利润=销售收入-投入成本-广告费用 求出k的值，并将y表示为x的函数； 求投入的广告费用为多少万元时，该产品的月销售利润最大？最大为多少？ 18.本小题17分 已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，有 判断函数的单调性； 解不等式：； 若对所有恒成立，求实数t的取值范围. 19.本小题17分 已知是定义在上的函数，且，对任意的a，，都有，当时，都有成立． 解不等式； 若对任意的，恒成立，求实数k的取值范围． 第20页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $$