专题02 数轴重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题02 数轴重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 数轴的三要素及其画法 题型二 用数轴上的点表示有理数 题型三 利用数轴比较有理数的大小 题型四 有理数的大小比较 题型五 有理数大小比较的实际应用 题型六 数轴上两点之间的距离 题型七 数轴上点的覆盖问题 题型八 数轴上的动点问题 题型九 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型十 用数轴解决实际问题 知识点1：数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 【经典例题一 数轴的三要素及其画法】 【例1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）关于数轴下列作法最准确的是（    ） A．   B．     C．   D．   1．（22-23七年级上·河北邯郸·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）      A．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 C．小刚所在的位置对应的数有可能是 D．小颖和小红间的距离为7 2．（16-17七年级上·全国·课后作业）在数学中，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做 ，在直线上任取一点表示0，这个点叫做 ；通常规定直线上向右的方向为 ；选取适当的长度作为 ，数轴的三要素为 、 、 . 3．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数：并用“”连接．，，， ．    【经典例题二 用数轴上的点表示有理数】 【例2】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字0所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动（无滑动），那么数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母（    ）重合．    A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 1．（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）在数轴上，点表示的数是，向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，则点表示的数为（    ） A．8 B．2 C． D． 2．（23-24七年级上·重庆万州·期中）一个点从数轴上的原点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，……，移动次后，该点所对应的数是 ． 3．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、B都在数轴上，O为原点． (1)点A表示的数是______．点B表示的数是______； (2)若点B以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，则4秒后点B表示的数是______； (3)对折纸面使数轴上点A与点B重合，则同时表示的点与表示______的点重合． 【经典例题三 利用数轴比较有理数的大小】 【例3】（23-24七年级上·四川达州·期中）a、b在数轴上的位置如图所示，则a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·山西忻州·期中）已知两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）已知数，在数轴上的位置如图所示，则，，，的大小关系是 ． 3．（23-24七年级上·广东韶关·期中）有理数，，2，0， ； (1)在如图所示的数轴上表示以上各有理数； (2)并用“”号把它们按从小到大的顺序排列起来； (3)若点对应，点对应2，请找出到点、点距离相等的点表示的数． 【经典例题四 有理数的大小比较】 【例4】（23-24·江苏宿迁·模拟预测）当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 1．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期中）若，则的大小关系是 （   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·福建龙岩·阶段练习）对于一个数x，我们用表示小于x的最大整数，例如，， （1）填空： ； （2）如果和互为相反数，那么式子a+b最大值为 ． 3．（2021七年级上·全国·专题练习）（1）当a＞0时，a______－a；当a＝0时，a______－a；当a＜0时，a______－a． （2）请仿照（1）的方法，比较a和的大小关系． 【经典例题五 有理数大小比较的实际应用】 【例5】（2024·湖北恩施·一模）今年春节后有一段时间气候异常寒冷，某一天，北京、杭州、哈尔滨、金华四个城市的最低气温分别是，其中最低气温是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者，如，，则是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）下表是我市四个景区今年 2 月份某天 6 时的气温，其中气温最低的景区是    ． 景区 大洋湾 黄海森林公园 大纵湖 荷兰花海 气温 0℃ -0.8℃ -0.6℃ 0.2℃ 3．（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）一个水池安装有五根水管，有的专门放水，有的专门进水，如果用两根水管同时工作，将空池注满所用的时间如下表所示．(单位:小时) 如果用一根水管进水，要尽快把空池注满，那么应选用哪一根水管?请写明推理过程． 【经典例题六 数轴上两点之间的距离】 【例6】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为，则点表示的数为（    ）． A． B． C．或 D．或 1．（2020·北京顺义·一模）在数轴上，点A表示数a，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B表示数b．