22.1 二次函数的图象和性质22.1.3第三课时（要点系统练+提升整合练+探究创新练）-2024-2025学年九年级数学上册核心要点同步题型精练（人教版）

好题精选·同步精练22.1二次函数的图象和性质 22.1.3第三课时 的图象和性质 1．（22-23九年级上·福建莆田·期中）抛物线的顶点坐标是（　　）知识点1 二次函数的图象和性质 A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）二次函数的对称轴是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．与x轴没有交点 4．（23-24八年级下·重庆·期末）已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（20-21九年级上·山东烟台·期中）如图，在同一坐标系内的两条抛物线有相同对称轴，则下列关系中，不正确的是（    ） A．h = m B．k＞n C．m＞0，n＜0 D．a2＞－a1 6．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知是抛物线上的两点，则 ． 7．若二次函数y＝a（x＋h）2＋k的图象经过(－3，0)，(5，0)两点，则h的值为 ． 8．已知二次函数y＝﹣8（x+m）2+n的图象的顶点坐标是(﹣5，﹣4)，那么一次函数y＝mx+n的图象经过第 象限． 9．抛物线与抛物线的关系：知识点2 二次函数与的图象平移 向 （h＞0）或向 （h＜0）平移|h|个单位长度，再向 （h＞0）或向 （h＜0）平移|k|个单位长度，得到 10．抛物线的顶点坐标是 ，开口方向 ，对称轴是 ；当时，随的增大而 ；它可由抛物线向 平移 个单位长度得到. 11．将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是 ． 12．已知二次函数的顶点坐标为，并且经过平移后能与抛物线重合，那么这个二次函数的解析式是 ． 13．抛物线经过平移得到抛物线，平移过程正确的是(    ) A．先向左平移6个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移6个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移6个单位，再向上平移3个单位 D．先向右平格6个单位，再向下平移3个单位 14．（23-24九年级上·安徽黄山·期中）若抛物线的顶点在第二象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（20-21九年级上·福建龙岩·期中）如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动（抛物线随顶点一起平移，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（    ）    A． B．1 C．5 D．8 16．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 17．（2024·山东临沂·二模）已知一系列抛物线，，，，，…，（k为非负整数）．抛物线与x轴相交于点，（点在点的左边），顶点为．若轴于点，则k的值是（    ） A．3 B．5 C．2023 D．2024 18．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点．以为斜边作，边上的中线的最小值是 ． 19．（22-23九年级上·福建厦门·阶段练习）已知点在抛物线上（是实数），有以下说法： ①无论取何实数，的值都小于0； ②无论取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上运动； ③无法确定的值，值随的变化而变化； ④有最大值，其最大值为15； 正确的结论有 ． 20．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，抛物线与交于点A，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，则线段BC的长为 ． 21．（2022·浙江宁波·一模）已知二次函数（是实数）． (1)小明说：当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？ (2)已知点，都在该二次函数图象上，求证：． 22．（2023·吉林·三模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线、均为常数且，．过点作轴垂线交抛物线于、两点、在点的右侧），连结、．当，且的面积为2时，则的值为 ． 23．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若四边形的周长为14，的周长大于8，则h的取值范围为 ．    24．（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，有一组拋物线，它们的顶点在直线上，并且经过点，当时，，8，，根据上述规律，写出执物线的解析式（顶点式）为 ，和拋物线的顶点坐标 及它与轴的交点坐标 ．    25．（22-23九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形． (1)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (2)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (3)若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练22.1二次函数的图象和性质 22.1.3第三课时 的图象和性质 1．