专题03 相反数和绝对值重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题03 相反数和绝对值重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 相反数的辨别与定义 题型二 判断是否互为相反数 题型三 利用相反数的意义化简多重符号 题型四 相反数与数轴的综合 题型五 绝对值的意义 题型六 求一个数的绝对值 题型七 化简绝对值 题型八 绝对值非负性解题 题型九 绝对值方程 题型十 绝对值的其他应用 知识点1：相反数的概念 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 知识点2：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 知识点3：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 知识点4：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 知识点5：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 知识点6：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 知识点7：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【经典例题一 相反数的辨别与定义】 【例1】（23-24七年级·江苏·假期作业）下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 1．（22-23七年级上·天津宝坻·期中）下列说法不正确的是（    ） A．互为相反数的两个数到原点的距离相等 B．所有的有理数都有相反数 C．正数和负数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数 2．（2023七年级上·全国·专题练习）用“”与“”表示一种法则：，，如，则 ． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）有下列各数：5，0，，． (1)写出这些数的相反数； (2)将这些数及它们的相反数都表示在同一条数轴上； (3)再按从大到小的顺序排列，并用“”连接； (4)写出比这些数都小的最大整数和比这些数都大的最小整数（直接写出答案）． 【经典例题二 判断是否互为相反数】 【例2】（23-24七年级上·广东江门·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 1．（23-24七年级·全国·假期作业）下列各对数中互为相反数的是（　　） A．+（-2）和-2 B．-（+2）和-2 C．-（-2）和+（-2） D．-|+2|和-|-2| 2．（23-24七年级·全国·课后作业）在研究有理数的相反数时，同学们有如下结论：①有理数a的相反数是负数；②在数轴上，如果两个数所对应的点到原点的距离相等，且位于原点两侧，那么这两个数互为相反数；③符号不同的两个数，一定互为相反数；④非负数的相反数等于它本身.其中错误的结论是 (填序号） 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各对数，并指出哪些互为相反数： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【经典例题三 利用相反数的意义化简多重符号】 【例3】（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列各组数中，不相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 1．（23-24九年级下·贵州六盘水·阶段练习）计算： 的结果的相反数是（    ） A．7 B． C．1 D． 2．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）化简：﹣（+）＝ ，﹣|﹣|＝ ，+（﹣8）＝ ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）阅读理解：因为a的相反数是-a，所以①为+2的相反数，故-（+2）=-2；②为-2的相反数，故.即利用相反数的意义可以对多重符号进行化简. 化简：（1）；（2）；（3）；（4）. 【经典例题四 相反数与数轴的综合】 【例4】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）已知a、b在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b从小到大排列正确的一组是（　　）    A．﹣a＜﹣b＜a＜b B．﹣b＜﹣a＜a＜b C．﹣b＜a＜b＜﹣a D．a＜﹣b＜b＜﹣a 2．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，A，B，C三点所表示的有理数分别为a，b，c，那么，b，－c的大小关系是 （用“>”连接）． 3．（23-24七年级上·江西宜春·期末）如图，在一条不完整的数轴上一动点向左移动5个单位长度到达点，再向右移动9个单位长度到达点． （1）①若点表示的数为0，则点、点表示的数分别为： 、 ； ②若点表示的数为1，则点、点表示的数分别为： 、 ； （2）如果点、表示的数互为相反数，求点表示的数． 【经典例题五 绝对值的意义】 【例5】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在数轴上，下列数表示的点离原点最远的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）A、B两点在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b．对于以下结论： 甲：；    乙：； 丙：；        丁： 其中正确的是（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．丙和丁 D．乙和丁 2．（23-24七年级上·湖南常德·期中）已知：，，且，则的值是 ． 3．（23-24七年级上·陕西西安·期末）（1）基础回顾：数轴上表示有理数1和5的两点之间的距离是_______；表示有理数和5两点之间的距离是_______． （2）新定义：一般的，在数轴上有一个点A，另一个点B到这个点的距离叫做栋梁距离，则点B叫做点A在该栋梁距离时的求知点，点B对应的数叫做求知数．例如．数轴上表示2的点，在栋梁距离为3时对应的求知数为和5，在栋梁距离为1时对应的求知数为1和3，在栋梁距离为0时对应的求知数是2． 请根据定义回答下列问题： ①数轴上表示有理数3的点在栋梁距离为1时对应的求知数是_______． ②数轴上表示有理数的点在栋梁距离为0时对应的求知数是_______； 学以致用： ③在数轴上，点A是点C在栋梁距离为m时的求知点，有理数m对应的点是点B在栋梁距离为6时的求知点，是否存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件？若存在，求出点B对应的数；若不存在，请说明理由． ④若将③中的语句改成：在数轴上，点A与点C的距离为m，点B与有理数m对应的点的距离为6，是否存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件？若存在，求出点B对应的数；若不存在，请说明理由．请问，③的结论___________（填一定成立或不一定成立或一定不成立） 【经典例题六 求一个数的绝对值】 【例6】（2024·江苏徐州·模拟预测）“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 1．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）已知，，且，则的值是（    ） A．-8 B．-2 C．-2或-8 D．2或-8 2．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）已知，则a的绝对值为 ． 3．（22-23七年级上·北京西城·期中）已知点，点，点是数轴上的三个点，若点到原点的距离等于点，点到原点距离的和的2倍，则称点为点和点的“2倍点”． (1)已知点表示1，点表示，下列各数，，0，6在数轴上所对应的点分别是，，，，其中是点和点的“2倍点”的有_______； (2)已知点表示，点表示，点为点和点的“2倍点”，且点到原点的距离为10，求的值； (3)已知点表示，将点沿数轴负方向移动3个单位长度，得到点．当点为点和点的“2倍点”时，直接写出点与点的距离（用含的式子表示）． 【经典例题七 化简绝对值】 【例7】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·北京丰台·期中）已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c﹣b|的结果是（　　） A．a+b B．a+c C．c﹣a D．a+2b﹣c 2．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）有理数、、在数轴上的位置如图，化简： ． 3．（22-23七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题；    (1)数轴上表示2和的两点之间的距离为 ． (2)数轴上表示和两点之间的距离为 ，若表示一个有理数，且，则 ． (3)数轴上从左到右的三个点所对应的数分别为．其中，如图2所示．    ①若以为原点，写出点所对应的数，并计算的值． 若是原点，且，求的值． 【经典例题八 绝对值非负性解题】 【例8】（23-24六年级下·上海浦东新·期中），则的值是（    ） A． B． C． D．1 1．（23-24七年级上·湖北·期中）若，则可能的值个数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）已知，且，则 ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）我们知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：   （1）________． （2）若，且为整数，则________． （3）由以上探索猜想：对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有说明理由． 【经典例题九 绝对值方程】 【例9】（2024·安徽合肥·二模）若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）适合的整数的值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）关于的方程的解是 ． 3．（23-24七年级上·甘肃白银·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示5和2的两点之间的距离是 ； ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ； ③数轴上表示和3的两点之间的距离是 ； (2)归纳： 一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ． (3)应用： ①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么 ； ②若数轴上表示数a的点位于0与1之间，求的值； 【经典例题十 绝对值的其他应用】 【例10】（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）数轴上有，，，，五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且．若数轴上有一点，所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（    ） A．在，之间 B．在，之间 C．在，之间 D．在，之间 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）点A，B在数轴上分别表示有理数a、b．A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： ①数轴上表示1和3两点之间的距离是 ； ②x表示一个有理数，且，则有理数x的值是 ． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值； ②求代数式的最小值． 1．（23-24六年级上·山东淄博·期中）下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C．若，则与相等 D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 2．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知有理数a，b，c满足，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 3．（23-24七年级上·天津静海·阶段练习）下列说法正确的个数是（    ） ①正有理数和负有理数统称有理数； ②一个有理数不是整数就是分数； ③正整数和负整数统称为整数； ④如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）若的值恒为一定值，则此定值为（　　） A． B．5 C． D．1 5．（22-23七年级上·江苏宿迁·阶段练习）能使式子成立的数是（    ） A．任意一个负数 B．任意一个正数 C．任意一个数 D．任意一个非正数 6．（2024七年级·全国·竞赛）为互不相等的有理数，且最小，最大，若，则从小到大排列的顺序为 ． 7．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，则的所有可能值 ． 8．（23-24七年级上·河南南阳·期中）数轴上表示和1的两点之间的距离为，则的最小值是 ，当取得最小值时，的取值范围是 ． 9．（23-24七年级上·广东珠海·期中）如果都是不为0的有理数，则代数式的值是 ． 10．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值，例如：点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，则点A、B两点间的距离表示为，利用上述结论，回答以下问题： （1）若点A在数轴上表示，点B在数轴上表示1，那么 ； （2）对于任何有理数x，的最小值是 ； （3）对于任何有理数x，当 时，有最小值是 ． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）写出下列各数的绝对值． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）3 12．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，请回答问题： (1)①若，，则、两点之间的距离是多少？ ②若，，则、两点之间的距离是多少？ ③若，，则、两点之间的距离是多少？ (2)若数轴上A、B两点之间的距离为d，写出d与a、b满足的关系式； (3)若的几何意义是：数轴上表示数3的点与表示数6的点之间的距离，写出的几何意义； (4)若，化简：． 13．（24-25七年级上·全国·随堂练习）世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 14．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点分别表示有理数， (1)若点B是线段的中点，且，，则_____; (2)若点A在原点O右侧，点B，C在原点O左侧，且，化简． 15．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知数轴上的两点A，所表示的数分别是和，为数轴上的原点，如果有理数，满足．    (1)请直接写出和的值，_______，_______； (2)若点是一个动点，以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，请问经过多长时间，点恰巧到达线段的三等分点？ (3)若点是线段的中点，点以每秒3个单位长度的速度从点开始向右运动，同时点以每秒5个单位长度的速度从点A出发向右运动，点以每秒4个单位长度的速度从点开始向左运动；点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相反数和绝对值重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 相反数的辨别与定义 题型二 判断是否互为相反数 题型三 利用相反数的意义化简多重符号 题型四 相反数与数轴的综合 题型五 绝对值的意义 题型六 求一个数的绝对值 题型七 化简绝对值 题型八 绝对值非负性解题 题型九 绝对值方程 题型十 绝对值的其他应用 知识点1：相反数的概念 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 知识点2：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 知识点3：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 知识点4：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 知识点5：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 知识点6：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 知识点7：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【经典例题一 相反数的辨别与定义】 【例1】（23-24七年级·江苏·假期作业）下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0进行解答即可． 【详解】解：和互为相反数，则①正确； 只有符号不同的两个数互为相反数，②错误； 0的相反数是0，所以互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数，③错误； 的相反数是，④错误； 0的相反数是0，一个数和它的相反数可能相等，⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0是解题的关键． 1．（22-23七年级上·天津宝坻·期中）下列说法不正确的是（    ） A．互为相反数的两个数到原点的距离相等 B．所有的有理数都有相反数 C．正数和负数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数 【答案】C 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：A. 互为相反数的两个数到原点的距离相等，正确，故本选项不符合题意； B. 所有的有理数都有相反数，正确，故本选项不符合题意； C. 绝对值相等的正数和负数互为相反数，故错误，符合题意； D. 在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数． 2．（2023七年级上·全国·专题练习）用“”与“”表示一种法则：，，如，则 ． 【答案】2018 【分析】根据新定义可得，，再计算即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题是一种新定义问题，间接考查了相反数的概念，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．解题的关键是根据题意掌握规律． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）有下列各数：5，0，，． (1)写出这些数的相反数； (2)将这些数及它们的相反数都表示在同一条数轴上； (3)再按从大到小的顺序排列，并用“”连接； (4)写出比这些数都小的最大整数和比这些数都大的最小整数（直接写出答案）． 【答案】(1)5的相反数是，0的相反数是0，的相反数是3，的相反数是 (2)见解析 (3) (4)比这些数都小的最大整数为，比这些数都大的最小整数为6 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，涉及相反数、有理数大小比较等知识，解题的关键是把这些数表示在数轴上． （1）根据相反数的定义即可得到答案； （2）将这些数及它们的相反数表示在同一条数轴即可； （3）根据数轴上表示的数，从右到左写出这些数，用连接即可； （4）根据数轴上表示的数，写出比小的最大整数，比5大的最小整数即可． 【详解】（1）解：5的相反数是，0的相反数是0，的相反数是3，的相反数是； （2）解：将它们表示在数轴上，如图： ； （3）解：用“”连接为：； （4）解：比这些数都小的最大整数为，比这些数都大的最小整数为6． 【经典例题二 判断是否互为相反数】 【例2】（23-24七年级上·广东江门·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数和化简多重符号等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．结合化简多重符号法则、绝对值性质进行化简，然后根据相反数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，，故两数不是相反数，不符合题意； B、，，两数互为相反数，符合题意； C、，，故两数不是相反数，不符合题意； D、，，故两数不是相反数，不符合题意． 故选：B． 1．（23-24七年级·全国·假期作业）下列各对数中互为相反数的是（　　） A．+（-2）和-2 B．-（+2）和-2 C．-（-2）和+（-2） D．-|+2|和-|-2| 【答案】C 【分析】根据相反数的定义和绝对值的意义对各选项进行判断． 【详解】A、+（-2）=-2，则+（-2）与-2相等，此选项错误； B、-（+2）=-2，则-（+2）与-2相等，此选项错误； C、-（-2）=2，+（-2）=-2，则-（-2）与+（-2）互为相反数，此选项正确； D、-|+2|=-2，-|-2|=-2，则-|+2|与-|-2|相等，此选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=-a．也考查了相反数． 2．（23-24七年级·全国·课后作业）在研究有理数的相反数时，同学们有如下结论：①有理数a的相反数是负数；②在数轴上，如果两个数所对应的点到原点的距离相等，且位于原点两侧，那么这两个数互为相反数；③符号不同的两个数，一定互为相反数；④非负数的相反数等于它本身.其中错误的结论是 (填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据相反数的定义和性质逐个分析即可. 【详解】①有理数a的相反数不一定是负数；错误； ②在数轴上，如果两个数所对应的点到原点的距离相等，且位于原点两侧，那么这两个数互为反数；正确； ③符号不同的两个数，不一定互为相反数；错误； ④0的相反数等于它本身；错误 故答案为①③④ 【点睛】考核知识点：相反数.理解相反数定义是关键. 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各对数，并指出哪些互为相反数： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1)3，与互为相反数 (2)1.2，，与互为相反数 (3)， (4)， 【分析】首先化简各对数，然后根据相反数的概念求解即可． 【详解】（1）， 所以与互为相反数； （2），， 所以与互为相反数； （3），， 所以与相等； （4），， 所以与相等． 【点睛】本题考查了多重符号的化简方法，一个数前面有偶数个“”号，结果为正，一个数前面有奇数个“”号，结果为负，0前面无论有几个“”号，结果都为0．只有符号不同的两个数互为相反数． 