若|a|＝|b|，则a的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1 2．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）点、、是数轴上不重合的三个点，点表示的数为，点表示的数为3，若、、三个点中，其中一点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“和谐三点”，则符合“和谐三点”的点表示的数为 ． 3．（23-24七年级上·四川达州·期中）如图： (1)在数轴上标出数、、、所对应的点、、、； (2)、两点间距离=______；、两点间距离=______；、两点间距离______； (3)设数轴上两点、，点对应的数为、点对应的数为，（点在点的左侧），那么、两点之间的距离______； (4)若动点、分别从点、同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，则秒后、两点之间的距离是______． (5)有理数，在数轴上对应的位置如图所示，试简化：． 【经典例题七 数轴上点的覆盖问题】 【例7】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 1．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 2．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1厘米，若在这个数轴上随意画一条长为80厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是 个． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 【经典例题八 数轴上的动点问题】 【例8】（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图，点在数轴上表示的数是-8，点在数轴上表示的数是16．若点以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．问：当时，运动时间为多少秒？（   ） A．2秒 B．13.4秒 C．2秒或4秒 D．2秒或6秒 2．（23-24七年级上·北京房山·期末）点A从数轴上表示数2的点开始连续移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位；第二次先向左移动3个单位，再向右移动4个单位；第三次先向左移动5个单位，再向右移动6个单位…… （1）写出第五次移动后这个点在数轴上表示的数为 ； （2）写出第n次移动后这个点在数轴上表示的数为 ． 3．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）已知数轴上三点，，对应的数分别为，，，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)如果点到点，点的距离相等，那么的值是________； (2)数轴上是否存在点，使点到点，点的距离之和是？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由； (3)如果点以每秒个单位长度的速度从点向右运动时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么经过几秒，． 【经典例题九 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例9】（2024·北京石景山·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东汕头·期中）如下图所示，在数轴上的位置，用“”“”“”填空：    （） ； （） ． 3．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）有理数a，b在数轴上的位置如图所示． (1)说出a，b的正负性； (2)在数轴上分别用M，N表示两点； (3)若b与表示的数相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ (4)在（3）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位长度，则a与表示的分别是什么？ 【经典例题十 用数轴解决实际问题】 【例10】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行到达A村，继续向西骑行到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？ (2)邮递员一共骑行了多少千米？ 1、（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一辆货车从超市出发，向东走了2km，到达小刚家，继续向东走了3km到达小红家，又向西走了19km到达小英家，最后回到超市．请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km． (1)小英家在超市___________方向．小英家距超市___________千米； (2)小英家距小刚家有___________km． (3)货车一共行驶了多少千米？若每升油能走2km，走完此次行程，货车共用了多少升油？ 2、（23-24七年级上·广东深圳·期中）甲乙两队进行拔河比赛，标志物先向甲队方向移动0.5m，后向乙队方向移动了0.8m，相持一会后又向乙队方向移动0.5m，随后向甲队方向移动了1.5m在一片欢呼声中，标志物再向甲队方向移动1.2m．若规定只要标志物向某队方向移动2m，则该队即可获胜，那么现在甲队获胜了吗？用计算说明理由． 3、（23-24七年级上·重庆渝中·阶段练习）一辆货车从货场出发，向西走了千米到达批发部，继续向西走了千米到达商场，又向东走了千米到达超市，最后回到货场． (1)用一个单位长度表示千米，以东为正方向，货场为原点，画出数轴并在数轴上标明的位置； (2)超市距货场多远？ (3)货车一共行驶了多少千米？ 1．（22-23七年级上·浙江温州·期中）点、在同一条数轴上，其中点表示的数为1，若点到点的距离为4，则点表示的数是（    ） A．3 B．5 C．3或 D．5或 2．（22-23七年级上·天津南开·期末）如图，点A和B表示的数分别为a和b，下列式子中，不正确的是（　　）    A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） ①在3和4之间没有数； ②在0和之间没有负数； ③在9和10之间有无数个正数； ④数轴上，在表示和的两点之间的整数有6个． A．③ B．