章末检测卷4（第四章 指数函数与对数函数）-2024-2025学年高一数学上学期同步测试卷（单元+周测+月考+专项+期中+期末）》（人教A版2019）

章末检测卷4（第四章指数函数与对数函数） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数的定义域为(    ) A. B. C. D. 2.函数，其中，则函数的值域为(    ) A.   B. C. D. 3.设函数，则函数的零点所在的区间为(    ) A. B. C. D. 4.围棋是一种古老的智力游戏，相传是中国“五帝”之一的尧帝发明的，至今已有4000多年的历史．围棋最早被称为“弈”或“棋”．后来，人们根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称“下棋”是“围棋”．这样，“围棋”作为一个专门名词就固定下来．南北朝时候，棋盘定型为现在的19道棋盘即棋盘上有纵横各19条线段将棋盘分成361个交叉点根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为，而可观测宇宙普通物质的原子总数N约为，则下列各数中与最接近的是参考数据： A. B. C. D. 5.函数的单调递增区间是(    ) A. B. C. D. 6.函数在上是减函数，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.若不等式在上有解，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列根式与分数指数幂的互化正确的是 (    ) A. B. C. D. 10.已知函数和的定义域和值域都是，其图象分别如图所示： 给出下列四个命题中真命题是(    ) A. 函数有且仅有6个零点 B. 函数有且仅有3个零点 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递增 11.已知函数，，则下列说法正确的是(    ) A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 若函数在上的最大值、最小值分别为 M、 N，则 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，则__________. 13.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据： x 2 4 5 y 4 32 现准备用下列四个函数中的一个近似地描述这些数据的规律： ①    ；②；③；④ 其中最接近的一个是__________只填序号 14.已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 计算： 化简： 16.本小题15分 已知函数 在图中的平面直角坐标系中画出函数的图象； 设，讨论的零点个数. 17.本小题15分 已知函数与的图象关于对称． 若函数的值域为R，求实数k的取值范围； 若且，求的最小值． 18.本小题17分 已知函数， 若为偶函数，求k的值并证明函数在上的单调性; 在的条件下，若函数在区间上的最小值为，求实数m的值; 若为奇函数，不等式在上有解，求实数m的取值范围. 19.本小题17分 已知奇函数的定义域为 求实数的值；    判断函数的单调性，并用定义证明； 当时，恒成立，求m的取值范围. 第18页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章末检测卷4（第四章指数函数与对数函数） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数的定义域为(    ) A. B. C. D. 2.函数，其中，则函数的值域为(    ) A.   B. C. D. 3.设函数，则函数的零点所在的区间为(    ) A. B. C. D. 4.围棋是一种古老的智力游戏，相传是中国“五帝”之一的尧帝发明的，至今已有4000多年的历史．围棋最早被称为“弈”或“棋”．后来，人们根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称“下棋”是“围棋”．这样，“围棋”作为一个专门名词就固定下来．南北朝时候，棋盘定型为现在的19道棋盘即棋盘上有纵横各19条线段将棋盘分成361个交叉点根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为，而可观测宇宙普通物质的原子总数N约为，则下列各数中与最接近的是参考数据： A. B. C. D. 5.函数的单调递增区间是(    ) A. B. C. D. 6.函数在上是减函数，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.若不等式在上有解，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列根式与分数指数幂的互化正确的是 (    ) A. B. C. D. 10.已知函数和的定义域和值域都是，其图象分别如图所示： 给出下列四个命题中真命题是(    ) A. 