周测卷7（范围：4.1-4.2）-2024-2025学年高一数学上学期同步测试卷（单元+周测+月考+专项+期中+期末）》（人教A版2019）

周测卷7（范围：4.1-4.2） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.化简式子的结果是(    ) A. B. C. D. 2.三个数1，，的大小顺序是 A. B. C. D. 3.已知，，则(    ) A. 4 B. 2 C. D. 4.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了个“半衰期”．提示： A. 10 B. 9 C. 11 D. 8 5.已知函数，则(    ) A. 是奇函数，且在R上是增函数 B. 是偶函数，且在R上是增函数 C. 是奇函数，且在R上是减函数 D. 是偶函数，且在R上是减函数 6.定义运算，则函数的图象是(    ) A. B. C. D. 7.如果函数且在区间上的最大值是14，则a的值为(    ) A. 3 B. C. D. 3或 8.已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列各式正确的是(    ) A. B. C. D. 10.若函数，则下述正确的有(    ) A.  在R上单调递增 B. 的值域为 C.  的图象关于点对称 D.  的图象关于直线对称 11.设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的可能取值是  (    ) A. B. C. 0 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数的单调增区间为__________. 13.已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是__________. 14.已知函数且，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 化简求值： 已知，求的值. 已知，，求的值. 16.本小题15分 我们知道存储温度单位：会影响着鲜牛奶的保鲜时间单位：，温度越高，保鲜时间越短.已知x与T之间的函数关系式为为自然对数的底数，某款鲜牛奶在的保鲜时间为180h，在的保鲜时间为参考数据： 求此款鲜牛奶在的保鲜时间约为几小时结果保留到整数 若想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于90h，那么对存储温度有怎样的要求? 17.本小题15分 已知是定义在上的奇函数，当时， 求在上的解析式； 当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 18.本小题17分 已知函数，且 求的值; 证明：在上单调递增; 求在上的最小值. 19.本小题17分 已知是定义在R上的奇函数. 求a的值，指出的单调性单调性无需证明 若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域; 若存在区间，使得函数在上的值域为，求t的取值范围. 第19页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 周测卷7（范围：4.1-4.2） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.化简式子的结果是(    ) A. B. C. D. 2.三个数1，，的大小顺序是 A. B. C. D. 3.已知，，则(    ) A. 4 B. 2 C. D. 4.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了个“半衰期”．提示： A. 10 B. 9 C. 11 D. 8 5.已知函数，则(    ) A. 是奇函数，且在R上是增函数 B. 是偶函数，且在R上是增函数 C. 是奇函数，且在R上是减函数 D. 是偶函数，且在R上是减函数 6.定义运算，则函数的图象是(    ) A. B. C. D. 7.如果函数且在区间上的最大值是14，则a的值为(    ) A. 3 B. C. D. 3或 8.已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列各式正确的是(    ) A. B. C. D. 10.若函数，则下述正确的有(    ) A.  在R上单调递增 B. 的值域为 C.  的图象关于点对称 D.  的图象关于直线对称 11.设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的可能取值是  (    ) A. B. C. 0 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数的单调增区间为__________. 13.已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是__________. 14.