④ C．①②③ D．③④ 4．（22-23七年级上·江苏南京·期中）如图，数轴上的点分别表示数，，若，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 5．（22-23七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将数轴上左边部分按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合），则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示数字为（    ） （　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（23-24七年级上·天津河西·期中）在数轴上，到和两个点的距离相等的点所表示的数为 . 7．（23-24七年级上·北京海淀·期中）已知数轴上点A，B所对应的数分别是1，3，从点A出发向负方向移动2个单位长度得到点C，从点B出发向正方向移动2个单位长度得到点D，则点C，D之间的距离为 个单位长度． 8．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合：若数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数是 ． 9．（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）点从原点向距离原点左侧1个单位的点处跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此不断跳动下去，则第4次跳动后，P点（即表示的数）为 ．    10．（22-23七年级上·福建漳州·期末）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的特征值，记作，即，例如：当点P是线段的中点时，因为，所以．若数轴上的点P满足，则的值是 ． 11．（23-24七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）请画出一条数轴，把，，4，3在数轴上表示出来，并用“<”号连接起来 12．（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______用含的代数式表示； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点相遇？ 13．（23-24七年级上·陕西汉中·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以每秒4个单位长度的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒．    (1)当时，点Q到原点O的距离为_______________； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P到原点O的距离． 14．（23-24七年级上·北京门头沟·期末）已知数轴上点A，B对应的数分别为a，b，且，点P在线段上，点M为数轴上一动点，其对应的数为m．我们规定：点M到点P的距离的最小值为点M到线段的“到达距离”． (1)如图1，当点M与数轴上原点重合时， ①如果，那么点M到线段的“到达距离”是__________； ②如果点M到线段的“到达距离”是2，那么__________； (2)当点A对应的数a在之间（包含，3）时，如果点M到线段的“到达距离”始终大于3，直接写出m的取值范围． 15．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）如图根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：    (1)已知点A，B，C表示的数分别为1，，．观察数轴，在点A右侧且与点B到点A的距离相等的点表示的数是________． (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，若此数轴上M，N两点之间的距离为（M在N的左侧），且当A点与C点重合时，M点与N点也恰好重合，则点M表示的数是________，点N表示的数是________： (3)若数轴上P，Q两点间的距离为a（P在Q左侧），表示数b的点到P，Q两点的距离相等，将数轴折叠，当P点与Q点重合时，点P表示的数是________，点Q表示的数是________（用含a，b的式子表示这两个数）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数轴重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 数轴的三要素及其画法 题型二 用数轴上的点表示有理数 题型三 利用数轴比较有理数的大小 题型四 有理数的大小比较 题型五 有理数大小比较的实际应用 题型六 数轴上两点之间的距离 题型七 数轴上点的覆盖问题 题型八 数轴上的动点问题 题型九 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型十 用数轴解决实际问题 知识点1：数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 【经典例题一 数轴的三要素及其画法】 【例1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）关于数轴下列作法最准确的是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】C 【分析】根据数轴必须具备的三个要素：正方向、原点和单位长度逐项进行判断即可． 【详解】解：、数轴应该是一条直线，本选项的数轴左侧应该出头，故错误，不符合题意； 、本选项的数轴没有正方向，故错误，不符合题意； 、本选项的数轴具备数轴的三要素，正确，符合题意； 、本选项的数轴没有原点，故错误，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了数轴的定义，熟练掌握数轴的三要素：正方向、原点和单位长度，是解答本题的关键． 1．（22-23七年级上·河北邯郸·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）      A．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 C．小刚所在的位置对应的数有可能是 D．