【经典例题三 利用相反数的意义化简多重符号】 【例3】（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列各组数中，不相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查化简多重符号，化简绝对值，根据多重符号的化简法则和绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，，两数相等，不符合题意； B、，，两数不相等，符合题意； C、，，两数相等，不符合题意； D、，，两数相等，不符合题意； 故选B． 1．（23-24九年级下·贵州六盘水·阶段练习）计算： 的结果的相反数是（    ） A．7 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先化简，然后根据相反数的定义进行解答即可. 【详解】解： ∵的相反数是 ∴的相反数是 故选：B 【点睛】本题考查了符号的化简，以及相反数的定义，掌握符号的化简是解题的关键. 2．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）化简：﹣（+）＝ ，﹣|﹣|＝ ，+（﹣8）＝ ． 【答案】 -8 【分析】根据绝对值以及相反数的定义解决此题． 【详解】解：﹣（+）=-； ﹣|﹣|＝﹣； +（﹣8）＝﹣8． 故答案为：；；﹣8． 【点睛】本题考查绝对值以及相反数的定义,熟练掌握绝对值以及相反数的定义是解题关键． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）阅读理解：因为a的相反数是-a，所以①为+2的相反数，故-（+2）=-2；②为-2的相反数，故.即利用相反数的意义可以对多重符号进行化简. 化简：（1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】根据相反数的意义，一个数的相反数，就是在这个数前面加上一个“-”，然后对（1）（2）（3）（4），分别进行化简即可. 【详解】解：（1）. （2）. （3） （4）. 【点睛】本题考查了相反数的意义，解题的关键是熟练掌握相反数的意义，注意不能漏掉一个符号. 【经典例题四 相反数与数轴的综合】 【例4】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征和应用，熟练掌握数轴的特性是解题的关键； 根据，C点所表示的数为x，求出A表示的数是多少，然后根据，求出B点所表示的数是多少即可． 【详解】点表示的数为x， 表示的数是， 点和点A表示的数互为相反数， 点所表示的数是， 故选：． 1．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）已知a、b在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b从小到大排列正确的一组是（　　）    A．﹣a＜﹣b＜a＜b B．﹣b＜﹣a＜a＜b C．﹣b＜a＜b＜﹣a D．a＜﹣b＜b＜﹣a 【答案】D 【分析】根据相反数的几何意义将-a、-b表示在数轴上，继而可从小到大排列． 【详解】如图所示：    把a、b、﹣a、﹣b从小到大排列为：a＜﹣b＜b＜﹣a． 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴、有理数的大小比较，解答本题的关键是结合数轴求解． 2．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，A，B，C三点所表示的有理数分别为a，b，c，那么，b，－c的大小关系是 （用“>”连接）． 【答案】|a|＞b＞﹣c 【分析】由题意可得，a＜0＜b＜c，且|b|＜|a|＜|c|，据此解答即可． 【详解】解：由题意得a＜0＜b＜c，且|b|＜|a|＜|c|， 故|a|＞b＞﹣c． 故答案为：|a|＞b＞﹣c 【点睛】本题考查了有理数在数轴上的表示、绝对值以及有理数大小比较，掌握有理数大小比较法则是解答本题的关键． 3．（23-24七年级上·江西宜春·期末）如图，在一条不完整的数轴上一动点向左移动5个单位长度到达点，再向右移动9个单位长度到达点． （1）①若点表示的数为0，则点、点表示的数分别为： 、 ； ②若点表示的数为1，则点、点表示的数分别为： 、 ； （2）如果点、表示的数互为相反数，求点表示的数． 【答案】（1）①-5,4；②-3，-8；（2）点B表示的数为-7 【分析】（1）①根据题意分别列出算式0−5和0−5+9，求得的值分别是点B、点C表示的数；②根据题意分别列出算式1−9+5和1−9，求得的值分别是点B、点A表示的数； （2）可设点A表示的数为x，则点B、点C表示的数分别为x−5和x+4，根据题意可列出方程x+ x+4=0，求出x，从而可求出x−5，即点B表示的数． 【详解】解：（1）①因为点表示的数为0，点向左移动5个单位长度到达点， 则有：0−5=−5， 所以点B表示的数为−5， 因为点向左移动5个单位长度到达点，再向右移动9个单位长度到达点， 则有：0−5+9=4， 所以点C表示的数为4； ②因为点表示的数为1，点B向右移动9个单位长度到达点， 所以点C向左移动9个单位长度到达点， 则有：1−9=−8， 所以点B表示的数为−8， 同理可得：−8+5=−3， 所以点A表示的数为−3； （2）解：设点A表示的数为x，则点B表示的数为x−5，点C表示的数为x+4， 由题意得：x+x+4=0， 解得：x=−2， 则x−5=−7， 所以点B表示的数为−7． 【点睛】本题考查了数轴、相反数的定义和有理数的运算，解题的关键是根据题意列出算式和方程，题目属于基础题，但容易出错，需要注意数轴上动点的移动方向． 【经典例题五 绝对值的意义】 【例5】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在数轴上，下列数表示的点离原点最远的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，绝对值的定义，根据绝对值越大的数表示的点离原点越远进行解答便可，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离． 【详解】解：∵， ∴离原点最远的是， 故选：A． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）A、B两点在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b．对于以下结论： 甲：；    乙：； 丙：；        丁： 其中正确的是（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．丙和丁 D．乙和丁 【答案】B 【分析】本题考查数轴及绝对值，根据所给数轴，得出a和b的取值范围即可解决问题．能根据所给数轴得出a，b的大小及绝对值的大小是解题的关键． 【详解】解：由所给数轴可知，，且， 所以，． 则， 故甲的结论正确． ， 即， 故乙的结论错误． 因为，且， 所以 又因为 所以， 故丙的结论正确． 因为，， 所以，， 则 故丁的结论错误． 故选：B． 2．（23-24七年级上·湖南常德·期中）已知：，，且，则的值是 ． 【答案】17或7 【分析】此题考查了绝对值的意义，有理数的减法，掌握相对应知识点是解题关键． 根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是0”，得出a和b的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴或， 当时，， 当时，， 故答案为； 17或7． 3．（23-24七年级上·陕西西安·期末）（1）基础回顾：数轴上表示有理数1和5的两点之间的距离是_______；表示有理数和5两点之间的距离是_______． （2）新定义：一般的，在数轴上有一个点A，另一个点B到这个点的距离叫做栋梁距离，则点B叫做点A在该栋梁距离时的求知点，点B对应的数叫做求知数．例如．数轴上表示2的点，在栋梁距离为3时对应的求知数为和5，在栋梁距离为1时对应的求知数为1和3，在栋梁距离为0时对应的求知数是2． 请根据定义回答下列问题： ①数轴上表示有理数3的点在栋梁距离为1时对应的求知数是_______． ②数轴上表示有理数的点在栋梁距离为0时对应的求知数是_______； 学以致用： ③在数轴上，点A是点C在栋梁距离为m时的求知点，有理数m对应的点是点B在栋梁距离为6时的求知点，是否存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件？