专题训练：反比例函数与一次函数精练题-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（湘教版）

反比例函数与一次函数精练题 双函数图象共存问题 1．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）一次函数与反比例函数（为常数且均不等于）．在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东青岛·期末）一次函数和反比例函数在同一平面直角系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B．C． D． 4．（23-24九年级上·山东泰安·开学考试）当时，函数与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A．  B．  C．   D．   5．（2024九年级下·全国·专题练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 6．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江嘉兴·一模）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象不可能是（    ）． A． B． C． D． 9．（福建泉州·期中）在同一坐标系中，函数与的图像大概是（    ） A．B．C． D． 10．（2024·山东济南·二模）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．  B．  C．   D．   数形结合确定自变量的取值范围 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，直线 与双曲线 交于，两点，则不等式 的解为 （   ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知正比例函数与反比例函数.对于实数m，当时，；当时，，则m的取值范围为（    ）. A．或 B． C．或 D．或 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于点，则当时，的解集为 ． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点两点，点的横坐标为，当时，的取值范围为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 6．（23-24八年级下·北京·期末）如图所示是一次函数和反比例函数的图象，观察图象写出当时，的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．当时，的取值范围是（    ）    A． B． C．或 D．或 一次函数与反比例函数的实际应用 1．（山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 2．（江苏苏州·期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 3．（2023·河北保定·一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 4．（九年级上·山西·期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东河源·模拟预测）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 6．（2024八年级下·江苏·专题练习）为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 7．（2024八年级下·江苏·专题练习）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 一次函数与反比例函数的综合 1．（四川内江·期中）如图，直线的图象与双曲线的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围； (3)求的面积． (4)在x轴上是找一点P，使值最大，请直接写出点P的坐标． 2．（2024·吉林·三模）如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． (1)求k、b的值； (2)求的面积． 3．（23-24八年级下·四川内江·期中）如图，直线与双曲线相交于、两点，与x轴相交于点C． (1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)直接写出当时，关于x的不等式的解集． 4．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 5．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与轴交于点 (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点M在x轴上，若，求点M的坐标． 6．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象相交于点和．点为轴上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)求与的值； (2)①点的坐标是______（用含的代数式表示）； ②当点落在反比例函数图象上，求的值； (3)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)当为何值时，的值最小？请直接写出的值． 7．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)点在轴负半轴上，连接，过点作，交的图像于点，且，连接．求四边形的面积． 8．（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，已知，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)在直线上求点P，使得的面积等于的面积． 9．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于点和点．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)点C是y轴上的一个动点，当点C运动到何处时，的面积为6？ 10．（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)在轴上取一点，使为等腰三角形，请求出点的坐标． 11．（2024·山东潍坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于，与反比例函数的图象交于，．和面积均为3． (1)求反比例函数的表达式和的面积． (2)根据图象直接写出关于x的不等式的解集 ． (3)点M为y轴上一点，点N为反比例函数图象上一点，当以C，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点N的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 反比例函数与一次函数精练题 双函数图象共存问题 1．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）一次函数与反比例函数（为常数且均不等于）．在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象和性质，先根据一次函数图象确定的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可求解，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解题的关键． 