小颖和小红间的距离为7 【答案】C 【分析】根据数轴的定义：包含原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴，有理数的大小比较，数轴上两点之间距离：右边点表示的数减去左边点表示的数，即可判断． 【详解】解：A.小明所在的位置表示数，故此项结论正确； B.四人自南向北，且由南向北表示的数越来越大，所以向北为正方向，故此项结论正确； C.小刚所在的之位置对应的数在与之间，而在与之间，故此项结论错误； D.小颖和小红间的距离为，故此项结论正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数轴的定义，在数轴上比较两数大小，数轴上两点之间的距离，理解定义，能根据图形提供的信息解题是解题的关键． 2．（16-17七年级上·全国·课后作业）在数学中，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做 ，在直线上任取一点表示0，这个点叫做 ；通常规定直线上向右的方向为 ；选取适当的长度作为 ，数轴的三要素为 、 、 . 【答案】 数轴 原点 正方向 单位长度 原点 正方向 单位长度 【详解】数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线．在画数轴时，一般先画成一条水平的直线，再在直线上选取一点为原点，然后用箭头表示向右为正，最后根据需要选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为-1，-2，-3，…． 故答案为数轴，原点，正方向，单位长度，原点，正方向，单位长度. 3．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数：并用“”连接．，，， ．    【答案】数轴见解析， 【分析】根据数轴的定义补全即可；在数轴上标出各数，由右边点表示的数比左边点表示的数大进行比较即可求解． 【详解】解：如图所示：    在数轴上表示各数如下：    由数轴得： ． 【点睛】本题考查了数轴的定义，在数轴上标出数，利用数轴比较有理数大小，理解定义，掌握比较大小方法是解题的关键． 【经典例题二 用数轴上的点表示有理数】 【例2】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字0所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动（无滑动），那么数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母（    ）重合．    A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，一次求出与数，，，，…对应的点重合的字母，发现规律即可解决问题，能根据题中圆的运动方式，发现字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合，是解此题的关键． 【详解】解：圆的周长为4个单位长度， 将圆沿着数轴向右滚动（无滑动）时， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， …， 依次类推，字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合， 余， 数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母重合， 故选：D． 1．（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）在数轴上，点表示的数是，向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，则点表示的数为（    ） A．8 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上点的移动和数的大小变化规律：左减右加．求解即可． 【详解】解：由题意得: 则：-1-2+5=2， 所以C点表示的数为2． 故选：B． 【点睛】本题考查数轴上点的坐标变化和平移规律，掌握左减右加是解题的关键． 2．（23-24七年级上·重庆万州·期中）一个点从数轴上的原点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，……，移动次后，该点所对应的数是 ． 【答案】 【分析】根据题意可得每两次移动可看作向左移动一个单位长度，故可求解． 【详解】解：由一个点从数轴上的原点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，可得整体向左移动1个单位长度；再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，也可看作整体向左移动1个单位长度；……由此可得每两次可看作整体向左移动一个单位长度，所以移动2020次后，相当于整体向左移动个单位长度，故该点所对应的数为-1010； 故答案为． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上数的表示是解题的关键． 3．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、B都在数轴上，O为原点． (1)点A表示的数是______．点B表示的数是______； (2)若点B以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，则4秒后点B表示的数是______； (3)对折纸面使数轴上点A与点B重合，则同时表示的点与表示______的点重合． 【答案】(1)2，； (2)8； (3)； 【分析】（1）本题考查数轴上点的表示，根据数轴直接填写即可得到答案； （2）本题考查数轴上两点间距离的表示，根据路程等于速度乘以时间直接求解即可得到答案； （3）本题考查数轴上点的问题，根据对折找到中点，结合数轴上两点间距离关系即可得到答案； 【详解】（1）解：由数轴得， 点B表示的数是，点A表示的数是2， 故答案为：2，； （2）解：由题意可得， ， 故答案为：8； （3）解：由（1）得， 点A与点B的中点为：， ∴的点重合的点是：， 故答案为：． 【经典例题三 利用数轴比较有理数的大小】 【例3】（23-24七年级上·四川达州·期中）a、b在数轴上的位置如图所示，则a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴上有理数的大小比较，正负数，解题的关键是熟练掌握数轴上有理数的大小比较法则，根据数轴上的数，以右为正方向时，右边的数永远大于左边的数，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 1．