函数有且仅有6个零点 B. 函数有且仅有3个零点 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递增 11.已知函数，，则下列说法正确的是(    ) A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 若函数在上的最大值、最小值分别为 M、 N，则 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，则__________. 13.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据： x 2 4 5 y 4 32 现准备用下列四个函数中的一个近似地描述这些数据的规律： ①    ；②；③；④ 其中最接近的一个是__________只填序号 14.已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 计算： 化简： 16.本小题15分 已知函数 在图中的平面直角坐标系中画出函数的图象； 设，讨论的零点个数. 17.本小题15分 已知函数与的图象关于对称． 若函数的值域为R，求实数k的取值范围； 若且，求的最小值． 18.本小题17分 已知函数， 若为偶函数，求k的值并证明函数在上的单调性; 在的条件下，若函数在区间上的最小值为，求实数m的值; 若为奇函数，不等式在上有解，求实数m的取值范围. 19.本小题17分 已知奇函数的定义域为 求实数的值；    判断函数的单调性，并用定义证明； 当时，恒成立，求m的取值范围. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】 根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可． 本题考查了二次根式的性质，考查对数函数的性质，是一道基础题． 【解答】 解：由题意得：，则， 解得：， 故选： 2.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查对数函数的值域，属于基础题. 根据对数函数的单调性求得正确答案. 【解答】 解：， 在上单调递增， 所以， 则函数的值域为 故选 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数的零点，属于基础题. 已知函数，代入，，再根据函数的零点的判定定理即可得到结果． 【解答】 解：根据题意可得，，  因此函数在区间上有零点， 易知在定义域上是增函数， 所以函数有且仅有一个零点，零点所在的区间是 故选 4.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查的是对数的运算，属于基础题. 令，得，计算即可得出，本题可解. 【解答】 解：令， 则 故 故选 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查复合函数的单调性，利用换元法结合指数函数，二次函数的单调性是解决本题的关键. 利用换元法结合复合函数单调性的解法进行求解即可． 【解答】 解：， 设，为增函数， 求函数的单调递增区间，等价为求函数的单调递增区间， 函数的对称轴为，则函数在上是增函数， 则的单调递增区间是 故选： 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查复合函数的单调性，属于中档题. 根据可知在定义域内单调递减，若使得函数在上是减函数，则需，解不等式组即可. 【解答】 解：， 在定义域内单调递减， 若使得函数在上是减函数， 则需，解得， 故选： 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查指数函数，对数函数的性质及不等式的解法，为基础题. 利用指数函数和对数函数的图像特征求解即可. 【解答】 解：因为有解， 令，， 则在时，存在的图像在的图像的上方， 当时，由基本函数图像可知， 在时恒成立； 当时，是减函数，是增函数， 由图象特征可知， 解得 故选 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查利用函数值范围求参数范围问题，属于中档题. 首先根据题目意思，对m进行分类讨论，结合函数在区间上的单调性，可以先求出两函数的值域，然后根据任意的，存在使得，可知两函数值域之间的关系，解不等式组即可. 【解答】解：由，，， ①当时，函数单调递减，此时， 函数单调递增，此时 由题意必有，解得， ②当时，函数单调递增，此时， 函数单调递减，此时 由题意必有，无解. 故实数 m的取值范围为 故答案选： 9.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题主要考查根式和指数幂的互化，是基础题． 根据根式和分数指数幂的关系进行转化即可． 【解答】 解：对于选项A，因为，而，即A错误； 对于选项B，因为，即B正确； 对于选项C， ，即C正确； 对于选项D， ，即D正确， 故选： 10.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查函数的零点，函数的单调性以及函数的判断，属于中档题. 