专题07 一次函数与反比例函数7种常考题型归类-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（吉林专用）

专题07 一次函数与反比例函数 （原卷版） 一次函数的性质 1．（2024·吉林长春·中考真题）已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是 ．（写出一个即可） 一次函数的实际应用 2．（2024·吉林·中考真题）综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． (2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 3．（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． (1)的值为________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 4．（2023·吉林长春·中考真题）甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．    (1)当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式； (2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度． 5．（2023·吉林·中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．    (1)甲组比乙组多挖掘了__________天． (2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 6．（2022·吉林长春·中考真题）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．    (1)_______，_______； (2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； (3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 7．（2022·吉林·中考真题）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温（℃）与加热时间之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下： (1)加热前水温是 ℃； (2)求乙壶中水温关于加热时间的函数解析式； (3)当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是 ℃． 8．（2021·吉林·中考真题）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数（万人）与各自接种时间（天）之间的关系如图所示．    （1）直接写出乙地每天接种的人数及的值； （2）当甲地接种速度放缓后，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数． 9．（2021·吉林长春·中考真题）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水查流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录次箭尺读数，得到下表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】(1)建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． (2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由． 【结论应用】应用上述发现的规律估算： (3)供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？ (4)如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米） 10．（2020·吉林长春·中考真题）已知、两地之间有一条长240千米的公路．甲车从地出发匀速开往地，甲车出发两小时后，乙车从地出发匀速开往地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和（千米）与甲车行驶的时间（时）之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为_________千米/时，的值为____________． （2）求乙车出发后，与之间的函数关系式． （3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间． 11．（2020·吉林·中考真题）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． （1）机器每分钟加油量为_____，机器工作的过程中每分钟耗油量为_____． （2）求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时的值． 反比例函数系数k的几何意义 12．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（，）的图象上，其纵坐标为2，过点P作//轴，交x轴于点Q，将线段绕点Q顺时针旋转60°得到线段．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（    ） A． B． C． D．4 13．（2020·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连结．点在线段上，且．函数的图象经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2020·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上（点的横坐标大于点的横坐标），点的坐示为，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，． （1）求的值． （2）若为中点，求四边形的面积． 求反比例函数的解析式 15．（2023·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（    ） A．3 B． C．4 D．6 反比例函数与一次函数的综合 16．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 17．（2021·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 实际问题与反比例函数 18．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）． (2)当电阻R为时，求此时的电流I． 19．（2023·吉林·中考真题）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知波长与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率f（） 10 15 50 波长（m） 30 20 6 (1)求波长关于频率f的函数解析式． (2)当时，求此电磁波的波长． 20．（2022·吉林·中考真题）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图像如图所示． (1)求密度关于体积的函数解析式； (2)当时，求该气体的密度． 反比例函数与几何综合 21．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，x过点A作x轴的垂线，与函数的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，，则点B的横坐标为（    ） A． B． C． D． 一次函数的性质 22．（2024·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与函数的图象交于、两点，连接、，若的面积为3，则的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 23．（2024·吉林长春·三模）下列4个函数，①；②；③；④，其中图象是中心对称图形，且对称中心在原点的共有 个． 24．（2024·吉林·二模）若一次函数的图象经过第一、三、 四象限，则二次函数 与 x 轴的交点个数为 个． 25．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于点（点在点的左侧），已知点的纵坐标是，点的横坐标是． (1)求反比例函数的解析式； (2)将直线：向上平移个单位长度后得到新的直线，点是直线与轴的交点．连接．求的面积． 一次函数的实际应用 26．（2024·吉林·三模）已知M、N两地之间有一条公路．甲车从M地出发匀速开往N地．甲车出发两小时后，乙车从N地出发，以每小时90千米的速度匀速开往M地，两车同时到达各自的目的地．两车之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示． (1)甲车的速度为______千米/小时，a的值为______； (2)求乙车出发后，y与x之间的函数关系式； (3)当甲、乙两车相距120千米时，求甲车行驶的时间x． 27．（2024·吉林长春·模拟预测）为落实“精准扶贫”精神，市农科院指导王大爷种植优质玉米喜获丰收，上市销量日益增加，专家对销量（吨）进行了跟踪记录，如下表所示： 周数 销量 ☆ 我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标表示出来，它们分别为、、、．如果运用函数与统计知识预测第五周的销量，可尝试选择直线、直线等函数模型来进行分析． (1)根据、的坐标，可得直线的表达式为．请根据、坐标，求出直线的表达式； (2)假设销售环境不发生改变，要预测第五周的销量，可以利用偏离方差分析选用哪一个模型预测更适合． 在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组销量所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜． 例如，分析直线，即上的点，可知：时，时，时，；时，．求得偏离方差： 请根据以上方式，求出关于直线的偏离方差：______． 你认为在选用直线、直线进行预测的两个方案中，______（填“直线或直线”）较为合适，根据此模型，预估第五周的销量约为______吨． 