（23-24七年级上·山西忻州·期中）已知两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据数轴判断b＜0＜a且 ＞，再根据有理数的加法、乘法、减法进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知，b＜0＜a且 ＞， 所以，ab＜0，，b－a＜0，a＋b＜0，因此只有B正确， 故选：B 【点睛】本题考查在数轴上比较数的大小，解题的关键是能根据数轴判断出b＜0＜a且 ＞． 2．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）已知数，在数轴上的位置如图所示，则，，，的大小关系是 ． 【答案】a＞-b＞b＞-a 【分析】首先根据图形，可得b＜0＜a，且|a|＞|b|，再根据一对相反数在数轴上分别在原点的左右两边，并且到原点的距离相等的特点，可得出-a，-b在数轴上的位置，然后根据数轴上，右边的数总大于左边的数，可得出结果． 【详解】根据图形可知：b＜0＜a，|a|＞|b|，则-a、-b在数轴上表示如图所示， ∴a＞-b＞b＞-a， 故答案为：a＞-b＞b＞-a． 【点睛】本题考查了相反数，数轴，有理数大小比较等，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 3．（23-24七年级上·广东韶关·期中）有理数，，2，0， ； (1)在如图所示的数轴上表示以上各有理数； (2)并用“”号把它们按从小到大的顺序排列起来； (3)若点对应，点对应2，请找出到点、点距离相等的点表示的数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由，在数轴上表示各有理数如图； （2）由（1）可知，； （3）根据数轴上两点之间的距离，结合数轴求解点、点距离相等的点表示的数即可． 【详解】（1）解：， 在数轴上表示各有理数如下： （2）解：由（1）可知，； （3）解：由数轴可知，到点、点距离相等的点表示的数为． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，数轴上两点之间的距离．解题的关键在于正确的在数轴上表示有理数并熟练运用数形结合的思想． 【经典例题四 有理数的大小比较】 【例4】（23-24·江苏宿迁·模拟预测）当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的大小比较， 熟知正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，根据可令求出的值，再比较大小即可，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】解： ∴令则 ， 故选：A． 1．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期中）若，则的大小关系是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可知，，从而得到结论． 【详解】解：， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查比较大小，结合，根据平方、倒数的定义确定范围是解决问题的关键． 2．（22-23七年级上·福建龙岩·阶段练习）对于一个数x，我们用表示小于x的最大整数，例如，， （1）填空： ； （2）如果和互为相反数，那么式子a+b最大值为 ． 【答案】 -2023 2 【分析】（1）（x]表示小于x的最大整数，依此即可求解； （2）分当a，b均为小数和当a，b均为整数时，根据（x]的定义求解即可． 【详解】解：（1）（-2022]=-2023； 故答案为：-2023； （2）当a，b均为有小数点时，如a=-1.6，(a]=-2=a-0.4，b=2.6，(b]=2=b-0.6， 我们发现从左到右a，b都需要减去一个小于1的小数， ∴如果(a]和(b]互为相反数，(a]+(b]=0=a-小数①+b-小数②化简：a+b=小数①+小数②； 当a，b均为整数，(a]=a-1，(b]=b-1， ∴(a-1)+(b-1)=0，(a]，(b]互为相反数， ∴a+b=2， 很明显，两个小于1的小数加起来是比2小的，所以2便是最大值． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，根据（x]的定义确其结果是解题的关键． 3．（2021七年级上·全国·专题练习）（1）当a＞0时，a______－a；当a＝0时，a______－a；当a＜0时，a______－a． （2）请仿照（1）的方法，比较a和的大小关系． 【答案】（1）＞，=，＜；（2）见详解． 【分析】（1）根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数即可得出答案； （2）根据有理数大小比较的方法，分a＞1、a=1、0＜a＜1、-1＜a＜0、a=-1、a＜-1六种情况分类判断即可求解． 【详解】解：（1）当a＞0时，a＞－a；当a＝0时，a=－a；当a＜0时，a＜－a． 故答案为：＞，=，＜； （2）当a＞1时，a＞；当a=1时，a=；当0＜a＜1时，a＜； 当-1＜a＜0时，a＞；当a=-1时，a=；当a＜-1时，a＜． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟知有理数大小比较的法则，根据题意正确分类是解题关键． 【经典例题五 有理数大小比较的实际应用】 【例5】（2024·湖北恩施·一模）今年春节后有一段时间气候异常寒冷，某一天，北京、杭州、哈尔滨、金华四个城市的最低气温分别是，其中最低气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较的知识，解答本题的关键是掌握有理数的大小比较法则．根据有理数的大小比较，即可作出判断． 【详解】解：， 故温度最低是， 故选：C． 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者，如，，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者”，先确定和，得到，再根据法则即可解答． 【详解】解：∵， ∴=，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了新定义中的有理数的大小比较，解题的关键是理解题中给出的运算法则． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）下表是我市四个景区今年 2 月份某天 6 时的气温，其中气温最低的景区是    ． 