【详解】解：、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象不符，故该选项不合题意； 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∴， ∴反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象不符，故该选项不合题意； 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∴， ∴反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象相符，故该选项符合题意； 、∵一次函数图象经过第二、三、四象限， ∴，， ∴， ∴反比例函数图象经过一、三象限，与选项图象不符，故该选项不合题意； 故选：． 2．（23-24八年级下·山东青岛·期末）一次函数和反比例函数在同一平面直角系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数与反比例函数的图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，一次函数的图象过一，三，四象限，反比例函数过一，三象限； 当时，一次函数的图象过二，三，四象限，反比例函数过二，四象限； 故满足题意，只有选项D； 故选D． 3．（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象综合分析．根据每个函数图象分析出对应的参数范围，再综合对比即可． 【详解】解：当时，∴反比例函数图象在一、三象限，函数的图象经过一、二、三象限，故A选项符合题意，B选项不符合题意； 当时，∴反比例函数图象在二、四象限，函数的图象经过二、三、四象限，故C，D选项都不符合题意． 故选：A． 4．（23-24九年级上·山东泰安·开学考试）当时，函数与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键．因为的符号不确定，所以应根据的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答． 【详解】解：当时，反比例函数的图象在二，四象限，一次函数的图象过二、三、四象限，无符合选项； 当时，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、三象限，选项D符合． 故选：D． 5．（2024九年级下·全国·专题练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象综合分析．根据每个函数图象分析出对应的参数范围，再综合对比即可． 【详解】解：根据题意可得，一次函数表达式为， A、由反比例函数的图象在可一、三象限知，则， ∴一次函数的图象经过一，三，四象限，与图象不符，故A不符合题意； B、反比例函数的图象在二、四象限可知当，则， ∴一次函数的图象经过一，二，四象限，与图象不符，故B不符合题意； C、由反比例函数的图象在可一、三象限知，则， ∴一次函数的图象经过一，三，四象限，与图象相符，故C符合题意； D、由反比例函数的图象在二、四象限可知当，则， ∴一次函数的图象经过一，二，四象限，与图象不符，故D不符合题意； 故选：C． 6．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项B正确，选项C错误，选项D错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A错误； 故选B． 7．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点，依次判断，即可求解， 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由a的取值确定函数所在的象限． 【详解】解：当时，，在一、二、四象限，在二、四象限，只有B符合， 当时，，在二、三、四象限，在一、三象限，无选项符合， 故选：B． 8．（2024·浙江嘉兴·一模）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象不可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图像，弄清函数图像与相关参数的关系成为解题的关键． 由题意可得，，然后分别分析各选项，看是否存在矛盾即可解答． 【详解】解：，， A.该选项的图像要求中，则，对要求，两图像不存在矛盾，当时，对于函数与x轴交点的横坐标为与图像不存在矛盾，不符合题意； B. 该选项的图像要求中，则；对要求，两图像不存在矛盾；当时，对于函数与x轴交点的横坐标为与图像不存在矛盾，不符合题意； C. 该选项的图像要求中，则；对要求，两图像不存在矛盾，当时，对于函数与x轴交点的横坐标为与图像不存在矛盾，不符合题意； D. 该选项的图像要求中，则，对要求，两图像存在矛盾，符合题意． 故选D． 9．（福建泉州·期中）在同一坐标系中，函数与的图像大概是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数图像性质，熟练掌握两个函数图像与系数之间的关系是解题的关键； 一次函数与反比例函数的图像与系数的符号有关，所以分与两种情况进行讨论；当可以得出与所在的象限以及可以得出与所在的象限，进而求解即可． 【详解】根据题意需分、两种情况讨论： 当时，的图像在第一、三象限，的图像在第一、三、四象限，只有选项C符合； 当时，的图像在第二、四象限，的图像在第二、三、四象限，无选项符合； 故选C． 10．（2024·山东济南·二模）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象．根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：对于，当时，，观察图象可排除B和D； ∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过二、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， 观察A、C选项，选项A符合题意， 故选：A． 数形结合确定自变量的取值范围 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，直线 与双曲线 交于，两点，则不等式 的解为 （   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，找出一次函数图象位于反比例函数图象下方时的范围，根据交点的横坐标结合图象得出答案即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：直线关于原点对称的直线的解析式为即， ∵直线与双曲线交于，两点， ∴直线与双曲线交于点，两点， 观察图象可知， 当或时，直线在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解为是或， 故选：． 2．（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知正比例函数与反比例函数.对于实数m，当时，；当时，，则m的取值范围为（    ）. A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握其性质，数形结合是解决此题的关键． 根据正比例函数、反比例函数的性质借助图象即可得到关于m的不等式组，解不等式组即可求得． 【详解】解：联立方程组， 解得，， ∵当时，；当时，， ∴或， 解得：或， 故选C． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键， 先将所求的不等式变形为，再利用函数图象法找到对应的自变量的取值范围，据此作答即可． 【详解】解：， ， ∵一次函数与反比例函数的两个交点的横坐标分别为1和3， 由图象知，当或时，一次函数在反比例函数的图象上方， ∴的解集为：或， 故选：C． 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于点，则当时，的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．根据，结合图像得出答案． 【详解】解：结合图像可知，的解集为． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点两点，点的横坐标为，当时，的取值范围为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，先根据反比例函数与正比例函数的性质求出点的横坐标，再结合函数图象即可得出答案，利用数形结合的思想，熟练掌握函数的图像和性质是解题关键． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 由函数图象可知，反比例函数图象在正比例函数的图象的上方时，取值范围是或， 即时，取值范围是或， 故选：． 6．（23-24八年级下·北京·期末）如图所示是一次函数和反比例函数的图象，观察图象写出当时，的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可得，当或时，， 故选：． 7．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．当时，的取值范围是（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，找到一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即可求解． 【详解】解：由图可知：一次函数与反比例函数的交点坐标为， 当时，即一次函数图象在反比例函数图象上方 此时或 故选：C． 一次函数与反比例函数的实际应用 1．（山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 2．（江苏苏州·期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 【答案】D 【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答． 【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，， 反比例函数的解析式为：， ∵当时，， 月份的利润为万元，正确，不合题意； B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意； C、设一次函数解析式为：， 则，解得：， 故一次函数解析式为：， 当时，，解得：， ∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意． D、当时，，解得：， ∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意． 故选：D． 3．（2023·河北保定·一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【答案】C 【分析】根据图象中的数据逐项分析求解即可． 【详解】解：∵， ∴玻璃加热速度为， 故A选项不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是， 故B选项不合题意； ∴设玻璃温度上升时的函数表达式为， 由题可得，在正比例函数图象上， 代入点可得，， ∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是， ∴将代入，得， ∴将代入，得， ∴， ∴能够对玻璃进行加工时长为， 故C选项符合题意； 将代入得，， ∴， ∴玻璃从降至室温需要的时间为， 故D选项不符合题意． 故选：C． 4．（九年级上·山西·期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别利用正比例函数以及反比例函数解析式，再利用y＝6分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】解：当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx， 将（4，8）代入得：8＝4k， 解得：k＝2， 故直线解析式为：y＝2x， 当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝， 将（4，8）代入得：8＝， 解得：a＝32， 故反比例函数解析式为：y＝； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4）， 下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）． 当y＝6，则6＝2x，解得：x＝3， 当y＝6，则6＝，解得：x＝， ∵−3＝（小时）， ∴血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间小时 故选A． 5．（2024·广东河源·模拟预测）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 【答案】(1) (2)加热一次，水温不低于的时间为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用． （1）待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出的值，即可； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点代入，得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，， ， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，设一次函数的表达式为， 将点代入一次函数的表达式，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 令，则； 在降温过程中，当水温为时，有，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 6．（2024八年级下·江苏·专题练习）为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 【答案】(1)分钟 (2)完全有效，见解析 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，是一个分段函数，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． （1）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出时间，再减去分钟即可得结果． （2）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出，对于，令，求出时间，用两时间之差与作比较，即可得结果． 【详解】（1）解：由题意可得，故当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， （分钟）． 答：至少经过分钟后学生方可返回教室． （2）当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， 对于，当时，， ， ， 此次消毒是完全有效， 答：此次消毒完全有效． 7．（2024八年级下·江苏·专题练习）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 【答案】(1)20摄氏度 (2) (3)小时 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键． （1）根据图象设一次函数解析式为，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式； （3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，用24小时减去这些时间即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：， 根据题意，可得， 解得， 直线， 当时，， 恒定温度为：； （2）由（1）可知：一次函数解析式为， 根据图象可知：， 设小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：， 小时函数解析式为：； （3）当时，， ， 当时，， ， 在时时内有个小时气温是低于的， 气温低于的总时间为：， 气温高于的适宜温度是：． 一次函数与反比例函数的综合 1．