素养拓展课(2) 简谐运动及图像 单摆（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中物理选择性必修第一册（粤教版2019）

素养拓展课(二)　简谐运动及图像　单摆 学习目标 1.掌握简谐运动的各种运动特征，并能分析简谐运动问题． 2．熟练应用简谐运动的图像解决问题． 3．掌握单摆的运动情况，周期公式及其实际应用. 拓展点一　简谐运动的周期性和对称性 (1)周期性 做简谐运动的物体在完成一次全振动后，再次振动时则是重复上一个振动的形式，所以简谐运动具有周期性，因此在处理实际问题时，要注意多解的可能性． (2)对称性 简谐运动过程具有对称性，关于平衡位置对称的两位置上速度、加速度、回复力、位移、动能、势能的大小均相等，且由某点到平衡位置和由平衡位置到该点或对称点的时间相等，由某点到最大位移处和由最大位移处回到该点的时间相等． 如图所示，一个质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A和B两点，历时2 s．质点通过B点后再经过1 s第二次通过B点，在这3 s内，质点通过的总路为18 cm.则质点振动的周期和振幅分别是多少？ 解析　由于质点先后以相同的速度依次通过A和B两点，历时2 s，则A和B两点关于平衡位置对称，A→O和O→B所用时间都为1 s．质点通过B点后再经过1 s第二次通过B点，同样由对称性知B→b所用时间为0.5 s，则＝1.5 s，所以周期T＝6 s．在题中所述的3 s内，质点通过的总路程为18 cm，正好等于从a到b的距离，则2A＝18 cm，即A＝9 cm. 答案　6 s　9 cm [训练1]　一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，已知振子从平衡位置第一次运动到x＝处所用的最短时间为t1，从最大的正位移处第一次运动到x＝处所用的最短时间为t2，那么下列关于t1与t2的大小关系正确的是(　　) A．t1＝t2　　　　　　　　 B．t1＜t2 C．t1＞t2 D．t1＝2t2 B　[根据振子远离平衡位置时速度减小，靠近平衡位置时速度增大，可知振子从平衡位置第一次以最短时间运动到x＝A处的平均速度大于从最大正位移处第一次运动到x＝A处的平均速度，而路程相等，则t1＜t2，故A、C、D错误，B正确．] 拓展点二　简谐运动图像的应用 1．从振动图像中可得到的信息 (1)可直接读取振子在某一时刻相对于平衡位置的位移大小． (2)从振动图像上可直接读出振幅：正(负)位移的最大值． (3)从振动图像上可直接读出周期． (4)可判断某一时刻振动物体的速度方向和加速度方向，以及它们的大小变化趋势． 2．简谐运动图像与力学知识结合可以解决运动和力的问题． 如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2 s，从最低点位置向上运动时开始计时，在一个周期内的振动图像如图乙所示．关于这个图像，下列说法正确的是(　　) A．t＝1.25 s，振子的加速度为正，速度也为正 B．t＝1 s，弹性势能最大，重力势能最小 C．t＝0.5 s，弹性势能为零，重力势能最小 D．t＝2 s，弹性势能最大，重力势能最小 D　[由题图可知t＝1.25 s时，位移为正，加速度为负，速度也为负，A不正确．竖直方向的弹簧振子，其振动过程中机械能守恒，在最高点重力势能最大，动能为零；在最低点重力势能最小，动能为零，所以弹性势能最大；在平衡位置，动能最大，由于弹簧发生形变，弹性势能不为零．由此可知D正确．] [训练2]　如图所示为甲、乙两等质量的质点做简谐运动的图像，以下说法正确的是(　　) A．甲、乙的振幅分别为2 m和1 m B．甲振动的频率比乙的高 C．2～3 s内，甲、乙的加速度方向均沿负方向 D．t＝2 s时，甲的加速度和乙的速度都达到各自的最大值 B　[通过图像可得T甲＝4 s，A甲＝2 cm，T乙＝8 s，A乙＝1 cm，故A选项错误，B选项正确；在2～3 s内甲的位移为负，加速度与位移反向沿正方向，C错误；t＝2 s时，甲处在平衡位置，速度最大，而乙在正向最大位移处，加速度达到最大，D错误．] 拓展点三　单摆模型的应用 1．