小升初典型奥数：表面积相关问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

小升初典型奥数讲义 【典型例题+高频真题+答案解析] 第一部分 资料说明 第一部分：资料说明: 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第二部分 典型例题 例题1：有一个棱长为10厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的“十”字孔（如图12所示），求这个立体图形的表面积． 【答案】864平方厘米 【详解】将这个立体图形看成8个棱长为4厘米的正方体和12个棱长为2厘米的正方体粘合而成．其中8个棱长为4厘米的正方体在大正方体的八个顶点上，棱长为2厘米的正方体在大正方体的棱的中间．由于每个小正方体都有两个面分别粘接两个较大的正方体，相对于不粘接，减少了2×2×4=16（平方厘米）的表面积，所以这个立体图形的表面积为：（4×4×6）×8+（2×2×6）×12-16×12=768+288-192=864（平方厘米） 例题2：图中的几何体是一棱长为4厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少（π=3.14）？ 【答案】133.68平方厘米 【详解】因为正方体的棱长为2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打透．这一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积、这六个圆柱的高为1厘米，底面圆的半径为1厘米． 正方体的表面积为4×4×6=96（平方厘米） 一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（平方厘米） 几何体的表面积为96+6.28×6=133.68（平方厘米） 答：打孔后几何体的表面积是133.68平方厘米． 例题3：有10个表面涂满红漆的正方体，其棱长分别为2，4，6，…，18，20．若把这些正方体全部锯成棱长为1的小正方体，则在这些小正方体中，共有多少个至少是一面有漆的? 【答案】8000 【详解】题中需算至少一面的有漆的，我们只需把所有的小立方体个数减去一面都没有漆的小立方体个数即可． 全部的小立方体共有23+43+63+…+183+203个； 而每个立方体的内部都没有染色，这时内部的立方体的棱长为原立方体的棱长减2，所以内部的小立方体有(2－2)3+(4－2)3+(6－2)3+(8－2)3+…+(18－2)3+(20－2)3＝23+43+63+…+183个． 所以，至少一面有漆的小正方体有[23+43+63+…+183+203]－[23+43+63+…+183]＝203＝8000个． 例题4：从一个长方体上截下为32立方厘米的小长方体后，剩下部分正好是棱长4厘米的正方体．求原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】128平方厘米 【详解】将小长方体拼在正方体上恰可以组成原来的长方体，因此小长方体必有一面与正方体的面相等，即小正方体有一面为4×4的正方体，从而它的长、宽、高分别为2厘米、4厘米和4厘米．所以大正方形的长、宽、高分别为6厘米、4厘米和4厘米，从而它的表面积为：2×（4×4+4×6+4×6）=2×（16+24+24）=2×64=128（平方厘米）． 第三部分 高频真题 1．圆柱形的售报亭的高和底面直径相等（如图），开一个边长等于底面半径的正方形售报窗口．问窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的几分之几？ 2．在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（下图），求这个立体图形的表面积． 3．如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积． 4．如图，棱长分别为厘米、厘米、厘米、厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是多少平方厘米？ 5．下图是从一个立体图形的正上面与正侧面看到的图形,试回答下列问题: (1)以每秒1毫升的速度,往容器内注水时,水面到离台面10的地方为止,需要多少秒? (2)求这个立体图形的体积. (3)求这个立体图形的表面积.() 6．把正方体的六个表面都分成9个相等的正方形.现用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染的颜色不同，问：用红色染成的正方形个数最多有几个？ 7．如下图，把16个边长为2厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积. 8．下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？ 9．如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米? 10．下图是一个珠宝箱的直观图，它的下部是一具棱长为20厘米的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个珠宝箱的表面积和体积． 11．要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？ ⑴当 b2h时，如何打包？ ⑵当 b2h时，如何打包？ ⑶当 b2h时，如何打包？ 12．一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？ 13．在一个底面直径为6厘米，高为10厘米的圆柱体的上下两个面的中心打通一个棱长为2厘米的长方体小孔，求打孔后的几何体的体积及表面积． 14．如图所示，A是母线SB的三分之一分点，从A绕过圆锥侧面经进取短路线绕向B点拉一根绳子．在绳子上面的部分，把圆锥染成红色；在绳子下面的部分，把圆锥侧面染成蓝色．假设圆锥的母线长为30厘米，请问红色区域面积大还是蓝色区域面积大？大多少？ 15．如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积． 16．如图，一个正方体形状的木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么这60块长方体表面积的和是多少平方米？ 17．