专题4.1 全等三角形的证明六大类型（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学上册必考点分类集训系列（苏科版）

专题4.1 全等三角形的证明六大类型 【苏科版】 【类型1 利用SSS证明三角形全等】 1 【类型2 利用SAS证明三角形全等】 5 【类型3 利用ASA证明三角形全等】 12 【类型4 利用AAS证明三角形全等】 18 【类型5 利用HL证明三角形全等】 24 【类型6 两次证明三角形全等】 29 【类型1 利用SSS证明三角形全等】 1．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，是上一点，．求证：．    【分析】由已知可得，由可证明． 【详解】证明：， ， 即． 在中， ， ． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，为上任意一点，过点作一条直线分别交，的延长线于点，．求证：． 【分析】先证明得到，再根据内错角相等，两直线平行得到，最后根据两直线平行，内错角相等即可证得结论． 【详解】证明：∵ ， ， ， ． 3．（2024八年级上·吉林白山·期中）如图，已知在同一条直线上，，，． 求证：． 【分析】根据三角形全等的判定定理，即可得到结论． 【详解】∵， ∴AE+EF=CF+EF，即：AF=CE， 在与中， ∵， ∴（SSS） 4．（2024七年级·安徽·课后作业）如图，已知，，，求证：. 【分析】利用SSS可证明△ABD≌△ACE，可得∠BAD=∠1，∠ABD=∠2，根据三角形外角的性质即可得∠3=∠BAD+∠ABD，即可得结论. 【详解】在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE， ∴∠BAD=∠1，∠ABD=∠2， ∵∠3=∠BAD+∠ABD， ∴∠3=∠1+∠2. 5．（2024•五华区校级模拟）如图，点F，C在BE上，BF＝EC，AB＝DE，DF＝AC．求证：∠B＝∠E． 【分析】先证明BC＝EF，进而证明△ACB≌△DFE（SSS），即可推出∠B＝∠E． 【解答】证明：∵BF＝EC， ∴BF+CF＝EC+CF， ∴BC＝EF， 在△ACB和△DFE中， ， ∴△ACB≌△DFE（SSS）， ∴∠B＝∠E． 6．（2023秋•浦江县期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD． 【分析】连接AC，先利用SSS证明△ACE≌△ACF，可得∠EAC＝∠FAC，再利用AAS证明△ACB≌△ACD即可得结论． 【解答】证明：如图，连接AC， 在△ACE和△ACF中， ， ∴△ACE≌△ACF（SSS）， ∴∠EAC＝∠FAC， ∵∠B＝∠D＝90°， ∴CB＝CD． 7．（23-24八年级上·陕西延安·期中）如图，在线段上有两点，，在线段的异侧有两点，，且满足，，，连接．    (1)求证：； (2)若，，平分时，求的度数． 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判断是解题的关键． （1）根据，得到即，利用三边对应相等的三角形全等证明即可． （2）根据全等三角形的性质，结合角的平分线计算即可． 【详解】（1）∵， ∴即， ∵， ∴． （2）∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分时， ∴， ∵， ∴． 【类型2 利用SAS证明三角形全等】 1．（2023秋•邹平市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．若F是DE上的一点，且BF＝DE，求证：AD＝AF． 【分析】根据角平分线定义及平行线的性质得出∠ABD＝∠AEF，则AB＝AE，根据SAS证明△ABD≌△AEF，根据全等三角形的对应角相等得出∠ADB＝∠AFE，根据邻补角定义求出∠ADF＝∠AFD，最后根据等腰三角形的判定即可得解． 【解答】证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD， ∵AE∥BC， ∴∠AEF＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠AEF， ∴AB＝AE， ∵BF＝DE， ∴BF﹣DF＝DE﹣DF， ∴BD＝EF， 在△ABD和△AEF中， ， ∴△ABD≌△AEF（SAS）， ∴∠ADB＝∠AFE， ∵∠ADB＝180°﹣∠ADF，∠AFE＝180°﹣∠AFD， ∴∠ADF＝∠AFD， ∴AD＝AF． 2．（2024•江阳区模拟）如图，在△ABC和△DEC中，AC＝DC，BC＝EC延长BC，ED相交于点F，且∠BCE＝∠ACD． 求证：∠A+∠CDF＝180°． 【分析】证明△ABC≌△DEC（SAS），得出∠A＝∠EDC．则可得出结论． 【解答】证明：∵∠BCE＝∠ACD， ∴∠BCE﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠ACE， 即∠BCA＝∠ECD， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴∠A＝∠EDC． 又∵∠EDC+∠CDF＝180°， ∴∠A+∠CDF＝180°． 3．（2023秋•寻乌县期末）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，连接BE，点D恰好在BE上，求∠3的度数． 【分析】由∠BAC＝∠DAE，推导出∠BAD＝∠CAE，而AB＝AC，AD＝AE，即可根据“SAS”证明△ACE≌△ABD，则∠ABD＝∠2＝30°，所以∠3＝∠ABD+∠1＝55°． 【解答】解：∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD 和△ACE 中， ， ∴△ACE≌△ABD（SAS）， ∴∠ABD＝∠2＝30°， ∵点D在BE上，∠1＝25°， ∴∠3＝∠ABD+∠1＝30°+25°＝55°， ∴∠3的度数是55°． 4．（2023秋•陇县期末）如图，在△ABC中，BE⊥AC、CF⊥AB，垂足分别为E、F，点P在CF的延长线上，点D在线段BE，且CP＝AB，BD＝AC，连接AP、AD． （1）求证：△ABD≌△PCA； （2）求∠P的度数． 