若存在，求出点B对应的数；若不存在，请说明理由． ④若将③中的语句改成：在数轴上，点A与点C的距离为m，点B与有理数m对应的点的距离为6，是否存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件？若存在，求出点B对应的数；若不存在，请说明理由．请问，③的结论___________（填一定成立或不一定成立或一定不成立） 【答案】（1）4；8；（2）①2或4；②；③是存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件，此时点B对应的数为6；④是存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件，此时点B对应的数为6 【分析】本题主要考查了新定义，数轴上两点间的距离： （1）根据数轴上两点间的距离，即可求解； （2）①根据新定义，即可求解；②根据新定义，即可求解；③设点C表示的数为x，则点A表示的数为或，设点B表示的数为y，根据新定义，可得或，从而得到点A表示的数为或或或，然后根据对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件，可得点A表示的数的4种情况中，有2个相同，然后分类讨论，即可求解；④设点C表示的数为a，则点A表示的数为或，设点B表示的数为b，根据数轴上两点间的距离，可得点B与有理数m对应的点的距离为6，从而得到或，进而得到点A表示的数为或或或，再由对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件，可得点A表示的数的4种情况中，有2个相同，然后分类讨论，即可求解． 【详解】解：（1）数轴上表示有理数1和5的两点之间的距离是； 表示有理数和5两点之间的距离是； 故答案为：4；8 （2）①∵到数轴上表示有理数3的点的距离为1的点表示的数为2或4， ∴数轴上表示有理数3的点在栋梁距离为1时对应的求知数是2或4； 故答案为：2或4 ②数轴上表示有理数的点在栋梁距离为0时对应的求知数是； 故答案为： ③设点C表示的数为x，则点A表示的数为或， 设点B表示的数为y， ∵有理数m对应的点是点B在栋梁距离为6时的求知点， ∴或， 即或， ∴或， 或， 即点A表示的数为或或或， ∵对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件， ∴点A表示的数的4种情况中，有2个相同， ∵与不相等，与不相等， 当时，； 当时，，此时不符合题意，舍去； 当时，，此时不符合题意，舍去； 当时，，此时，不符合题意，舍去； 综上所述，是存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件，此时点B对应的数为6； ④设点C表示的数为a，则点A表示的数为或， 设点B表示的数为b， ∵点B与有理数m对应的点的距离为6， ∴或， 即或， ∴或， 或， 即点A表示的数为或或或， ∵对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件， ∴点A表示的数的4种情况中，有2个相同， ∵与不相等，与不相等， 当时，； 当时，，此时不符合题意，舍去； 当时，，此时不符合题意，舍去； 当时，，此时，不符合题意，舍去； 综上所述，是存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件，此时点B对应的数为6． 【经典例题六 求一个数的绝对值】 【例6】（2024·江苏徐州·模拟预测）“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 【答案】D 【详解】此题考查的是有理数的比较大小及绝对值的概念，熟练掌握有理数大小比较方法是解题的关键； 根据有理数的比较大小，即可找出最小的数. 解：∵，，， 最小的数是. 故选：D. 1．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）已知，，且，则的值是（    ） A．-8 B．-2 C．-2或-8 D．2或-8 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义得到m＝±3，n＝±5，由于|m+n|＝m+n，则m+n>0，于是m＝3，n＝5或m＝﹣3，n＝5，然后分别代入m﹣n中计算即可． 【详解】解：∵|m|＝3，|m|＝5， ∴m＝±3，n＝±5， ∵|m+n|＝m+n， ∴m+n>0， ∴m＝3，n＝5或m＝﹣3，n＝5， ∴m﹣n＝﹣2或﹣8． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a． 2．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）已知，则a的绝对值为 ． 【答案】1 【分析】先算出a的值，再计算a的绝对值即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 3．（22-23七年级上·北京西城·期中）已知点，点，点是数轴上的三个点，若点到原点的距离等于点，点到原点距离的和的2倍，则称点为点和点的“2倍点”． (1)已知点表示1，点表示，下列各数，，0，6在数轴上所对应的点分别是，，，，其中是点和点的“2倍点”的有_______； (2)已知点表示，点表示，点为点和点的“2倍点”，且点到原点的距离为10，求的值； (3)已知点表示，将点沿数轴负方向移动3个单位长度，得到点．当点为点和点的“2倍点”时，直接写出点与点的距离（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点，点到原点距离的和的2倍为6，再根据“2倍点”的定义求解即可； （2）根据题意可知点B、点A到原点的距离之和为5，由此得到，据此求解即可； （3）先根据左移减，求出点B表示的数，再根据“2倍点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得点，点到原点距离的和的2倍为， ∴在，，0，6四个数中只有和6到原点的距离为6， ∴其中是点和点的“2倍点”的有， 故答案为：； （2）解：∵点为点和点的“2倍点”，且点到原点的距离为10， ∴点B、点A到原点的距离之和为5， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得点B边上的数为， ∴点A，点B到原点的距离的2倍为， ∴点P到原点的距离为， ∴点P表示的数为或， ∴点P到点A的距离为或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，求一个数的绝对值，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键． 【经典例题七 化简绝对值】 【例7】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键．根据a、b在数轴上的位置进行化简即可． 【详解】解：根据a、b在数轴上的位置，得：且， ，， ． 故选A． 1．（23-24七年级上·北京丰台·期中）已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c﹣b|的结果是（　　） A．a+b B．a+c C．c﹣a D．a+2b﹣c 【答案】B 【分析】根据数轴上，正数大于0，负数小于0，右边的点表示的数总比左边是数大得出a、b、c的大小，再根据有理数加法法则和绝对值的性质化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴得：c<a<0<b，∣b∣>∣a∣, ∴a+b>0，c﹣b<0， ∴|a+b|﹣|c﹣b|=（a+b）+（c﹣b）=a+c， 故选：B． 【点睛】本题考查数轴、有理数加法法则、绝对值的性质，理解数轴相关知识，熟练掌握绝对值的性质是解答的关键． 2．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）有理数、、在数轴上的位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】 根据数轴得到 ，，即可判断， ，，，根据绝对值性质求解即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得， ，， ∴， ，，， ∴原式， 故答案为． 