28．（2024·吉林长春·模拟预测）某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运，A种机器人于某日0时开始搬运，过了，B种机器人也开始搬运．两种机器人的搬运量y（kg）与时间x（h）的函数图象如图所示． (1)A种机器人每小时搬运量为______． (2)求B种机器人的搬运量y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)如果A、B两种机器人分别连续搬运，那么B种机器人比A种机器人多搬运了______千克？ 29．（2024·吉林长春·模拟预测）小明和小亮兄弟两人一起去上学，家到学校的路程为1500米，两人先一起匀速走了10分钟后，小明发现有重要物品遗落在家，立即匀速跑步回家，取到物品后立即以返回家的速度跑回学校（取物品的时间忽略不计），恰好与步行的小亮同时到达学校，两人距家的路程y（米）与两人离家的时间x（分）之间的函数关系如图所示． (1) ______，______； (2)求小明返回家后，再次返回学校时y与x之间的函数关系式； (3)直接写出两人相距600米时x的值． 30．（2024·吉林长春·模拟预测）小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离与小王的行驶时间之间的函数关系的图象，请解决以下问题． (1)小王骑自行车的速度为______； (2)求的函数表达式； (3)设小王和妈妈两人之间的距离为，当时，直接写出的取值范围． 31．（2024·吉林长春·模拟预测）长春神鹿峰玻璃栈道已成为吉林省旅游度假新景点．甲、乙两人在笔直的栈道上从相距m米的栈道两端A、B分别出发，匀速相向而行，甲、乙两人先后到达栈道的另一端驻足观景，甲的速度比乙大．在此过程中，若两人各自行走的路程y（米）与乙出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示． (1)______． (2)求出甲行走的距离y与x之间的函数解析式． (3)在两人驻足观景前，当两人行走的距离相同时，直接写出此时甲距栈道B端的距离． 反比例函数系数k的几何意义 32．（2024·吉林·模拟预测）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度，为了了解其沸点，小聪先在锅中倒入一些这种食用油并均匀加热，然后测量锅中油温，得到了时间（）与油温（）对应关系如下表： 时间（） … 10 20 30 40 … 油温（） … 30 50 70 90 … 当加热到时食用油沸腾了，那么该食用油的沸点温度是（    ） A． B． C． D． 33．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，线段与反比例函数相交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在双曲线上，则的面积为（    ） A．3 B． C． D．6 34．（2024·吉林长春·一模）如图，平行四边形中点的坐标为，在轴的负半轴上，、两点落在反比例函数上，且点的横坐标为3，四边形的面积是面积的3倍，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 35．（2024·吉林长春·一模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，交x轴于点C，连结，取的中点D，连结，则的面积为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 36．（2024·吉林·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数（，）的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当与x轴相切、与y轴相切时，连结，若，则k的值为 ． 37（2024·吉林松原·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接． (1)求k的值； (2)求的面积． 求反比例函数的解析式 38．（2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在反比例函数的图象上，连结、，过点A作轴于点C，交于点D．若，的面积为4，则k的值为（   ） A． B． C． D． 39．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为、，点P在线段上，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，若点Q在反比例函数的图象上，则k的最大值为（    ） A． B． C．12 D．10 40．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，其中点A的坐标为 (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标． 41．（2024·吉林·模拟预测）台灯的亮度控制可以通过用旋钮调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的反比例函数图象，该图象经过点． (1)求关于的函数解析式； (2)当时，求的取值范围． 42．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于点、，交轴于点C，点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为一次函数在第一象限内图象上的一点，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，连接，若点是的中点，求点的坐标． 43．（2024·吉林·三模）如图，已知是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与轴的交点的坐标及的面积． 反比例函数与一次函数的综合 44．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点P为内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数的图象经过点P，则k的可能取值共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 45．（2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，一个含角的直角三角板的顶点的坐标是，反比例函数经过中点，交于点，则的面积是（   ） A． B． C． D． 46．（2024·吉林·三模）如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． (1)求k、b的值； (2)求的面积． 47．（2024·吉林白山·二模）如图，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点在点的下方，过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，求点的坐标． 48．（2024·吉林白城·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A、C在坐标轴上，反比例函数的图象分别与交于点和点E，且D为的中点． (1)求反比例函数的解析式和点E的坐标； (2)若一次函数与反比例函数的图象相交于D、E两点，直接写出不等式的解集． 实际问题与反比例函数 49．（2024·吉林长春·模拟预测）验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少多少度（    ） A． B． C． D． 50．（2024·吉林长春·三模）如图，甲、乙、丙、丁四个长方体的高与底面积的情况分别用点、、、表示，其中点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个长方体中体积最大的是（    ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 51．（2024·广西柳州·三模）伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图所示，若小明想使动力不超过，则动力臂（单位：m）需满足（    ） A． B． C． D． 52．（2024·吉林·二模）某款亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该台灯的电流I（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求台灯的电流关于电阻的函数解析式． (2)当时，求的取值范围． 53．（2024·吉林·一模）如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．托盘B中的砝码质量m随着托盘B与点O的距离d变化而变化，已知m与d是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 托盘B与点O的距离d/厘米 5 10 15 20 25 托盘B中的砝码质量m/克 30 15 10 6 (1)根据表格数据求出m关于d的函数解析式． (2)当砝码质量为12克时，求托盘B与点O的距离． 54．（2024·吉林·二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压P(单位：)是气体体积V(单位：的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)求当气球的体积是时，气球内的气压是多少千帕？ (3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于 立方米． 反比例函数与几何综合 55．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在矩形中，点A在x轴的正半轴上，点在y轴的正半轴上，点C、D均在反比例函数的图象上，若．则k的值为（   ） A．4 B．6 C． D． 56．（2024·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，反比例函数（）的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接，若E为的中点，的面积为1，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．3 57．