第04讲 角的平分线的性质（4个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（人教版）

第04讲 角的平分线的性质 课程标准 学习目标 ①角的平分线的定义与性质 ②角平分线的尺规作图 ③角平分线的判定 ④证明几何文字命题的一般步骤 1. 掌握角平分线的吃规作图步骤，能够熟练作图以及根据作图痕迹判断出角平分线并解决问题。 2. 掌握角平分线的性质与判定，能够熟练的应用其解决相关题目。 3. 掌握命题证明题中题设和结论，并能够熟练的对结论给予证明。 知识点01 角平分线的定义与性质 1. 角平分线的定义： 角的内部把角分成两个 的角的射线这是个角的角平分线。 2. 角平分线的性质： （1） 性质1：平分角。 如图：即若OC是∠AOB的平分线，则 。且他们都等于∠AOB的 。 （2） 性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离 。 即若OC是∠AOB的平分线，P是0C上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则有 。 【即学即练1】 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝30，BD：CD＝3：2，则点D到AB的距离为（　　） A．18 B．12 C．15 D．不能确定 【即学即练2】 2．如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是 　 　． 知识点02 角平分线的尺规作图 1. 作已知角的角平分线： 步骤一：以 为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 步骤二：以 为圆心， MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 步骤三：连接OP即为角平分线 步骤一 步骤二 步骤三 2. 证明上图中的OP是角平分线： 连接MP，NP 由作图过程可知，OM ON，MP NP。 在△OMP与△ONP中 ∴△OMP≌△ONP ∴∠MOP＝ ∴OP是∠AOB的角平分线。 【即学即练1】 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　 　． 【即学即练2】 4．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 知识点03 角平分线的判定 1. 角平分线的判定的内容： 角的内部到角两边距离相等的点一定在 上。 2. 数学语言： 点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的 上。 即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD ∴∠AOC＝∠BOC 【即学即练1】 5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线． 知识点04 证明几何文字命题的一般步骤 1. 证明几何文字命题的一般步骤： （1） 根据命题明确命题中的 与 。 （2） 根据题意画出图形，并用符号表示（1）中的 与 。 （3） 经过分析，找出由已知推导求证结论的途径，并写出证明过程。 【即学即练1】 6．证明：命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于360°”是真命题． 题型01 利用角平分线的性质求线段长度 【典例1】如图所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，若ON＝8cm，则OM长为（　　） A．8cm B．4cm C．5cm D．不能定 【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3cm，那么AE+DE等于（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【变式2】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝12，BD＝2CD，AD平分∠BAC，则点D到AB的距离等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．9 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E，若△ABC与△CDE的周长分别为13和3，则AB的长为（　　） A．10 B．16 C．8 D．5 【变式4】如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5】如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 题型02 利用角平分线的性质求面积 【典例1】如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　） A．20 B．30 C．50 D．100 【变式1】如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　 　． 【变式2】如图，△ABC的周长为20cm，若∠ABC，ACB的平分线交于点O，且点O到AC边的距离为cm，则△ABC的面积为 　 　cm2． 【变式3】如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为（　　） A．25 B．5.5 C．7.5 D．12.5 【变式4】如图，AD是△ABC的角平分线，若AB＝2AC．则S△ABD：S△ACD＝　 　． 【变式5】如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是10、15、20．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：2 B．1：2：3 C．2：3：4 D．1：2：4 题型03 根据作图痕迹解决角平分线的问题 【典例1】如图，用直尺和圆规作在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE＝3，则PF的长为（　　） A．1.5 B．3 C．4 D．5 【变式1】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】如图，已知∠ABC，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线BA，BC于 点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线BC上取点H，以点H为圆心，以线段BH长为半径作弧交射线BP于点D；点E，F分别在射线BA，HD上，∠AEF＝68°，射线EF，BD交于点G，∠FDG＝39°，则∠EGB＝（　　） A．29° B．30° C．38° D．