（四川内江·期中）如图，直线的图象与双曲线的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围； (3)求的面积． (4)在x轴上是找一点P，使值最大，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)当或时，一次函数的值小于反比例函数的值 (3)4 (4) 【分析】（1）首先可求得反比例函数解析式，即可求得点B坐标，再根据点A、B都在一次函数图象上，分别代入即可求得； （2）根据图象得出结论； （3） 记一次函数与轴的交点为，并求得点C的坐标，根据，即可求解． （4）作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，得到，，根据三角形三边关系得到，当等号成立时，即、、三点共线时，值最大，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：直线的图象与双曲线的图象交于，两点． ， 即反比例函数解析式为， ， ， 将，代入直线中有， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：由图象可知，一次函数的值小于反比例函数的值（即一次函数图象在反比例函数图象下方的部分）的x的取值范围未为或； （3）解：记一次函数与轴的交点为， 的坐标为， ； （4）解：点P的坐标为，理由如下： 作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接并延长，交轴于点，连接， 由对称的性质可知， ， ， 当等号成立时，即、、三点共线时，值最大， 设直线的解析式为， 有， 解得， 直线的解析式为， 当时，，解得， ． 2．（2024·吉林·三模）如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． (1)求k、b的值； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式： （1）代入点C坐标求得反比例函数的关系式，再计算点B的坐标，将点B坐标代入一次函数解析式求解即可； （2）分别求出点A、D和E的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的关系式为； ∵点B的横坐标为6， ∴点B的纵坐标为4，即点， 将代入得：， 则； （2）解：∵，轴， ∴点， 由（1）可得，直线解析式为， 当时，，点， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴． 3．（23-24八年级下·四川内江·期中）如图，直线与双曲线相交于、两点，与x轴相交于点C． (1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)直接写出当时，关于x的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的表达式为；反比例函数表达式为 (2)4 (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． （1）将已知点坐标代入反函数表达式，再求解B的坐标，再求解一次函数的解析式即可； （2）先求解D的坐标，结合点A，点B的坐标，然后根据的面积即可以解决问题； （3）根据图象即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴反比例的解析式为； 把代入， ∴， ∴， 将，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为， （2）解：对于， 当时， ∴点D的坐标为， ∴点B的坐标为，， ∴的面积； （3）解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或． 4．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数表达式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）依据题意，设直线交轴于点，交轴于点，由直线为，可得，故，再由，进而计算可以得解； （３）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合)与关于轴对称，故为，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵在反比例函数上， ∴． ∴反比例函数表达式为． 又在反比例函数上， ∴． ∴． 设一次函数表达式为， ∴， ∴，． ∴一次函数的表达式为． （2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B， 又直线l为， ∴，． ∴，， ∴； （3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长． ∵与关于y轴对称， ∴为． 又，设的解析式为， 则，解得， ∴直线为． 令，则． ∴． 5．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与轴交于点 (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点M在x轴上，若，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出是解题的关键． （1）设反比例函数解析式为，将代入，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式，将代入求得的反比例函数，解得a的值，得到B点坐标，最后根据待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）求出点C的坐标，根据求出，分两种情况：M在O点左侧；M点在O点右侧，根据三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 将代入，可得，解得， 反比例函数的解析式为， 把代入，可得， 解得， ， 设一次函数的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：当时，可得， 解得， ， ， ， ， ， ， M在O点左侧时，； M点在O点右侧时，， 综上，M点的坐标为或． 6．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象相交于点和．点为轴上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)求与的值； (2)①点的坐标是______（用含的代数式表示）； ②当点落在反比例函数图象上，求的值； (3)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)当为何值时，的值最小？请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 (3)或 (4)时最小值为 【分析】（1）根据函数图像上点的坐标特征，将点分别代入和即可得到与的值； （2）①过点作轴于点，结合点的坐标与旋转的性质证明，得，，即可得解； ②根据①的结论，将点的坐标代入求解即可； （3）过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作轴于点，根据勾股定理及等积法依次求出，，，，，确定，直线的解析式为，确定直线的解析式为，联立方程组，求解后确定，得，确定直线的解析式为，联立方程组，求解后确定，得，根据，得，求解即可； （4）先确定点的运动路径为直线，设直线交轴于点，交轴于点，点与其对称点的连线交于点，根据对称的性质得垂直平分，，继而得到，当点、、共线时取“”，此时取得最小值，结合点的坐标及等腰三角形三线合一性质确定 ，继而得到，，确定直线的解析式为，联立方程组，求解后确定，即可得解． 