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，的边轴，点的坐标为，点的坐标为，点B、D的横坐标均为整数，若点B、D都在函数的图象上，则的值可能为（   ） A．15 B．18 C．20 D．21 58．（2024·吉林长春·三模）将四个边长均为1的小正方形拼成“L”型模具如图摆放，其中两个顶点位于x轴正半轴上，一个顶点位于y轴正半轴上，一个顶点在函数 的图象上，则k的值为（　）．    A．5 B．6 C．7 D．8 59．（2024·吉林白城·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P，Q，R在函数（常数，）图像上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，若，且图中阴影部分图形的面积为12，则的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 60．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在矩形中，点A，B在y轴上，轴，对角线相交于点P，，若点B的纵坐标为m，解答下列问题． (1)点A的坐标是______，点C的坐标是______．（用含m的代数式表示） (2)若反比例函数经过P，C两点，求k的值． 61．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在矩形中，点，在轴上，轴，对角线，相交于点，，，若点的纵坐标为，解答下列问题． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ．（用含的代数式表示） (2)若反比例函数经过，两点，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一次函数与反比例函数 （解析版） 一次函数的性质 1．（2024·吉林长春·中考真题）已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，由y随x的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出，若代入，求出b值即可． 【详解】解：∵直线（k、b是常数）经过点， ∴． ∵y随x的增大而减小， ∴， 当时，， 解得：， ∴b的值可以是2． 故答案为：2（答案不唯一） 一次函数的实际应用 2．（2024·吉林·中考真题）综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． (2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 【答案】(1)在同一条直线上，函数解析式为： (2) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式，解方程即可． 【详解】（1）， 解：设函数解析式为：， ∵当，， ∴， 解得：， ∴函数解析式为：， 经检验其余点均在直线上， ∴函数解析式为，这些点在同一条直线上； （2）解：把代入得： ， 解得：， ∴当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为． 3．（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． (1)的值为________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】(1) (2) (3)没有超速 【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）由题意可得：当以平均时速为行驶时，小时路程为千米，据此即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出先匀速行驶小时的速度，据此即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：，解得：． 故答案为：． （2）解：设当时，y与x之间的函数关系式为， 则：，解得：， ∴． （3）解：当时，， ∴先匀速行驶小时的速度为：， ∵， ∴辆汽车减速前没有超速． 4．（2023·吉林长春·中考真题）甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．    (1)当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式； (2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）求得甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，联立，即可求解． 【详解】（1）解：设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，将，代入得， ， 解得：， ∴； （2）设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为 将点代入得， 解得：， ∴； 联立 解得： ∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为米 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 5．（2023·吉林·中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．    (1)甲组比乙组多挖掘了__________天． (2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 【答案】(1)30 (2) (3)10天 【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可； （2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围； （3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做， ∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天， （天） ∴甲组比乙组多挖掘了30天， 故答案为：30； （2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为， 将和两个点代入，可得， 解得， ∴ （3）解：甲组每天挖（米） 甲乙合作每天挖（米） ∴乙组每天挖（米），乙组挖掘的总长度为（米） 设乙组己停工的天数为a， 则， 解得， 答：乙组已停工的天数为10天． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键． 6．（2022·吉林长春·中考真题）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．    (1)_______，_______； (2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； (3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 【答案】(1)2.6 (2)甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式（2≤x≤6） (3)300千米 【分析】（1）先根据甲乙两车相遇时甲车行驶的路程除以速度可求出m的值，再用m的值加4即可得n的值； （2）由（1）得（2，200）和（6，440），再运用待定系数法求解即可； （3）先求出乙车的行驶速度，从而可求出行驶时间，代入函数关系式可得结论． 【详解】（1）根据题意得，（时） （时） 故答案为：2.6； （2）由（1）得（2，200）和（6，440）， 设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为 则有：， 解得， 甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式（2≤x≤6） （3）甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为440-200=240千米， ∴乙车的速度为：240÷2=120（千米/时） ∴乙车行完全程用时为：440÷120=（时） ∵ ∴当时，千米， 即：当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为300千米 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象是解答本题的关键． 7．（2022·吉林·中考真题）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温（℃）与加热时间之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下： (1)加热前水温是 ℃； (2)求乙壶中水温关于加热时间的函数解析式； (3)当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是 ℃． 【答案】(1)20 (2) (3)65 【分析】（1）根据时，即可得； （2）先判断出乙壶对应的函数图象经过点，再利用待定系数法即可得； （3）先利用待定系数法求出甲壶中与的函数解析式，再求出时，的值，然后将的值代入乙壶中与的函数解析式即可得． 【详解】（1）解：由函数图象可知，当时，， 则加热前水温是， 故答案为：20． （2）解：因为甲壶比乙壶加热速度快， 所以乙壶对应的函数图象经过点， 设乙壶中水温关于加热时间的函数解析式为， 将点代入得：， 解得， 则乙壶中水温关于加热时间的函数解析式为， 自变量x的取值范围是0≤x≤160． （3）解：设甲壶中水温关于加热时间的函数解析式为， 将点代入得：， 解得， 则甲壶中水温关于加热时间的函数解析式为， 当时，，解得， 将代入得：， 即当甲壶中水温刚达到时，乙壶中水温是， 故答案为：65． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，读懂函数图象，并熟练掌握待定系数法是解题关键． 8．（2021·吉林·中考真题）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数（万人）与各自接种时间（天）之间的关系如图所示．    （1）直接写出乙地每天接种的人数及的值； （2）当甲地接种速度放缓后，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数． 【答案】（1）每天0.5万人，；（2）；（3）5万人 【分析】（1）由接种速度＝接种人数÷接种天数求解． （2）利用待定系数法求解． （3）将代入（2）问中解析式得出，然后由． 【详解】解：（1）乙地接种速度为（万人/天）， ， 解得． （2）设，将，代入解析式得： ， 解得， ∴． （3）把代入得， （万人）． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9．（2021·吉林长春·中考真题）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水查流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录次箭尺读数，得到下表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】(1)建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． (2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由． 【结论应用】应用上述发现的规律估算： (3)供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？ (4)如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米） 【答案】(1)见解析；(2)在同一直线上，解析式为；(3)；(4)当天晚上的22:00． 【分析】(1)将各点在坐标系中直接描出即可； (2)观察发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加12cm，由此可判断它们在同以直线上，设直线解析式为，再代入两个点坐标即可求解； (3)当时代入(2)中解析式即可求出箭尺的读数； (4)当时代入(2)中解析式即可求出供水时间，再结合实验开始时间为8:00即可求解． 【详解】解：(1)将表格中各点在直角坐标系中描出来如下图所示： (2)分析表格中数据发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加12cm，观察(1)中直角坐标系点的特点，发现它们位于同一直线上， 设直线解析式为，代入点(0，6)和点(2，18)， 得到，解得， ∴直线的表达式为：； (3)当供水时间达到12小时时，即时，代入中， 解得cm， ∴此时箭尺的读数为； (4)当箭尺读数为90厘米时，即时，代入中， 解得(小时)， ∴经过14小时后箭尺读数为90厘米， ∵实验记录的开始时间是上午8:00， ∴箭尺读数为90厘米时对应的时间为8+14=22，即对应当天晚上的22:00． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用问题，读懂题目，掌握一次函数的图形及性质是解决本题的关键． 10．（2020·吉林长春·中考真题）已知、两地之间有一条长240千米的公路．甲车从地出发匀速开往地，甲车出发两小时后，乙车从地出发匀速开往地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和（千米）与甲车行驶的时间（时）之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为_________千米/时，的值为____________． （2）求乙车出发后，与之间的函数关系式． （3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间． 【答案】（1）40，480；（2）；（3）小时或小时 【分析】（1）根据图象可知甲车行驶2小时所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a=240×2=480； （2）根据题意直接运用待定系数法进行分析解得即可； （3）由题意分两车相遇前与相遇后两种情况分别列方程解答即可． 【详解】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2=40（千米/时）； a=40×6×2=480， 故答案为：40；480； （2）设与之间的函数关系式为， 由图可知，函数图象过点，， 所以解得 所以与之间的函数关系式为； （3）两车相遇前： 解得： 两车相遇后： 解得： 答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 11．（2020·吉林·中考真题）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． （1）机器每分钟加油量为_____，机器工作的过程中每分钟耗油量为_____． （2）求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时的值． 【答案】（1）3，；（2），；（3）5或40． 【分析】（1）根据加油量为即可得；根据时剩余油量为即可得； （2）根据函数图象，直接利用待定系数法即可得； （3）先求出机器加油过程中的关于的函数解析式，再求出时，两个函数对应的x的值即可． 【详解】（1）由函数图象得：机器每分钟加油量为 机器工作的过程中每分钟耗油量为 故答案为：3，； （2）由函数图象得：当时，机器油箱加满，并开始工作；当时，机器停止工作 则自变量的取值范围为，且机器工作时的函数图象经过点 设机器工作时关于的函数解析式 将点代入得： 解得 则机器工作时关于的函数解析式； （3）设机器加油过程中的关于的函数解析式 将点代入得： 解得 则机器加油过程中的关于的函数解析式 油箱中油量为油箱容积的一半时，有以下两种情况： ①在机器加油过程中 当时，，解得 ②在机器工作过程中 当时，，解得 综上，油箱中油量为油箱容积的一半时的值为5或40． 【点睛】本题考查了函数图象、利用待定系数法求一次函数和正比例函数的解析式等知识点，从函数图象中正确获取信息是解题关键． 反比例函数系数k的几何意义 12．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（，）的图象上，其纵坐标为2，过点P作//轴，交x轴于点Q，将线段绕点Q顺时针旋转60°得到线段．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】作MN⊥x轴交于点N，分别表示出ON、MN，利用k值的几何意义列式即可求出结果． 【详解】解：作MN⊥x轴交于点N，如图所示， ∵P点纵坐标为：2， ∴P点坐标表示为：（，2），PQ=2， 由旋转可知：QM=PQ=2，∠PQM=60°， ∴∠MQN=30°， ∴MN=，QN=， ∴， 即：， 解得：k=， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是k的几何意义，表示出对应线段是解题的关键． 13．（2020·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连结．点在线段上，且．函数的图象经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，过作轴于点，由，用表示点坐标，再求得关于的解析式，最后由不等式的性质求得的取值范围． 【详解】解：点的坐标为，轴于点， ，， 设，，过作轴于点， 则，，， ， ， ， ， ，， ， ，， 把，代入函数中，得 ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，不等式的性质，关键是求出关于的解析式． 14．（2020·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上（点的横坐标大于点的横坐标），点的坐示为，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，． （1）求的值． （2）若为中点，求四边形的面积． 【答案】（1）8；（2）10． 【分析】（1）将点的坐标为代入，可得结果； （2）利用反比例函数的解析式可得点的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果． 【详解】解：（1）将点的坐标为代入， 可得， 的值为8； （2）的值为8， 函数的解析式为， 为中点，， ， 点的横坐标为4，将代入， 可得， 点的坐标为， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，运用数形结合思想是解答此题的关键． 求反比例函数的解析式 15．（2023·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（    ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，得出的横坐标为，的纵坐标为，设，，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点， 依题意，的横坐标为，的纵坐标为，设， ∴， 则， 又∵，， ∴ ∴（负值已舍去） 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 反比例函数与一次函数的综合 16．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答． 【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴， ∵， ∴，， ∴． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，即点C的横坐标为2， 将代入，得， ∴C点的坐标为， ∴,， ∴， ∴, ∴ 故选：B． 17．（2021·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）6 【分析】（1）因为一次函数与反比例函数交于点，将代入到一次函数解析式中，可以求得点坐标，从而求得，得到反比例函数解析式； （2）因为轴，所以，利用一次函数解析式可以求得它与轴交点的坐标，由，，三点坐标，可以求得和的长度，并且轴，所以，即可求解． 【详解】解：（1）∵点是直线与反比例函数交点， ∴点坐标满足一次函数解析式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）∵轴， ∴，轴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为6 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段． 实际问题与反比例函数 18．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）． (2)当电阻R为时，求此时的电流I． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时I的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴这个反比例函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴此时的电流I为． 19．（2023·吉林·中考真题）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知波长与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率f（） 10 15 50 波长（m） 30 20 6 (1)求波长关于频率f的函数解析式． (2)当时，求此电磁波的波长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设解析式为，用待定系数法求解即可； （2）把值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长． 【详解】（1）解：设波长关于频率f的函数解析式为， 把点代入上式中得：， 解得：， ； （2）解：当时，， 答：当时，此电磁波的波长为． 【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 20．（2022·吉林·中考真题）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图像如图所示． (1)求密度关于体积的函数解析式； (2)当时，求该气体的密度． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）用待定系数法即可完成； （2）把V=10值代入（1）所求得的解析式中，即可求得该气体的密度． 【详解】（1）设密度关于体积的函数解析式为， 把点A的坐标代入上式中得：， 解得：k=10， ∴． （2）当时，（）． 即此时该气体的密度为1． 【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，由图像求得反比例函数解析式是关键． 反比例函数与几何综合 21．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，x过点A作x轴的垂线，与函数的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，，则点B的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先设出A的坐标，根据题意得出C的坐标，表示出CE的长度，过点B作BF垂直x轴，证明，由题目条件得出相似比，代换出点B的纵坐标，即可求出B的横坐标． 【详解】设点A的坐标为，设AC与x轴的交点为E，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，如图： ∵点C在函数的图象上，且AC⊥x轴， ∴C的坐标为， ∴EC=k， ∵BF⊥x轴，CE⊥x轴， ∴ , ∴ , 又∵， ∴ , ∴， 即, ∴点B的纵坐标为，代入反比例函数解析式： 当时，， ∴B点的横坐标是2， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数及相似三角形，解题关键是将线段比转化为两个相似三角形的相似比，由相似三角形的对应边得出点的坐标． 一次函数的性质 22．（2024·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与函数的图象交于、两点，连接、，若的面积为3，则的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】设直线交轴于点，由两条直线的解析式即可得到两直线平行，根据两平行线之间的距离处处相等，可以知道和同底等高，面积相等，即可得到，再根据，解得的横坐标，代入求得纵坐标，把的坐标代入即可求得k的值． 【详解】设直线交轴于点，则，连接， 由题意可知， ， ， 解得：， 点在第二象限， 点的横坐标为， 将代入，得， 点坐标为， 函数图象过点，将点坐标代入， 得， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数平移问题，两平行线之间的距离处处相等，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式等知识点，利用三角形面积求得的坐标是解题的关键． 23．（2024·吉林长春·三模）下列4个函数，①；②；③；④，其中图象是中心对称图形，且对称中心在原点的共有 个． 【答案】1 【分析】本题考查函数图象与性质，涉及函数的中心对称性等知识，根据一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质、二次函数图象与性质、正比例函数图象与性质逐项验证即可得到答案，熟记初中四类函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：①的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点，故①不符合题意； ②的图象是中心对称图形，且对称中心在原点，故②符合题意； ③的图象不是中心对称图形，故③不符合题意； ④的图象不是关于原点对称的中心对称图形，故④不符合题意； 综上所述，其中图象是中心对称图形，且对称中心在原点的共有1个， 故答案为：1． 24．（2024·吉林·二模）若一次函数的图象经过第一、三、 四象限，则二次函数 与 x 轴的交点个数为 个． 【答案】2 【分析】本题考查一次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题；根据一次函数所在象限，判断出b的符号，从而判断出的大小，进而判断出二次函数图象与x轴交点的个数，即可求解． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、 四象限， ∴ ∵ 当时， ∴ ∴二次函数 与 x 轴的交点个数为个 故答案为：． 25．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于点（点在点的左侧），已知点的纵坐标是，点的横坐标是． (1)求反比例函数的解析式； (2)将直线：向上平移个单位长度后得到新的直线，点是直线与轴的交点．连接．求的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，掌握待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴围成图形面积的计算方法是解题的关键． （1）把点的值代入直线可求出点的坐标，再代入反比例函数解析式即可求解； （2）根据函数平移得的解析式，求出点的坐标，根据即可求解． 【详解】（1）解：点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴在直线中，时，，则；时，； ∴， ∴把代入反比例函数中得，， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：根据题意，的解析式为， 令时，，则， ∴， ∴， ， ∴的面积为：4． 一次函数的实际应用 26．（2024·吉林·三模）已知M、N两地之间有一条公路．甲车从M地出发匀速开往N地．甲车出发两小时后，乙车从N地出发，以每小时90千米的速度匀速开往M地，两车同时到达各自的目的地．两车之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示． (1)甲车的速度为______千米/小时，a的值为______； (2)求乙车出发后，y与x之间的函数关系式； (3)当甲、乙两车相距120千米时，求甲车行驶的时间x． 【答案】(1)60；6； (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，明确题意、找出所求问题需要的条件、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． （1）根据题意得出甲车的速度为千米/小时，再由两车同时到达各自的目的地即可求解； （2）设y与x的函数关系式为，点B的横坐标为：，结合函数图象，分两部分计算求解即可； （3）利用（2）中结果，代入求解即可． 【详解】（1）解：甲车的速度为千米/小时， 根据图象得M、N两地之间的距离为360千米，点B表示两车相遇， ∴， 故答案为：60；6； （2）设y与x的函数关系式为， 点B的横坐标为：， 当时， 把代入得：， 解得：， ∴； 当时，把(6,360),(3.6,0)代入解析式得：， 解得：， ∴； ∴； （3）当时， 令，得，解得：， 当时， 令，得，解得：， ∴或． 27．（2024·吉林长春·模拟预测）为落实“精准扶贫”精神，市农科院指导王大爷种植优质玉米喜获丰收，上市销量日益增加，专家对销量（吨）进行了跟踪记录，如下表所示： 周数 销量 ☆ 我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标表示出来，它们分别为、、、．如果运用函数与统计知识预测第五周的销量，可尝试选择直线、直线等函数模型来进行分析． (1)根据、的坐标，可得直线的表达式为．请根据、坐标，求出直线的表达式； (2)假设销售环境不发生改变，要预测第五周的销量，可以利用偏离方差分析选用哪一个模型预测更适合． 在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组销量所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜． 例如，分析直线，即上的点，可知：时，时，时，；时，．求得偏离方差： 请根据以上方式，求出关于直线的偏离方差：______． 你认为在选用直线、直线进行预测的两个方案中，______（填“直线或直线”）较为合适，根据此模型，预估第五周的销量约为______吨． 【答案】(1)； (2)，，． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）根据偏离方差的计算方法可得，与可得选用方案，进而可预估第五周的销量； 本题考查了一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的表达为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达为； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴， ∵，即， ∴选用直线较为合适， 把代入得，， ∴预估第五周的销量约为吨， 故答案为：，，． 28．