专题04 相似三角形的动点问题（五大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪教版）

专题04相似三角形的动点问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、与运动时间相关 1 类型二、求线段长度 3 类型三、函数关系图象辨别 4 类型四、线段及线段和的最值问题 6 类型五、与特殊几何结合的综合问题 7 压轴能力测评（10道题） 8 1.分析运动过程，分段，定范围 关注起点、终点和状态转折点.状态转折点是图形状态发生变化的点，常见的状态转折点有拐点、相遇点等. 2.根据不变特征建等式 依分段画图形，表达相关线段长，根据不变特征建等式，结合范围验证结果表达的常用手段有、相似、勾股定理等；根据不变特征建等式需要把不变特征跟基本图形信息结合起来考虑，常见不变特征有相似、直角、等腰等 类型一、与运动时间相关 【例1】如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点运动的速度为秒，点运动的速度为秒，如果两点同时开始运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ）    A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 【变式训练1】如图，矩形ABCD的边长AB＝3cm，AC＝3 cm，动点M从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向点B匀速运动，同时动点N从点D出发，沿DA以2cm/s的速度向点A匀速运动．若△AMN与△ACD相似，则运动的时间t为 s． 【变式训练2】如图，在直角三角形ABC中，直角边，．设P，Q分别为AB、BC上的动点，在点P自点A沿AB方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒1cm，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间t秒． （1）当t为何值时，是以为顶角的等腰三角形？ （2）能否与直角三角形ABC相似？若能，求t的值；若不能，说明理由． 【变式训练3】如图，在矩形中，厘米，厘米．点P沿边从A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（），那么： (1)当t为何值时，． (2)计算四边形的面积，并提出一个与计算结果有关的结论． (3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似？ 类型二、求线段长度 【例2】定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形的两条边分别在坐标轴上，点M为边上中点，连接，点P是线段上一动点（点P不与A，M重合），过点P的直线与边交于点E（点E不与C重合），若四边形是等腰直角四边形，则点的长为 ． 【变式训练1】如图，在矩形中，分别是上的点，，若与相似，则的长为（    ）    A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或 【变式训练2】如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，若以，，为顶点的三角形与相似，则的长度为（       ） A．3 B． C．或4 D．4或 【变式训练3】如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ． 类型三、函数关系图象辨别 【例3】如图所示，在中，，，是线段上任意一点，过点作，与交于点，设，，则能反映与之间关系的图象为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】如图，中，，直线，将直线l沿方向从A点平移到B点，若直线l交于P，交（或）于Q，设，则下列图象中，能表示y关于x的函数关系的图象大致是（　　）． A． B． C． D． 【变式训练2】如图，点的坐标为，点是轴正半轴上的一动点，以为边在第一象限作，使，设点的横坐标为，点的坐标为，能表示与函数关系的图象（实线部分）大致是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】两个斜边长为2全等的等腰直角三角形按如图所示位置放置，其中一个三角形45°角的顶点与另一个的直角顶点A重合．若固定，当另一个三角形绕点A旋转时，它的一条直角边和斜边分别与边交于点E，F，设，，则y关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 类型四、线段及线段和的最值问题 【例4】如图，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，点E以0.5cm/s的速度从点B到点C，同时点F以0.4cm/s的速度从点D到点B，当一个点到达终点时，则运动停止，点P是边CD上一点，且CP=1，且Q是线段EF的中点，则线段QD+QP的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【变式训练1】如图，在菱形中，，，动点Р从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点B运动，直到点B时停止；动点Q同时从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向点D运动，当点Р停止运动时，点Q随之停止运动，连接PQ交AC于点H．那么在点P的运动过程中，线段QH的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为，，，．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．作于点G，则运动过程中，AG的最大值为（    ） A． B． C． D．8 类型五、与特殊几何结合的综合问题 【例5】如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】如图，在矩形中，，，点P从C点出发沿对角线以1cm/s的速度向点A作匀速运动，点Q从A点出发沿以的速度向点B作匀速运动，若假设运动时间为t，则当时，t的值为（　　） A．