【点睛】本题考查根据数轴去绝对值，解题的关键是根据数轴判断式子与0的关系及正数绝对值等于它本身，负数绝对值是它的相反数． 3．（22-23七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题；    (1)数轴上表示2和的两点之间的距离为 ． (2)数轴上表示和两点之间的距离为 ，若表示一个有理数，且，则 ． (3)数轴上从左到右的三个点所对应的数分别为．其中，如图2所示．    ①若以为原点，写出点所对应的数，并计算的值． 若是原点，且，求的值． 【答案】(1)3 (2)；6； (3)①；②或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、化简绝对值，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据两点间的距离公式进行计算即可，由得出，，再化简绝对值即可得到答案； （3）①先求出表示的数，代入进行计算即可；②分两种情况：当点在原点左侧时；当点在原点右侧时，分别进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示2和的两点之间的距离为， 故答案为：3； （2）解：数轴上表示和两点之间的距离为， ， ，， ， 故答案为：|；6； （3）解：①以为原点，， ，点表示的数为1000，点表示的数为， ，， ； ②当点在原点左侧时， ， 点表示的数为，即， ， 点表示的数为，点表示的数为， ，， ； 当点在原点右侧时， ， 点表示的数为，即， ， 点表示的数为，点表示的数为， ，， ； 综上所述，的值为或． 【经典例题八 绝对值非负性解题】 【例8】（23-24六年级下·上海浦东新·期中），则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先根据绝对值非负性的性质求得的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的性质、代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值非负性的性质是解题的关键． 1．（23-24七年级上·湖北·期中）若，则可能的值个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据a+b+c=0，所以a，b，c三个数中可能有2个负1个正或1个负2个正，分别化简，即可解答． 【详解】解：∵a+b+c=0， ∴a，b，c三个数中可能有2个负1个正或1个负2个正， （1）a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1+1-1-1=0； （2）当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1-1+1+1=0． 故选A． 【点睛】本题考查了绝对值，解决本题的关键是确定a，b，c的正负． 2．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】先根据绝对值的性质求出a和b的具体值，再代入所求式子即可． 【详解】解：， ， ， ， 即， ， 当时，， 当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是绝对值的性质，这里要注意到a和b的取值范围，正确得到所求值再代入计算即可． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）我们知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：   （1）________． （2）若，且为整数，则________． （3）由以上探索猜想：对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有说明理由． 【答案】（1）；（2），，，，，，，，，，；（3）有最小值．最小值为 【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了． （2）要求的整数值可以进行分段计算，令或时，分为段进行计算，最后确定的值． （3）根据（2）的方法去绝对值，分为种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值． 【详解】解：（1）原式 ； （2）令或时，则或， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ， ，，，，，，，，； 当时， ， ， ， ， 综上所述，符合条件的整数有：，，，，，，，，，，； （3）有最小值．最小值为， 理由是：∵理解为：在数轴上表示到和的距离之和， ∴当在与之间的线段上（即）时： 即的值有最小值，最小值为． 【点睛】此题主要考查了数轴，绝对值的意义，分类探讨，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性． 【经典例题九 绝对值方程】 【例9】（2024·安徽合肥·二模）若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是注意分类讨论．分三种情况：当时，当时，当时，分别求出m的范围，即可得出答案． 【详解】解：当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 综上分析可知：当时，方程无解； 故选：D． 1．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）适合的整数的值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查解绝对值方程，可理解为到和5的距离的和，由此可得出的值，进而可得出答案． 【详解】解：， 该方程表示到和5的距离的和为12， ， ， 整数的值有，，0，1，共4个， 故选C． 2．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）关于的方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解绝对值方程．分，和时三种情况讨论，分别列得方程，再解方程可得． 【详解】解：当时， ，解得； 当时, ，此方程无解； 当时, ，解得； 故答案为：或． 3．（23-24七年级上·甘肃白银·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示5和2的两点之间的距离是 ； ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ； ③数轴上表示和3的两点之间的距离是 ； (2)归纳： 一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ． (3)应用： ①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么 ； ②若数轴上表示数a的点位于0与1之间，求的值； 【答案】(1)①3②4③7 (2) (3)①10或② 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义，两点间距离的求法是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式，可得答案；②根据两点间的距离公式，可得答案；③根据两点间的距离公式，可得答案； （2）根据两点间的距离公式，可得答案； （3）①根据两点间的距离公式，可得答案；②根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案． 【详解】（1）解：①数轴上表示5和2的两点之间的距离是； ②数轴上表示和的两点之间的距离是； ③数轴上表示和3的两点之间的距离是； 故答案为：3；4；7； （2）解：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． 故答案为：； （3）解：①， 或， 或， 故答案为：10或； ② a的点位于0与1之间， ， ， ． 