（2024·吉林长春·模拟预测）某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运，A种机器人于某日0时开始搬运，过了，B种机器人也开始搬运．两种机器人的搬运量y（kg）与时间x（h）的函数图象如图所示． (1)A种机器人每小时搬运量为______． (2)求B种机器人的搬运量y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)如果A、B两种机器人分别连续搬运，那么B种机器人比A种机器人多搬运了______千克？ 【答案】(1)千克 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据图象获取信息进行计算即可； （2）根据待定系数法求出一次函数解析式； （3）根据一次函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，A种机器人于某日0时开始搬运，小时搬运了吨， 故A种机器人每小时搬运量为（千克）； （2）解：设， 将代入函数解析式， ， 解得， 故； （3）解：设， 将代入，解得， 故， 当时，（千克）， 时，（千克）， （千克）． 故A、B两种机器人分别连续搬运，那么B种机器人比A种机器人多搬运千克． 29．（2024·吉林长春·模拟预测）小明和小亮兄弟两人一起去上学，家到学校的路程为1500米，两人先一起匀速走了10分钟后，小明发现有重要物品遗落在家，立即匀速跑步回家，取到物品后立即以返回家的速度跑回学校（取物品的时间忽略不计），恰好与步行的小亮同时到达学校，两人距家的路程y（米）与两人离家的时间x（分）之间的函数关系如图所示． (1) ______，______； (2)求小明返回家后，再次返回学校时y与x之间的函数关系式； (3)直接写出两人相距600米时x的值． 【答案】(1)， (2) (3)和 【分析】本题考查了从函数图像获取信息，路程问题，求函数解析式，一次函数的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据图像信息，以及路程、速度、时间的关系，可求得小亮的速度，从而求得的值，也可求得小明与小亮分离后的速度，从而求得小明跑回家所用时间，从而求得的值； （2）根据（1）可得小明到家时，y与的值，小明到学校时，y与的值，设小明返回家后，再次返回学校时y与x之间的函数关系式为，代入数据求得，的值即可解题； （3）由题可知，两人相距600米时有种情况，分别讨论两人分离时和小明返回家后，开始追击小亮时这两种情况的路程、速度、时间关系，根据“两人相距600米”建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题可知，小亮的行走速度为：（）， 小亮行走到学校的时间为：（），即， 又两人先一起匀速走了10分钟后，小明跑回家又跑回学校时与小亮同时到达， 小明与小亮分离后的速度为：（）， 小明跑回家所用时间为：（）， ， 故答案为：，； （2）解：由（1）可知：小明回到家时，距家的路程米，离家的时间为分钟，小明返回学校时，距家的路程米，离家的时间为分钟，设小明返回家后，再次返回学校时y与x之间的函数关系式为：， 可得：，解得：， 小明返回家后，再次返回学校时y与x之间的函数关系式为：； （3）解：由题可知，两人相距600米时有种情况： ①两人分离后，且小明未到家时，设两人相距600米所用时间为， 可得：，解得：， 此时； ②小明返回家后，开始追击小亮时，设两人相距600米所用时间为， 此时两人相距（），可得： ，解得：， 此时； 出两人相距600米时x的值为和． 30．（2024·吉林长春·模拟预测）小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离与小王的行驶时间之间的函数关系的图象，请解决以下问题． (1)小王骑自行车的速度为______； (2)求的函数表达式； (3)设小王和妈妈两人之间的距离为，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查求一次函数解析式以及一次函数的应用： （1）根据速度等于路程除以时间，即可求解； （2）利用待定系数法解答，即可求解； （3）根据，可得，解出即可． 【详解】（1）解：小王骑自行车的速度为； 故答案为： （2）解：根据题意得：点， 设的函数表达式为， 把点代入得： ，解得：， ∴的函数表达式为； （3）解：根据题意得：的函数解析式为， ∵， ∴， 解得：， 即当时， 的取值范围为． 31．（2024·吉林长春·模拟预测）长春神鹿峰玻璃栈道已成为吉林省旅游度假新景点．甲、乙两人在笔直的栈道上从相距m米的栈道两端A、B分别出发，匀速相向而行，甲、乙两人先后到达栈道的另一端驻足观景，甲的速度比乙大．在此过程中，若两人各自行走的路程y（米）与乙出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示． (1)______． (2)求出甲行走的距离y与x之间的函数解析式． (3)在两人驻足观景前，当两人行走的距离相同时，直接写出此时甲距栈道B端的距离． 【答案】(1)180 (2) (3)45 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式． （1）由图象直接得出结论； （2）用待定系数法求出函数解析式； （3）根据甲、乙路程相等求出的值，再求出距栈道端的距离． 【详解】（1）解：由图象可知，的值为180， 故答案为：180； （2）解：设直线解析式为， 把代入得：， 解得， ∴直线解析式为； （3）解：由图象可知，乙行走的速度为(米/分)， 根据题意得：， 解得， 此时甲距栈道端的距离为(米)． 反比例函数系数k的几何意义 32．（2024·吉林·模拟预测）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度，为了了解其沸点，小聪先在锅中倒入一些这种食用油并均匀加热，然后测量锅中油温，得到了时间（）与油温（）对应关系如下表： 时间（） … 10 20 30 40 … 油温（） … 30 50 70 90 … 当加热到时食用油沸腾了，那么该食用油的沸点温度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一次函数的应用，关键是根据表中数据，求出一次函数解析式．由表中数据发现油温与时间成一次函数关系，根据表中数据，求出一次函数解析式，然后把代入即可． 【详解】解：由表格可知，油温与时间的函数关系是一次函数，油温用y表示，时间用x表示，设油温与时间的函数关系是， 则， 解得 ∴， 当时，． 当时，． 当时，． 故选：C． 33．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，线段与反比例函数相交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在双曲线上，则的面积为（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，全等三角形的判定和性质． 过点A作轴于点C，过带你B作轴于点D，过点O作于点E，推出为反比例函数图象的对称轴，通过证明，得出，的面积，即可解答． 【详解】解：过点A作轴于点C，过带你B作轴于点D，过点O作于点E， 由旋转可知， ∵， ∴点A和点B关于对称，， ∴为反比例函数图象的对称轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴的面积， 故选：D． 34．（2024·吉林长春·一模）如图，平行四边形中点的坐标为，在轴的负半轴上，、两点落在反比例函数上，且点的横坐标为3，四边形的面积是面积的3倍，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先根据四边形的面积是三角形面积的3倍，结合平行四边形的性质得出是的中点，、两点的横坐标互为相反数，设点横坐标为，则点横坐标为．再由平行四边形中点的坐标为，点的横坐标为3，求出．设，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，再利用平行四边形的性质求出，，那么． 【详解】解：四边形的面积是面积的3倍， ， 是的中点， 在轴上，横坐标是0， 、两点的横坐标互为相反数，设点横坐标为，则点横坐标为， 平行四边形中点的坐标为，点的横坐标为3， ，即， 解得， 设， 、两点落在反比例函数上， 点纵坐标为， ， ，，，，且四边形是平行四边形， ，即， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的定义，平行四边形的性质，求出、两点的横坐标是解题的关键． 35．（2024·吉林长春·一模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，交x轴于点C，连结，取的中点D，连结，则的面积为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键． 根据反比例函数值的几何意义进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， ∵是的中点， ， 故选：D． 36．（2024·吉林·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数（，）的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当与x轴相切、与y轴相切时，连结，若，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据切线的性质可得点，，再根据，反比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵当与x轴相切、与y轴相切，半径为1， ∴点A的纵坐标为1，点B的横坐标为1， ∵点A、B在函数（，）的图象上， ∴点，， ∵， ∴， 解得或， ∵函数图象经过第一象限， ∴， 故答案为：4． 37（2024·吉林松原·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接． (1)求k的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的关键． （1）将点代入反比例函数可求出k的值； （2）设点，则，，根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，， ； （2）设点，则， ． 求反比例函数的解析式 38．（2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在反比例函数的图象上，连结、，过点A作轴于点C，交于点D．若，的面积为4，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的的几何意义，平行线分线段成比例，如图，连接，过作轴于，而轴于，证明，设，则，再利用面积列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，过作轴于，而轴于， ∴，而，的面积为4， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴ ∴， 解得：， 故选：C． 39．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为、，点P在线段上，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，若点Q在反比例函数的图象上，则k的最大值为（    ） A． B． C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及坐标与图形变化，根据题意可知，设点的坐标为，则，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于的函数解析式，利用二次函数最值求出最值即可．熟练掌握二次函数最值求法是关键． 【详解】解：根据题意可知， 设点的坐标为，则， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 当时，取最大值． 故选：B． 40．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，其中点A的坐标为 (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把代入求出，再把代入求出k的值即可； （2）当时，得到；当时，过点A作轴于点D，得到，根据直线的表达式为和，推出，推出， 得到，推出，得到，得到． 【详解】（1）解：将代入， 得，， ∴, ∴， 将代入，得，， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）解：①当时，轴， ∴； ②当时， 如图，过点A作轴于点D， 则， ∵， ∴，， ∵直线的表达式为， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形性质，分类讨论，是解题的关键． 41．（2024·吉林·模拟预测）台灯的亮度控制可以通过用旋钮调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的反比例函数图象，该图象经过点． (1)求关于的函数解析式； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，求反比例函数解析式，正确得出关于的函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法，将点代入解析式求解即可； （2）根据计算出和时的值，即可得出取值范围． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 反比例函数图象经过点， ， 关于的函数解析式为； （2）解：当时，， 当时，， 当时，的取值范围为． 42．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于点、，交轴于点C，点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为一次函数在第一象限内图象上的一点，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，连接，若点是的中点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，相似三角形的性质与判定； （1）先把点的坐标代入一次函数得到值，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）作轴，延长交轴于点，先证明，得到，求出值，分别将值代入直线解析式和反比例函数解析式求出点坐标及点坐标即可． 【详解】（1）解：将点的坐标，代入 得：， ,， 在反比例函数图象上， 反比例函数解析式为 （2）在一次函数中，当时，， ，即， 如图，作轴，延长交轴于点， ， ， ，即 ， 当时，解得， ， 当时，， ∴ 43．（2024·吉林·三模）如图，已知是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与轴的交点的坐标及的面积． 【答案】(1)，； (2)，； 【分析】本题考查一次函数与反比例函数结合题，解题的关键得到解析式，求出函数图象与坐标轴的交点． （1）将点代入两个解析式中求出待定系数即可得到答案； （2）求出直线与坐标轴的交点，根据求解即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入反比例函数得， ∴反比例函数， 当时，， ∴， 将点、代入，得 ， 解得：， ∴一次函数； （2）解：一次函数中，当时，，解得， ∴， ∵、， ∴； 反比例函数与一次函数的综合 44．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点P为内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数的图象经过点P，则k的可能取值共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，如图，先求解为，直线为，直线为；再判断内部或边界上的整点有，，，，，，；从而可得答案； 【详解】解：如图，设直线为， ∵， ∴， ∴为， 同理可得：直线为， 直线为； ∴内部或边界上的整点有，，，，，，； ∴，，，， 故选C 45．（2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，一个含角的直角三角板的顶点的坐标是，反比例函数经过中点，交于点，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出反比例函数解析式，再作轴，结合三角函数求出长及点坐标，得出直线解析式后即可确定点坐标，最后利用割补法即可求解． 【详解】解：是的中点，， ， 点在反比例函数上， ， 反比例函数解析式是， 作轴交轴于点，交于点， 则，， 即， ， ， ， ， ，， 则直线解析式为， 此时点是直线与反比例函数的交点， 即， 解得或（舍去）， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数与几何综合、待定系数法求反比例函数解析式、特殊角的三角函数值、解直角三角形、一次函数与反比例函数综合，解题关键是利用割补法三角形面积． 46．（2024·吉林·三模）如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． (1)求k、b的值； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式： （1）代入点C坐标求得反比例函数的关系式，再计算点B的坐标，将点B坐标代入一次函数解析式求解即可； （2）分别求出点A、D和E的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的关系式为； ∵点B的横坐标为6， ∴点B的纵坐标为4，即点， 将代入得：， 则； （2）解：∵，轴， ∴点， 由（1）可得，直线解析式为， 当时，，点， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴． 47．（2024·吉林白山·二模）如图，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点在点的下方，过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数综合运用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （）用待定系数法即可求解； （）根据题意得到，进而得到，过点作轴于点，过点作轴于点，易得，易证，由相似的性质得到，即可解答． 【详解】（1）解：将点的坐标代入直线的表达式得，， 解得， ∴一次函数的表达式为， 当时，， ∴， ∴， 将代入反比例函数表达式得，， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：点在下方，的面积是面积的倍， 则， ∴， 过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的纵坐标为， 当时，， 解得， ∴． 48．（2024·吉林白城·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A、C在坐标轴上，反比例函数的图象分别与交于点和点E，且D为的中点． (1)求反比例函数的解析式和点E的坐标； (2)若一次函数与反比例函数的图象相交于D、E两点，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，反比例函数与一次函数的交点问题： （1）待定系数法求出反比例函数解析式，矩形的性质加上中点坐标公式求出点坐标进而得到点纵坐标，代入函数解析式求出点坐标即可； （2）图象法解不等式即可． 【详解】（1）解：把代入函数解析式，得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵四边形是矩形，点为的中点， ∴轴，轴， ∴，， ∴点纵坐标为， 当时，， ∴； （2）由图象可知：不等式的解集为． 实际问题与反比例函数 49．（2024·吉林长春·模拟预测）验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少多少度（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据图像中的数据，可以求得与的函数解析式，再将和代入函数解析式，求出相应的的值，然后作差即可．解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 【详解】解：设， ∵点在该函数图像上， ∴， 解得：， ∴， 当时，， 当时，， ， 即近视眼镜的度数减少度． 故选：C． 50．（2024·吉林长春·三模）如图，甲、乙、丙、丁四个长方体的高与底面积的情况分别用点、、、表示，其中点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个长方体中体积最大的是（    ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键． 根据题意可知的值即为长方体的体积，设点在的反比例函数的关系式为，再根据图象，点在反比例函数图象上面，即点的值最大，即可确定的长方体的体积最大，即可选出． 