如图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1/2厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同，棱长为1/4厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 18．如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？ 19．从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案) 20．如图所示，一个的立方体，在一个方向上开有的孔，在另一个方向上开有的孔，在第三个方向上开有的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？ 21．如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型．把这个模型的表面(包括底面)都涂上红色，那么，把这个模型拆开以后，有3面涂上红色的小正方体比有2面涂上红色的小正方体多多少块? 22．有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积． 23．下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 24．从图样上剪下半径为30厘米的扇形，做成一个圆锥．圆锥的底面直径是20厘米． （1）求剪下的扇形的圆心角． （2）求圆锥的表面积． 25．有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图：圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？ 26．如图，用高都是米，底面半径分别为米、米和米的个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(取) 27．把14个（1×1×2）立方厘米的小长方体摆成如下图所示的样子，然后把露出表面的都涂上颜色，则被染上颜色的面积是多少？ 28．如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？ 29．如图8-4，用4个大小相同的立方体拼成图中的形状．如果用涂料涂立方体中的一个侧面需用工料费3元，那么涂完图中的所有表面，共需要工料费多少元? 30．用棱长是1厘米的立方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米? 31．一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少？ 32．一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大，则这个圆柱体木棒的侧面积是多少．(取) 33．把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？ 34．小红的生日舞会，做了一顶圆锥形帽子，要将帽子涂成红色和蓝色，O点为顶点，BC为底面圆直径30cm，A点是OB的下三分之一处，OB=30cm，从A点出发，CA之间最短的距离之上涂成红色，下边涂成蓝色．那么小红的帽子有多大地方涂的是蓝色？（=3） 35．图中的立体图形是由14个棱长为5cm的立方体组成的，求这个立体图形的表面积？ 36．右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个零件的表面积和体积． 37．一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？ 38．把一个棱长为2cm正方体在同一平面的边的中点用线段连接起来，如图．然后把正方体顶点上的三角锥锯掉，请问最后所得的立体图形的表面积的多少平方厘米？（1.732×1.732=3） 39．一个圆柱体的体积是立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ () 40．有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成左图的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积. 41．如下图，是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中间向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞.接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米，求最后得到的立体图形表面积是多少平方厘米？ 42．一个长方体，如果长减少2厘米，宽和高不变，则它的体积减少48立方厘米；如果宽增加3厘米，长和高不变，则它的体积增加了99立方厘米；如果高增加4厘米，长和宽都不变，则它的体积增加352立方厘米．求原来长方体的表面积． 43．把十九个棱长为1厘米的正方体重叠起来，拼成一个立体图形，如图1所示，求这个立体图形的表面积． 44．如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？ 参考答案： 1． 【详解】窗口上下的弧长为底面圆周长的六分之一 窗口的高为圆柱的高的二分之一 挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的×= 2．214 【分析】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现:小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面．这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分: 上下方向:大正方体的两个底面 侧面:小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面． 【详解】解：上下方向: 5×5×2=50(平方分米) 侧面: 5×5×4=100(平方分米)       4×4×4=64(平方分米) 这个立体图形的表面积为: 50+100+64=214(平方分米)． 答:这个立体图形的表面积为214平方分米． 3．表面积785.12（平方厘米）,体积为668.64（立方厘米）． 