2s B．s C．s D．s 变式5-2．在菱形中，，点是对角线的中点，点从点出发沿着边按由的路径运动，到达终点停止，当以点、、为顶点的三角形与相似时，则线段的长为 ． 【变式训练3】如图，在矩形中，点从点出发沿向终点运动；点从点出发沿向终点运动．，两点同时出发，它们的速度都是．连接，，．设点，运动的时间为．    (1)当为何值时，四边形是矩形? (2)当为何值时，四边形是菱形? (3)是否存在某一时刻，使得若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 1．如图所示，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B点以的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边向C点以的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过时与相似，那么的值为（    ）    A． B．2 C．或3 D．2或 2．如图，在中，，点P为边上一动点，过点P作直线，交折线于点Q．设，则y关于x的函数图象大致是（    ）    A．     B．   C．   D．   3．如图，矩形中，，，点E在边上，且，动点P从点A出发，沿运动到点B停止，过点E作交射线于点Q，设O是线段的中点，则在点P运动的整个过程中，点O运动路线的长为 ． 4．如图，矩形中，，，点E在边AD上，且．动点P从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为 ． 5．如图①，在中，，动点D从点C出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，同时动点E从点A出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动．设点D运动的时间是t秒．过点D作于点F，连结．    (1)　　，　　；（用含t的代数式表示） (2)当四边形是菱形时，t的值为 　　； (3)当垂直于的一边时，求t的值； (4)如图②，将沿翻折，点A的对应点为点，直接写出点在外部时t的取值范围． 6．如图，矩形中，，点从点出发沿向点移动（不与重合）．同时，点从点出发沿向点移动（不与重合），若有一点到达终点则两点都停止运动，设运动时间为． (1)若点均以的速度移动，当四边形为菱形时，求的值； (2)若点为的速度移动，点以的速度移动，当为直角三角形时，求的值． 7．如图，在直角三角形中，，动点从点出发，以每秒5个单位的速度沿运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，相遇时停止运动．过点作于点，过点作于点．设点的运动时间为秒的长度为． (1)请直接写出与的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出与的函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)当该函数图象与直线有两个交点时，的取值范围为 8．如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、． (1)当动点运动时间 秒时，与相似． (2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由． 9．如图，矩形中，，，点M以每秒1个单位长度的速度沿从点A向点B运动，点N以每秒4个单位长度的速度沿从点B向点C运动，点P以每秒2个单位长度的速度沿从点C向点D运动，三动点同时出发，设运动时间为t秒，当点N到达点C时，三点同时停止运动．点B关于的对称点为点Q，连接，，，．    (1)当t为何值时，四边形为正方形？并说明理由； (2)若以点M，N，B为顶点的三角形与以点N，P，C为顶点的三角形相似，求t的值． 10．如图，在中，，．如果点P由B出发沿向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动．已知点P的速度为，点Q的速度为．连接，设运动的时间为t（单位：s）（）    (1)求，的长； (2)当t为何值时，与相似． (3)当t为何值时，的面积为面积的． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04相似三角形的动点问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、与运动时间相关 1 类型二、求线段长度 5 类型三、函数关系图象辨别 8 类型四、线段及线段和的最值问题 15 类型五、与特殊几何结合的综合问题 20 压轴能力测评（10道题） 26 1.分析运动过程，分段，定范围 关注起点、终点和状态转折点.状态转折点是图形状态发生变化的点，常见的状态转折点有拐点、相遇点等. 2.根据不变特征建等式 依分段画图形，表达相关线段长，根据不变特征建等式，结合范围验证结果表达的常用手段有、相似、勾股定理等；根据不变特征建等式需要把不变特征跟基本图形信息结合起来考虑，常见不变特征有相似、直角、等腰等 类型一、与运动时间相关 【例1】如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点运动的速度为秒，点运动的速度为秒，如果两点同时开始运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ）    A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 【答案】A 【详解】解：当运动的时间是秒时，以点、、为顶点的三角形与相似， ①当即时，， ∴秒； ②当即时，， ∴秒； 综上所述，当为秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似． 故选：A． 【变式训练1】如图，矩形ABCD的边长AB＝3cm，AC＝3 cm，动点M从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向点B匀速运动，同时动点N从点D出发，沿DA以2cm/s的速度向点A匀速运动．若△AMN与△ACD相似，则运动的时间t为 s． 