有些情况下，单摆处在并非只有重力场的环境中，即为类单摆，则T＝2π中，L为等效摆长，g为等效重力加速度．等效重力加速度的实质是摆球在平衡位置时绳子的拉力(沿圆弧半径方向指向圆心的力)产生的加速度． 如图所示，为竖直面内的光滑圆弧，且≪R，当小球在间运动时，其运动为类单摆运动，等效摆长为R. 2．等效重力加速度 (1)对于不同星球表面，则g＝.(r为星球半径) (2)单摆处于超重或失重状态时，则g＝g0±a. 有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度．已知该单摆在海平面处的周期是T0，当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T.求该气球此时离海平面的高度h.(把地球看成质量均匀分布的半径为R的球体) 解析　根据单摆的周期公式可知 T0＝2π① T＝2π② 其中L是单摆长度，g0和g分别是两地点的重力加速度． 根据万有引力公式得 g0＝G③ g＝G④ 其中G是引力常量，M是地球质量． 由①②③④式解得h＝(－1)R. 答案　(－1)R [训练3]　如图所示，BOC为一光滑圆弧形轨道，其半径为R，且R远大于弧BOC的弧长．若同时从圆心O′和轨道B点分别无初速度释放一小球P和Q，则(　　) A．Q球先到达O点 B．P球先到达O点 C．P、Q两球同时到达O点 D．无法比较 B　[P球做自由落体运动，由R＝gt得t1＝ ；Q球做简谐运动，t2＝T＝·2π＝，所以t1＜t2，选项B正确．] 1.(简谐运动的特征)(多选)一个弹簧振子的振幅是A，若在Δt的时间内物体运动的路程是s，则下列关系中可能正确的是(　　) A．Δt＝2T，s＝8A　　　　　　　 B．Δt＝，s＝2A C．Δt＝，s＝2A D．Δt＝，s＞A ABD　[无论从哪个位置开始振动，每个全振动所通过的路程都为4A，每半个全振动通过的路程为2A，故A、B正确，C错误；若振子不是从最大位移处或平衡位置处出发，经过通过的路程可能大于A，故D正确．] 2．(简谐运动的图像)一质点做简谐运动，其振动图像如图所示，在t1和t2时刻的位移为x1＝x2＝7 cm，在t3时刻的振动位移为x3＝－5 cm，以v1、v2、v3和a1、a2、a3分别表示t1、t2、t3时刻质点振动速度大小和加速度大小，则以下关系正确的是(　　) A．v1＝v2＞v3　a1＝a2＞a3 B．v1＝v2＜v3　a1＝a2＜a3 C．v1＝v2＞v3　a1＝a2＜a3 D．v1＝v2＜v3　a1＝a2＞a3 D　[x1＝x2＞|x3|，故t1、t2、t3时刻的势能关系为Ep1＝Ep2＞Ep3，根据机械能守恒定律知，相应的三个时刻的动能关系为mv＝mv＜mv，则v1＝v2＜v3；加速度大小a1＝，a2＝，a3＝|x3|，故a1＝a2＞a3，D选项正确．] 3．(单摆)(多选)如图所示，在同一地点的A、B两个单摆做简谐运动的图像，其中实线表示A的运动图像，虚线表示B的运动图像．关于这两个单摆的以下判断中正确的是(　　) A．这两个单摆的摆球质量一定相等 B．这两个单摆的摆长一定不同 C．这两个单摆的最大摆角一定相同 D．这两个单摆的振幅一定相同 BD　[从题图可知，两单摆的振幅相等，周期不等，所以两单摆的摆长一定不同，故B、D对；由振幅相等而摆长不等知C错；单摆的周期与质量无关，故A错．] 4．(简谐运动分析)如图所示，竖直悬挂的轻弹簧下端系着A、B两物体，mA＝0.1 kg，mB＝0.5 kg，系统静止时弹簧伸长15 cm，若剪断A、B间的细绳，A做简谐振动，其最大加速度和振幅分别是多少？(g取10 m/s2) 解析　此题等效于用F＝mBg的力拉A使弹簧伸长15 cm后释放，则释放时A的加速度最大，此时合力与F等大、反向，则amax＝＝＝ m/s2＝50 m/s2.振子的平衡位置是不用F拉时A静止的位置．设弹簧的劲度系数为k，A、B静止时，弹簧伸长量为15 cm，由平衡条件得，(mA＋mB)g＝k·x′，解得k＝40 N/m.没有B且A平衡时，弹簧伸长量x＝＝2.5 cm，则振子的振幅A＝(x′－x)cm＝12.5 cm. 答案　50 m/s2　12.5 cm 学科网（北京）股份有限公司 $$