【详解】解：∵其中点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数 ∴的长方体的体积相同， ∵点在反比例函数图象上面，点在反比例函数图象下面， ∴的长方体的体积最大，即点的值最大，的长方体的体积最小，即点的值最小， ∴丁的长方体的体积最大． 故选：． 51．（2024·广西柳州·三模）伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图所示，若小明想使动力不超过，则动力臂（单位：m）需满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力和阻力臂的函数关系式，然后根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得到动力臂的取值范围． 【详解】解：阻力和阻力臂的函数关系式为， 点在该函数图象上， ， 解得， 阻力和阻力臂的函数关系式为， ， ， 当时，， 小明想使动力不超过，则动力臂（单位：需满足， 故选：C 52．（2024·吉林·二模）某款亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该台灯的电流I（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求台灯的电流关于电阻的函数解析式． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)关于的函数解析式为 (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键． （1）用待定系数法求出反比例函数的解析式； （2）分别把和4400代入（1）中解析式求出的值，再根据函数的性质求出的取值范围． 【详解】（1）解：设与的函数关系式是， 图象经过点， ， ， 与的函数关系式是； （2）解：当时，， 当时，， 当时，的取值范围是． 53．（2024·吉林·一模）如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．托盘B中的砝码质量m随着托盘B与点O的距离d变化而变化，已知m与d是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 托盘B与点O的距离d/厘米 5 10 15 20 25 托盘B中的砝码质量m/克 30 15 10 6 (1)根据表格数据求出m关于d的函数解析式． (2)当砝码质量为12克时，求托盘B与点O的距离． 【答案】(1) (2)厘米 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）观察可得：m，d的乘积为定值150，故m，d之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； （2）把代入解析式求解，可得答案； 【详解】（1）解：设m关于d的函数解析式为， 当时，， 所以， 解得， ∴m关于d的函数解析式为． （2）把代入得，解得， 答：托盘B与点O的距离为厘米． ， ， ，； 故答案：，； （2）解：过作轴交于，作轴交于， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， 反比例函数经过，两点， ， ， ， 解得：， ． 54．（2024·吉林·二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压P(单位：)是气体体积V(单位：的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)求当气球的体积是时，气球内的气压是多少千帕？ (3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于 立方米． 【答案】(1) (2)当气球的体积是时，气球内的气压是120千帕 (3)为了安全起见，气球的体积应不小于立方米 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将，代入解析式即可求解； （3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，则当千帕时，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式，根据图象得在该函数图象上， ， 解得：， 反比例函数的解析式； （2）把代入， 得（千帕）， ∴当气球的体积是时，气球内的气压是120千帕； （3）由题意知，， 解得， ∴为了安全起见，气球的体积应不小于立方米． 故答案为：． 反比例函数与几何综合 55．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在矩形中，点A在x轴的正半轴上，点在y轴的正半轴上，点C、D均在反比例函数的图象上，若．则k的值为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形性质、三角函数值、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是关键． 如图：作轴，轴，可证明，得到线段的比例关系，设，则，则，根据反比例函数图象上点的坐标特征建立方程求出m值得到点C坐标即可得到k值． 【详解】解：如图：作轴，轴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，则， ∵点C、D在反比例函数图象上， ∴，解得（舍弃负值）， ∴ ∴ 故选：C． 56．（2024·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，反比例函数（）的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接，若E为的中点，的面积为1，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象与几何综合，用字母表示出的坐标是关键； 设，则，，，，结合的面积为1，，即可求解． 【详解】设， ∵矩形， ∴， ∵矩形，E为的中点， 则E也为的中点， ∵点B在x轴上， ∴E的纵坐标为， ∴， ∵E为的中点， ∴点， ∴点， ∵的面积为1，， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 57．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，的边轴，点的坐标为，点的坐标为，点B、D的横坐标均为整数，若点B、D都在函数的图象上，则的值可能为（   ） A．15 B．18 C．20 D．21 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．设点的坐标为，得到点的坐标为，据此求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，k为整数，则， 点的坐标为， ， ， 为整数， 为4的倍数， ． 58．（2024·吉林长春·三模）将四个边长均为1的小正方形拼成“L”型模具如图摆放，其中两个顶点位于x轴正半轴上，一个顶点位于y轴正半轴上，一个顶点在函数 的图象上，则k的值为（　）．    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 过点P作轴于点E，依题意得：，进而根据勾股定理求得，证明得到求出，， 同理可得得到求得、，进而，因此点P的坐标为，将点P坐标代入函数中即可求出k的值． 【详解】解：如图：过点P作轴于点E，    依题意得：， 在中 ，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， 同理可证：， ∴，即, ∴、, ∴， ∴点P的坐标为， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴． 故选：B． 59．（2024·吉林白城·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P，Q，R在函数（常数，）图像上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，若，且图中阴影部分图形的面积为12，则的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义和点到坐标轴的距离的几何意义，解题关键熟练掌握反比例函数比例系数k的几何意义和点到坐标轴的距离的几何意义． 根据反比例函数k的几何意义得到：，即可得出结论． 【详解】解：由反比例函数k的几何意义得到：， ∵， ∴， ， ∴， 故选：D． 60．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在矩形中，点A，B在y轴上，轴，对角线相交于点P，，若点B的纵坐标为m，解答下列问题． (1)点A的坐标是______，点C的坐标是______．（用含m的代数式表示） (2)若反比例函数经过P，C两点，求k的值． 【答案】(1)； (2)3 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数与几何综合，坐标与图形： （1）根据矩形的性质得到，再根据点B的纵坐标为m即可求出答案； （2）先由矩形的性质得到点P是对角线的中点，再根据中点坐标公式得到，最后根据反比例函数图象经过P、C两点进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点B的纵坐标为m， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：∵四边形是矩形， ∴点P是对角线的中点． 由（1）可知，， ∴． ∵反比例函数经过P，C两点， ∴， 解得， ∴． 61．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在矩形中，点，在轴上，轴，对角线，相交于点，，，若点的纵坐标为，解答下列问题． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ．（用含的代数式表示） (2)若反比例函数经过，两点，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了点的坐标与几何图形，矩形的性质， 三角形的中位线定理等； （1）由矩形的性质得，可得，，即可求解； （2）过作轴交于，作轴交于，由三角形的中位线定义得是的中位线，由三角形中位线定理得，可得，将，两点的坐标分别代入即可求解； 掌握矩形的性质，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 点的纵坐标为， 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