已知函数且，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 化简求值： 已知，求的值. 已知，，求的值. 16.本小题15分 我们知道存储温度单位：会影响着鲜牛奶的保鲜时间单位：，温度越高，保鲜时间越短.已知x与T之间的函数关系式为为自然对数的底数，某款鲜牛奶在的保鲜时间为180h，在的保鲜时间为参考数据： 求此款鲜牛奶在的保鲜时间约为几小时结果保留到整数 若想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于90h，那么对存储温度有怎样的要求? 17.本小题15分 已知是定义在上的奇函数，当时， 求在上的解析式； 当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 18.本小题17分 已知函数，且 求的值; 证明：在上单调递增; 求在上的最小值. 19.本小题17分 已知是定义在R上的奇函数. 求a的值，指出的单调性单调性无需证明 若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域; 若存在区间，使得函数在上的值域为，求t的取值范围. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查指数幂的运算，属于基础题． 根据指数幂的运算法则即可求解． 【解答】 解： 故选 2.【答案】B  【解析】【分析】 根据函数性质判断函数值与1的大小关系即可得到答案。 本题考查了幂函数、指数函数值大小比较，主要是选取中间值作为比较依据，属于基础题。 【解答】 解： 所以 所以选 3.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查指数的运算法则，指数幂的化简求值与证明，属于基础题. 利用指数的运算法则，以及指数函数的单调性即可求得的值. 【解答】 解：两式相乘得 得， 由于为单调递减函数，所以 故选： 4.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查指数运算的实际应用，考查运算能力，属于基础题． 设生物组织内原有的碳14含量为x，需要经过n个“半衰期”才不能被测到碳14，则，即，再根据参数据即可得解． 【解答】 解：设生物组织内原有的碳14含量为x，需要经过n个“半衰期”才不能被测到碳14， 则，即， 由参考数据可知，， ， 所以， 故选 5.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，属于基础题. 函数定义域为R，，得奇函数，分别判断，的单调性，两个增函数的和仍为增函数. 【解答】 解：因为，且定义域为， 所以， 即函数是奇函数． 又在R上是增函数，在R上是减函数， 所以在R上是增函数． 故本题选 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了分段函数的图象，根据题意写出分段函数解析式，即可得出结果，属于基础题． 先由题意得到函数解析式，进而可得出函数图像. 【解答】 解：由题意， 在定义域上单调递减， 令，得， 则在时，， ， 在时，， ， 即 根据选项，可得D正确. 故选： 7.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查复合型指数函数的性质，由函数的最值求参，属于中档题. 利用换元法，令，转化为二次函数，根据单调性及在区间上的最大值是14，求出a的值即可. 【解答】 解：令， 则， 当时，函数在定义域上为增函数， 因为，所以， 因为， 故函数在上单调递增， 所以， 解得舍去 当时，函数在定义域上为减函数， 因为，所以， 因为， 故函数在上单调递增， 则， 解得舍去 综上，或 故选： 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查利用函数值范围求参数范围问题，属于中档题. 首先根据题目意思，对m进行分类讨论，结合函数在区间上的单调性，可以先求出两函数的值域，然后根据任意的，存在使得，可知两函数值域之间的关系，解不等式组即可. 【解答】解：由，，， ①当时，函数单调递减，此时， 函数单调递增，此时 由题意必有，解得， ②当时，函数单调递增，此时， 函数单调递减，此时 由题意必有，无解. 故实数 m的取值范围为 故答案选： 9.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查根式与分数指数幂互化，属于基础题. 根据根式与分数指数幂的关系及幂的运算法则计算可得. 【解答】 解：对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选： 10.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查指数函数的性质，函数的单调性、对称性以及值域问题，属于中档题. 根据指数函数的单调性以及复合函数单调性的规律，即可判定A；通过举反例可以判定B，D；根据，可以判定选项C为正确的. 【解答】 解：因为是R上增函数，是R上减函数，所以在上单调递增，故 A正确； B.