2.3 单摆（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中物理选择性必修第一册（鲁科版2019）

第3节　单摆 核心 素养 物理观念 科学思维 科学探究 科学态度与责任 知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。 能在熟悉的问题情境中运用简谐运动、弹簧振子和单摆等物理模型解决机械振动的问题；能分析与机械振动相关的问题，通过推理得到结论并能解释；能用与机械振动相关的证据解释生产生活中的机械振动现象；能从相互作用和能量等不同角度认识机械振动，能质疑他人的观点。 掌握使用单摆周期公式测定重力加速度的方法。 能够利用单摆周期公式解释与单摆有关的现象。 [对应学生用书P36] 知识点一 单摆的振动 1.单摆：把一根不能伸长的细线上端固定，下端拴一个小球，线的质量和球的大小可忽略不计，这种装置称为单摆。 2．单摆的回复力 (1)回复力的来源：摆球重力沿圆弧切向的分力F❶提供了使球沿圆弧振动的回复力。 (2)回复力的特点：在摆角很小的情况下，单摆所受回复力大小与摆球位移大小成正比❷，方向与摆球位移方向相反。 (3)运动规律：在摆角很小的情况下，单摆的振动可近似视为简谐运动。 1．实际生活里，摆的摆动都可以看作简谐运动。(　　×　　) 2．单摆所受回复力的方向总是指向悬挂位置。(　　×　　) 3．单摆所受的回复力，是由摆球重力的分力提供的。(　　×　　) 知识点二 单摆的周期❸ 1.内容：单摆的振动周期T与摆长l的算术平方根成正比，与重力加速度g的算术平方根成反比。 2．公式：T＝2π。 1．摆球的质量越大，单摆的振动周期越长。 (　　×　　) 2．摆动的幅度越大，单摆的振动周期越长。 (　　×　　) 3．摆线越长，单摆的振动周期越长。(　　√　　) 批注❶：如图所示。 批注❷：F＝－x，F的方向总指向平衡位置。单摆所受的回复力不是摆球所受到的合力。 批注❸：单摆周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。由此公式得知单摆的周期与振幅及摆球的质量皆无关，该公式一般可用来计量时间、测量当地的重力加速度。 [对应学生用书P37] 探究点一　对单摆回复力及运动特征的理解　(科学思维之提升) ►情境探究 图甲中的钟摆是单摆模型的具体应用。如图乙所示，当摆角很小时，钟摆的运动可看成摆球的简谐运动。结合简谐运动的知识，请思考以下问题。 　 (1)运动过程中，摆球受到哪些力的作用？ 提示：摆球受重力和细线给予的拉力。 (2)摆球的向心力和回复力分别是由什么力提供的？ 提示：细线给予的拉力和自身重力沿细线方向分力的合力提供向心力；摆球重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力。 (3)摆球经过平衡位置时，所受合外力是否为0? 提示：单摆摆动中的平衡位置不是受力平衡状态，在此处有向心力和向心加速度，所受的回复力为0，但合外力不为0。 ►探究归纳 1．摆球的受力 (1)任意位置：如图所示，沿绳方向合力，即F－G2＝F－Gcos θ的作用就是提供摆球绕O′做变速圆周运动的向心力；切线方向上，G1＝Gsin θ的作用是提供摆球以O为平衡位置做往复运动的回复力。 (2)平衡位置：摆球经过平衡位置时，G2＝G、G1＝0，此时有F大于G，F－G提供向心力。因此在平衡位置，回复力F回＝0与G1＝0相符。 2．运动特点 (1)摆球以悬点为圆心在竖直平面内做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，摆球沿轨迹半径方向都受向心力。 (2)摆球同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，摆球在轨迹的切线方向都受回复力。 3．单摆的简谐运动特征 在θ很小时(理论值为＜5°)，sin θ≈tan θ＝，G1＝Gsin θ＝x，G1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F回＝G1＝－x＝－kx。因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动。 ►对点例练 (2021·陕西西安第二高级中学高二期中)图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧的状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中(　　) A．摆球在A点和C点处，速度均为0，所受合力也均为0 B．摆球在A点和C点处，动能均为0，回复力也均为0 C．摆球在B点处，重力势能最小，所受合力为0 D．摆球在B点处，动能最大，细线拉力也最大 D　解析：摆球在摆动过程中，最高点A、C处是摆球的最大位移位置，速度为0，动能为0，回复力最大，合力不为0，A、B错误；在最低点B，是摆球的平衡位置，速度最大，动能 最大，重力势能最小，回复力为0，摆球做圆周运动，绳的拉力最大，C错误，D正确。 [练1] 一单摆做小角度(θ＜5°)摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是(　　) A．t1时刻摆球速度最大，摆球的回复力也最大 B．t2时刻摆球速度为0，悬线对它的拉力最小 C．t3时刻摆球速度为0，摆球的回复力最小 D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力也最大 D　解析：在t1时刻和t3时刻摆球的位移最大，回复力最大，速度为0，A、C错误；在t2时刻和t4时刻，摆球位于平衡位置，速度最大，悬线拉力最大，回复力为0，B错误，D正确。 关于单摆问题的两点注意 (1)所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置。实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡。 (2)回复力是由摆球重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供的，不可误认为回复力就是重力G与摆线拉力T的合力。 探究点二　单摆周期公式T＝2π的理解及应用　(科学思维之提升) ►情境探究 如图所示为“探究影响单摆周期因素”的实验。 (1)该实验应用了什么实验方法？ 提示：控制变量法。 (2)把单摆从赤道处移至两极时，单摆周期如何变化？要保证单摆的周期不变，应如何调整摆长？ 提示：两极的重力加速度大于赤道处重力加速度，由T＝2π知，周期变小。所以应增大摆长，才能使周期不变。 ►探究归纳 1．对周期公式的理解 (1)单摆的周期公式只有在单摆偏角很小时成立(θ<5°)。 (2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球。 2．等效摆长的确定 (1)图甲中，a、b两小球在垂直纸面方向摆起来的效果是相同的，所以甲摆的摆长为lsin α，这就是等效摆长，其周期T＝2π 。 (2)图乙中，b在垂直纸面方向摆动时，与a摆等效；b在纸面内小角度摆动时，与c摆等效。 (3)如图丙所示，小球在光滑且半径较大的圆周上做小幅度(θ很小)的圆周运动时，可等效为单摆，小球在A、B间做简谐运动，周期T＝2π。 3．重力加速度g的变化 (1)公式中的g由单摆所在的空间位置决定。由G＝g知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不同，因此应求出单摆所在处的等效“g”代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2。 (2)等效重力加速度： 若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量之比。如图所示，球静止在O时，T＝mgsin θ，等效加速度g′＝＝gsin θ。 ►对点例练 (2021·陕西宝鸡高二期中)一个摆长为2 m的单摆，在地球上某地振动时，测得振动的周期为2.84 s。求： (1)当地的重力加速度g。 (2)若把该单摆拿到月球上，已知月球上的重力加速度是1.60 m/s2，求此时单摆的振动周期T′。 答案：(1)9.78 m/s2　(2)7.02 s 解析：(1)根据单摆的周期公式T＝2π， 得g＝＝ m/s2＝9.78 m/s2。 (2)把该单摆拿到月球上去，已知月球上的重力加速度是1.60 m/s2，则该单摆的振动周期T′＝2π＝2×3.14× s＝7.02 s。 [练2] (2021·山西岢岚中学高二月考)如图所示是一摆长为L的单摆，其振动周期为T。如果在悬点O正下方的B点固定一个光滑的钉子，O、B两点的距离为。则摆球A通过最低点向左摆动的过程中，悬线被钉子挡住，从而成为一个新的单摆。这样，单摆在整个振动过程中的周期将为多少？ 答案：T′＝ 解析：单摆摆长为L时，摆动时间为t1＝＝π， 摆线碰到B点后，来回一次的摆动时间变为 t2＝＝π， 所以成为新的单摆后，摆动周期为 T′＝t1＋t2＝(1＋)π， 即T′＝。 确定单摆周期的方法 (1)明确单摆的运动过程，判断是否符合简谐运动的条件。 (2)运用T＝2π时，注意l和g是否发生变化，若发生变化，则分别求出l和g不同时的运动周期。 探究点三　解决实际问题　(科学态度与责任之落实) [练3] (生活情景)(2021·湖北孝感高二期末)荡秋千是小孩最喜欢的娱乐项目之一，该过程可简化为如图甲所示。图甲中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态。由静止释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，其中B点为最低位置，∠AOB＝∠COB＝α(α小于5°且大小未知)，同时由连接到计算机的力传感器得到了摆线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，如图乙所示(图中所标字母，重力加速度g均为已知量)。不计空气阻力，根据题中(包括图中)所给的信息，判断下列说法正确的是(　　) A．该单摆的振动周期为t1 B．无法求出该单摆的摆长 C．可以求得由A运动到C所用的时间(不考虑重复周期)为 D．在α小于5°的情况下，α越大，周期越大 C　解析：小球运动到最低点时，绳子给予的拉力最大，又在一个周期内两次经过最低点，则由乙图可知该单摆的周期T＝t2，A错误；由单摆的周期公式T＝2π可得摆球振动的摆长L＝，故摆长可以求出，B错误；由A运动到C所用的时间(不考虑重复周期)为周期的一半，即t＝，C正确；在α小于5°的情况下，周期不变，D错误。 [练4] (生活情景)(2021·四川南充高级中学高二期中)正在修建的房顶上，固定有一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下。某同学准备应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，他先在线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，之后他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示。若从小球第1次通过图中的B点开始计时，到第21次通过B点共用时30 s。球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1 m。当地重力加速度g取π2 m/s2，根据以上数据，求房顶到窗上沿的高度。 答案：3.0 m 解析：由题意可知，该单摆的周期为 T＝＝ s＝3 s， 又球心到窗上沿的距离l＝1 m，由于该单摆在左右对称的两侧摆动时，摆长变化，故周期由两部分组成，总周期为 T＝(T1＋T2)＝(2π＋2π)， 代入数据，解得房顶到窗上沿的高度为h＝3 m。 学科网（北京）股份有限公司 $$