1.1探索勾股定理 自主学习同步练习题 2024-2025学年北师大版八年级数学上册

2024-2025学年北师大版八年级数学上册《1.1探索勾股定理》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列4组数据中，是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．6，7，8 2．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长的平方为（　　） A．16 B．34 C．16或34 D．4 3．直角三角形的两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（    ） A．斜边长为25 B．三角形的周长为25 C．三角形的面积为12 D．斜边长为5 4．要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5m，顶端离地面12m，则梯子的长度为（    ） A．12m B．13m C．14m D．15m 5．如图，中，，，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC－AC＝2 cm，AB＝10 cm，则Rt△ABC的面积是（　　） A．24 cm2 B．36 cm2 C．48 cm2 D．60 cm2 7．如图，Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，∠ACB=90°，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积等于（      ）cm2 A．18 B．24 C．36 D．48 8．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，中国古代称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，其中勾长、股长的平方和等于弦长的平方，即为“勾股定理”，勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，在几何问题中有着广泛的应用． 如图，在直线l上依次摆放着五个正方形．已知斜放置的两个正方形的面积分别是2、3，正放置的三个正方形的面积依次是，则（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 9．已知直角三角形的三内角、、所对的边分别是、、，是直角，则、、三者之间的关系是 ． 10．在中， ，如果，那么 . 11．长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，它的面积是 cm2. 12．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的边长为 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD的长是 ． 14．如图，在和中，，点在上.若，，，则 .    15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，在△ABC外取点D，E，使AD=AB，AE=AC，且α+β＝∠B，连结DE．若AB＝4，AC＝3，则DE＝ ．    16．如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为 ． 三、解答题 17．如图，直线，垂足为，线段，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．求的长． 18．如图，小明计划周末到离家正东方向的书店买书，买完书后再去距离书店正北方向的体育中心打篮球，求小明家距离体育中心有多远？ 19．定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O，若，求． 20．如图，在中，，若． (1)求的长； (2)求边上的高是多少？ 21．为营造节日气氛，现从楼顶处拉一条彩带到地面点处，已知彩带的长为，点到楼房底部的距离为，    (1)求楼房的高度； (2)为使美观，现计划从楼顶处再拉一条彩带到地面点处，点在的延长线上，，请求出彩带的长度． 22．已知四边形中，，为中点，且，，．    (1)求的值； (2)求直线与直线的距离． 23．在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 参考答案： 1．解：A．12+22≠32，因此不是勾股数，故此选项不合题意； B．22+32≠42，因此不是勾股数，故此选项不合题意； C．32+42＝52，因此是勾股数，故此选项符合题意； D．62+72≠82，因此不是勾股数，故此选项不合题意； 故选：C． 2．解：当第三边是斜边时，则有第三边的平方； 当第三边是直角边时，则有第三边的平方． 则第三边长的平方为16或34． 故选：C． 3．解:根据勾股定理可知，直角三角形两直角边长分别为3和4， 则它的斜边长是，故A选项错误，不符合题意； 周长是3+4+5=12，故B选项错误，不符合题意； 三角形的面积为3×4÷2=6，故C选项错误，不符合题意； ∵它的斜边长是，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 4．解：如图： ∵AC=5m，BC=12m，∠C=90°， ∴AB=13(m)， 故选：B． 5．解：在中，由勾股定理得， ， 正方形的面积为， 故选：B． 6．解：∵∠C＝90°，AB＝10， ∴， ∵BC－AC＝2 ， ∴，即， ∴， ∴， 即Rt△ABC的面积是24 cm2． 故选：A 7．解：S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC-直径为AB的半圆的面积 = = = = = cm2， 故选：B． 8．解：如图， ∵图中的四边形均为正方形， ∴，，， ∴∠ABC+∠DBE＝90°，∠ABC+∠CAB＝90°， ∴∠CAB＝∠DBE， 在△ABC和△BDE中， ， ∴△ABC≌△BDE（AAS）， ∴AC＝BE， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， 故选：B． 9．解：在直角三角形中，是直角， ∴； 故答案为. 10．解：∵， ∴ 故答案为60. 11．解：∵长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm， 由勾股定理可知：长方形的另一条边cm ∴长方形的面积为：6×8=48 cm2. 故答案为：48. 12．解:如图， ∵正方形PQED的面积等于225， ∴即PQ2=225, ∵正方形PRGF的面积为289， ∴PR2=289， 又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得： PR2=PQ2+QR2， ∴QR2=PR2−PQ2=289−225=64， ∴QR=8， 即字母A所代表的正方形的边长为8. 13．解：作DE⊥AB于E， 由勾股定理得，AB＝15， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（AAS） ∴CD＝ED，AE＝AC＝9， ∴BE＝AB﹣AE＝6， 在Rt△BED中，BD2＝DE2+BE2，即BD2＝（12﹣BD）2+62， 解得，BD＝， 故答案为：cm． 14．解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3， 由勾股定理得：AB=5， ∵△ABC≌△EDB， ∴DE=AB=5. 15．解:∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠C=90°， ∴∠B+∠BAC=90°. ∵α+β＝∠B， ∴∠DAE=α+β+∠BAC==∠B+∠BAC=90°. ∴△ADE是直角三角形. ∴DE=5. 故答案为：5 16．解:设AB边上的高为h 如图，由网格的特点得： 解得 故答案为：． 17．解：，线段， 在中， 由题意可知：， ∴． 18．解：依题意。 ∵ ∴ ∴小明家距离体育中心为． 19．解：∵四边形是“垂美”四边形， ∴， 则 ∵ ∴． 20．解:（1）由勾股定理得：； （2）中，为斜边上的高， 的面积， ， ． 21．（1）解：∵，，， ∴， ∴楼房的高度为； （2）由题可得， ∴， ∴彩带的长度为． 22．（1）解：延长交的延长线于点，如图，    ， ，， 为中点， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ； （2）过点作，如图，    ，， ， ． 23．（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$