取，，故B错误； C.因为，所以的图象关于点对称，故C正确； D.对于函数，因为，，，故的图象不关于直线对称，故D错误； 故选 11.【答案】AB  【解析】【分析】 本题考查函数的单调性以及不等式恒成立问题，以及指数函数的性质 由题意，可得函数与函数在区间上同增或者同减，从而根据①若两函数在区间上单调递增，②若两函数在区间上单调递减，分类讨论，列出关于a的不等式组，解之即可. 【解答】 解：由题意得与在区间上同增或同减. 若同增，则在区间上恒成立，即所以 若同减，则在区间上恒成立，即，无解， 综上，实数a的取值范围是，所以A，B选项符合题意. 故选 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的单调性，属于基础题. 利用复合函数的单调性法则即可求解. 【解答】 解：因为在递减，在递增， 在R上为增函数， 故由复合函数的单调性法则可知函数的单调增区间为 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查分段函数的单调性，一次函数单调性，指数函数单调性，属于中档题. 由题意可得在 上单调递增，在上单调递增，且，列出关于a的不等式组求解即可. 【解答】 解：因为函数是上的单调递增函数， 所以在 上单调递增，在上单调递增，且， 所以解得：， 故实数a的取值范围是 故答案为 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查指数函数的图象和性质，利用函数的奇偶性求解析式，不等式恒成立求参数的取值范围，属于难题. 先根据函数奇偶性定义，解出奇函数和偶函数的表达式，将不等式，通过变形可得，通过换元得在单调递增，得到，由不等式恒成立得，得出实数a的取值范围． 【解答】 解：为定义在R上的偶函数，为定义在R上的奇函数， ，， 又由，① ，② 由①和②可得：，， 不等式对任意恒成立， 化简为，， ，， 令，在上单调递减， 当时，t取得最大值为， 当时，t取得最小值为， ， 整理得： ， 则由可知在单调递增， 当时，， 因此，实数a的取值范围是， 故答案为 15.【答案】原式， 因为，所以，所以， 所以   【解析】本题考查指数幂的运算，是基础题. 利用指数幂的运算性质化简即可. 本题考查指数幂的运算，是基础题. 根据完全平方公式和指数幂的运算性质化简即可. 本题考查指数幂的运算，是基础题. 利用指数幂的运算性质化简即可. 16.【答案】解：根据题意，将，分别代入得， 所以，所以，， 当时，， 此款鲜牛奶在的保鲜时间约为254小时. 根据题意，即要求，由可知， 所以， 故，即，即， 因为，所以， 所以想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于90h，存储温度要不高于  【解析】本题主要考查的是指数函数的实际应用，难度适中； 将，分别代入，进而可得，再将代入可得结论； 根据题意可得，利用指数的运算和性质，化解求解即可. 17.【答案】解：因为  是定义在  上的奇函数，  时，  =  ， 所以  ，解得  ， 所以  时，  ， 当  时，  ， 所以  ， 又  ， 即  在  上的解析式为  ； 因为  时，  ， 所以  可化为  ， 整理得  ， 令  ，根据指数函数单调性可得  是减函数， 所以  ， 所以  ， 故实数 m 的取值范围是  .   【解析】本题考查利用函数的奇偶性求解析式，复合指数函数的恒成立问题，属于综合题. 根据奇函数的性质求解 a ，再结合对称性得  在  上的解析式； 将不等式  转化为  ，构造函数  ，根据基本初等函数的单调性即可求  的最值，从而得实数 m 的取值范围． 18.【答案】解：由题意得，， 则 证明：设， 则 ， 因为， 所以在上单调递增且， 又， 则，所以， 故， 故在上单调递增. 由知，在上单调递增， 可得的取值范围为，即， ，， 当，即时， 当，即时， 当，即时， ， 故  【解析】本题考查复合型指数函数，证明函数的单调性，二次函数的最值问题等知识，属于中档题. 由题意得，由此即可求出； 利用函数单调性的定义并结合指数函数的单调性即可证明； 由知的单调性，即可得出的取值范围，则，再分类讨论并利用二次函数的性质即可求出y的最小值. 19.【答案】解：因为是定义在R上的奇函数， 所以，解得， 时，， 则，满足是奇函数， 故， 在R上单调递增； 由得， ， 因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 所以函数的值域为 由得， 令， 则在R上递增， 因为函数在上的值域为， 所以， 所以， 因为， 所以关于x的方程有两个不相等的正实根， 所以解得， 即t的取值范围为  【解析】本题主要考查复合型指数函数，考查函数图象的平移变换，函数的奇偶性，单调性，最值及值域，考查转化思想，属于较难题. 由求出a，再由奇函数的定义验证即可，即可指出的单调性； ，的图象可以由函数的图象通过平移得到，求出b，由此求解即可； 在R上单调递增，可得关于x的方程有两个不相等的正实根，由此即可求解. 第19页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $$