2.4 用单摆测量重力加速度（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中物理选择性必修第一册（粤教版2019）

第四节　用单摆测量重力加速度 一、实验目的 学会用单摆测量重力加速度的方法． 二、实验原理 单摆在偏角很小(小于5°)时的摆动，可以看成是简谐运动．其固有周期为T＝2π，由此可得g＝.据此，只要测出摆长L和周期T，即可计算出当地的重力加速度值． 三、实验器材 摆球1个(穿有中心孔)、秒表、物理支架、米尺或钢卷尺、游标卡尺、细线等． 四、实验步骤 (1)做单摆：将线的一端穿过小球的小孔，并打一比孔大的结．然后把线的上端用铁夹固定于铁架台上，在平衡位置处做上标记． (2)测摆长：用毫米刻度尺测出摆线长度L线，用游标卡尺测量出摆球的直径d，则单摆的摆长L＝L线＋. (3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5°的角，然后释放摆球，当单摆振动稳定后，过最低位置时开始用秒表计时，测量N次(一般取30～50次)全振动的时间t，则周期T＝. (4)变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长L和周期T. 五、数据处理 (1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的L和T，代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值. 实验次数 摆长L/m 周期T/s 加速度g/m·s－2 g平均值 1 g＝ 2 3 (2)图像法：由T＝2π 得T2＝L，作出T2L图像，即以T2为纵轴，以L为横轴，其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g. 六、误差分析 (1)摆线长度、摆球直径的测量易出现偶然误差． (2)秒表读数时也容易出现偶然误差． (3)制作单摆时，线拴不紧易形成系统误差. 要点一　实验原理和数据处理 在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长L和周期T计算重力加速度的公式是g＝________.若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是________m．若测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，则秒表读数是________ s，单摆摆动周期是________ s. 为了提高测量精度，需多次改变L值，并测得相应的T值．现将测得的六组数据标示在以L为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系上，即图丙中用“·”表示的点，则： 丙 (1)单摆做简谐运动应满足的条件是_________________________________________． (2)试根据图丙中给出的数据点作出T2和L的关系图线，根据图线可求出g＝________m/s2.(结果取两位有效数字) 解析　由T＝2π，可知g＝. 由题图甲可知：摆长L＝(88.50－1.00) cm＝87.50 cm＝0.875 0 m. 秒表的读数t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s， 所以T＝＝1.88 s. (1)单摆做简谐运动的条件是单摆的最大偏角θ≤5°. (2)把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧(如图)，则直线斜率k＝. 由g＝＝，可得g≈9.9 m/s2(结果为9.8 m/s2也正确)． 答案　　0.875 0　75.2　1.88 (1)单摆的最大偏角θ≤5° (2)图见解析　9.9(或9.8) [训练1]　在“用单摆测定重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式可得到g＝.只要测出多组单摆的摆长L和运动周期T，作出T2L图像，就可以求出当地的重力加速度．理论上T2L图像是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图像如图所示． (1)造成图像不过坐标原点的原因可能是____________________________________． (2)由图像求出的重力加速度g＝________ m/s2.(取π2＝9.87) 解析　(1)既然所画T2L图像与纵坐标有正截距，这就表明L的测量值与真实值相比偏小了，原因可能是测摆长时漏掉了摆球半径． (2)图像的斜率k＝＝4，则g＝＝9.87 m/s2. 答案　(1)测摆长时漏掉了摆球半径　(2)9.87 要点二　实验创新设计 有两个同学利用假期分别去参观北京大学和南京大学的物理实验室，并各自在那里利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长L的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了T2L图像，如图甲所示，去北大的同学所测实验结果对应的图线是________(选填“A”或“B”)．另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了两个单摆(位于同一地方)的振动图像(如图乙)，由图可知，两单摆摆长之比La∶Lb＝________. 解析　纬度越高，重力加速度g越大，由于＝，所以B图线是在北大的同学做的． 从题图乙中可以看出Ta＝ s，Tb＝2 s. 所以＝＝. 答案　B　4∶9 [创新分析]　(1)对比了同一单摆两地不同的实验结果． (2)利用计算机绘制了两个单摆的振动图像，确定了两摆长的比值． [训练2]　将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度g. (1)测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时数“1”，当摆球第二次通过最低点时数“2”，依此法往下数，当他数到“59”时，按表停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. (2)如果实验中所得到的T2L关系图像如图乙所示，那么真正的图像应该是a、b、c中的________． (3)由图像可知，小筒的深度h＝________ m；当地重力加速度g＝________ m/s2. 解析　(1)这段时间t含有58个“半周期”，即29个周期，则该单摆的周期为，A正确． (2)摆线在筒内部分的长度为h，由T＝2π 得，T2＝L＋h，可知T2L的关系图像为a. (3)将T2＝0，L＝－30 cm代入T2＝L＋h可得：h＝30 cm＝0.3 m，将T2＝1.20 s2，L＝0，h＝0.3 m代入T2＝L＋h可求得：g＝π2 m/s2≈9.86 m/s2. 答案　(1)A　(2)a　(3)0.3　9.86 1.(多选)在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，以下几点建议中对提高测量结果精确度有利的是(　　) A．适当加长摆线 B．