39° 【变式3】如图，在△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB、AC各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧交点与点A作直线，与边BC交于点D．若AC＝8，BD＝3，则△ADC的面积是 　 　． 【变式4】如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝9，以B为圆心，BA为半径画弧交BC于D，分别以A，D为圆心，大于AD为半径画弧交于点E，连接BE交AC于F，∠BAC＝2∠AFB，则AF的长为（　　） A． B．2 C．3 D．4 题型04 角平分线的判定 【典例1】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF 求证：AD平分∠BAC． 【变式1】如图，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于D，且BE＝CF，求证：AD平分∠BAC． 【变式2】如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，有∠BAD＝100°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作EF⊥AB交BA的延长线于点F，且∠AEF＝50°，连接DE．求证：DE平分∠ADC． 题型04 角平分线在生活中的实际应用 【典例1】如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　） A．在AC，BC两边高线的交点处 B．在AC，BC两边中线的交点处 C．在∠A，∠B两边角平分线的交点处 D．在AC，BC两边垂直平分线的交点处 【变式1】如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【变式2】如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置． 1．如图所示，是一块三角形的草坪（△ABC），现要在草坪上修建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC三条边的垂直平分线的交点 B．△ABC三个内角的角平分线的交点 C．△ABC三角形三条边上的高的交点 D．△ABC三角形三条中线的交点 2．如图，OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA，OC＝5，CD＝3，则点C到射线OB的距离是（　　） A．5 B．3 C．2 D．无法计算 3．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝4，则△POD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 4．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD．AD过点P，且与AB垂直，若AD＝12．则点P到BC的距离是（　　） A．5 B． C．6 D． 5．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中∠C＝90°，BC＝800m，一个人从B处出发沿着BC行走了500m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（　　） A．1300m B．800m C．500m D．300m 7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝6，若S△ACD＝12，则△ABC面积为（　　） A．24 B．28 C．32 D．48 8．如图，点O是△ABC三条角平分线的交点，△ABO的面积记为S1，△ACO的面积记为S2，△BCO的面积记为S3，关于S1，S2，S3之间的大小关系，正确的是（　　） A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＜S3 C．S1+S2＞S3 D．S1•S2＝S3 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 10．如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BD＝2CD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是 　 　． 12．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝3，AB＝12，则△AOB的面积是 　 　． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点I到Rt△ABC三边的距离相等，则∠AIB的度数为 　 　． 14．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，点D为射线OC上一点，DP⊥OA于点P，PD＝6，若点Q是射线OB上一点，OQ＝5，则△ODQ的面积为 　 　． 15． 如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB于E，PF⊥AC于F， 则BE+PF 　 　PB． 16．已知：如图，△ABC的外角，∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， （1）求证：点F在∠DAE的平分线上． （2）若∠A＝50°，求∠BFC的大小． 17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝110°． （1）若∠ABC与∠DCB的角平分线交于点O．求∠BOC的度数； （2）若∠ABO＝2∠OBC，∠DCO＝2∠OCB，求∠BOC的度数． 18．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F． （1）∠EDB与∠FDB相等吗？请说明理由； （2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长． 19．图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长． 20．如图，点D是△ABC外角∠CBF的平分线与∠CAB的平分线的交点． （1）如图①，若∠C＝88°，则∠D＝　 　度； （2）如图②，∠CBA的平分线与AD相交于点E，若∠BED＝∠D，求∠C的度数？ （3）如图③，在（2）的条件下，过E作AB的垂线分别交BC、AB于点M、N，MH平分∠CMN，交AC于点H．请判断MH与AD的位置关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 角的平分线的性质 课程标准 学习目标 ①角的平分线的定义与性质 ②角平分线的尺规作图 ③角平分线的判定 ④证明几何文字命题的一般步骤 1. 掌握角平分线的吃规作图步骤，能够熟练作图以及根据作图痕迹判断出角平分线并解决问题。 2. 掌握角平分线的性质与判定，能够熟练的应用其解决相关题目。 3. 掌握命题证明题中题设和结论，并能够熟练的对结论给予证明。 