【经典例题十 绝对值的其他应用】 【例10】（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将式子转化为按值大小排序排列，观察可发现，取最中间的值就是式子的最小值，即可求出答案. 【详解】解： 当时，有最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值的化简计算，解题的关键在于明确绝对值的化简法和明确式子中要求取得最小值的意思. 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）数轴上有，，，，五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且．若数轴上有一点，所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（    ） A．在，之间 B．在，之间 C．在，之间 D．在，之间 【答案】B 【分析】根据O、A、B、C、五个点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：点A表示的数为-5，点B表示的数为3，点C表示的数为-1，点D表示的数为d，且AC=BC ∵， ∴MD=BD， 又∵-5＜d＜-1＜3 ∴M点介于O、C之间， 故选：B． 【点睛】本题考查的是数与数轴，利用数形结合思想解题是关键． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）点A，B在数轴上分别表示有理数a、b．A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： ①数轴上表示1和3两点之间的距离是 ； ②x表示一个有理数，且，则有理数x的值是 ． 【答案】 2 －5或3 【分析】（1）根据数轴可直接得出答案； （2）根据绝对值的几何意义，结合数轴进行求解即可． 【详解】解：（1）如图，由数轴可知，表示1和3两点之间的距离是2； （2）由题意可知，的意义为：x到2的距离加上x到－4的距离等于8， ∴由数轴可知，当x＝－5或x＝3时，x到2的距离加上x到－4的距离等于8，即此时， 故答案为：（1）2；（2）－5或3． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，注意掌握数形结合思想的应用． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值； ②求代数式的最小值． 【答案】（1）5，x，4；（2）或；（3）①的最小值为6；②的最小值为7 【分析】（1）根据绝对值的意义即有理数的加减法法则计算即可； （2）利用绝对值的双值性建立方程求解即可； （3）根据材料正确理解计算即可． 【详解】解：（1）， 表示表示数x和数4这两点的距离， 故答案为：5，x，4； （2）， ， 或， 解得：或； （3）①由探究材料3得，当时，有最小值，最小值为6． ， ∴最小值为6． ②由探究材料3得，这是在求点x到、、三点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为7， ． 的最小值为7． 【点睛】本题考查数轴上点与点之间的距离，解题的关键是掌握数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于及分类思想的应用． 1．（23-24六年级上·山东淄博·期中）下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C．若，则与相等 D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据绝对值的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，，不是负数，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、若，则与相等或互为相反数，则此项错误，不符合题意； D、因为正数和0的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数，此项正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知有理数a，b，c满足，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】根据推出，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 3．（23-24七年级上·天津静海·阶段练习）下列说法正确的个数是（    ） ①正有理数和负有理数统称有理数； ②一个有理数不是整数就是分数； ③正整数和负整数统称为整数； ④如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据有理数的相关概念、绝对值的性质分析判断即可． 【详解】解：①有理数包括正有理数、负有理数和0，故该说法错误； ②一个有理数不是整数就是分数，该说法正确； ③整数包括正整数、负整数和0，故该说法错误； ④如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数或0，故该说法错误． 综上所述，说法正确的有②，合计1个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的概念和分类、绝对值等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 4．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）若的值恒为一定值，则此定值为（　　） A． B．5 C． D．1 【答案】A 【分析】分类讨论x的范围，利用绝对值的代数意义化简，根据原式的值恒为定值，确定出所求即可． 【详解】解：当时，，，， 原式＝ ； 当时，，，， 原式＝ ； 当时，，，， 原式＝ ； 当时，，，， 原式＝ ； ∵原式的值恒为一定值， ∴此定值为． 故选：A． 【点睛】此题考查了绝对值，整式的加减，利用了分类讨论的思想，熟练掌握绝对值的代数意义及运算法则是解本题的关键． 5．（22-23七年级上·江苏宿迁·阶段练习）能使式子成立的数是（    ） A．任意一个负数 B．任意一个正数 C．任意一个数 D．任意一个非正数 【答案】D 【分析】分当时，当时，当时，三种情况去绝对值，看方程是否有解即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴，这与事实矛盾，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴，这与事实矛盾，不符合题意； 当时， ∵， ∴，等式恒成立，符合题意； 综上所述，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了解绝对值方程，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 6．（2024七年级·全国·竞赛）为互不相等的有理数，且最小，最大，若，则从小到大排列的顺序为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数比较大小法则是解题的关键； 作差法比较大小时，先求出两个代数式的差，然后通过判断差与0的大小关系来确定原代数式的大小关系． 【详解】为互不相等的有理数，且最小，最大， 、、， 化简得： 即 ，即 从小到大排列顺序为， 故答案为： 7．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，则的所有可能值 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查绝对值的化简，有理数的除法，分类讨论是解题的关键．分为；；；四种情况讨论即可． 【详解】解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 故答案为：或． 8．（23-24七年级上·河南南阳·期中）数轴上表示和1的两点之间的距离为，则的最小值是 ，当取得最小值时，的取值范围是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了绝对值的意义，分三种情况：当时，当时，当时，分别化简绝对值求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：当时，，， ， 当时，，， ， 当时，，， ， 的最小值是4，此时的取值范围是， 故答案为：4，． 9．（23-24七年级上·广东珠海·期中）如果都是不为0的有理数，则代数式的值是 ． 【答案】或3 【分析】此题要分三种情况进行讨论：当都是正数；当中有一负一正；当都是负数；分别进行计算． 【详解】解：当都是正数， 当中有一负一正，， 或； 当都是负数，． 故代数式的值是或3． 故答案为：或3． 【点睛】此题主要考查了绝对值，以及有理数的乘除法，关键是要分清分几种情况，然后分别进行讨论计算． 10．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值，例如：点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，则点A、B两点间的距离表示为，利用上述结论，回答以下问题： （1）若点A在数轴上表示，点B在数轴上表示1，那么 ； （2）对于任何有理数x，的最小值是 ； （3）对于任何有理数x，当 时，有最小值是 ． 【答案】 3 5 2 4 【分析】（1）直接根据求解即可； （2）根据绝对值的意义即可求解； （3）同样根据绝对值的几何意思求解即可． 【详解】解：（1）点A在数轴上表示，点B在数轴上表示1， ， 故答案为：； （2）根据绝对值的意义知是到和的距离之和， 当有理数x的范围在和之间时，取到最小值为：5； 故答案为：5； （3）的几何意义是：数轴上表示数的点到表示、2、3的三点的距离之和，只有当时，距离之和才是最小为：4． 故答案为：2，4． 【点睛】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值方程，熟练掌握数轴上两点距离及绝对是解题是关键． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）写出下列各数的绝对值． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）3 【答案】（1）1.5；（2）；（3）6；（4）；（5）3 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的性质分别进行求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． 12．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，请回答问题： (1)①若，，则、两点之间的距离是多少？ ②若，，则、两点之间的距离是多少？ ③若，，则、两点之间的距离是多少？ (2)若数轴上A、B两点之间的距离为d，写出d与a、b满足的关系式； (3)若的几何意义是：数轴上表示数3的点与表示数6的点之间的距离，写出的几何意义； (4)若，化简：． 【答案】(1)①3;②3;③7 (2) (3)数轴上表示数2的点与表示数的点之间的距离 (4) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，熟练掌握去绝对值是解答本题的关键． （1）①根据数轴上两点间的距离公式计算即可；②根据数轴上两点间的距离公式计算即可；③根据数轴上两点间的距离公式计算即可； （2）写出数轴上两点间的距离公式即可； （3）根据绝对值的几何意义解答即可； （4）根据条件，分情况讨论即可去绝对值化简可得结果． 【详解】（1）解：①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； （2）解：若数轴上、两点之间的距离为，则有： ； （3）解：的几何意义为：数轴上表示数2的点与表示数的点之间的距离； （4）解：， ，， 当，时，，， 原式， 当，时，，， 原式， 综上分析，若，． 13．（24-25七年级上·全国·随堂练习）世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)在这六个乒乓球中，优等品是二号球、四号球、五号球，共3个；合格品是三号球、六号球，共2个；不合格品是一号球，共1个；理由见解析 【分析】本题考查了绝对值的意义及应用，熟练掌握相关知识是解题的关键； 判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关．由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量．据此进行判断即可． 【详解】（1）解：四号球，正好等于标准的质量， 五号球，，比标准球轻克， 二号球，，比标准球重克． （2）解：在这六个乒乓球中，优等品是二号球、四号球、五号球，共3个；合格品是三号球、六号球，共2个；不合格品是一号球，共1个； 理由如下：一号球，，不合格， 二号球，，优等品， 三号球，，合格品， 四号球，，优等品， 五号球，，优等品， 六号球，，合格品． 14．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点分别表示有理数， (1)若点B是线段的中点，且，，则_____; (2)若点A在原点O右侧，点B，C在原点O左侧，且，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查数轴上两点距离关系，根据终端两线段列式求解即可得到答案； （2）本题根据数轴化简绝对值，根据数轴得到数字关系得到式子的正负，化简绝对值即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点B是线段的中点，数轴上点A，B，C，O分别表示有理数a，b，c，0， ∴b = ， 故答案为：； （2）解：由数轴可得， ， ∵， ∴， ∴，， ∴． 15．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知数轴上的两点A，所表示的数分别是和，为数轴上的原点，如果有理数，满足．    (1)请直接写出和的值，_______，_______； (2)若点是一个动点，以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，请问经过多长时间，点恰巧到达线段的三等分点？ (3)若点是线段的中点，点以每秒3个单位长度的速度从点开始向右运动，同时点以每秒5个单位长度的速度从点A出发向右运动，点以每秒4个单位长度的速度从点开始向左运动；点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；22 (2)经过2秒或4秒，点恰巧到达线段的三等分点 (3)存在，当运动的时间为3秒或秒时，会使得，此时点对应的数为7或 【分析】（1）根据非负数的性质，求出结果即可； （2）根据题意画出图形，分两种情况求出运动时间即可； （3）设运动的时间为秒，先求出点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，根据得出；分三种情况进行讨论，求出x的值，然后求出点P表示的数即可． 【详解】（1）解：， ，， ，． 故答案是：；22． （2）解：如图1所示：    图1 ， 的三等分点为，，所以点到达的三等分点是或， 情形①：， 则运动的时间； 情形②：， 则运动的时间． 因此经过2秒或4秒，点恰巧到达线段的三等分点． （3）解：存在；    图2 理由：设运动的时间为秒， 点对应的数为， 点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 则， ， 由得； ①当时，， 解得：， 此时点对应的数为； ②当时，， 解得且， 此时点对应的数为； ③当时，， 解得且，舍去； 综上可知，当运动的时间为3秒或秒时，会使得，此时点对应的数为7或． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，用数轴上点表示有理数，绝对值方程，数轴上的动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离，列出相应的算式或方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$