（22-23九年级上·福建莆田·期中）抛物线的顶点坐标是（　　）知识点1 二次函数的图象和性质 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式的顶点式，即可找出抛物线的顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 2．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）二次函数的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的顶点式，掌握顶点式是解题的关键．根据顶点式可直接得出对称轴． 【详解】∵二次函数解析式是 ∴对称轴是直线 故选D 3．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．与x轴没有交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．由二次函数得，该二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，所以该二次函数与轴没有交点． 【详解】解：由二次函数得，该二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，故A、C不符合题意，B符合题意， 该二次函数与轴没有交点，故D不符合题意， 故选：B． 4．（23-24八年级下·重庆·期末）已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．由顶点坐标可设解析式为，再根据抛物线与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，得到即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 可设其解析式为 抛物线与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同 抛物线的解析式为． 故选：D． 5．（20-21九年级上·山东烟台·期中）如图，在同一坐标系内的两条抛物线有相同对称轴，则下列关系中，不正确的是（    ） A．h = m B．k＞n C．m＞0，n＜0 D．a2＞－a1 【答案】D 【分析】利用函数的解析式可以得到函数的顶点坐标，以及开口方向，据此即可作出判断． 【详解】解：y＝a1（x﹣h）2+k的顶点是（h，k）； y＝a2（x﹣m）2+n的顶点是（m，n）． 两个函数的对称轴是同一条直线，故h＝m，k＞n，m＞0，n＜0成立，故A，B，C都是正确的； y＝a2（x﹣m）2+n的开口向上，则a2＞0，y＝a1（x﹣h）2+k的开口向下，则a1＜0，则a1＜a2，故D不正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，通过函数解析式能判断开口方向以及顶点坐标是关键． 6．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知是抛物线上的两点，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴，进而利用二次函数增减性得出是解题的关键． 先求得函数的对称轴为，再判断离对称轴的远近，从而判断出与的大小关系． 【详解】解：由可知抛物线的对称轴为直线， 抛物线开口向上，而点到对称轴的距离比点远， ． 故答案为：． 7．（20-21九年级上·全国·课后作业）若二次函数y＝a（x＋h）2＋k的图象经过(－3，0)，(5，0)两点，则h的值为 ． 【答案】－1 【分析】根据题目给出的二次函数的顶点式，-h应该是二次函数图象对称轴的横坐标，在根据(-3,0)和(5,0)这两个点求出对称轴的横坐标，可以求出h． 【详解】∵二次函数与x轴交于(-3,0)和(5,0) ∴它的对称轴应该是x=1 根据二次函数顶点式，-h=1，∴h=-1． 故答案为：-1 【点睛】本题考查二次函数顶点式的图象和性质，需要注意这题不要把两个点坐标带入函数解析式去求h，应该用顶点式的性质来求． 8．（18-19九年级上·甘肃武威·期中）已知二次函数y＝﹣8（x+m）2+n的图象的顶点坐标是(﹣5，﹣4)，那么一次函数y＝mx+n的图象经过第 象限． 【答案】一、三、四 【分析】由二次函数y=-8(x+m)2+n的图象的顶点坐标是(-5，-4)，得出m=5，n=-4，进一步利用一次函数的性质得出答案即可． 【详解】解：∵y＝﹣8(x+m)2+n的图象的顶点坐标是(﹣5，﹣4)， ∴m＝5，n＝﹣4， ∴一次函数y＝5x﹣4， ∴图象经过一、三、四象限． 故答案为：一、三、四． 【点睛】此题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点坐标求得m、n的数值． 9．抛物线与抛物线的关系：知识点2 二次函数与的图象平移 向 （h＞0）或向 （h＜0）平移|h|个单位长度，再向 （h＞0）或向 （h＜0）平移|k|个单位长度，得到 【答案】 右 左 上 下 【解析】略 10．抛物线的顶点坐标是 ，开口方向 ，对称轴是 ；当时，随的增大而 ；它可由抛物线向 平移 个单位长度得到. 【答案】 ； 向上； ； 增大； 右； . 【分析】由是二次函数的顶点式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：由，根据二次函数的性质可知顶点坐标为（）；二次项系数为3＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=，当时，在对称轴的右侧，随的增大而增大；根据平移规律可知，它可由抛物线向右平移个单位长度得到. 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的性质，顶点式为y＝a（x−h）2＋k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，对称轴为x＝h． 11．将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是 ． 