景区 大洋湾 黄海森林公园 大纵湖 荷兰花海 气温 0℃ -0.8℃ -0.6℃ 0.2℃ 【答案】黄海森林公园 【分析】根据正数大于0，负数小于0，正数大于任何负数，两个负数绝对值大的反而小比较即可. 【详解】解：∵-0.8<-0.6<0<0.2 ∴其中气温最低的景区是：黄海森林公园 故答案为黄海森林公园 【点睛】本题考查了有理数大小比较的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握有理数的大小比较方法，特别是两个负数的大小比较. 3．（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）一个水池安装有五根水管，有的专门放水，有的专门进水，如果用两根水管同时工作，将空池注满所用的时间如下表所示．(单位:小时) 如果用一根水管进水，要尽快把空池注满，那么应选用哪一根水管?请写明推理过程． 【答案】D最快，详见解析 【分析】分别比较各列的注水速度可得，即可进行判断． 【详解】解:比较第一列与第三列得注水速度:; 比较第一列与第五列得注水速度:; 比较第二列与第五列得注水速度:; 比较第二列与第四列得注水速度:; 较第三列与第四列得注水速度:． 所以，注水速度:最快． 【点睛】本题考查了有理数大小比较的实际应用，掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 【经典例题六 数轴上两点之间的距离】 【例6】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为，则点表示的数为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，继而求出点移动的距离，即可得出点表示的数，掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵长方形的面积为，边长为， ∴，点对应的数是， ∵移动后的长方形与原长方形 重叠部分的面积为， ∴阴影部分的面积为，，， 如图，当长方形向左平移时， 即， ∴， ∴表示的数为， 如图，当长方形向右平移时， 即， ∴， ∴， ∴， ∴表示的数为， ∴点表示的数为或， 故选：． 1．（2020·北京顺义·一模）在数轴上，点A表示数a，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B表示数b．若|a|＝|b|，则a的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1 【答案】B 【分析】由题意可得b＝a+4，可得|a|＝|a+4|，即可求解． 【详解】解：∵点A表示数a，将点A向右平移4个单位长度得到点B， ∴b＝a+4， ∵|a|＝|b|， ∴|a|＝|a+4|， ∴a＝a+4或a＝﹣a﹣4， 当a＝a+4时，无解， 当a＝﹣a﹣4时，a＝﹣2， 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，掌握去绝对值的方法是本题的关键． 2．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）点、、是数轴上不重合的三个点，点表示的数为，点表示的数为3，若、、三个点中，其中一点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“和谐三点”，则符合“和谐三点”的点表示的数为 ． 【答案】或或14 【分析】依据“和谐三点”的定义，分点P在点A的左侧，在A、B之间，在点B的右侧三种情形解答即可，数轴上两点间的距离等于两点表示的数的差，大减小． 【详解】解：设点P表示的数为x， ∵点A表示的数为，点B表示的数为3， ∴， 当点P在点A的左侧时， ∵A、B、P三个点是“和谐三点”， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P在A，B之间时， ∵A、B、P三个点是“和谐三点”， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P在点B的右侧时， ∵A、B、P三个点是“和谐三点”， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，符合“和谐三点”的点P表示的数为：或或14． 故答案为：或或14． 【点睛】本题主要考查了数轴，定义新概念等，解决问题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，定义的新概念的意义，分类讨论，解一元一次方程． 3．（23-24七年级上·四川达州·期中）如图： (1)在数轴上标出数、、、所对应的点、、、； (2)、两点间距离=______；、两点间距离=______；、两点间距离______； (3)设数轴上两点、，点对应的数为、点对应的数为，（点在点的左侧），那么、两点之间的距离______； (4)若动点、分别从点、同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，则秒后、两点之间的距离是______． (5)有理数，在数轴上对应的位置如图所示，试简化：． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3) (4) (5) 【分析】（1）在数轴上找出、、、即可； （2）两点之间的距离等于两点所表示的数之差的绝对值； （3）两点之间的距离等于两点所表示的数之差的绝对值； （4）根据题意求出与在秒后所表示的数，即可求出、之间的距离； （5）根据数轴比较、、、与的大小关系，然后化简即可． 【详解】（1）如图所示： （2）， ， ， 故答案为：，，； （3）； （4）由题意可知：秒后，点所走的路程为：，点所走的路程为：， 点、所表示的数分别为：，， 此时； （5）由数轴可知：， ∴，，，， ∴ 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的加减、数轴、绝对值、两点之间的距离公式．解题的关键是理解题意，数形结合． 【经典例题七 数轴上点的覆盖问题】 【例7】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 【答案】D 【分析】根据题意把长为1个单位长度的线段放在单位长度为1的数轴上，可能盖住2个或1个点，以此类推，找出规律即可解答． 【详解】解：个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 故答案为：D． 【点睛】此题考查了数轴规律题，解题的关键是根据题意分情况找出规律． 1．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 【答案】D 【分析】根据题意把长为1个单位长度的线段放在单位长度为1的数轴上，可能盖住2个或1个点，以此类推，找出规律即可解答． 