知识点01 角平分线的定义与性质 1. 角平分线的定义： 角的内部把角分成两个 相等 的角的射线这是个角的角平分线。 2. 角平分线的性质： （1） 性质1：平分角。 如图：即若OC是∠AOB的平分线，则 ∠AOC＝∠BOC 。且他们都等于∠AOB的 一半 。 （2） 性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离 相等 。 即若OC是∠AOB的平分线，P是0C上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则有 PD＝PE 。 【即学即练1】 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝30，BD：CD＝3：2，则点D到AB的距离为（　　） A．18 B．12 C．15 D．不能确定 【分析】由已知条件开始思考，结合角平分线的性质，得点D到AB的距离即为CD长． 【解答】解：∵BD：CD＝3：2，BC＝30， ∴CD＝12． 故选：B． 【即学即练2】 2．如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是 　 　． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等，从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以OD，然后列式进行计算即可求解． 【解答】解：如图，连接OA， ∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴点O到AB、AC、BC的距离都相等， ∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD＝3， ∴S△ABC＝×22×3＝33． 故答案为：33． 知识点02 角平分线的尺规作图 1. 作已知角的角平分线： 步骤一：以 角的顶点 为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 步骤二：以 点M和点N 为圆心， 大于 MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 步骤三：连接OP即为角平分线 步骤一 步骤二 步骤三 2. 证明上图中的OP是角平分线： 连接MP，NP 由作图过程可知，OM ＝ ON，MP ＝ NP。 在△OMP与△ONP中 ∴△OMP≌△ONP ∴∠MOP＝ ∠NOP ∴OP是∠AOB的角平分线。 【即学即练1】 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　 　． 【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝3，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：如图，作DE⊥AB于E， 由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC＝3， ∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×10×3＝15， 故答案为：15． 【即学即练2】 4．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 【分析】由已知条件，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知建在∠AOB的平分线与AB的交点上． 【解答】解：作∠AOB的平分线交AB于M，即M为水厂的位置． 知识点03 角平分线的判定 1. 角平分线的判定的内容： 角的内部到角两边距离相等的点一定在 角平分线 上。 2. 数学语言： 点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的 平分线 上。 即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD ∴∠AOC＝∠BOC 【即学即练1】 5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线． 【分析】首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是角平分线即可． 【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形． ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠DAE＝∠DAF， ∴AD是△ABC的角平分线． 知识点04 证明几何文字命题的一般步骤 1. 证明几何文字命题的一般步骤： （1） 根据命题明确命题中的 已知 与 求证 。 （2） 根据题意画出图形，并用符号表示（1）中的 已知 与 求证 。 （3） 经过分析，找出由已知推导求证结论的途径，并写出证明过程。 【即学即练1】 6．证明：命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于360°”是真命题． 【分析】根据三角形外角性质得到∠1＝∠ABC+∠ACB，∠2＝∠BAC+∠ACB，∠3＝∠BAC+∠ABC，则∠1+∠2+∠3＝2（∠BAC+∠ABC+∠ACB），然后根据三角形内角和定理即可得到结论． 【解答】已知：如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角； 求证：∠1+∠2+∠3＝360°； 证明：∵∠1＝∠ABC+∠ACB，∠2＝∠BAC+∠ACB，∠3＝∠BAC+∠ABC， ∴∠1+∠2+∠3＝2（∠BAC+∠ABC+∠ACB）， ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠1+∠2+∠3＝360°． 即命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于360°”是真命题． 题型01 利用角平分线的性质求线段长度 【典例1】如图所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，若ON＝8cm，则OM长为（　　） A．8cm B．4cm C．5cm D．不能定 【分析】由于OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，根据角平分线的性质可以得到OM＝ON，而ON＝8cm，延长即可求出OM长． 【解答】解：如图，∵OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于M，ON⊥AB于N， ∴OM＝ON， 而ON＝8cm， ∴OM＝8cm． 故选：A． 【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3cm，那么AE+DE等于（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】根据角平分线的性质得到ED＝EC，计算即可． 