【分析】（1）根据BE⊥AC、CF⊥AB，得∠BEA＝∠CFA＝90°，再证∠ABD＝∠PCA，得出△ABD≌△PCA（SAS）； （2）由（1）△ABD≌△PCA（SAS），得∠BAD＝∠P，AD＝PA，得∠ADF＝∠P，再根据∠BAD+∠ADF＝90°，解答即可． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC、CF⊥AB， ∴∠BEA＝∠CFA＝90°， ∴∠EAF+∠ABD＝90°，∠EAF+∠PCA＝90°， ∴∠ABD＝∠PCA， 在△ABD和△PCA中， ， ∴△ABD≌△PCA（SAS）； （2）解：由（1）得△ABD≌△PCA（SAS）， ∴∠BAD＝∠P，AD＝PA， ∴∠ADF＝∠P， ∴∠BAD＝∠ADF， ∵∠CFA＝90°， ∴∠BAD+∠ADF＝90°， ∴2∠ADF＝90°， ∴∠ADF＝45°， ∴∠P＝45°． 5．（2023秋•邵阳期末）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD． （1）求证：△BAD≌△CAE； （2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明． 【分析】（1）要证△BAD≌△CAE，现有AB＝AC，AD＝AE，需它们的夹角∠BAD＝∠CAE，而由∠BAC＝∠DAE＝90°很易证得． （2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE＝90°，需证∠ADB+∠ADE＝90°可由直角三角形提供． 【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． （2）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下： 由（1）知，△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE； ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABD+∠DBC＝45°， ∴∠ACE+∠DBC＝45°， ∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°， 则BD⊥CE． 6．（2024春•法库县期中）如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB两条边上的高，点D在BE上满足BD＝AC，点G在CF的延长线上满足CG＝AB，连接AD，AG． （1）求证：△ABD≌△GCA； （2）若连接D，G，请判断△ADG的形状，并直接写出结论． 【分析】（1）由BE，CF分别是AC，AB两条边上的高，得∠E＝∠BFC＝90°，可根据“等角的余角相等”证明∠ABD＝∠GCA，而BD＝CA，BA＝CG，即可根据“SAS”证明△ABD≌△GCA； （2）根据全等三角形的性质得AD＝AG，∠BAD＝∠CGA，则∠BAD+∠FAG＝∠CGA+∠FAG＝∠BFC＝90°，求得∠DAG＝180°﹣（∠BAD+∠FAG）＝90°，则△ADG是等腰直角三角形． 【解答】解：（1）∵BE，CF分别是AC，AB两条边上的高， ∴∠E＝∠BFC＝90°， ∴∠ABD+∠BAE＝90°，∠GCA+∠CAF＝90°， ∵∠BAE＝∠CAF， ∴∠ABD＝∠GCA， 在△ABD和△GCA中， ， ∴△ABD≌△GCA（SAS）． （2）△ADG是等腰直角三角形， 理由：由（1）得△ABD≌△GCA， ∴AD＝AG，∠BAD＝∠CGA， ∴∠BAD+∠FAG＝∠CGA+∠FAG＝∠BFC＝90°， ∴∠DAG＝180°﹣（∠BAD+∠FAG）＝90°， ∴△ADG是等腰直角三角形． 7．（2024春•未央区月考）已知等腰三角形ABC，AB＝AC，D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为边在直线AD的右侧作等腰三角形ADE，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，连接CE． （1）如图1，当点D在边BC上时，请探究BC，CD，CE之间的数量关系． （2）如图2，当点D在BC的延长线上时，（1）中BC，CD，CE之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 【分析】（1）证明∠BAD＝∠CAE．再证明△BAD≌△CAE（SAS），可得CE＝BD，再进一步可得结论； （2）证明∠BAD＝∠CAE．再证明△BAD≌△CAE（SAS），可得CE＝BD，再进一步可得结论． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE． 在△BAD与△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴CE＝BD， ∴CE+CD＝BD+CD＝BC． （2）不成立．CE﹣CD＝BC． 理由：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE． 在△BAD与△CAE中， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴CE＝BD， ∴CE﹣CD＝BD﹣CD＝BC． 【类型3 利用ASA证明三角形全等】 1．（2024•西安二模）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，连接AC，点E在AC上，AE＝CD，连接BE，∠D+∠BEC＝180°．求证：BE＝AD． 【分析】根据CD∥AB得，∠BAE＝∠ACD，根据∠AEB+∠BEC＝180°，∠D+∠BEC＝180°得∠AEB＝∠D，由此可依据“ASA”判定△ABE和△ACD全等，然后再根据全等三角形的性质可得出结论． 【解答】证明：∵CD∥AB， ∴∠BAE＝∠ACD， ∵∠AEB+∠BEC＝180°，∠D+∠BEC＝180°， ∴∠AEB＝∠D， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）， ∴BE＝AD． 2．（2024•合江县二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，点E在DB的延长线上，DE＝BC，∠1＝∠2，求证：DF＝AB． 