【分析】本题考点 不规则图形的表面积及体积．大正方形减去右边图形就是我们要求的体积．打通部分可看为两个小圆柱，两个小长方形和一个大长方形共五部分组成，这样计算体积非常容易，但在计算表面积时要考虑公共面． 这道题是人大附中分班考试题目． 【详解】解：外侧表面积为：6×10×10-4×4×4-×22×2=536-8． 内侧表面积为：16×4×3+2×（4×4-×22）+2×2×2×3=192+32-8+24=224+16． 总表面积=224+16+536-8=760+8=785.12（平方厘米）． 计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如图，只要求出这个几何体的体积即可． 挖出的几何体体积为：4×4×4×3+4×4×4+2×π×22×3=192+64+24π=256+24π． 所求几何体体积为：10×10×10- （256+24π）=668.64（立方厘米）． 4．194平方厘米 【详解】 (法1)四个正方体的表面积之和为：(平方厘米)， 重叠部分的面积为：(平方厘米)， 所以，所得到的多面体的表面积为：(平方厘米)． (法2)三视图法．从前后面观察到的面积为平方厘米,从左右两个面观察到的面积为平方厘米，从上下能观察到的面积为平方厘米． 表面积为(平方厘米)． 5．(1) 60秒  (2) 840  (3) 728 【详解】(1)2×2×3×(10-5)=60,60÷1=60(秒). (2)8×8×(10+5)- 2×2×3×10=840. (3)底面积8×8×2=128; 外侧面的面积为8×(10+5)×4=480; 内侧面积为4×3×10=120; 表面积为128+480+120=728. 6．很明显，一个面上最多有5个方格可以染成红色，如图（a）所示.当一个面染成5个红色方格以后，与这个面有公共边的四个面，就不能再有同样的染法，但这个面的对面仍可染成5个红色方格，因此，至多有两个面可以染成5个红色的方格，其余四个面，每一个面的四个拐角处的方格不能染红，一个面至多如图（b）染上四个红格，但有公共边的两个面，不能都染成（b），只能有一组对面染成（b），另一组对面染成（c）.采用以上步骤染成红色方格共有： 5×2＋4×2＋2×2=22个.这是最多的红色方格数. 7．从前、后、左、右、上、下六个方向分别看这堆积木形成的形体表面. 从前看有7个边长为2厘米的小正方形； 从后看有7个边长为2厘米的小正方形； 从左看有9个边长为2厘米的小正方形； 从右看有9个边长为2厘米的小正方形； 从上看有9个边长为2厘米的小正方形； 从下看有9个边长为2厘米的小正方形； 因此，这堆积木的表面积是： 22×（7＋7＋9＋9＋9＋9）=200（平方厘米）. 8．48平方厘米 【详解】从图中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个．另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后；左、右两个面的表面积也是分别相同的．因为小正方体的棱长是1厘米，所以 上面的表面积为1×1×9=9（平方厘米） 前面的表面积为1×1×8=8（平方厘米） 左面的表面积为1×1×7=7（平方厘米） 几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=18+16+14=48（平方厘米） 答：几何体的表面积是48平方厘米． 9．24 【详解】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(31)(41)(51)9刀，而原正方体一个面的面积1l1(平方米)，所以表面积增加了92118(平方米)．原来正方体的表面积为616(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为618=24(平方米)． 10．表面积：2942平方厘米   体积：11140立方厘米 【分析】这是一个由两个基本几何体组成的形体，因此将它拆分成两个部分分别来求体积和表面积．这两个部分为：上部的半圆柱体、下部的正方体． 【详解】（1）先求这个珠宝箱的表面积： 将这个几何体的表面积分成两上部分：一部分是圆柱表面积的一半，另一部分是正方体的5个面的面积之和． 由于正方体的棱长为20厘米，从而圆柱底面半径为10厘米，高为20厘米，因此圆柱的表面积为，可得第一部分的表面积为1884÷2=942（平方厘米）；而第二部分的表面积为：；故此珠宝箱的表面积为942+2000=2942（平方厘米）． （2）再求这个珠宝箱的体积： 第一部分的体积为；第二部分的体积为；故此珠宝箱的体积为3140+8000=11140（立方厘米）． 答：这个珠宝箱的表面积为2942平方厘米，体积为11140立方厘米． 11．如解析图 【详解】图2和图3正面的面积相同，侧面面积正面周长长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图2的正面周长是8h6b，图3的周长是12h4b.两者的周长之差为2（b2h）. 当b2h时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b2h时，按图2打包；当b2h时，按图3打包. 12．18 【详解】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数2增加的面数． 原正方体表面积：1166(平方米)，一共锯了(21)(31)(41)6次， 6112618(平方米)． 13．体积：242.6立方厘米    表面积：316.92平方厘米 【详解】 答：所求几何体的体积为242.6立方厘米，表面积为316.92平方厘米． 14．蓝色区域面积较大   大106.5平方厘米 【分析】由于圆锥形帽子的侧面展开图为四分之一圆，因此三角形为直角三角形．从图中可知红色区域为三角形SAB，蓝色区域为扇形去掉三角形SAB以外的部分． 【详解】先求红色区域的面积： 由于SB=30厘米， 因此 再求蓝色区域： 由于 由于，所以蓝色区域的面积大于红色区域的面积，多的面积为406.5-300=106.5（平方厘米）． 答：蓝色区域面积较大，且比红色区域面积大106.5平方厘米． 15．24π；668.64 【详解】⑴先求表面积．表面积可分为外侧表面积和内侧表面积． 