【解答】解：∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB＝90°， ∴ED＝EC， ∴AE+DE＝AE+EC＝AC＝3cm， 故选：B． 【变式2】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝12，BD＝2CD，AD平分∠BAC，则点D到AB的距离等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．9 【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离＝CD． 【解答】解：∵BC＝12，BD＝2CD， ∴CD＝12×＝4， 由角平分线的性质，得点D到AB的距离等于CD＝4． 故选：B． 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E，若△ABC与△CDE的周长分别为13和3，则AB的长为（　　） A．10 B．16 C．8 D．5 【分析】先根据角平分线的性质定理证得AD＝DE，根据△ABC与△CDE的周长分别为13和3证得AB＝BE＝5． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC， ∴AD＝DE， 在Rt△ABD和Rt△EBD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL）， ∴AB＝BE， ∵△ABC与△CDE的周长分别为13和3， ∴AB+BC+AC＝AB+AC+BE+EC＝13，DE+EC+DC＝AD+EC+DC＝AC+EC＝3， ∴AB+BE＝10， ∴AB＝BE＝5． 故选：D． 【变式4】如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，根据角平分线性质得出PQ＝PR，即可得出答案． 【解答】解： 过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R， ∵△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P， ∴PQ＝PW，PW＝PR， ∴PR＝PQ， ∵点P到AC的距离为3， ∴PQ＝PR＝3， 则点P到AB的距离为3， 故选：C． 【变式5】如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长度最小，求出∠ABD＝∠CBD，根据角平分线的性质得出AD＝DP＝4即可得出结论． 【解答】解：∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， ∴∠C+∠CBD＝90°， ∵∠A＝90° ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∵∠ADB＝∠C， ∴∠ABD＝∠CBD， 当DP⊥BC时，DP的长度最小， ∵AD⊥AB， ∴DP＝AD， ∵AD＝4， ∴DP的最小值是4， 故选：B． 题型02 利用角平分线的性质求面积 【典例1】如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　） A．20 B．30 C．50 D．100 【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答． 【解答】解：过O作OE⊥AB于点E， ∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D， ∴OE＝OD＝5， ∴△AOB的面积＝， 故选：C． 【变式1】如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　 　． 【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF＝4，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可求出答案． 【解答】解： 过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OE＝OD，OD＝OF， 即OE＝OF＝OD＝4， ∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC ＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD ＝×4×（AB+AC+BC） ＝×4×21＝42， 故答案为：42． 【变式2】如图，△ABC的周长为20cm，若∠ABC，ACB的平分线交于点O，且点O到AC边的距离为cm，则△ABC的面积为 　 　cm2． 【分析】连接OA，过O作OE⊥AB于E，OG⊥AC于G，OF⊥BC于F，根据角平分线的性质求出OE＝OF＝OG，再根据三角形的面积公式求出答案即可． 【解答】解：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OG⊥AC于G，OF⊥BC于F， ∵∠ABC，ACB的平分线交于点O， ∴OE＝OF，OG＝OF， ∴OE＝OF＝OG， ∵点O到AC边的距离为cm， ∴OE＝OF＝OG＝cm， ∵△ABC的周长为20cm， ∴AB+BC+AC＝20cm， ∴△ABC的面积S＝S△ABO+S△BCO+S△ACO ＝ ＝××（AB+BC+AC） ＝×20 ＝15（cm2）， 故答案为：15． 【变式3】如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为（　　） A．25 B．5.5 C．7.5 D．12.5 【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF＝DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可 【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF＝DH， 在Rt△ADF和Rt△ADH中，， ∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）， ∴SRt△ADF＝SRt△ADH， 在Rt△DEF和Rt△DGH中， ∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）， ∴SRt△DEF＝SRt△DGH， ∵△ADG和△AED的面积分别为60和35， ∴35+SRt△DEF＝60﹣SRt△DGH， ∴SRt△DEF＝． 故选：D． 【变式4】如图，AD是△ABC的角平分线，若AB＝2AC．则S△ABD：S△ACD＝　 　． 【分析】过D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，根据角平分线性质得出DM＝DN，根据三角形面积公式求出即可． 【解答】解： 过D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴DM＝DN， ∴S△ABD：S△ACD＝（AB×DN）：（AC×DM）＝AB：AC＝2AC：AC＝2：1， 故答案为：2：1． 