【分析】根据余角的性质，可得∠E＝∠C，根据ASA得出△DEF≌△BCA，可得答案． 【解答】证明：∵BD⊥AC于D， ∴∠EDF＝90°， ∵∠1＝∠2，∠1+∠C＝90°，∠2+∠E＝90°， ∴∠E＝∠C． 在△DEF和△BCA中， ， ∴△DEF≌△BCA（ASA）， ∴DF＝AB． 3．（2024•雁塔区校级模拟）如图，已在△ABC与△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，BD⊥AB，EC⊥AC，求证：AD＝AE． 【分析】根据等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，利用ASA证明△ABD与△ACE全等解答即可． 【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， ∵BD⊥AB，EC⊥AC， ∴∠ABD＝∠ACE＝90°， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（ASA）， ∴AD＝AE． 4．（2023秋•梅里斯区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD，分别交AB、AD于点E、F． （1）求证：EF＝CF； （2）若∠ACB＝80°，∠BCE＝30°，求∠ABC的度数． 【分析】（1）由AD平分∠BAC，CE⊥AD，得到∠EAF＝∠CAF，∠AFE＝∠AFC＝90°，又由AF＝AF，即可证明△AFE≌△AFC（ASA），进而问题可求证； （2）由（1）可得∠AEC＝∠ACE＝50°，然后根据三角形外角的性质可求解． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，CE⊥AD， ∴∠EAF＝∠CAF，∠AFE＝∠AFC＝90°， 在△AFE和△AFC中， ， ∴△AFE≌△AFC（ASA）， ∴EF＝CF； （2）解：由（1）可得△AFE≌△AFC， ∴∠AEC＝∠ACE， ∵∠ACB＝80°，∠BCE＝30°， ∴∠AEC＝∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝50°， ∴∠ABC＝∠AEC﹣∠BCE＝20°． 5．（2024春•修水县期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC． （1）求证：AE＝AD； （2）若BD＝8，DC＝5，求ED的长． 【分析】（1）证明△ABE≌△ACD（ASA），可得出结论； （2）根据全等三角形的性质求出答案． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD， ∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC， 即：∠BAE＝∠CAD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）， ∴AE＝AD； （2）解：∵△ABE≌△ACD， ∴BE＝CD， ∵BD＝8，DC＝5， ∴ED＝BD﹣BE＝BD﹣CD＝8﹣5＝3． 6．（2023秋•铁岭县期末）如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，过点D作DE⊥FG交AB于点E，连接EG、EF． （1）求证：BG＝CF． （2）请你判断：BE+CF与EF的大小关系，并加以证明． 【分析】（1）根据平行线的性质，得∠DBG＝∠DCF，再根据中点的定义，得BD＝CD，然后证明三角形全等即可； （2）先由（1）中△BDG≌△CDF，得GD＝FD，BG＝CF，根据线段垂直平分线的判定与性质得EG＝EF，然后根据三角形的三边关系即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AC∥BG， ∴∠DBG＝∠DCF． ∵D为BC的中点， ∴BD＝CD． 在△BDG和△CDF中， ， ∴△BDG≌△CDF（ASA）， ∴BG＝CF． （2）解：BE+CF＞EF，理由如下： ∵△BDG≌△CDF， ∴GD＝FD，BG＝CF． 又∵DE⊥FG， ∴EG＝EF， 在△EBG中，BE+BG＞EG， ∴BE+CF＞EF． 7．（2024春•汝州市期末）如图，在△ABC中，高BD，CE交于点F，且BD＝CD， （1）判断AD，FD的数量关系，并说明理由； （2）若CE平分∠ACB，BE＝1.5，求CF的长． 【分析】（1）由BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，得∠ADB＝∠FDC＝∠AEC＝90°，则∠ABD＝∠FCD＝90°﹣∠A，而BD＝CD，即可根据“ASA”证明△ABD≌△FCD，则AD＝FD； （2）由∠ACE＝∠BCE，CE＝CE，∠AEC＝∠BEC，根据“ASA”证明△ACE≌△BCE，则AE＝BE＝1.5，所以BA＝CF＝3，则CF的长为3． 【解答】解：（1）AD＝FD， 理由：∵BD，CE是△ABC的高， ∴BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E， ∴∠ADB＝∠FDC＝∠AEC＝90°， ∴∠ABD＝∠FCD＝90°﹣∠A， 在△ABD和△FCD中， ， ∴△ABD≌△FCD（ASA）， ∴AD＝FD． （2）∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE， ∵CE⊥AB于点E， ∴∠AEC＝∠BEC＝90°， 在△ACE和△BCE中， ， ∴△ACE≌△BCE（ASA）， ∴AE＝BE＝1.5， ∴BA＝AE+BE＝1.5+1.5＝3， 由（1）得△ABD≌△FCD， ∴BA＝CF＝3， ∴CF的长为3． 【类型4 利用AAS证明三角形全等】 1．（2024•雁塔区校级四模）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，CE＝CF，∠BAF＝∠DAE，∠B＝∠D．求证：AE＝AF． 