专题2.1 认识有理数（有理数及其分类）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.1 认识有理数（有理数及其分类）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】认识正数、负数 （1）正数：像+5，+，，2.86这样大于0的数（“+”通常省略不写）叫做正数，正数大于0； （2）负数：像-5，-4，-0.68这样正数前面加个符号“－”（负号）的数叫做负数，负数小于0； （3）0：既不是正数也不是负数，正负数以0为界。规定：0是最小的自然数。 【知识点二】正、负数的意义 （1）具有相反意义的量：我们把某种量的一种意义规定为正的，而把与它相反的一种意义规定为负的，负数是根据实际需要而产生的。 （2）具有相反意义的量的表达：描述一对具有相反意义的量的词语一般是有一对反义词，习惯上，把“上升、增加、盈利、收入”等规定为正，“下降、减少、亏损、支出”等规定为负。 【知识点三】有理数的概念 整数和分数统称有理数. 知识拓展：有限小数和无限循环小数都可以化为分数；反过来，分数都可以化为有限小数和无限循环小数. 【知识点四】有理数的分类 知识拓展：（1）小数包括无限不循环小数，故小数不能等同于分数，但除了.无限不循环小数，其他小数都属于分数； (2）圆周率是无限不循环小数，它不能化为分数，是将来要学的无理数。 【知识点五】0的意义 （1） 既不是正数也不是负数，正负数以0为界；（2）为了表示没有而产生一个数0； （3）0还可以表示为一个事件的起点；（4）与0对应的是非零，非零表示正数或负数，总之，一个圈，表示的意义有无穷无尽的地方。 【知识点六】带“非”字的有理数 带“非”字的有理数“非负数”“非正数”“非负整数”“非正整数”“非零”“非小数”等等，如“非负数”表示不是负数，就是正数或0，在理解“非负整数”，表示的含义有两层意义：首先它是整数，其次它才是正负整数，所以“非负整数”表示的是不是负整数，就是0和正整数，这是学生易错的地方。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】正负数的意义与相反意义的量 【例1】如果把一个物体向右移动记作移动，那么这个物体又移动了是什么意思？如何描述这时物体的位置？ 【变式1】（2024·四川自贡·二模）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著九章算术中，如果把收入元记作元，那么支出元记作（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2】（2024七年级上·山东青岛·专题练习）下列各数中：，负数有 个． 【题型2】正负数的实际应用 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“（）”字样，请问“（）”是什么含义？质检局对该产品抽查瓶，容量分别为，，，，，问抽查产品的容量是否合格？ 【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为的零部件，其中范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024·甘肃陇南·模拟预测）根据文献记载，魏晋学者刘徽是引入负数概念的第一人，他在注解《九章算术》时写道：“正算赤，负算黑；否则以斜正为异．今两算得失相反，要令正负以名之．”简而言之，刘徽不仅给了正负数定义，而且还指出用赤黑区分正负数，即“正算赤，负算黑”．如果向东走30米记作“米”，那么向西走70米记作 ． 【题型3】有理数的分类 【例3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①0；②；③200；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 整数：{ ___________⋯}； 正数：{ ___________⋯}； 正分数：{ ___________⋯}； 负有理数：{ ___________⋯}． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列是数的分类，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）在3.14，0，，，，，，中，正有理数有 个． 【题型4】理解0的意义 【例4】（20-21七年级·全国·假期作业）请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外） 【变式1】（2024七年级上·山东青岛·专题练习）下列关于零的说法中，正确的是（ ） A．零是正数 B．零是负数 C．零既不是正数，也不是负数 D．零仅表示没有 【变式2】（2024七年级上·山东青岛·专题练习）下列关于“0”的说法正确的有 个． ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． 【题型5】带“非”字的有理数 【例5】（23-24七年级上·河南鹤壁·期中）把下列各数分别填入相应的大括号内：，0，，，11，，，，． 非负有理数：{     …}； 整数：{     …}； 自然数：{     …}； 非正整数：{     …}． 【变式1】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知下列各数：，，6，，，，0，其中非负有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）在，0，,，2023，，0.26，11.3中，非负整数有 个． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·湖北武汉·中考真题）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上记作，则零下记作 ． 2、拓展延伸 【例1】把下列各数填入相应的数集中： +1、-5％、200、-3、6.8、0、－、0.12003407、1、-43.555、77％、-3 （1）非负数集合：______________________（2）负有理数集合：________________________ （3）正整数集合：______________________（4）负分数集合：___________________________ 【例2】把下列各数分别填在相应的横线上： 1， -0.20，，325，-789，0，-23.13，0.618，-2014，π，0.1010010001…． 正数有： ； 分数有： ； 负数有： ； 正整数有： ； 非正数有： ； 负整数有： ； 非负数有： ； 负分数有： ； 非负整数有： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 认识有理数（有理数及其分类）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】认识正数、负数 （1）正数：像+5，+，，2.86这样大于0的数（“+”通常省略不写）叫做正数，正数大于0； （2）负数：像-5，-4，-0.68这样正数前面加个符号“－”（负号）的数叫做负数，负数小于0； （3）0：既不是正数也不是负数，正负数以0为界。规定：0是最小的自然数。 【知识点二】正、负数的意义 （1）具有相反意义的量：我们把某种量的一种意义规定为正的，而把与它相反的一种意义规定为负的，负数是根据实际需要而产生的。 （2）具有相反意义的量的表达：描述一对具有相反意义的量的词语一般是有一对反义词，习惯上，把“上升、增加、盈利、收入”等规定为正，“下降、减少、亏损、支出”等规定为负。 【知识点三】有理数的概念 整数和分数统称有理数. 知识拓展：有限小数和无限循环小数都可以化为分数；反过来，分数都可以化为有限小数和无限循环小数. 【知识点四】有理数的分类 知识拓展：（1）小数包括无限不循环小数，故小数不能等同于分数，但除了.无限不循环小数，其他小数都属于分数； (2）圆周率是无限不循环小数，它不能化为分数，是将来要学的无理数。 【知识点五】0的意义 （1） 既不是正数也不是负数，正负数以0为界；（2）为了表示没有而产生一个数0； （3）0还可以表示为一个事件的起点；（4）与0对应的是非零，非零表示正数或负数，总之，一个圈，表示的意义有无穷无尽的地方。 【知识点六】带“非”字的有理数 带“非”字的有理数“非负数”“非正数”“非负整数”“非正整数”“非零”“非小数”等等，如“非负数”表示不是负数，就是正数或0，在理解“非负整数”，表示的含义有两层意义：首先它是整数，其次它才是正负整数，所以“非负整数”表示的是不是负整数，就是0和正整数，这是学生易错的地方。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】正负数的意义与相反意义的量 【例1】如果把一个物体向右移动记作移动，那么这个物体又移动了是什么意思？如何描述这时物体的位置？ 【答案】这个物体又移动了表示物体又向左移动了．此时物体回到了原来的位置． 【分析】根据正负数的意义即可得出答案． 解：这个物体又移动了表示物体又向左移动了．此时物体回到了原来的位置． 【点拨】本题考查正负数的实际意义，解题的关键是正确理解“正”和“负”的相对性． 【变式1】（2024·四川自贡·二模）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著九章算术中，如果把收入元记作元，那么支出元记作（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】根据正数和负数的定义进行解答． 本题考查了正数和负数的定义，掌握正数和负数的定义是关键． 解：如果把收入元记作元， 那么支出元记作元． 故选：A． 【变式2】（2024七年级上·山东青岛·专题练习）下列各数中：，负数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，注意零既不是正数，也不是负数．掌握正负数的定义是解决问题的关键． 根据正数和负数的定义判断即可，注意：零既不是正数，也不是负数． 解：，是正数； ，是负数； ，是负数； 0既不是正数，也不是负数； ，是负数； ，是正数； 负数有，，，共3个． 故答案为：3个． 【题型2】正负数的实际应用 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“（）”字样，请问“（）”是什么含义？质检局对该产品抽查瓶，容量分别为，，，，，问抽查产品的容量是否合格？ 【答案】合格，过程见详解 【分析】本题考查用正负数表示变化的量，在用正负数表示变化的量时，先规定其中的一个为正（或负），则其相反意义的量就用负（或正）表示． 理解（）的意义，根据题意进行判断即可． 解：“（）”是为标准容量，（）是合格范围， 故，，，，，抽查产品的容量是合格的． 【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为的零部件，其中范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正数和负数，根据正数和负数的实际意义求得合格尺寸的范围，然后进行判断即可，结合已知条件求得合格尺寸的范围是解题的关键． 解：由题意可得合格尺寸的范围为，不在尺寸范围内， 故选：D． 【变式2】（2024·甘肃陇南·模拟预测）根据文献记载，魏晋学者刘徽是引入负数概念的第一人，他在注解《九章算术》时写道：“正算赤，负算黑；否则以斜正为异．今两算得失相反，要令正负以名之．”简而言之，刘徽不仅给了正负数定义，而且还指出用赤黑区分正负数，即“正算赤，负算黑”．如果向东走30米记作“米”，那么向西走70米记作 ． 【答案】米 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示意义相反的量，向西走为正，则向东走为负，即可得出结果； 解：向东走30米记作“米”，那么向西走70米记作米； 故答案为：米 【题型3】有理数的分类 【例3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①0；②；③200；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 整数：{ ___________⋯}； 正数：{ ___________⋯}； 正分数：{ ___________⋯}； 负有理数：{ ___________⋯}． 【答案】①③④⑥；②③⑥⑧；②⑧；④⑤⑦ 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．根据有理数的分类，即可求解． 解：整数：{①③④⑥……}； 正数：{②③⑥⑧……} 正分数：{②⑧……} 负有理数：{④⑤⑦……} 故答案为：①③④⑥；②③⑥⑧；②⑧；④⑤⑦． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列是数的分类，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，以及有理数的分类，解题的关键是熟练掌握所学的知识．按照有理数、整数、分数的概念进行判断即可得出答案． 解：有理数可分为整数和分数，故A选项正确，符合题意； 整数可分为：正整数，0，负整数，故B选项错误，不符合题意； 分数可分为：正分数，负分数，故C选项错误，不符合题意； 有理数可分为整数和分数，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）在3.14，0，，，，，，中，正有理数有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了有理数的知识，根据正有理数的概念分析各数，即可获得答案． 解：在3.14，0，，，，，，中， 正有理数有：3.14，，，共3个， 故答案为：3． 【题型4】理解0的意义 【例4】（20-21七年级·全国·假期作业）请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外） 【分析】根据题意可以写出零的数学特性，本题得以解决． 解：①零既不是正数也不是负数； ②零小于正数，大于负数； ③零不能做分母； ④零是最小的非负数； ⑤零的相反数是零; ⑥任何不为零的数的零次幂为1； ⑦零乘以任何数都是零等． 【点拨】本题考查有理数，解题的关键是明确题意，可以仿照例句写出关于零的别的数学特性． 【变式1】（2024七年级上·山东青岛·专题练习）下列关于零的说法中，正确的是（ ） A．零是正数 B．零是负数 C．零既不是正数，也不是负数 D．零仅表示没有 【答案】C 【分析】本题考查了对数的理解与运用，注意：负数都小于零，正数都大于零，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数；零不仅表示没有，还表示一个介于负数与正数之间的一个数． 依据题意，零大于负数，小于正数，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数，从而即可根据以上内容判断求解． 解：A、零不是正数，说法错误； B、零不是负数，说法错误； C、零既不是正数，也不是负数，说法正确； D、零不仅仅表示没有，不同情形下，零表示的意义不同，说法错误； 故选：C． 【变式2】（2024七年级上·山东青岛·专题练习）下列关于“0”的说法正确的有 个． ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． 【答案】4 【分析】本题考查了对数字0的认识，注意：负数都小于零，正数都大于零，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数；零不仅表示没有，还表示一个介于负数与正数之间的一个数． 依据题意，零大于负数，小于正数，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数，零是自然数，零是偶数，从而即可根据以上内容判断求解． 解：0是正数和负数的分界点，故①正确； 0既不是正数，也不是负数，故②错误，⑥正确； 0是自然数，故③正确； 存在既不是正数也不是负数的数，即0，故④错误； 0既是整数也是偶数，故⑤正确； 故答案为：4． 【题型5】带“非”字的有理数 【例5】（23-24七年级上·河南鹤壁·期中）把下列各数分别填入相应的大括号内：，0，，，11，，，，． 非负有理数：{     …}； 整数：{     …}； 自然数：{     …}； 非正整数：{     …}． 【答案】0，，11，，，；，0，11；0，11；，0 【分析】本题主要考查有理数的分类，熟知有理数分类是解题关键．根据有理数的分类填空即可． 解：非负有理数：{0，，11，，，…}； 整数：{，0，11…}； 自然数：{0，11…}； 非正整数：{，0…}． 【变式1】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知下列各数：，，6，，，，0，其中非负有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的分类，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用非负有理数的定义得出答案即可． 解：，，，，，，中非负有理数有：，，，共4个． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）在，0，,，2023，，0.26，11.3中，非负整数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的分类及定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．非负整数包括正整数和0，据此即可求得答案． 解：，0，2023是非负整数，共3个， 故答案为：3． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键． 由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 解：由五日气温为得到，， ∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 故选：A． 【例2】（2024·湖北武汉·中考真题）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上记作，则零下记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 解：零上记作，则零下记作．， 故答案为：． 2、拓展延伸 【例1】把下列各数填入相应的数集中： +1、-5％、200、-3、6.8、0、－、0.12003407、1、-43.555、77％、-3 （1）非负数集合：______________________（2）负有理数集合：________________________ （3）正整数集合：______________________（4）负分数集合：___________________________ 【答案】（1）+1、200、6.8、0、0.12003407、1、77％； （2）-5％、-3、－、-43.555、-3； （3）200、1； （4）-5％、－、-43.555、-3. 【分析】根据有理数的分类，可得答案 解：（1）非负数集合：+1、200、6.8、0、0.12003407、1、77％； （2）负有理数集合：-5％、-3、－、-43.555、-3； （3）正整数集合：200、1； （4）负分数集合：-5％、－、-43.555、-3. 【点拨】本题考查了有理数，熟知有理数的分类是解题关键． 【例2】把下列各数分别填在相应的横线上： 1， -0.20，，325，-789，0，-23.13，0.618，-2014，π，0.1010010001…． 正数有： ； 分数有： ； 负数有： ； 正整数有： ； 非正数有： ； 负整数有： ； 非负数有： ； 负分数有： ； 非负整数有： ． 【答案】 1，，325，0.618，π，0.1010010001…； -0.20，，-23.13，0.618； -0.20，-789，-23.13，-2014； 1，325； -0.20，-789，0，-23.13，-2014； -789，-2014； 1，，325，0，0.618，π，0.1010010001…； -0.20，-23.13； 1，325，0. 解：按照本题中给出的分类，结合各类型数的定义依次分析各个数的特征，得 (1) 1是正数；1是正整数；1是非负数；1是非负整数. (2) -0.20是分数；-0.20是负数；-0.20是非正数；-0.20是负分数. (3) 是正数；是分数；是非负数. (4) 325是正数；325是正整数；325是非负数；325是非负整数. (5) -789是负数；-789是非正数；-789是负整数. (6) 0是非正数；0是非负数；0是非负整数. (7) -23.13是分数；-23.13是负数；-23.13是非正数；-23.13是负分数. (8) 0.618是正数；0.618是分数；0.618是非负数. (9) -2014是负数；-2014是非正数；-2014是负整数. (10) π是正数；π是非负数. (11) 0.1010010001…是正数；0.1010010001…是非负数. 故本题应进行如下填写： (正数) 1，，325，0.618，π，0.1010010001…； (分数) -0.20，，-23.13，0.618； (负数) -0.20，-789，-23.13，-2014； (正整数) 1，325； (非正数) -0.20，-789，0，-23.13，-2014； (负整数) -789，-2014； (非负数) 1，，325，0，0.618，π，0.1010010001…； (负分数) -0.20，-23.13； (非负整数) 1，325，0. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$