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的 C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大 D．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期 AC　[适当加长摆线有利于摆长的测量，使相对误差减小，另外有利于控制摆角不过大，A正确；质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较小的，以减小摆动过程中空气阻力的影响，B错误；单摆偏离平衡位置的角度不能太大，若偏角太大，单摆的运动就不能看作简谐运动，C正确；经过一次全振动后停止计时，所测时间偶然误差过大，应测量多次全振动的时间再求平均值，以减小偶然误差，D错误．] 2．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，实际上要改变摆长，重做几次实验，进行多次测量，再求g的平均值．下表是甲、乙两个同学设计的记录计算表，你认为正确的是(　　) 次数 1 2 3 4 平均值 L T － g＝ 甲 次数 1 2 3 4 平均值 L－ T－ g 乙 A．只能是甲　　　　　　　 B．只能是乙 C．甲、乙均可 D．甲、乙均不可 B　[一个摆长对应着一个周期，不同摆长或不同的周期取平均值没有物理意义．在一次实验中可以重复测量摆长和周期，但摆长不能变，变了摆长就是另一次实验．这里因为可以通过摆长改变周期，进而得到重力加速度，同一个摆长只需做一组实验即可．故只有乙同学设计的表是正确的，B正确．] 3．在“用单摆测定重力加速度”的实验中： (1)小博同学制作了如图所示的甲、乙、丙三个单摆，你认为他应选用________图来做实验； (2)实验过程小博同学分别用了图(a)、(b)的两种不同方式悬挂小钢球，你认为________(选填“a”或“b”)悬挂方式较好； (3)某同学用秒表测得单摆完成40次全振动的时间如图所示，则单摆的周期为________s； (4)若单摆在任意摆角θ时的周期公式可近似为T＝T0[1＋asin2()]，式中T0为摆角趋近于0°时的周期，a为常数；为了用图像法验证该关系式，需要测量的物理量有________；某同学在实验中得到了如图所示的图线，则图线的斜率表示________． 解析　(1)单摆在摆动过程中，阻力要尽量小甚至忽略不计，所以摆球选铁球；悬线要无弹性，质量小，摆长不能过小，一般取1 m左右的细线．故选乙； (2)如果选a装置，摆动过程中，摆长在不断变化，无法准确测量，故选b装置； (3)由图可知，单摆完成40次全振动的时间是75.6 s，所以单摆的周期为：T＝ s＝1.89 s； (4)根据T＝T0[1＋asin2()]可知，需要测量的物理量有T(或t、n)、θ，由T＝T0[1＋asin2()]，sin2()＝T－，所以图线的斜率为. 答案　(1)乙　(2)b　(3)1.89　(4)T(或t、n)、θ　 4．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时，且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t；在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得悬挂摆球后的摆线长为L，再用游标卡尺测得摆球的直径为d. (1)该单摆的摆长为________． (2)该单摆的周期为________． (3)用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达式g＝________. (4)(多选)实验结束后，某同学发现他测得的重力加速度的值总是偏大，其原因可能是下述原因中的________． A．单摆的悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了 B．把n次摆动的时间误记为(n＋1)次摆动的时间 C．以摆线长作为摆长来计算 D．以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算 解析　(1)单摆的摆长为悬点到摆球重心的距离，即为 L＋. (2)到第n次经过最低点所用的时间内的周期数为，该单摆的周期为T＝. (3)由单摆周期公式，得T＝2π ，联立解得g＝. (4)若单摆的悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了，测量的周期增大，则t增大，由此可知，测得的重力加速度的值偏小，A错误；若把n次摆动的时间误记为(n＋1)次摆动的时间，由g＝可知测得的重力加速度的值偏大，B正确；若以摆线长作为摆长来计算，由g＝可知测得的重力加速度的值偏小，C错误；若以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算，由g＝可知测得的重力加速度的值偏大，D正确． 答案　(1)L＋　(2) (3)　(4)BD 5．根据单摆周期公式T＝2π ，可以通过实验测量当地的重力加速度．如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆． (1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为________ mm. (2)(多选)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________． a．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些 b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的 c．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线偏离平衡位置有较大的角度 d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置的角度大于5度，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T e．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置的角度不大于5度，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝ 解析　(1)根据游标卡尺读数规则，游标卡尺的读数：18 mm＋6×0.1 mm＝18.6 mm. (2)摆线要选择细些的，可减小其自身重力和空气阻力对实验的影响，选择伸缩性小些的，保证摆长不变，并且尽可能长一些，使在合适的振幅下，摆角较小，故a正确；摆球尽量选择质量大些、体积小些的，可减小空气阻力的影响，b正确；在最大摆角不大于5°时，单摆的周期与摆角和振幅的大小无关，c错误；拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在摆球通过平衡位置的同时开始计时，测量单摆做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝，d错误，e正确． 答案　(1)18.6　(2)abe 学科网（北京）股份有限公司 $$