【详解】解：个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 故答案为：D． 【点睛】此题考查了数轴规律题，解题的关键是根据题意分情况找出规律． 2．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1厘米，若在这个数轴上随意画一条长为80厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是 个． 【答案】80或81/81或80 【分析】分线段AB的端点与整点重合和不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度＋1，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论． 【详解】若线段AB的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若线段AB的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点． ∵80＋1＝81， ∴80厘米的线段AB盖住80或81个整点． 故答案为：80或81． 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或n＋1个整点，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 【答案】(1)2021或2020个 (2)1011或1010个 【分析】本题主要考查了数轴的应用．对于多解问题要注意分类讨论． （1）以线段的端点与数轴上的整点是否重合进行讨论可得结论． （2）先用，得出相当于多少个单位，再进行分类讨论即可得出结论． 【详解】（1）∵数轴的单位长度是1，， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有2019个整点． ∴线段共盖住了2021个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有2020个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为2021或2020个． （2）（个单位）， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有1009个整点． ∴线段共盖住了1011个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有1010个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为1011或1010个． 【经典例题八 数轴上的动点问题】 【例8】（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点距离．利用数轴，分类讨论即可求解． 【详解】解：已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且， 对应的数为：；故①是正确的； ，故②是正确的； 当时，，，故③是错误的； 在点的运动过程中，，故④是错误的； 故选：B． 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图，点在数轴上表示的数是-8，点在数轴上表示的数是16．若点以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．问：当时，运动时间为多少秒？（   ） A．2秒 B．13.4秒 C．2秒或4秒 D．2秒或6秒 【答案】C 【分析】分点B在右边，点A在左边和点B在左边，点A在右边两种可能．用t表示AB的长度，根据AB=8列方程求解即可． 【详解】设当时，运动时间为t秒， 根据题意A、B对应数字分别是：-8+6t和16-2t， 当点B在右边，点A在左边时，AB =16-2t-（-8+6t）=24-8t， ∵AB=8，∴24-8t＝8，∴t=2 当点B在左边，点A在右边时，AB =-8+6t -（16-2t）=-24+8t， ∵AB=8，∴-24+8t=8，∴t=4， ∴当时，运动时间为2秒或4秒 故选C． 【点睛】本题借助数轴考查一元一次方程的应用，和分类讨论的数学思想，确定数量关系是列方程解应用题的关键． 2．（23-24七年级上·北京房山·期末）点A从数轴上表示数2的点开始连续移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位；第二次先向左移动3个单位，再向右移动4个单位；第三次先向左移动5个单位，再向右移动6个单位…… （1）写出第五次移动后这个点在数轴上表示的数为 ； （2）写出第n次移动后这个点在数轴上表示的数为 ． 【答案】 7 n+2 【分析】（1）一点A从数轴上表示+2的点开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位，实际上点A最后向右移动了1个单位，则第一次后这个点表示的数为1+2=3；第二次先向左移动3个单位，再向右移动4个单位，实际上点A最后向右移动了1个单位，则第二次后这个点表示的数为2+2=4；根据前面的规律得到第五次移动后这个点在数轴上表示的数是5+2=7； （2）第n次移动后这个点在数轴上表示的数是n+2． 【详解】（1）第五次移动后这个点在数轴上表示的数是7； （2）第n次移动后这个点在数轴上表示的数是n+2． 故答案为： 7，n+2． 【点睛】本题考查了数轴、规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 3．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）已知数轴上三点，，对应的数分别为，，，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)如果点到点，点的距离相等，那么的值是________； (2)数轴上是否存在点，使点到点，点的距离之和是？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由； (3)如果点以每秒个单位长度的速度从点向右运动时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么经过几秒，． 【答案】(1)； (2)存在，或； (3)或． 【分析】（1）根据列出关于x的方程求解即可； （2）根据P点在N点右侧或在M点左侧分别求出即可； （3）设经过t秒，则点P表示的数为，点M表示的数为，点N表示的数为，得，求解即可． 