利用函数的零点，结合函数的图象和复合函数的单调性，判断选项的正误即可． 【解答】 解：对于A，函数， 由函数的图象： 可知有3个值，满足：，，， 由的图象可知函数有2个零点，，函数有两个零点， ，函数有2个零点； 故函数有且仅有6个零点，A正确； 对于B，函数有且仅有3个零点，由选项A可知函数有且仅有6个零点， B不正确； 对于C，时，，且单调递减，由复合函数的单调性可知：函数在上单调递增，所以C正确； 对于时，，且单调递减，而函数在上不是单调函数，由复合函数的单调性可知：函数在上不是单调函数，D不正确； 故答案为： 11.【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查函数的基本性质. 通过函数图象的平移结合奇函数的性质可判断AB；通过常见函数的单调性可判断 【解答】 解：将的图象向左平移一个单位得 为奇函数，关于对称，故A正确； 将的图象向下平移两个单位得 向左平移一个单位得 图象关于对称， 的图象关于对称，正确； 因为在上递减，且为奇函数， 在为减函数， 在为减函数， 又为减函数，为减函数， 在处取得最大值，则在处取得最小值， 则 故C正确D错误； 故选： 12.【答案】125  【解析】【分析】 本题考查对数的运算法则. 根据对数的运算法则，利用换元法依次运算即可得到结果. 【解答】 解：令， 则，可得， 令， 则，可得， 所以，所以 故答案为 13.【答案】④  【解析】【分析】 本题主要考查依据数据的变化趋势选择与变化趋势最接近的函数，考查观察能力. 由表中数据可得自变量近似等速增加，函数值成倍增加.由变化特征确定选项. 【解答】 解：由直线是均匀的，故①不正确； 由表中数据可得自变量近似等速增加，函数值近似成倍增加④合适. 故答案为④. 14.【答案】 ； 4  【解析】【分析】 本题考查函数零点与方程根的关系，考查了转化思想，数形结合思想，属于中档题． 作出函数和的图象，数形结合即可得到实数m的取值范围；在方程中，设，作出函数的图象，数形结合得到函数与直线的交点横坐标、、的取值范围，再根据图象得出方程、、的根的个数，即可得解． 【解答】解：函数， 当时，，则，此时 由题可知，方程有两个不同的解，即直线与函数的图象有两个不同的交点，如下图所示： 由题可知，当时，直线与函数的图象有两个不同的交点，故； 方程中，由定义域为，设，即， 即求与直线的交点问题， 作出函数的图象如下图所示： 因为，函数与有3个交点， 所以有3个根、、，其中、、， 结合的图象可知，方程有2个不同的根，有1个根，有1个根，综上所述，方程有4个不同的解． 故答案为：； 15.【答案】解析原式  原式    【解析】本题考查分数指数幂的计算，是基础题 16.【答案】解：函数的图象如图所示： 的零点个数即为与两图象的交点个数. 由中图可知，当时，两图象无交点； 当或时，有一个交点； 当时，有两个交点. 综上：①当时，无零点； ②当或时，的零点个数为1； ③当时，的零点个数为  【解析】本题考查函数图象的画法、函数图象的应用，以及函数的零点问题，属于中档题. 根据指数函数性质以及坐标平移即可画出图象； 将问题转化为与两图象的交点个数问题，结合图象可得解. 17.【答案】解：由题意得 因为的值域为R， 所以是的值域的子集． 当时，满足条件； 当时，则，即，所以， 综上实数k的取值范围为 由，得 因为，所以， 且，所以， 所以，所以 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值为  【解析】本题考查函数的值域，以及“对勾”函数的性质，是中档题. 互为反函数的图像关于直线对称，反之亦然．由此可求出函数，由题意分情况可得k的取值范围； 利用对数运算与对数函数的性质，可得，即，即可求解最值. 18.【答案】解：为偶函数， 代入计算得：，， 对， 当时， ， ，，， ，， 函数在上单调递增; 令， 原式转化为， ①当时，，解得：，舍去; ②当时，，解得：， ，， 综上所述： 为奇函数，，，经检验满足，， 又不等式在上有解， ，， 由平方差和立方差公式得：， 令，，，， 而令在上单调递增，所以，   【解析】本题考查函数的奇偶性，单调性，最小值，利用指数函数的性质解不等式，属于综合题. 由可得，则，利用定义法判断单调性即可； 令，则，，对m分类讨论求得的最小值，列方程求解m即可； 由可得，则，则不等式有解化为，令，求得在的最小值即可得解. 19.【答案】解：是奇函数， ，即， ，整理得， ，解得：，故， 函数的定义域为，关于原点对称，故； 函数在上单调递增. 证明如下：任取，，且， 则 ， ， ， 又， ， ， 在上单调递增； 当时，， 由可得， 即当时，， 令， 则， ， 当且仅当时等号成立， 所以 实数m的取值范围  【解析】本题考查函数的奇偶性运用和单调性的判断，不等式恒成立，求函数的最值，考查运算能力，属于较难题． 由函数为奇函数得出关系式求出a的值，再由函数的定义域为得出b的值； 利用函数的单调性的定义法证明出函数的单调性； 分离参数转化为基本不等式求最值即可求出m的取值范围. 第18页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $$