第7章 锐角三角函数复习 导学案 2023-2024学年苏科版九年级数学下册

九年级数学下册导学案(7-12) 主备人：张二平 班级 学生姓名： 课题：第7章 锐角三角函数复习 学习目标： 1、进一步理解并掌握锐角三角函数的定义、性质和特殊角的三角函数值。 2、会由已知锐角求它的三角函数，由已知三角函数值求它对应的锐角。 3、会用三角函数增减性比较大小。 4、会解直角三角形，会将有关实际问题的计算转化为解直角三角形的问题。 学习重点：解直角三角形，并能将实际问题转化为解直角三角形的问题。 学习难点：如何根据实际问题画出平面图形，将之转化为解直角三角形的问题。 1、 基础训练： 1、 在△ABC中，∠C=90°sinA=,则tanB=（ ） A、 B、 C、 D、 2、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合， EF为折痕，则sin∠BED的值是（ ） A、 B、 C、 D、 3、如图，在△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点， 则 （ ） A、 B、 C、 D、10 4、规定：sin（-x）=-sinx，cos（-x）=cosx，sin（x+y）=sinxcosy+cosxsiny，据此判断下列 等式成立的共有 （　 　） ①cos（-60°）=；②sin75°=；③sin2x=2sinxcosx；④sin（x-y）=sinx-cosy-cosx-siny． A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 5、如图，已知点A（4，3），B为直线y= -2上的一个动点，点C(0，n），-2<n<3，AC⊥BC， 连接AB，若直线AB与x轴正半轴所夹的锐角为，则当sin的值最大时，n的值为 。 6、已知 。 7、如图，在由10个完全相同的等边三角形构成的网络图中， 。 第2题 第3题 第5题 第7题 8、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于E、F。 （1）求证：DO∥AC；（2）求证：DEDA=DC2；（3）若tan∠CAD=0.5,求sin∠CDA的值。 2、 知识梳理： 1、知识网络图 2、要点回顾： （1）勾股定理：直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方。即a2+b2=c2。 （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A的三角函数为（∠A可以换成∠B） 定义 表达式 取值范围 关系 图形 正弦 0＜sinA＜1 ∠A为锐角 SinA=cosB cosA=sinB Sin2A+cos2A=1 余弦 0＜cosA＜1 ∠A为锐角 正切 tanA＞0 ∠A为锐角 tanAtanB=1 （3） 同一个锐角三角函数间的关系：如果∠A为锐角，那么； Sin2A+cos2A=1。 （4）互余两个角三角函数间的关系： ①任意锐角的正弦值等于它余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它余角的正弦值。 如果∠A+∠B=90°，那么 SinA=cosB，cosA=sinB。 ②任意锐角的正切值与它余角的正切值互为倒数。如果∠A+∠B=90°，那么tanAtanB=1 （5）正弦、余弦、正切的增减性： 当0°＜＜90°时， sin随的增大而 ；cos随的增大而 ；tan随的增大而 。 （6）解直角三角形： 由直角三角形的边、角已知元素，求出 的未知元素的过程叫做解直角三角形。 解直角三角形只有下面两种情况： （1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角（两个已知元素中至少有一条边）。 （7） 应用举例： ①仰角与俯角： 如图，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫仰角， 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角。 ②坡度： 坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比）， 一般用i表示.即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1：2.5 把坡面与水平面的夹角α叫做坡角。，  坡度i与坡角α之间关系是 。 ③方位角与方向角： 方位角是从某点的指北方向线起依顺时针方向至目标方向线间的水平夹角，它主要用于天文和军事。 方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于90的角。它主要用于数学领域。 （8）将实际问题转化为解直角三角形的问题的一般步骤： ①画出平面图形；②构造直角三角形；③选择适当的边角关系解直角三角形。 三、问题研讨： 例1、选一选： 1、 （ ） A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形 2、在△ABC中，若AB=AC，中线AD=△ABC的周长为 （ ） A、 B、 C、 D、以上都不对 3、在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为，有以下结论： (其中R为△ABC的外接圆半径)成立，在△ABC中，若∠A=75°， ∠B=45°，c=4，则△ABC的外接圆的面积为 （ ） A、 B、 C、 D、 4、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=,BC=2，以AB的中点O 为圆心，OA为半径作半圆交AC于点D，则涂色部分的面积为（ ） A、 B、 C、 D、 例2、如图，PA与⊙O相切于点A，PC经过⊙O的圆心，且与⊙O交于B,C两点，已知PA=4，PB=2， （1） 求cosP的值； （2） 连接AC，求tan∠ACP。 例3、阅读下面材料：小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°， AB=，BC=，求AD的长．小红发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE， 经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． （1）请回答：AD的长为 ； （2）参考小红思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，tanA=，∠B=∠C=135°， AB=9，CD=3，求BC和AD的长。 例4、亲爱的同学们,在我们进入高中以后,将还会学到三角函数公式： sin（α+β)=sinαCosβ+Cosαsinβ,Cos（α+β)=CosαCosβ-sinαsinβ 例如：sin75°=sin（30°+45°)=sin30°Cos45°+Cos30°sin45°= （1)试仿照例题,求出cos75°的准确值； （2)我们知道：，试求出tan75°的准确值； （3)根据所学知识,请你巧妙地构造一个合适的直角三角形,求出tan75°的准确值（要求分母有理化), 和（2)中的结论进行比较。 例5、 如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm， 小强身高166cm，下半身FG=100cm。洗漱时下半身与地面成80°角（即∠FGK=80°），身体前倾 成125°角（即∠EFG=125°），脚与洗漱台的距离GC=15cm（点D、C、G、K在同一直线上）. （1）求此时小强头部E点与地面DK的距离； （2）小强希望他的头部E点恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少 （结果精确到0.1cm，参考数据：cos80°≈0.17，sin80°≈0.98，≈1.41）？ 4、 拓展提高： 图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长AB＝115mm， 支撑板长CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动。 （1）当∠CDE＝60°时， ①求点C到直线DE的距离（计算结果保留根号）； ②若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）； （2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转， 使点B落在DE上，则CD旋转的角度为 　      　．（直接写出结果） （参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7） 5、 强化训练： 1、如图，上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分 到达B处，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么在B处船 与小岛M的距离为 （　　） A、20海里 B、 海里 C、 海里 D、海里 2、 如图，客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°， 测得C处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°， 则C到A的距离是 （　　） 　A、15km B、（15＋5）km　C、15（＋）km D、15（＋3）km 3、 如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60m到C点，又测得仰角为45°， 则该高楼的高度大约为 （　　） 　A、82m　　　　　 B、163m　　　　 　C、52m　　　　 　D、30m 4、如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上， 则∠AED的正切值等于__________。 5、如图，A、B、C为网格上三个格点，则 。 6、如图，△ABC三个顶点分别在边长为1的正方形网络的格点上， 则 .（填“＞”＜“”或“=”） 7、计算：。 8、 在△ABC中，已知∠A=60°，∠B为锐角，且tanA，cosB恰为一元二次方程2x2-3mx+3=0 的两个实数根，求m的值并判断△ABC的形状。 9、如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D。 （1） 若E是BD的中点，连接CE，求证：CE是⊙O的切线； （2） 若AC=3DC，求∠A的度数。 10、如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i＝2:1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道．请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域). 学科网（北京）股份有限公司 $$