【分析】根据等式的性质得出∠DAF＝∠BAE，进而利用AAS证明△ADF与△ABE全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】证明：∵∠BAF＝∠DAE， ∴∠BAF﹣∠EAF＝∠DAE﹣∠EAF， 即∠DAF＝∠BAE， ∵BC＝CD，CE＝CF， ∴BC﹣EC＝DC﹣FC， 即DF＝BE， 在△ADF与△ABE中， ， ∴△ADF≌△ABE（AAS）， ∴AE＝AF． 2．（2024春•龙川县校级期末）如图，点A，B在射线CA，CB上，CA＝CB．点E，F在射线CD上，∠BEC＝∠CFA，∠BEC+∠BCA＝180°． （1）求证：△BCE≌△CAF； （2）试判断线段EF，BE，AF的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由“AAS”可证△BCE≌△CAF； （2）由全等三角形的性质可得AF＝CE，CF＝BE，可得结论． 【解答】（1）证明：∵∠BEC+∠BCA＝180°， ∴∠BEC+∠ECB+∠ACF＝180°， ∵∠CFA+∠ACF+∠FAC＝180°，∠BEC＝∠CFA， ∴∠BCF＝∠FAC， 在△BCE与△CAF中 ， ∴△BCE≌△CAF（AAS）； （2）解：AF+EF＝BE，理由如下： ∵△BCE≌△CAF， ∴AF＝CE，CF＝BE， ∵CE+EF＝CF， ∴AF+EF＝BE． 3．（2024春•青岛期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CBF＝90°，CE⊥BD，垂足为E，CE的延长线交AB于点F，BD＝CF． （1）请你在图中找出一对全等三角形，并说明理由； （2）连接AC，交BD于点P，若∠CPD＝115°，求∠CFB得度数． 【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠CFB＝∠BDA，在罗列条件证全等即可； （2）由第一问全等可得△ABC是等腰直角三角形，推出∠BAC＝45°，再用三角形内角和即可求解． 【解答】解：（1）△BAD≌△CBF，理由如下， ∵CE⊥BD， ∴∠CEB＝∠CEF＝90°， ∴∠CFB＝∠BDA＝90°﹣∠FBE， 在△CBF和△BAD中， ， ∴△BAD≌△CBF（AAS）， （2）由（1）知△BAD≌△CBF， ∴AB＝BC，∠ADB＝∠CFB， ∵∠CBF＝90°， ∴∠BAC＝45°， ∵∠CPD＝115°＝∠APB， ∴∠ABD＝180°﹣∠APB﹣∠BAC＝20°， ∴∠CFB＝90°﹣20°＝70°． 4．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，在锐角△ABC中，AB＝AC，且点E，F在线段AD上，且∠BED＝∠DFC＝∠BAC． （1）求证AF＝BE； （2）若，S△BDE+S△AFC＝6，求S△ABC． 【分析】（1）由∠BED＝∠BAC，得∠BAC﹣∠BAD＝∠BED﹣∠BAD，则∠CAF＝∠ABE，由∠BED＝∠DFC，推导出∠CFA＝∠AEB，而CA＝AB，即可根据“AAS“证明△AFC≌△BEA，则AF＝BE； （2）由△AFC≌△BEA，得S△AFC＝S△BEA，则S△ABD＝S△BDE+S△BEA＝S△BDE+S△AFC＝6，由BDBC，求得S△ABCS△ABD＝21． 【解答】（1）证明：∵∠BED＝∠BAC， ∴∠BAC﹣∠BAD＝∠BED﹣∠BAD， ∵∠CAF＝∠BAC﹣∠BAD，∠ABE＝∠BED﹣∠BAD， ∴∠CAF＝∠ABE， ∵∠CFA+∠DFC＝180°，∠AEB+∠BED＝180°，且∠BED＝∠DFC， ∴∠CFA＝∠AEB， 在△AFC和△BEA中， ， ∴△AFC≌△BEA（AAS）， ∴AF＝BE． （2）解：由（1）得△AFC≌△BEA， ∴S△AFC＝S△BEA， ∴S△ABD＝S△BDE+S△BEA＝S△BDE+S△AFC＝6， ∵BDBC， ∴S△ABDS△ABC， ∴S△ABCS△ABD6＝21． 5．（2024•新会区校级四模）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.4cm，DE＝1.6cm．求BE的长． 【分析】根据AAS证明△BCE和△CAD全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠BEC＝∠CDA＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△BCE和△CAD中， ， ∴△BEC≌△CDA（AAS）， ∴BE＝CD，CE＝AD， ∴BE＝CD＝CE﹣ED＝AD﹣ED＝2.4﹣1.6＝0.8（cm）． 6．（2024春•闵行区期末）如图，已知在△ABD中，AB＝AD，射线AF交BD于点O，∠BAC＜∠DAC，点E、F在射线AF上，且∠BCF＝∠DEF＝∠BAD．试判断AC与ED的数量关系，并说明理由． 【分析】由∠ACB+∠BCF＝180°，∠DEA+∠DEF＝180°，且∠BCF＝∠DEF，推导出∠ACB＝∠DEA，由∠BAD＝∠DEF，且∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD，∠ADE＝∠DEF﹣∠CAD，推导出∠BAC＝∠ADE，而AB＝DA，即可根据“AAS”证明△BAC≌△ADE，则AC＝ED． 【解答】解：AC＝ED， 理由：∵∠ACB+∠BCF＝180°，∠DEA+∠DEF＝180°，且∠BCF＝∠DEF， ∴∠ACB＝∠DEA， ∵∠BAD＝∠DEF， ∴∠BAD﹣∠CAD＝∠DEF﹣∠CAD， ∵∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD，∠ADE＝∠DEF﹣∠CAD， ∴∠BAC＝∠ADE， 在△BAC和△ADE中， ， ∴△BAC≌△ADE（AAS）， ∴AC＝ED． 7．（2024春•乐平市期末）如图，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F． （1）若∠ABF＝63°，求∠ADE的度数； （2）请直接写出线段BF、EF、DE三者间的数量关系． 【分析】（1）证明△ABF≌△DAE，可得∠ABF＝∠DAE，由∠AED＝90°可求出∠ADE的度数； （2）由△ABF≌△DAE可得BF＝AE，DE＝AF，则可得结论BF+EF＝DE． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°， ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠BFA＝∠AED＝90°， ∴∠ABF+∠BAF＝∠BAF+∠DAE＝90°， ∴∠ABF＝∠DAE， ∵AB＝AD， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴∠ABF＝∠DAE， ∵∠AED＝90°， ∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝90°﹣63°＝27°； （2）解：BF+EF＝DE． ∵△ABF≌△DAE， ∴BF＝AE，DE＝AF， ∴AF＝DE＝AE+EF＝BF+EF． 【类型5 利用HL证明三角形全等】 1．（2024春•驿城区期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E，F在线段BC上，DE与AF相交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．若∠B＝50°，求∠EOF的度数． 【分析】根据题意得出BF＝CE，再由全等三角形的判定和性质得出∠AFB＝∠DEC，结合图形及三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， ∴BF＝CE， 在Rt△ABF和Rt△DCE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL） ∴∠AFB＝∠DEC， ∵在△ABF中，∠A＝90°，∠B＝50°， ∴∠AFB＝40°， ∴∠DEC＝∠AFB＝40°， ∴在△EOF中，∠EOF＝180°﹣40°﹣40°＝100°． 2．（2024春•福州期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，且AE＝CF； 求证： （1）∠EAC＝∠FCB （2）AC⊥BC． 【分析】（1）由AE⊥l于点E，BF⊥l于点F，得∠AEC＝∠CFB＝90°，而AC＝CB，AE＝CF，即可根据“HL”证明Rt△ACE≌Rt△CBF，得∠EAC＝∠FCB； （2）因为∠EAC＝∠FCB，所以∠ACE+∠FCB＝∠ACE+∠EAC＝90°，则∠ACB＝180°﹣（∠ACE+∠FCB）＝90°，所以AC⊥BC． 【解答】证明：（1）AE⊥l于点E，BF⊥l于点F， ∴∠AEC＝∠CFB＝90°， 在Rt△ACE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL）， ∴∠EAC＝∠FCB． （2）∵∠AEC＝90°，∠EAC＝∠FCB， ∴∠ACE+∠FCB＝∠ACE+∠EAC＝90°， ∴∠ACB＝180°﹣（∠ACE+∠FCB）＝90°， ∴AC⊥BC． 3．（2024春•双牌县期末）已知：如图，∠B＝∠C＝90°，且AF＝DE，BE＝CF． （1）求证：AB＝DC； （2）若∠A＝55°，求∠DEF的度数． 【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABF≌Rt△DCE，可得AB＝DC； （2）由直角三角形的性质可求∠AFB＝35°，由全等三角形的性质可得∠AFB＝∠DEF＝35°． 【解答】（1）证明：∵BE＝CF， ∴BF+EF＝CE+FE， ∴BF＝CE， 在Rt△ABF与Rt△DCE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）， ∴AB＝DC； （2）解：∵∠B＝90°，∠A＝55°， ∴∠AFB＝35°， ∵Rt△ABF≌Rt△DCE， ∴∠AFB＝∠DEF＝35°． 4．（2024春•紫金县期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC． 【分析】由∠1＝∠2得DE＝EC，进而可依据“HL”判定Rt△ADE和Rt△BEC全等． 【解答】证明：∵∠A＝∠B＝90°， ∴△ADE和△BEC均为直角三角形， ∵∠1＝∠2， ∴DE＝EC， 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）． 5．（2023秋•洛阳期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF， （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长． 【分析】（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出AE＝AF，BE＝CF，即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， ∴在Rt△BED和Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC； （2）解：∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，DE＝DF， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL） ∴AE＝AF， ∵AC＝20，CF＝BE＝4， ∴AE＝AF＝20﹣4＝16， ∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12． 6．（2024春•月湖区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC 于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF． （1）求证：AF＝AD； （2）若BF＝7，DE＝3，求CE的长． 【分析】（1）证出∠AED＝∠AEF，由角平分线的性质可得出结论； （2）证明Rt△ABF≌△RtACD（HL），由全等三角形的性质可得出BF＝CD＝7，则可得出答案． 【解答】（1）证明：∵∠D＝90°， ∴AD⊥DE， ∵EA平分∠DEF， ∴∠EAD＝∠EAF， ∴∠AED＝∠AEF， 又∵AF⊥EF， ∴AF＝AD； （2）解：在Rt△ABF和△RtACD中， ， ∴Rt△ABF≌△RtACD（HL）， ∴BF＝CD＝7， ∵DE＝3， ∴CE＝CD﹣DE＝7﹣3＝4． 