【变式5】如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是10、15、20．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：2 B．1：2：3 C．2：3：4 D．1：2：4 【分析】过点O作OD⊥AB，垂足为D，过点O作OE⊥BC，垂足为E，过点O作OF⊥AC，垂足为F，利用角平分线的性质可得OD＝OE＝OF，从而可得S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：AC，进行计算即可解答． 【解答】解：过点O作OD⊥AB，垂足为D，过点O作OE⊥BC，垂足为E，过点O作OF⊥AC，垂足为F， ∵△ABC的三条角平分线交于点O， ∴OD＝OE＝OF， ∵AB＝10，BC＝15，AC＝20， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO ＝AB：BC：AC ＝10：15：20 ＝2：3：4， 故选：C． 题型03 根据作图痕迹解决角平分线的问题 【典例1】如图，用直尺和圆规作在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE＝3，则PF的长为（　　） A．1.5 B．3 C．4 D．5 【分析】由作图可知，OH平分∠AOB，由角平分线的性质可得出答案． 【解答】解：由作图可知，OH平分∠AOB， ∵PE⊥OB，PF⊥OA， ∴PF＝PE＝3， 故选：B． 【变式1】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP＝CD解决问题； 【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小． 由作图可知：AE平分∠BAC， ∵DC⊥AC，DP⊥AB， ∴DP＝CD＝2， ∴PD的最小值为2， 故选：A． 【变式2】如图，已知∠ABC，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线BA，BC于 点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线BC上取点H，以点H为圆心，以线段BH长为半径作弧交射线BP于点D；点E，F分别在射线BA，HD上，∠AEF＝68°，射线EF，BD交于点G，∠FDG＝39°，则∠EGB＝（　　） A．29° B．30° C．38° D．39° 【分析】利用基本作图得到BP平分∠ABC，则∠ABP＝∠CBP，利用基本作图可得BH＝DH，所以∠HBD＝∠BDH，可得∠ABP＝∠BDH，所以FH∥AB，∠EFD＝∠AEF＝68°，再根据三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：由基本作图得到BP平分∠ABC，BH＝DH， ∴∠ABP＝∠CBP，∠HBD＝∠BDH， ∴∠ABP＝∠BDH， ∴FH∥AB， ∴∠EFD＝∠AEF＝68°， ∵∠FDG＝39°， ∴∠EGB＝∠EFD﹣∠FDG＝68°﹣39°＝29°． 故选：A． 【变式3】如图，在△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB、AC各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧交点与点A作直线，与边BC交于点D．若AC＝8，BD＝3，则△ADC的面积是 　 　． 【分析】过点D作DE⊥AC于点E，由题意可知，AD是∠BAC的平分线，再由角平分线的性质得DE＝DB＝3，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E， 由题意可知，AD是∠BAC的平分线， ∵∠B＝90°， ∴DB⊥AB， ∴DE＝DB＝3， ∴S△ADC＝AC•DE＝×8×3＝12， 故答案为：12． 【变式4】如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝9，以B为圆心，BA为半径画弧交BC于D，分别以A，D为圆心，大于AD为半径画弧交于点E，连接BE交AC于F，∠BAC＝2∠AFB，则AF的长为（　　） A． B．2 C．3 D．4 【分析】如图，过点F作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N．首先证明：FC：AF＝BC：AB＝3，想办法求出CF，证明CF＝CD＝6，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点F作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N． ∵BA＝BD，AF＝DF，BF＝BF， ∴△ABF≌△DBF（SSS）， ∴∠ABF＝∠DBF，∠BAF＝∠BDF，∠AFB＝∠DFB， ∵FM⊥BC，FN⊥BA， ∴FM＝FN， ∴＝＝， ∴＝＝3， ∴FC＝3AF， ∵AB＝DB＝3，BC＝9， ∴CD＝9﹣3＝6， ∵∠BAF＝2∠AFB＝∠AFD， ∴∠AFD＝∠BDF， ∴∠CFD＝∠CDF， ∴CF＝CD＝6， ∴AF＝2， 故选：B． 题型04 角平分线的判定 【典例1】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF 求证：AD平分∠BAC． 【分析】由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），则可得DE＝DF，然后由角平分线的判定定理，即可证得AD平分∠BAC． 【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF， 在Rt△ADE与Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠DAE＝∠DAF， ∴AD平分∠BAC． 【变式1】如图，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于D，且BE＝CF，求证：AD平分∠BAC． 【分析】先根据AAS定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DF＝DE，由此可得出结论． 【解答】证明：∵BF⊥AC于F，CE⊥AB于E， ∴∠BED＝∠CFD＝90°． 在Rt△BDE与Rt△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DF＝DE， ∴AD平分∠BAC． 【变式2】如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，有∠BAD＝100°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作EF⊥AB交BA的延长线于点F，且∠AEF＝50°，连接DE．求证：DE平分∠ADC． 