【答案】1.5或2.4 【详解】因为四边形ABCD是矩形，得△ADC是直角三角形，CD=AB， 所以，, 由题意得DN＝2t，AN＝6﹣2t，AM＝t， 若△NMA∽△ACD， 则有＝，即＝， 解得t＝1.5秒， 若△MNA∽△ACD 则有＝，即＝， 解得t＝2.4秒， 答：当t＝1.5秒或2.4秒时，△AMN与△ACD相似． 故答案为：1.5或2.4． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【变式训练2】如图，在直角三角形ABC中，直角边，．设P，Q分别为AB、BC上的动点，在点P自点A沿AB方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒1cm，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间t秒． （1）当t为何值时，是以为顶角的等腰三角形？ （2）能否与直角三角形ABC相似？若能，求t的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）秒；（2）或秒． 【详解】解：（1）∵直角边，， ∴由勾股定理可得，， ∴，，， ∵是以为顶角的等腰三角形， ∴BP=BQ，即5-t=t，解得秒， ∴当秒，是以为顶角的等腰三角形； （2）能． 理由：当△PBQ∽△ABC时， ，即，解得：秒； 当△PBQ∽△CBA时，，即，解得：秒， ∴当或秒时，与直角三角形ABC相似． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质． 【变式训练3】如图，在矩形中，厘米，厘米．点P沿边从A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（），那么： (1)当t为何值时，． (2)计算四边形的面积，并提出一个与计算结果有关的结论． (3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2)四边形的面积是，在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变（答案不唯一） (3)当经过秒或3秒时，与相似 【详解】（1）解：厘米，厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动， ∴， ， ∴， 解得：； （2）解：在中， ∵，QA边上的高， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变； （3）解：在矩形中， ， 分两种情况： 当时，即， 解得：（秒）； 当时，即， 解得：（秒）． 故当经过秒或3秒时，与相似． 类型二、求线段长度 【例2】定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形的两条边分别在坐标轴上，点M为边上中点，连接，点P是线段上一动点（点P不与A，M重合），过点P的直线与边交于点E（点E不与C重合），若四边形是等腰直角四边形，则点的长为 ． 【答案】或 【详解】解：如图，当，且时， 过点P作于点D，交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为，是中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴ ∴， ∴； 当，且时，延长交于点F， 则四边形是矩形， ，， ∴， ∴，即，解得； 故答案为：1或． 【变式训练1】如图，在矩形中，分别是上的点，，若与相似，则的长为（    ）    A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或 【答案】D 【详解】解：根据题意，， 设，则， 分两种情况讨论： ①若， 则有，即， 整理可得， 解得， ∴的长为3或12； ②若， 则有，即， 解得， ∴的长为． 综上所述，的长为3或12或． 故选：D． 【变式训练2】如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，若以，，为顶点的三角形与相似，则的长度为（       ） A．3 B． C．或4 D．4或 【答案】D 【详解】解：如图， ，，， ， 当时， ，， ， ，即， 解得， 当时， ，， ， ，即， 解得， 综上所述，的长为4或． 故选：D． 【变式训练3】如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ． 【答案】8或 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ． 当时，， ， ， 当时，， ， ， 以点，，为顶点的三角形与相似，那么的长是8或． 故答案为：8或． 类型三、函数关系图象辨别 【例3】如图所示，在中，，，是线段上任意一点，过点作，与交于点，设，，则能反映与之间关系的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设平行四边形对角线交于点， 当点在段时， ，，，则， ∵， ∴， ， 即， ，为一次函数； 当在段时， 同理可得：为一次函数， 故选：B． 【变式训练1】如图，中，，直线，将直线l沿方向从A点平移到B点，若直线l交于P，交（或）于Q，设，则下列图象中，能表示y关于x的函数关系的图象大致是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 分类讨论：①当点Q在边上时，如图， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴y关于x的函数关系的图象是呈下降趋势的一条线段； ②当点Q在边上时，如图， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴y关于x的函数关系的图象是呈上升趋势的一条线段， 故选B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，相似三角形的判定和性质等知识．为中考选择题中的压轴题，解题关键是求出y与x的函数解析式． 