7．（2024秋•兴隆台区校级月考）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性． 【分析】猜想：BF⊥AE 先证明△BDC≌△AEC得出∠CBD＝∠CAE，从而得出∠BFE＝90°，即BF⊥AE． 【解答】解：猜想：BF⊥AE． 理由：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD＝90°． 又BC＝AC，BD＝AE， ∴△BDC≌△AEC（HL）． ∴∠CBD＝∠CAE． 又∵∠CAE+∠E＝90°． ∴∠EBF+∠E＝90°． ∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE． 【类型6 两次证明三角形全等】 1．（2023秋•浑江区期末）如图，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求证：AB＝CD． 【分析】首先根据全等三角形的判定定理ASA推知△AOE≌△DOF，则OB＝OC；然后再根据全等三角形的判定定理ASA证得△AOB≌△DOC，则AB＝CD． 【解答】证明：如图，∵AE∥DF， ∴∠AEO＝∠DFO． 在△AOE与△DOF中， ． ∴△AOE≌△DOF（ASA）． ∴OD＝OA． 在△AOB与△DOC中， ． ∴△AOB≌△DOC（AAS）． ∴AB＝CD． 2．（2024春•温江区校级期中）如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点E在BD上，连接AE、CE，过点D作DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F、G． （1）求证：△ABE≌△CBE； （2）求证：EF＝EG． 【分析】（1）首先利用角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，然后再利用SAS判定△ABE≌△CBE即可； （2）根据全等三角形的性质可得∠AEB＝∠CEB，根据等角的补角相等可得∠AED＝∠CED，再证明全等可得DF＝DG． 【解答】证明：（1）∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）； （2）∵△ABE≌△CBE， ∴∠AEB＝∠CEB， ∴∠AED＝∠CED， ∵DF⊥AE，DG⊥CE，ED＝ED ∴△EDF≌△EDG（AAS）， ∴EF＝EG． 3．（2024春•白银期末）如图所示，已知AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，BE交CD于点O，连接AO． 求证：∠BAO＝∠CAO． 【分析】首先证得△BOD≌△COE，得到：OB＝OC，然后证明△AOB≌△AOC，从而证得． 【解答】证明：在△BOD和△COE中， ∵， ∴△BOD≌△COE（AAS）， ∴OB＝OC， 在△ABO和△ACO中， ∵， ∴△ABO≌△ACO（SAS）， ∴∠BAO＝∠CAO． 4．（2024春•西安期中）如图，在五边形ABCFE中，∠E＝∠F＝90°，AB＝BC，AE＝CF，点D是EF上一点，连接AD、CD，有∠BAD＝∠BCD＝90°，求证：ED＝FD． 【分析】连接BD，根据HL证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】证明：连接BD， 在Rt△ABD和Rt△CBD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL）， ∴AD＝CD， 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）， ∴ED＝FD． 5．（2024春•肇源县期中）如图，在四边形ABCD中，∠C＝900，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F．求证：PA＝EF． 【分析】作PM⊥AB于点M，根据HL证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】证明：作PM⊥AB于点M， ∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠C＝90°， ∴四边形PECF为矩形， ∴PF＝EC，PE＝CF， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴PM＝PE， 在Rt△BEP与Rt△BMP中， ， ∴Rt△BEP≌Rt△BMP（HL）， ∴BM＝BE， ∵AB＝CB， ∴AM＝CE， ∴AM＝PF， 在△AMP与△FPE中， ， ∴△AMP≌△FPE（SAS） ∴PA＝EF． 6．（2024•宣汉县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，延长BC至点F，过点F作EF∥CD交AC于点E，AB＝EF，且CB＝CE，过点C作CH∥AB． （1）求证：∠ACH＝∠BCD； （2）求证：CD＝CH． 【分析】（1）由直角三角形的性质得∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°，则∠A＝∠BCD，再由平行线的性质得∠ACH＝∠A，即可得出结论； （2）证明Rt△ACB≌Rt△FCE（HL），得∠B＝∠CEH，再证明△BCD≌△ECH（ASA），即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD+∠B＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵CH∥AB， ∴∠ACH＝∠A， ∴∠ACH＝∠BCD； （2）∵∠ACB＝90°， ∴∠FCE＝180°﹣90°＝90°， 在Rt△ACB和Rt△FCE中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△FCE（HL）， ∴∠B＝∠CEH， 在△BCD和△ECH中， ， ∴△BCD≌△ECH（ASA）， ∴CD＝CH． 7．（2024春•龙泉驿区期末）如图，Rt△ABC与Rt△DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＝EF，线段AC与线段DF在一条直线上，且AF＝CD，连接EC，BF，BE，BE与AD相交于点G． （1）△ABF与△DEC全等吗？为什么？ （2）试说明点G是线段BE的中点． 【分析】（1）利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF，根据全等三角形的性质得出AB＝ED，∠BAC＝∠EDF，再利用SAS即可证明△ABF≌△DEC； （2）利用AAS证明△ABG≌△DEG，根据全等三角形的性质及线段中点定义即可得解． 【解答】解：（1）△ABF≌△DEC，理由如下： ∵AF＝CD， ∴AF+FC＝CD+FC， 即AC＝FD， 在Rt△ABC与Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴AB＝ED，∠BAC＝∠EDF， 在△ABF和△DEC中 ， ∴△ABF≌△DEC（SAS）； （2）由（1）知AB＝DE，∠BAC＝∠EDF， ∵BE与AD相交于点G， ∴∠BGA＝∠EGD， 在△ABG和△DEG中， ， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴BG＝GE， ∴点G是线段BE的中点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 全等三角形的证明六大类型 【苏科版】 【类型1 利用SSS证明三角形全等】 1 【类型2 利用SAS证明三角形全等】 3 【类型3 利用ASA证明三角形全等】 5 【类型4 利用AAS证明三角形全等】 7 【类型5 利用HL证明三角形全等】 9 【类型6 两次证明三角形全等】 11 【类型1 利用SSS证明三角形全等】 1．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，是上一点，．求证：．    2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，为上任意一点，过点作一条直线分别交，的延长线于点，．求证：． 3．（2024八年级上·吉林白山·期中）如图，已知在同一条直线上，，，． 求证：． 4．（2024七年级·安徽·课后作业）如图，已知，，，求证：. 5．（2024•五华区校级模拟）如图，点F，C在BE上，BF＝EC，AB＝DE，DF＝AC．求证：∠B＝∠E． 6．（2023秋•浦江县期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD． 7．（23-24八年级上·陕西延安·期中）如图，在线段上有两点，，在线段的异侧有两点，，且满足，，，连接．   (1)求证：； (2)若，，平分时，求的度数． 【类型2 利用SAS证明三角形全等】 1．（2023秋•邹平市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．若F是DE上的一点，且BF＝DE，求证：AD＝AF． 2．（2024•江阳区模拟）如图，在△ABC和△DEC中，AC＝DC，BC＝EC延长BC，ED相交于点F，且∠BCE＝∠ACD． 求证：∠A+∠CDF＝180°． 3．（2023秋•寻乌县期末）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，连接BE，点D恰好在BE上，求∠3的度数． 4．（2023秋•陇县期末）如图，在△ABC中，BE⊥AC、CF⊥AB，垂足分别为E、F，点P在CF的延长线上，点D在线段BE，且CP＝AB，BD＝AC，连接AP、AD． （1）求证：△ABD≌△PCA； （2）求∠P的度数． 5．（2023秋•邵阳期末）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD． （1）求证：△BAD≌△CAE； （2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明． 6．（2024春•法库县期中）如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB两条边上的高，点D在BE上满足BD＝AC，点G在CF的延长线上满足CG＝AB，连接AD，AG． （1）求证：△ABD≌△GCA； （2）若连接D，G，请判断△ADG的形状，并直接写出结论． 7．（2024春•未央区月考）已知等腰三角形ABC，AB＝AC，D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为边在直线AD的右侧作等腰三角形ADE，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，连接CE． （1）如图1，当点D在边BC上时，请探究BC，CD，CE之间的数量关系． （2）如图2，当点D在BC的延长线上时，（1）中BC，CD，CE之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 【类型3 利用ASA证明三角形全等】 1．（2024•西安二模）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，连接AC，点E在AC上，AE＝CD，连接BE，∠D+∠BEC＝180°．求证：BE＝AD． 2．（2024•合江县二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，点E在DB的延长线上，DE＝BC，∠1＝∠2，求证：DF＝AB． 3．（2024•雁塔区校级模拟）如图，已在△ABC与△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，BD⊥AB，EC⊥AC，求证：AD＝AE． 4．（2023秋•梅里斯区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD，分别交AB、AD于点E、F． （1）求证：EF＝CF； （2）若∠ACB＝80°，∠BCE＝30°，求∠ABC的度数． 5．（2024春•修水县期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC． （1）求证：AE＝AD； （2）若BD＝8，DC＝5，求ED的长． 6．