【答案】y＝2（x+3）2+1 【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式． 【详解】抛物线y＝2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2+1． 故答案为y＝2（x+3）2+1 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 12．已知二次函数的顶点坐标为，并且经过平移后能与抛物线重合，那么这个二次函数的解析式是 ． 【答案】. 【详解】试题分析：∵二次函数的图象经过平移后能与抛物线重合， ∴这个二次函数的解析式是. 又∵这个二次函数的顶点坐标为， ∴这个二次函数的解析式是. 考点：二次函数的性质. 13．抛物线经过平移得到抛物线，平移过程正确的是(    ) A．先向左平移6个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移6个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移6个单位，再向上平移3个单位 D．先向右平格6个单位，再向下平移3个单位 【答案】C 【分析】直接根据二次函数的图像平移方法“左加右减，上加下减”进行排除选项即可 【详解】由题意得： 由抛物线先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线 故答案为：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象平移的规律,掌握二次函数图象平移的规律是解题关键． 14．（23-24九年级上·安徽黄山·期中）若抛物线的顶点在第二象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能够熟练的利用二次函数的顶点式，得到顶点坐标是解题的关键，利用，可得顶点坐标为，根据顶点在第二象限，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴顶点为， ∴顶点在第二象限， ∴，， ∴， 故选：D． 15．（20-21九年级上·福建龙岩·期中）如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动（抛物线随顶点一起平移，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（    ）    A． B．1 C．5 D．8 【答案】D 【分析】根据图象，当抛物线顶点为时，C点横坐标最小，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当抛物线顶点为时，D点横坐标最大，进而可判断出D点横坐标最大值． 【详解】解：根据题意，当抛物线顶点为时，C点横坐标最小为，则抛物线的对称轴为直线，此时点D坐标为，则， 当抛物线顶点为时，D点横坐标最大，此时抛物线的对称轴为直线，又， ∴，， 点D的横坐标最大为8， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，能够正确地判断出点C横坐标最小、点D横坐标最大时抛物线的顶点坐标是解答此题的关键． 16．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故C选项错误； 如图所示，若，则， 故B选项正确，D选项错误； 故选：B 17．（2024·山东临沂·二模）已知一系列抛物线，，，，，…，（k为非负整数）．抛物线与x轴相交于点，（点在点的左边），顶点为．若轴于点，则k的值是（    ） A．3 B．5 C．2023 D．2024 【答案】A 【分析】该题主要考查了点坐标规律，二次函数图象与性质，解题的关键是确定的解析式． 根据规律确定的顶点坐标是，再根据轴于点，确定点，再代入的解析式即可求解； 【详解】解：根据题意可得：的顶点坐标是， 的顶点坐标是， 的顶点坐标是， 的顶点坐标是， 的顶点坐标是， 观察这列抛物线的顶点坐标， 由规律可知的顶点坐标是， ∴抛物线的解析式是， ， ， 轴于点， ， 把点的坐标代入到的解析式得：， 解得：； 故选：A． 18．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点．以为斜边作，边上的中线的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先由为中斜边边上的中线得到，再由抛物线得到抛物线的顶点坐标为，根据顶点为最低点可确定点位于顶点时，最短，即可求出的最小值，根据题意确定出点的位置是解题的关键． 【详解】解：∵为中斜边边上的中线， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴点到轴的最小距离为， 即垂线段的最小值为， ∴中线的最小值为， 故答案为：． 19．（22-23九年级上·福建厦门·阶段练习）已知点在抛物线上（是实数），有以下说法： ①无论取何实数，的值都小于0； ②无论取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上运动； ③无法确定的值，值随的变化而变化； ④有最大值，其最大值为15； 正确的结论有 ． 【答案】②④/④② 【分析】根据抛物线解析式得出顶点坐标，可得抛物线的最大值为，不能得出的值都小于0，①错误；根据顶点坐标得出抛物线的顶点始终在直线上运动，②正确；根据抛物线的对称轴求出，可得③错误；由得出，然后得出c关于m的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出有最大值为15，则④正确． 【详解】解：①∵， ∴顶点坐标为， ∴抛物线的最大值为，不能得出的值都小于0，①错误； ②由①得顶点坐标为， ∵， ∴抛物线的顶点始终在直线上运动，②正确； ③∵点在抛物线上， ∴对称轴为直线：， ∴，③错误； ④∵， ∴， ∴， ∴，即有最大值为15，④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 20．