【详解】（1）解：∵点在直线和反比例函数的图像上， ∴，， 解得：，， ∴的值为，的值为； （2）由（1）知：直线的解析式为，反比例函数解析式为， ∵直线与轴、轴分别交于点、， 当时，得：；当时，得：，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ①过点作轴于点， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵点落在反比例函数的图像上， ∴， 解得：或， 经检验：或均为原方程的解且符合题意， ∴或； （3）过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作轴于点， 在中，，，，，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线于点， 联立方程组，得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线于点， 联立方程组，得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得：或， ∴当或时，； （4）∵， ∴，即， ∴点的运动路径为直线， 设直线交轴于点，交轴于点，点与其对称点的连线交于点， ∴垂直平分，， ∴， 当点、、共线时取“”，此时取得最小值， ∵直线交轴于点，交轴于点， 当时，得：；当时，得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴为边上的中线，即点为的中点， ∴点的坐标为，即， ∵点与点关于对称，设 ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 此时点为直线与的交点， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：， ∴， 又∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 7．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)点在轴负半轴上，连接，过点作，交的图像于点，且，连接．求四边形的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2) 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与性质、求一次函数和反比例函数解析式、平行四边形的判定与性质、坐标与图形，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与性质、数形结合是解题的关键． （1）把代入求解，得出反比例函数的表达式，求出，把、代入求解，得出一次函数的表达即可； （2）连接，交轴于点，根据一次函数的表达式，求出，得出，根据，，证明四边形是平行四边形，得出，根据点在轴负半轴上，结合图形与坐标，，，得出点的纵坐标，的边上的高，的边上的高，求出点的纵坐标，代入求出，求出点的横坐标，得出，根据求出，根据计算，得出，根据四边形的面积，计算求出面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点， ∴把代入得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， ∴把代入得：， 解得：， ∴， 把、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图，连接，交轴于点， ∵一次函数的表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点在轴负半轴上，由（1）得：，， ∴点的纵坐标，的边上的高，的边上的高， ∴点的纵坐标， ∵点在反比例函数上， ∴当时，， 解得：， ∴， ∴点的横坐标， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 8．（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，已知，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)在直线上求点P，使得的面积等于的面积． 【答案】(1)；y＝ (2) (3)或 【分析】（1）把代入，可得一次函数的解析式，再求解，可得反比例函数解析式； （2）根据函数图象可得答案； （3）由；可得重合，则；当在的下方时，可得，，再结合平移的性质可得答案； 【详解】（1）解：把代入， ∴， ∴； ∴一次函数为； 把代入可得：， ∴； ∴， ∴反比例函数为：； （2）解：由函数图象可得不等式的解集为：； （3）解：如图，记直线与轴的交点为， ∴，， ∵，， ∴； ∴重合， ∴； 当在的下方时， ∵， ∴， ∴， 由平移可得：； 综上：或. 9．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于点和点．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)点C是y轴上的一个动点，当点C运动到何处时，的面积为6？ 【答案】(1)一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是 (2)当点C运动到或时，的面积为6 【分析】（1）把点代入函数中，即可求得a的值，从而得到反比例函数解析式为．把点代入反比例函数中，求得点A的坐标．采用待定系数法把点A，B的坐标代入函数中，求解即可得到一次函数解析式； （2）设直线与y轴的交点为D，则，设点C的坐标为，则，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，则，，根据即可得到关于n的方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式是． ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得 ∴． ∵一次函数的图象经过，两点， ∴，解得． ∴一次函数的解析式是． （2）解： 设直线与y轴的交点为D， 则在中，令，则， ∴， 设点C的坐标为，则    过点A作轴于点E，过点B作轴于点F， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， 点C的坐标为或． ∴当点C运动到或时，的面积为6． 10．（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)在轴上取一点，使为等腰三角形，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，利用勾股定理，建立方程都是解本题的关键； （1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案； （2）分三种情况，当时， 当时，当时，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得到， ∴ 把代入，得到， 把代入 ，得到 ， ∴； （2）解：∵为等腰三角形 ∴分情况讨论 第一种情况，当时，; 第二种情况，当时， ∵， ∴ ∴或 第三种情况，当时， 在中，设， 由得， 解得， ∴ 11．（2024·山东潍坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于，与反比例函数的图象交于，．和面积均为3． (1)求反比例函数的表达式和的面积． (2)根据图象直接写出关于x的不等式的解集 ． (3)点M为y轴上一点，点N为反比例函数图象上一点，当以C，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点N的坐标． 【答案】(1)，3 (2) (3)点的坐标为或． 【分析】（1）解方程得到，，求得，，设，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （2）设，根据三角形的面积公式列方程得到，求得，于是得到不等式的解集为； （3）设，，，，根据平行四边形的性质和中点坐标公式列方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，令，则，令，则， ，， ，， 设， 和面积均为3， ， ， ， ， 反比例函数的表达式为， 的面积的面积的面积面积； （2）解：设， 面积为3， ， ， ， 不等式的解集为， 故答案为：； （3）解：设，，，， 以，，，为顶点的四边形为平行四边形时， 则有当是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得： 解得； 即点； 当是对角线时，同理可得： ，解得， 即点（不合题意舍去）； 当是对角线时，同理可得： 解得， 故点； 综上，点的坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$