【分析】过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H，先通过计算得出∠FAE＝∠CAD＝40°，根据角平分线的性质得EF＝EG，EF＝EH，进而得EG＝EH，据此根据角平分线的性质可得出结论 【解答】证明：如图，过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H， ∵EF⊥AB，∠AEF＝50°， ∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°， ∵∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°， ∴∠FAE＝∠CAD＝40°，即AC为∠DAF的平分线． 又EF⊥AB，EG⊥AD， ∴EF＝EG． ∵BE是∠ABC的平分线， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH， ∴点E在∠ADC的平分线上， ∴DE平分∠ADC． 题型04 角平分线在生活中的实际应用 【典例1】如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　） A．在AC，BC两边高线的交点处 B．在AC，BC两边中线的交点处 C．在∠A，∠B两边角平分线的交点处 D．在AC，BC两边垂直平分线的交点处 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处． 故选：C． 【变式1】如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个． 【解答】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴△ABC内角平分线的交点满足条件； 如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点， 过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC， ∴PE＝PF，PF＝PD， ∴PE＝PF＝PD， ∴点P到△ABC的三边的距离相等， ∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点有4个， ∴可供选择的地址有4个． 故选：D． 【变式2】如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置． 【分析】由已知条件，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知在三角的平分线的交点上． 【解答】解：如图所示． 分别作三角形绿地两个角的平分线交于点P，点P即为所求． 1．如图所示，是一块三角形的草坪（△ABC），现要在草坪上修建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC三条边的垂直平分线的交点 B．△ABC三个内角的角平分线的交点 C．△ABC三角形三条边上的高的交点 D．△ABC三角形三条中线的交点 【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点． 故选：B． 2．如图，OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA，OC＝5，CD＝3，则点C到射线OB的距离是（　　） A．5 B．3 C．2 D．无法计算 【分析】过点C作CE⊥OB于E，根据角平分线的性质即可求解． 【解答】解：如图，过点C作CE⊥OB于E， ∵OC是∠AOB的平分线，CE⊥OB，CD⊥OA， ∴CE＝CD＝3， 即点C到边OB的距离为3． 故选：B． 3．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝4，则△POD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【分析】过P作PK⊥OB于K，由角平分线的性质推出PK＝PC＝2，而OD＝4，即可求出△POD的面积＝OD•PK＝4． 【解答】解：过P作PK⊥OB于K， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C， ∴PK＝PC＝2， ∵OD＝4， ∴△POD的面积＝OD•PK＝×4×2＝4． 故选：A． 4．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD．AD过点P，且与AB垂直，若AD＝12．则点P到BC的距离是（　　） A．5 B． C．6 D． 【分析】点到直线的距离；过P作PE⊥BC交于E，由角平分线的性质得PA＝PE＝PD，即可求解． 【解答】解：过P作PE⊥BC交于E， ∵AB∥CD，AD⊥AB， ∴AD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD， ∴PA＝PE＝PD， ∴； 故选：C． 5．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】（1）作PH⊥AB于H，证明△PEC≌△PHA，得到PE＝PH，同理可证PF＝PH即可得到结论； （2）根据角平分线的判定定理解答即可； （3）根据全等三角形的性质证得∠EPA＝∠HPA，∠FPB＝∠HPB，再根据四边形内角和即可证得∠APB和∠O关系． 【解答】解：（1）证明：作PH⊥AB于H， ∵AP是∠CAB的平分线， ∴∠PAE＝∠PAH， 在△PEA和△PHA中， ， ∴△PEA≌△PHA（AAS）， ∴PE＝PH， ∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD， ∴PF＝PH， ∴PE＝PF， ∴（1）正确； （2）与（1）可知：PE＝PF， 又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F， ∴点P在∠COD的平分线上， ∴（2）正确； （3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°， 又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°， ∴∠O+∠EPF＝180°， 即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°， 由（1）知：△PEA≌△PHA， ∴∠EPA＝∠HPA， 同理：∠FPB＝∠HPB， ∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°， 即∠O+2∠APB＝180°， ∴∠APB＝90°﹣， ∴（3）错误； 故选：C． 6．如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中∠C＝90°，BC＝800m，一个人从B处出发沿着BC行走了500m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（　　） A．1300m B．800m C．