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，抛物线与交于点A，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，则线段BC的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性解决问题是解题的关键．设抛物线的对称轴与线段交于点，抛物线的对称轴与线段交于点，由抛物线的对称性结合，即可求出结论． 【详解】解：设抛物线的对称轴为直线与线段交于点，抛物线的对称轴为直线与线段交于点，如图所示． 由抛物线的对称性，可知：，， ． 故答案为：6． 21．（2022·浙江宁波·一模）已知二次函数（是实数）． (1)小明说：当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？ (2)已知点，都在该二次函数图象上，求证：． 【答案】(1)对的，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据顶点坐标即可得到当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动； （2）由P，Q的纵坐标相同，即可求出对称轴为直线x=a+2m-1，则可得方程a+2m-1=2m，从而求出a的值，得出P坐标为（-4，c），代入解析式可得c= = ，最后根据二次函数的性质即可证得结论． 【详解】（1）解：设顶点坐标为（x，y） ∵已知二次函数（是实数）， ∴x=2m，y=3-4m， ∴2x+y=3， 即y=-2x+3， ∴当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在直线y=-2x+3上运动， 故小明的说法是对的． （2）证明：点，都在该二次函数图象上， ∴对称轴为直线 ， ∴ ， ∴a=1， ∴点P坐标为（-4，c） 代入，得 ∴c≤15． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 22．（2023·吉林·三模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线、均为常数且，．过点作轴垂线交抛物线于、两点、在点的右侧），连结、．当，且的面积为2时，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．设，则，由的面积为2，得出，即可根据抛物线的对称性得出，，把代入解析式即可求得，进一步得到． 【详解】解：设， ， ， ， 点，的面积为2， ， ， ，， 抛物线为， 把代入得，， 解得， ， 故答案为：2． 23．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若四边形的周长为14，的周长大于8，则h的取值范围为 ．    【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质； 根据二次函数的性质可知，，，由题意得出，，等量代换求出，然后结合点A在第二象限可得答案． 【详解】解：∵以A为顶点的抛物线经过原点， ∴，， ∵点B在x轴负半轴， ∴， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，有一组拋物线，它们的顶点在直线上，并且经过点，当时，，8，，根据上述规律，写出执物线的解析式（顶点式）为 ，和拋物线的顶点坐标 及它与轴的交点坐标 ．    【答案】 和 【分析】根据的坐标求出直线的解析式，它们的顶点在直线上即可求出顶点坐标，根据横坐标的变化规律可知的横坐标为，代入直线可求出坐标． 【详解】解：设直线的解析式为， 由于， ， 解得， 故直线的解析式为， 抛物线的顶点的横坐标为，且顶点在直线上， ， 则， 故设抛物线的解析式为， 抛物线经过， ， 解得， 故执物线的解析式（顶点式）为； 由于当时，，8，， 每个数都是前两个数的和， 的横坐标为， ， 故的顶点坐标； 同理，抛物线经过点， 求得抛物线的解析式为， 它与轴的交点坐标为和． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考查了点与函数关系式的关系，找到规律是解题的关键． 25．（22-23九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形． (1)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (2)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (3)若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）画出函数的图像，求出点D的坐标，即可求解； （2）求得顶点A的坐标为，点D的坐标为，即可求解； （3）同（2）求得顶点A的坐标为，点D的坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：函数的图像如下： 抛物线是美丽抛物线时，则AC=2， ∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（1，1）， 将点D的坐标代入得：， 解得； 故答案为：； （2）解：∵， ∴顶点A的坐标为， 同理，点D的坐标为， 将点D的坐标代入得： , 解得； 故答案为：4； （3）解：∵， ∴顶点A的坐标为， 同理，点D的坐标为， 将点D的坐标代入得： , 解得． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了正方形的性质、二次函数的性质、新定义等，正确理解新定义、利用二次函数的性质解答，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$