【变式训练2】如图，点的坐标为，点是轴正半轴上的一动点，以为边在第一象限作，使，设点的横坐标为，点的坐标为，能表示与函数关系的图象（实线部分）大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过C点作CD⊥x轴， ∵， ∴∠ABO+∠CBD=90°， 又∵∠CBD+∠BCD=90°， ∴∠ABO=∠BCD， 又∵∠AOB=∠BDC=90°， ∴△AOB∽△BDC ∴， ∴，， ∵点的坐标为，即， ∴ 设点的横坐标为，点的坐标为， ∴， ∴ ∴ ∵点是轴正半轴上的一动点，故， ∴， 故m与n是一次函数，而且n>2． 答案为B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用相似三角形性质建立相应的函数关系式，根据函数关系式判断出正确的函数图象． 【变式训练3】两个斜边长为2全等的等腰直角三角形按如图所示位置放置，其中一个三角形45°角的顶点与另一个的直角顶点A重合．若固定，当另一个三角形绕点A旋转时，它的一条直角边和斜边分别与边交于点E，F，设，，则y关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得∠B=∠C=45°，∠G=∠EAF=45°，推出△ACE∽△FBA，得到∠AEC=∠BAF，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， 由题意得∠B=∠C=45°，∠G=∠EAF=45°， ∵∠AFE=∠C+∠CAF=45°+∠CAF，∠CAE=45°+∠CAF， ∴∠AFB=∠CAE， ∴△ACE∽△FBA， ∴∠AEC=∠BAF，， 又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC=2， ∴AB=AC=， 又BF=x，CE=y， ∴， 即xy=2（1＜x＜2）， 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△FBA∽△ACE是解题的关键． 类型四、线段及线段和的最值问题 【例4】如图，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，点E以0.5cm/s的速度从点B到点C，同时点F以0.4cm/s的速度从点D到点B，当一个点到达终点时，则运动停止，点P是边CD上一点，且CP=1，且Q是线段EF的中点，则线段QD+QP的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB． ∵四边形ABDC是矩形， ∴AC=BD=4cm，AB=CD=3cm， ∴C（-3，0），B（0，4）， ∵∠CDB=90°， ∴BC==5（cm）， ∵EH∥CD， ∴△BEH∽△BCD， ∴， ∴， ∴EH=0.3t，BH=0.4t， ∴E（-0.3t，4-0.4t）， ∵F（0，0.4t）， ∵QE=QF， ∴Q（-t，2）， ∴点Q在直线y=2上运动， ∵B，D关于直线y=2对称， ∴QD=QB， ∴QP+QD=QB+QP， ∵QP+QB≥PB，PB==2(cm)， ∴QP+QD≥2， ∴QP+QD的最小值为2． 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是构建平面直角坐标系，发现点Q在直线y=2上运动． 【变式训练1】如图，在菱形中，，，动点Р从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点B运动，直到点B时停止；动点Q同时从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向点D运动，当点Р停止运动时，点Q随之停止运动，连接PQ交AC于点H．那么在点P的运动过程中，线段QH的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在菱形ABCD中，CD//AB， ∴CQ//AP， ∴△CQH∽△APH； 设点P运动的时间为t（秒），则CQ=2t，AP=3t， ∴， ∴QH=PQ； 当PQ⊥CD时，即当PQ与菱形ABCD的高相等时，PQ的长最小， 设菱形ABCD的高为h， ∵∠COD=90°，DO=BD=8，CO=AC=6， ∴， ∴10h=×12×6， 解得h=， ∴QH最小＝， 故选：B． 【点睛】此题应用的知识有菱形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理及平行线间的距离等，方法主要是面积法，难度中等． 【变式训练2】在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过作于，则，， ， ， ， ， ， 中，， ， ， 如图所示，以，为邻边作平行四边形，则，，， ， 当，，在同一直线上时，的最小值等于的长， 此时，中，， 的最小值为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形． 【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为，，，．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．作于点G，则运动过程中，AG的最大值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【详解】连接OB交PQ于F，过点F作FH⊥OC于H，连接AF，如图． 设运动时间为t秒，则BQ=2t，OP=3t， ∵B、C的纵坐标相同， ∴BC∥OA， ∴△BFQ∽△OFP， ∴， ∴PQ恒过定点F． ∵FH∥BC， ∴△OFH∽△OBC， ∴， 即， ∴， ∴． ∴由勾股定理得：． ∵PQ恒过定点F，且AG⊥PQ， ∴AG≤AF， ∴AG的最大值为AF，即AG的最大值为． 故选：A． 【点睛】本题是动点问题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，确定PQ过定点是问题的关键． 类型五、与特殊几何结合的综合问题 【例5】如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图2，连接，交相交于点，当四边形为菱形时，垂直平分，即，， ，，， ， 点由点出发沿方向向点匀速运动，点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为 ∴， ，， ， ∴， ， ， ， ， 又， ， 解得， ， 当四边形是菱形时，的值为； 故选A． 