500m D．300m 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，推出DE＝CD＝BC﹣BD． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， ∵AD为∠CAB的平分线，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝BC﹣BD＝800﹣500＝300（m）， 故选：D． 7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝6，若S△ACD＝12，则△ABC面积为（　　） A．24 B．28 C．32 D．48 【分析】过D点作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，利用角平分线性质得DE＝DF，再根据三角形面积公式，利用得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式计算△ABD的面积，从而可得△ABC的面积． 【解答】解：过D点作DE⊥AB交于点E，DF⊥AC交于点F，如图， ∵AD平分∠BAC， ∴DE＝DF， ∵，AC＝6， ∴DF＝4， ∴， ∵AB＝8，DE＝DF＝4， ∴， ∴S△ABC＝S△ADC+S△ABD＝12+16＝28， 故选：B． 8．如图，点O是△ABC三条角平分线的交点，△ABO的面积记为S1，△ACO的面积记为S2，△BCO的面积记为S3，关于S1，S2，S3之间的大小关系，正确的是（　　） A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＜S3 C．S1+S2＞S3 D．S1•S2＝S3 【分析】根据角平分线的性质、三角形三边关系和三角形的面积公式解答即可． 【解答】解：∵点O是△ABC三条角平分线的交点， ∴△ABO和△BOC和△AOC的高相等， ∵△A B O的面积记为S1，△ACO的面积记为S2，△BCO的面积记为S3，设高为h， ∴，， 由△ABC的三边关系得：AB+AC＞BC， ∴S1+S2＞S3， 故选：C． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 【分析】根据角平分线的性质得到DE＝DC＝5，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：作DE⊥AB于E， 由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC＝5， ∴△ABD的面积＝×AB×DE＝45， 故选：C． 10．如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PN＝PD， ∴PM＝PD， ∵PM⊥BE，PD⊥AC， ∴AP平分∠EAC，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵BP平分∠ABC，CP平分∠FCA， ∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCF，∠PCF＝∠ABC+∠BPC， ∴∠BAC＝2∠BPC，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴S△APD＝S△MAP，S△CPD＝S△NCP， ∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正确， 故选：D． 11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BD＝2CD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是 　 　． 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DC，根据题意求出BD，进而求出BC． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE＝6， ∵BD＝2CD， ∴BD＝12， ∴BC＝DC+BD＝12+6＝18， 故答案为：18． 12．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝3，AB＝12，则△AOB的面积是 　 　． 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，根据BO平分∠ABC，OD⊥BC，得到OE＝OD＝3，根据面积公式求出三角形的面积． 【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E， ∵BO平分∠ABC，OD⊥BC， ∴OE＝OD＝3， ∴△AOB的面积＝， 故答案为：18． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点I到Rt△ABC三边的距离相等，则∠AIB的度数为 　 　． 【分析】根据点I到Rt△ABC三边的距离相等，得出点I在△ABC的角平分线上，从而得出∠AIB的度数． 【解答】解：∵点I到Rt△ABC三边的距离相等， ∴点I在△ABC的角平分线上， ∵∠C＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∴∠IAB+∠IBA＝45°， ∴∠AIB＝135°， 故答案为：135°． 14．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，点D为射线OC上一点，DP⊥OA于点P，PD＝6，若点Q是射线OB上一点，OQ＝5，则△ODQ的面积为 　 　． 【分析】过点D作DE⊥OB于E，根据角平分线的性质求出DE，再根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥OB于E， ∵射线OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB， ∴DE＝PD＝6， ∴S△ODQ＝OQ•DE＝×5×6＝15， 故答案为：15． 15．如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB于E，PF⊥AC于F，则BE+PF 　 　PB． 【分析】根据角平分线的性质求出PE＝PF，再根据三角形三边关系求解即可． 【解答】解：∵AP平分∠CAD，PE⊥DB于E，PF⊥AC于F， ∴PE＝PF， 在△BPE中，BE+PE＞PB， ∴BE+PF＞PB， 故答案为：＞． 16．已知：如图，△ABC的外角，∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， （1）求证：点F在∠DAE的平分线上． （2）若∠A＝50°，求∠BFC的大小． 【分析】（1）作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FG⊥AC于G，根据角平分线的性质定理得到FM＝FN，同理得到FM＝FN，根据角平分线的判定定理证明即可； （2）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出∠BCF＝（∠A+∠ABC），∠CBF＝（∠A+∠ACB）；再利用三角形内角和定理便可求出∠F的度数． 