（2023秋•铁岭县期末）如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，过点D作DE⊥FG交AB于点E，连接EG、EF． （1）求证：BG＝CF． （2）请你判断：BE+CF与EF的大小关系，并加以证明． 7．（2024春•汝州市期末）如图，在△ABC中，高BD，CE交于点F，且BD＝CD， （1）判断AD，FD的数量关系，并说明理由； （2）若CE平分∠ACB，BE＝1.5，求CF的长． 【类型4 利用AAS证明三角形全等】 1．（2024•雁塔区校级四模）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，CE＝CF，∠BAF＝∠DAE，∠B＝∠D．求证：AE＝AF． 2．（2024春•龙川县校级期末）如图，点A，B在射线CA，CB上，CA＝CB．点E，F在射线CD上，∠BEC＝∠CFA，∠BEC+∠BCA＝180°． （1）求证：△BCE≌△CAF； （2）试判断线段EF，BE，AF的数量关系，并说明理由． 3．（2024春•青岛期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CBF＝90°，CE⊥BD，垂足为E，CE的延长线交AB于点F，BD＝CF． （1）请你在图中找出一对全等三角形，并说明理由； （2）连接AC，交BD于点P，若∠CPD＝115°，求∠CFB得度数． 4．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，在锐角△ABC中，AB＝AC，且点E，F在线段AD上，且∠BED＝∠DFC＝∠BAC． （1）求证AF＝BE； （2）若，S△BDE+S△AFC＝6，求S△ABC． 5．（2024•新会区校级四模）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.4cm，DE＝1.6cm．求BE的长． 6．（2024春•闵行区期末）如图，已知在△ABD中，AB＝AD，射线AF交BD于点O，∠BAC＜∠DAC，点E、F在射线AF上，且∠BCF＝∠DEF＝∠BAD．试判断AC与ED的数量关系，并说明理由． 7．（2024春•乐平市期末）如图，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F． （1）若∠ABF＝63°，求∠ADE的度数； （2）请直接写出线段BF、EF、DE三者间的数量关系． 【类型5 利用HL证明三角形全等】 1．（2024春•驿城区期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E，F在线段BC上，DE与AF相交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．若∠B＝50°，求∠EOF的度数． 2．（2024春•福州期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，且AE＝CF； 求证： （1）∠EAC＝∠FCB （2）AC⊥BC． 3．（2024春•双牌县期末）已知：如图，∠B＝∠C＝90°，且AF＝DE，BE＝CF． （1）求证：AB＝DC； （2）若∠A＝55°，求∠DEF的度数． 4．（2024春•紫金县期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC． 5．（2023秋•洛阳期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF， （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长． 6．（2024春•月湖区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC 于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF． （1）求证：AF＝AD； （2）若BF＝7，DE＝3，求CE的长． 7．（2024秋•兴隆台区校级月考）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性． 【类型6 两次证明三角形全等】 1．（2023秋•浑江区期末）如图，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求证：AB＝CD． 2．（2024春•温江区校级期中）如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点E在BD上，连接AE、CE，过点D作DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F、G． （1）求证：△ABE≌△CBE； （2）求证：EF＝EG． 3．（2024春•白银期末）如图所示，已知AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，BE交CD于点O，连接AO． 求证：∠BAO＝∠CAO． 4．（2024春•西安期中）如图，在五边形ABCFE中，∠E＝∠F＝90°，AB＝BC，AE＝CF，点D是EF上一点，连接AD、CD，有∠BAD＝∠BCD＝90°，求证：ED＝FD． 5．（2024春•肇源县期中）如图，在四边形ABCD中，∠C＝900，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F．求证：PA＝EF． 6．（2024•宣汉县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，延长BC至点F，过点F作EF∥CD交AC于点E，AB＝EF，且CB＝CE，过点C作CH∥AB． （1）求证：∠ACH＝∠BCD； （2）求证：CD＝CH． 7．（2024春•龙泉驿区期末）如图，Rt△ABC与Rt△DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＝EF，线段AC与线段DF在一条直线上，且AF＝CD，连接EC，BF，BE，BE与AD相交于点G． （1）△ABF与△DEC全等吗？为什么？ （2）试说明点G是线段BE的中点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$