外侧为6个边长10厘米的正方形挖去4个边长4厘米的正方形及2个直径4厘米的圆，所以，外侧表面积为：(平方厘米)； 内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积，需要注意的是这个图形的上下两个圆形底面和前后左右4个正方形面不能计算在内，所以内侧表面积为： (平方厘米)， 所以，总表面积为：(平方厘米)． ⑵再求体积．计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如右上图，只要求出这个几何体的体积，用原立方体的体积减去这个体积即可． 挖出的几何体体积为：(立方厘米)； 所求几何体体积为：(立方厘米)． 16．24平方米 【详解】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积． 现在一共切了（3-1）+（4-1）+（5-1）=9刀，而原正方体一个面的面积1×1=1（平方米），所以表面积增加了9×2×1=18（平方米）． 原来正方体的表面积为6×1=6（平方米）． 所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24（平方米）． 17．29.25平方厘米 【详解】俯视图发现上表面积就是大正方体的一个面的面积 表面积为大正方体表面积加上3个小正方体的侧面积 2×2×6+1×1×4+××4+××4 =24+4+1+ =29.25（平方厘米） 18．3 【详解】大立方体的表面积是202062400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：(24542400)69平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米． 19．592；632；648；672 【详解】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米； 按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米； 按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米； 按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米． 20．100；204 【详解】求体积： 开了的孔，挖去，开了的孔， 挖去；开了的孔， 挖去， 剩余部分的体积是：． (另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图： 得到总体积为：． 求表面积： 表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为，内部的面积可以分为前 后、左右、上下三个方向，面积分别为、 、，所以总的表面积为 ． (另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数： 前后方向： 上下方向： 左右方向： 总表面积为． 总结：“切片法”：全面打洞(例如本题，五层一样)，挖块成线(例如本题，在前一层的基础上，一条线一条线地挖)，这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！ 21．12 【详解】三面涂上红色的小正方形有2×4+5×4＝28(个)；两面涂上红色的小正方形有3×4+1×4＝16(个)，所以多出28－16＝12(个)． 22．56 【详解】(平方米)． 23． 【详解】我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2228(平方厘米)；左右方向、前后方向：22416(平方厘米)，1144(平方厘米)，41(平方厘米)，4(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：41(平方厘米). 24．（1）120°      （2）1256平方厘米 【详解】设扇形的圆心角为n，则扇形的弧长为；这弧长恰为圆锥的底面周长，从而，解得n=120°． ． 答：扇形的圆心角是120°，圆锥的表面积是1256平方厘米． 25．307.72平方厘米 【详解】涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为： 6π×10＋π×（6÷2）2×2＋4π×5 ＝60π＋18π＋20π ＝98π ＝307.72（平方厘米） 答：一共需涂307.72平方厘米。 26．32.97 【详解】从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为(立方米)，侧面积为(立方米)，所以该物体的表面积是(立方米)． 27．54平方厘米 【详解】从前面看这个图形，该染上颜色的面积是1×6=6（平方厘米）；同理，从后面看这个图形，也该染上6平方厘米的面积．从左边看，要染上的面积是2×6=12（平方厘米）；从右边看，也要染上12平方厘米的面积．从上边俯视，要染上的面积是2×9=18（平方厘米）．所以被染上颜色的面积是6+6+12+12+18=54（平方厘米）． 28．54 【详解】当小积木互相重合的面最多时表面积最小. 设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54. 29．54 【详解】图中的立体图形共有3+3+4+4+2+2＝18个面需要涂色，那么共需18×3＝54元工料费． 30．46平方厘米 【详解】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成． 该图形的表面积等于个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米． 31．1252 【详解】截去一个小正方体，表面积不变． 只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少． 所以要使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长7与8的小正方体（如图所示）， 这时剩下部分的表面积比原正方体的表面积减少最多． 剩下部分的表面积最小是： 15×15×6-7×7×2=1252． 想想为什么不是15×15×6-7×7-8×8. 32．3152.56平方厘米 【详解】根据题意可知，切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面． 设圆柱体底面半径为，高为，那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大： ，所以，所以，圆柱体侧面积为： ． 