【解答】（1）证明：作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FG⊥AC于G， ∵BF平分∠CBD，FM⊥AB，FN⊥BC， ∴FM＝FN， 同理，FG＝FN， ∴FM＝FG， 又FM⊥AB，FG⊥AC， ∴点F在∠DAE的平分线上； （2）解：∵BF、CF为△ABC两外角∠CBD、∠BCE的平分线，∠A＝50°， ∴∠BCF＝（∠A+∠ABC），∠CBF＝（∠A+∠ACB）； 由三角形内角和定理得： ∠F＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]＝180°﹣（∠A+180°） ＝90°﹣×50°＝90°﹣25°＝65°． 17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝110°． （1）若∠ABC与∠DCB的角平分线交于点O．求∠BOC的度数； （2）若∠ABO＝2∠OBC，∠DCO＝2∠OCB，求∠BOC的度数． 【分析】（1）先求出∠ABC+∠BCD的度数，再根据角平分线的定义得出∠OBC＝ABC，BCD，进而得出答案； （2）先求出∠ABC+∠BCD的度数，再根据∠ABO＝2∠OBC，∠DCO＝2∠OCB得出∠OBC＝∠ABC，∠BCO＝∠BCD，进而得出答案． 【解答】解：（1）∵在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝110°， ∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D＝150°， ∵BO、CO分别是∠ABC与∠DCB的角平分线， ∴∠OBC＝ABC，BCD， ∴∠OBC+∠BCO＝ABC+BCD＝（∠ABC+∠BCD）＝75°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠BCO）＝180°﹣75°＝105°． （2）∵在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝110°， ∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D＝150°， ∵∠ABO＝2∠OBC，∠DCO＝2∠OCB， ∴∠OBC＝∠ABC，∠BCO＝∠BCD， ∴∠OBC+∠BCO＝∠ABC+∠BCD＝（∠ABC+∠BCD）＝50°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠BCO）＝180°﹣50°＝130°． 18．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F． （1）∠EDB与∠FDB相等吗？请说明理由； （2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长． 【分析】（1）由角平分线的对称性直接证明△DBE≌△DBF即可求解； （2）先算出三角形ABD的面积，再得出三角形BCD的面积，高DF＝DE＝5，从而直接算出BC． 【解答】解：（1）∠EDB与∠FDB相等，理由如下： ∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠BED＝∠BFD＝90°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠EBD＝∠FBD， 在△BDE和△BDF中， ∵， ∴△DBE≌△DBF（AAS）， ∴∠EDB＝∠FDB； （2）∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DF＝DE＝5， ∴S△ABD＝AB•DE＝40， ∴S△BCD＝BC•DF＝70﹣40＝30， ∴BC＝12． 19．图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长． 【分析】（1）是；理由：由（2）SSS判定△ADF≌△AEF，然后由该全等三角形的对应角相等证得结论； （2）如图，过点P作PG⊥AC于点G．由三角形的面积公式作答即可． 【解答】解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下： 在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（SSS）． ∴∠DAF＝∠EAF， ∴AP平分∠BAC． （2）如图，过点P作PG⊥AC于点G． ∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB， ∴PG＝PQ＝6． ∵S△ABC＝S△ABP+S△APC＝AB•PQ+AC•PG， ∴AB×6+×9×6＝60． ∴AB＝11． 20．如图，点D是△ABC外角∠CBF的平分线与∠CAB的平分线的交点． （1）如图①，若∠C＝88°，则∠D＝　 　度； （2）如图②，∠CBA的平分线与AD相交于点E，若∠BED＝∠D，求∠C的度数？ （3）如图③，在（2）的条件下，过E作AB的垂线分别交BC、AB于点M、N，MH平分∠CMN，交AC于点H．请判断MH与AD的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）根据∠CBF＝∠CAB+∠C、∠CBD＝∠CBF，∠CAD＝∠CAB、∠CBD+∠D＝∠CAD+∠C即可求解； （2）由题意得∠BED＝∠EAB+∠EBA＝90°﹣∠C，结合（1）中结论∠D＝∠C即可求解； （3）根据∠HME+∠EAB＝90°、∠AEN+∠EAB＝90°即可求解． 【解答】解：（1）∵∠CBF是△ABC的外角， ∴∠CBF＝∠CAB+∠C， ∵AD平分∠CAB，BD平分∠CBF， ∴∠CBD＝∠CBF，∠CAD＝∠CAB， ∴∠CBD＝∠CAD+∠C， ∴∠CBD﹣∠CAD＝∠C， ∵∠CBD+∠D＝∠CAD+∠C， ∴∠CBD﹣∠CAD＝∠C﹣∠D， ∴∠D＝∠C＝44°． 故答案为：44． （2）∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA， ∴∠EAB＝∠CAB，∠EBA＝∠CBA， ∵∠CAB+∠CAB+∠C＝180°， ∴∠EAB+∠EBA+∠C＝90°，即：∠EAB+∠EBA＝90°﹣∠C， ∴∠BED＝∠EAB+∠EBA＝90°﹣∠C， 由（1）得：∠D＝∠C， ∵∠BED＝∠D， ∴90°﹣∠C＝∠C， 解得：∠C＝90°． （3）MH∥AD，理由如下： 由题意得：∠C＝∠MNA＝90°， ∴∠CMN+∠CAB＝180°， ∵AD平分∠CAB，MH平分∠CMN， ∴∠EAB＝∠CAB，∠HME＝∠CMN， ∴∠HME+∠EAB＝90°， ∵∠AEN+∠EAB＝90°， ∴∠HME＝∠AEN， ∴MH∥AD． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$