【变式训练1】如图，在矩形中，，，点P从C点出发沿对角线以1cm/s的速度向点A作匀速运动，点Q从A点出发沿以的速度向点B作匀速运动，若假设运动时间为t，则当时，t的值为（　　） A．2s B．s C．s D．s 【答案】B 【详解】解：∵矩形， ∴，， 在中， ， 过点P作于点M，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 变式5-2．在菱形中，，点是对角线的中点，点从点出发沿着边按由的路径运动，到达终点停止，当以点、、为顶点的三角形与相似时，则线段的长为 ． 【答案】或 【详解】解：根据题意，作图如下，连接，    ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴，即， 在中，，，则， ①如图所示，当点在上时，当时， ∴，则， ∴； ②如图所示，当点在上时，当时，    连接，根据菱形的性质，，可得是等边三角形， ∴根据上述证明可得，点是的中点，且， ∴当时，点关于点对称， ∴， ∴点为的中点，且， ∴，即， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【变式训练3】如图，在矩形中，点从点出发沿向终点运动；点从点出发沿向终点运动．，两点同时出发，它们的速度都是．连接，，．设点，运动的时间为．    (1)当为何值时，四边形是矩形? (2)当为何值时，四边形是菱形? (3)是否存在某一时刻，使得若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在某一时刻使得，理由详见解析 【详解】（1）由题意可得 ， 四边形 是矩形 ， 即 解得 （2）四边形 是矩形， ，    四边形 是菱形， ， 在中，即 解得 （3）假设存在某一时刻 使得 ， 过点 作 于点 ， 则， ， 四边形 是矩形， ，    ， ， ， ， ， ， ， 在 与 中 ， ， 即， 整理得， ， 此方程无解 不存在某一时刻，使得 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式的意义；熟练掌握特殊四边形的性质，相似三角形的性质，一元二次方程根的判别式的意义，是解题的关键． 1．如图所示，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B点以的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边向C点以的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过时与相似，那么的值为（    ）    A． B．2 C．或3 D．2或 【答案】C 【详解】∵，，，动点P以的速度移动,动点Q以的速度移动,运动时间为 ， ∴，，， 当时， ∴， 解得； 当时， ∴， 解得； 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形背景下动态三角形相似的条件应用，正确分类三角形的相似是解题的关键． 2．如图，在中，，点P为边上一动点，过点P作直线，交折线于点Q．设，则y关于x的函数图象大致是（    ）    A．     B．   C．   D．   【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 当点Q在时， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 当点Q在时，如图，    ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上所述，y关于x的函数图象大致是：    故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 3．如图，矩形中，，，点E在边上，且，动点P从点A出发，沿运动到点B停止，过点E作交射线于点Q，设O是线段的中点，则在点P运动的整个过程中，点O运动路线的长为 ． 【答案】4 【详解】解：∵，， ∴， 如图，过作于，过作于， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 如图，过作于，当运动到点，连接，作，交于，连接、中点、， ∴由题意知， 在上运动， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴即， 解得， ∵、分别为、中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中位线等知识．解题的关键在于确定的运动轨迹． 4．如图，矩形中，，，点E在边AD上，且．动点P从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为 ． 【答案】9 【详解】解：如图所示：过点M作，交AD于G，交BC于H， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段， 当点P与A重合时，， 当点P与点B重合时，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∵是的中位线， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查点的轨迹问题，涉及全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，探究出动点经过的路径是解题的关键． 5．如图①，在中，，动点D从点C出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，同时动点E从点A出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动．设点D运动的时间是t秒．过点D作于点F，连结．    (1)　　，　　；（用含t的代数式表示） (2)当四边形是菱形时，t的值为 　　； (3)当垂直于的一边时，求t的值； (4)如图②，将沿翻折，点A的对应点为点，直接写出点在外部时t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)t的值为或 (4)或 【详解】（1）解：∵动点D从点C出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒， ∴， 又∵， ∴， ∵动点E从点A出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，运动时间为t秒， ∴； （2）解：， ， ， ，即， ， ， 四边形是平行四边形， 当四边形是菱形时，， ∴， ∴； （3）解：当时，， ∴， ∴，即， 解得： ， 当时，， ∴， ∴，即， 解得： ． ∴t的值为或； （4）解：由（3）知当时，是钝角， 此时将沿翻折，点A的对应点在外部， 当时，是钝角， 此时将沿翻折，点A的对应点在外部， ∴将沿翻折，点A的对应点在外部时，t的取值范围为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查平行四边形、菱形的性质，折叠的性质，以及相似三角的判定与性质等知识，考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，特别注意分类讨论，分别求出t的值，避免漏解． 6．如图，矩形中，，点从点出发沿向点移动（不与重合）．同时，点从点出发沿向点移动（不与重合），若有一点到达终点则两点都停止运动，设运动时间为． (1)若点均以的速度移动，当四边形为菱形时，求的值； (2)若点为的速度移动，点以的速度移动，当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)的值为 (2)t的值为或1或 【详解】（1）解：∵在矩形中，， 由题意知：， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：    即当四边形为菱形时，的值为； （2）解：当点F与点A重合时，， 即； ①当时，过点E作于G，如图， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或；    ②当时，则四边形是矩形， ∴， ∴， 即， 显然，满足题意； 由于点F不与点B重合，则； 综上，满足题意的t值为或1或．    【点睛】本题是动点问题，考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质及平行四边形的判定，勾股定理，解方程等知识，有一定的综合性． 7．如图，在直角三角形中，，动点从点出发，以每秒5个单位的速度沿运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，相遇时停止运动．过点作于点，过点作于点．设点的运动时间为秒的长度为． (1)请直接写出与的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出与的函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)当该函数图象与直线有两个交点时，的取值范围为 【答案】(1) (2)函数图象见解析，该函数图象y随x的增大而减小（答案不唯一） (3) 【详解】（1）解：， ， 相遇时停止运动， ， 解得：， 如图1，当点P在上运动时， ， 此时， 则， ， ， ， ， 同理：， ， ， ； 如图2，当点P在上运动时， 此时，则， ， ， ， ， 同理：， ， ， ； ； （2）解：由（1）知， 如图所示： 通过观察，该函数图象y随x的增大而减小； （3）解：由（2）图象得；当直线过点时， 即：，解得：， 此时有一个交点； 当直线过点时， 即：，解得：，直线刚好也过点， 此时有两个交点，； ． 【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，一次函数交点问题，相似三角形的判定与性质及勾股定理，正确理解动点问题是解题的关键． 8．如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、． (1)当动点运动时间 秒时，与相似． (2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由． 【答案】(1)或 (2)当时，秒．理由见解析． 【详解】（1）解：设经过运动时间为t秒时，与相似． 则，，，； 1）当，即时， ； ，即， ． ２）当，即时， ， ，即， ． 和都符合， 当动点运动秒或秒时，与相似． 故答案为：或． （2）如图，过点E作于F， 设经过运动时间为t秒时，， 则，，，； ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， （秒）． 9．如图，矩形中，，，点M以每秒1个单位长度的速度沿从点A向点B运动，点N以每秒4个单位长度的速度沿从点B向点C运动，点P以每秒2个单位长度的速度沿从点C向点D运动，三动点同时出发，设运动时间为t秒，当点N到达点C时，三点同时停止运动．点B关于的对称点为点Q，连接，，，．    (1)当t为何值时，四边形为正方形？并说明理由； (2)若以点M，N，B为顶点的三角形与以点N，P，C为顶点的三角形相似，求t的值． 【答案】(1)2 (2)或 【详解】（1）当时，四边形为正方形，理由如下： ∵点B关于的对称点为点Q， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴当时，，此时四边形是正方形， 当运动t秒时，，，， ∴， ∴， ∴当时，四边形为正方形． （2）运动t秒时，，，，，， ∵四边形是矩形， ∴， 分两种情况讨论： ①当时，得到， ∴， ∴， ②当时，得到， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， 综上所述，t的值为或． 10．如图，在中，，．如果点P由B出发沿向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动．已知点P的速度为，点Q的速度为．连接，设运动的时间为t（单位：s）（）    (1)求，的长； (2)当t为何值时，与相似． (3)当t为何值时，的面积为面积的． 【答案】(1) (2)t为或 (3)t为1或4 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 故当t为或时，与相似．与相似． （3）作于点E，    由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积，的面积， ∴， ∴， ∴当t为1或4时，的面积为面积的； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$