33．108 【详解】设小正方体的棱长为1，考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一个是1的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1的情况． 当长方体的长、宽、高中有一个是1时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些．因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，设，那么分成的小正方体个数为 ，为了使小正方体的个数尽量少，应使最小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当时它们的和最小，此时共有 个小正方体． 当长方体的长、宽、高都大于1时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8个顶点所在的小正方体后12条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，所以长方体的长、宽、高之和是．由于三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令，此时共有个小正方体． 因为，所以至少要把这个大长方体分割成108个小正方体． 34．750平方厘米 【详解】底面周长为圆锥展开后 扇形的弧长 蓝色面积=圆锥侧面积-红色面积 底面周长=30×=30×3=90 侧面展开后扇形所在圆的周长=2××30=180 所以侧面展开图为半圆 蓝色面积=×30×30×-×（20+20） ×30 =1350-600=750（平方厘米） 35．1050平方厘米 【详解】用透视法观察 上、下两个面的面积相等 4个侧面的每个侧面面积为6个小正方形面积 底面棱长5×3=15  上、下两个面的面积=15×15×2=450 4个侧面面积=4×6×5×5=600 总面积=450+600=1050（平方厘米） 36．11768；89120. 【详解】这是一个半圆柱体与长方体的组合图形，通过分割平移法可求得表面积和体积分别为：11768平方厘米，89120立方厘米． 37．182.8736 【详解】圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短厘米，表面积就减少平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是平方厘米，所以底面周长是(厘米)，侧面积是：(平方厘米)，两个底面积是：(平方厘米)．所以表面积为：(平方厘米)． 38．18.928cm2 【详解】所得立体图形表面为6个正方形和8个等边三角形 勾股定理 等边三角形的高的平方=底边的平方-半个底边的平方=底边的平方 6个正方形面积=6×（1×1+1×1）=6×2=12 等边三角形的高的平方=×2= 等边三角形的高的平方×底边的平方=×2=3 所以等边三角形的高×底边=1.732， 等边三角形的面积=1/2×1.732=0.866 立体图形的表面积=12+8×0.866=18.928(cm2) 39．16 【详解】从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积． (法1)这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径． 可知，圆柱体的高为(厘米)，所以增加的表面积为(平方厘米)； (法2)根据长方体的体积公式推导．增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积．由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为厘米，所以侧面长方形的面积为平方厘米，所以增加的表面积为平方厘米． 40．三个小正方体拼接成图中的样子（见307页原题图），减少了小正方体的4个侧面正方形的面积，表面积减少了16平方厘米，每个正方形侧面为16÷4=4平方厘米，每个正方体棱长为2厘米，三个小正方体体积（即所成形体的体积）是3×23=24立方厘米. 【详解】略 41．正方体在挖小洞之前的表面积为6×22，挖了小洞之后面积不但没有减少，反还要加上三个小洞的侧面积的和.三个小洞各有四个侧面，每个侧面的面积分别是： 因此总的表面积为： 【详解】略 42．290平方厘米 【分析】首先根据题意可知，如果长减小2cm，宽和高都不变，它的体积减小48cm3可以求出：宽×高＝48÷2＝24（平方厘米）；如果宽增加3cm，长和高都不变，它的体积增加99cm3可以求出长×高＝99÷3＝33（平方厘米）；如果高增加4cm，长和宽都不变，它的体积增加352cm3可以求出长×宽＝352÷4＝88（平方厘米）；然后根据长方体的表面积公式进行计算即可解决问题。 【解答】解：由分析可知： 宽×高＝48÷2＝24（cm2） 长×高＝99÷3＝33（cm2） 长×宽＝352÷4＝88（cm2） 长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 ＝（88＋33＋24）×2 ＝145×2 ＝290（cm2） 答：原长方体的表面积是290平方厘米。 【点评】此题关键是利用增加部分的面积求出长×宽、长×高、宽×高，利用表面积公式灵活解决问题。 43．54平方厘米 【分析】如果一个立体图形没有被“挖洞”的问题，那么它的表面积应该是从上、下、左、右和前、后六个方向看到的平面图形的面积的总和．而此立方体图形，从前后、上下、左右分别看到的图形分别如图2所示． 【详解】由于此立体图形的三个面的投影的面积分别是10平方厘米，8平方厘米，9平方厘米，所以此立体图形表面积为（10+8+9）×2=54（平方厘米）． 【点睛】在求表面积时，可以用“投影法”，即立体图形在六个面上的投影面积总和来求解，而不必去一个一个地数小正方体的个数． 44．100平方米 【分析】该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都是平方米，从上面观察到的面积是平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面积是平方米。 【详解】（12＋22＋42）×4＋42 ＝21×4＋42 ＝84＋16 ＝100（平方米） 答：模型涂刷油漆的面积是100平方米。 学科网（北京）股份有限公司 $$