【详解】（1）解：依题意得， 解得 故答案为： （2）存在，理由如下： 因为到，的距离之和是，所以不可能在中间， 当在左侧， ， 解得：； 当在的右边， ， 解得：， 故． （3）依题意得：点P表示的数为，点M表示的数为，点N表示的数为， 因为， ， 解得． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴；关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合法列出方程． 【经典例题九 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例9】（2024·北京石景山·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴可得，进而根据实数的运算法则即可判断求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴， ∴错误，正确， 故选：． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴上点对应的数确定代数式的符号，解答本题的关键是熟练掌握有理数的加法法则中对于符号的确定方法．同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． 根据a、b、c三个数的位置，结合有理数的加法法则逐项分析即可． 【详解】解：∵从数轴可知：，， ∴A．， ∴，正确，故本选项不符合题意； B．∵， ∴，正确，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴，错误，故本选项符合题意； D．∵，， ∴，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·广东汕头·期中）如下图所示，在数轴上的位置，用“”“”“”填空：    （） ； （） ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算，由数轴判断出符号和大小，根据有理数的运算法则即可求解，通过数轴判断出符号和大小是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，， 故答案为：，． 3．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）有理数a，b在数轴上的位置如图所示． (1)说出a，b的正负性； (2)在数轴上分别用M，N表示两点； (3)若b与表示的数相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ (4)在（3）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位长度，则a与表示的分别是什么？ 【答案】(1)a为正数，b为负数 (2)见解析 (3)b表示的数是，表示的数是10 (4)a表示的数是5，表示的数是 【分析】本题考查了数轴，相反数，正负数，数轴上两点之间的距离等知识： （1）根据原点右边的数是正数，原点左边的数是负数判断即可； （2）根据相反数的定义表示出即可； （3）根据b与表示的点相距20个单位长度即可求出b、表示的数； （4）根据数a表示的点与数b表示的点相距15个单位长度即可求出a、表示的数． 【详解】（1）由数轴得，数a在原点右边，故数a为正数，数b在原点左边，故数b为负数； （2）如图， ； （3）由题意，得， 解得， ∴， 即b表示的数是，表示的数是10； （4）由题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴a表示的数是5，表示的数是． 【经典例题十 用数轴解决实际问题】 【例10】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行到达A村，继续向西骑行到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？ (2)邮递员一共骑行了多少千米？ 【答案】(1)作图见解析，C村离A村有 (2)邮递员一共骑行了20千米； 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加法，数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的实际应用； （1）根据已知条件在数轴表示出三点，再根据两点间的距离公式即可解答； （2）列出加法算式计算即可； 【详解】（1）解：如下图： 答：C村离A村有； （2）解：， 答：邮递员一共骑行了20千米 1、（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一辆货车从超市出发，向东走了2km，到达小刚家，继续向东走了3km到达小红家，又向西走了19km到达小英家，最后回到超市．请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km． (1)小英家在超市___________方向．小英家距超市___________千米； (2)小英家距小刚家有___________km． (3)货车一共行驶了多少千米？若每升油能走2km，走完此次行程，货车共用了多少升油？ 【答案】(1)西边；14； (2)16 (3)货车一共行驶了38千米，共用了19升油 【分析】（1）以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，依此画出数轴．并在数轴上表示出小刚家、小红家、小英家的位置； （2）小英家距小刚家在数轴上的位置所表示的数的绝对值之和； （3）注意要用绝对值来表示距离，求出路程的和，然后求用的油即可． 【详解】（1）解：根据题意在数轴上表示如下： 小英家在超市西边方向，小英家距离超市14千米， 故答案为：西边；14； （2）小英家距小刚家有km， 故答案为：16； （3）根据题意得： 千米， 升． 货车一共行驶了38千米，货车共用了19升油． 【点睛】题目主要考查有理数在数轴上表示，有理数的加法及绝对值的意义及有理数的除法的应用，理解题意是解题关键． 2、（23-24七年级上·广东深圳·期中）甲乙两队进行拔河比赛，标志物先向甲队方向移动0.5m，后向乙队方向移动了0.8m，相持一会后又向乙队方向移动0.5m，随后向甲队方向移动了1.5m在一片欢呼声中，标志物再向甲队方向移动1.2m．若规定只要标志物向某队方向移动2m，则该队即可获胜，那么现在甲队获胜了吗？用计算说明理由． 【答案】甲没获胜． 【分析】可以把拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向，根据数轴表示数的方法求出标志物最后表示的数=0.5-0.8-0.5+1.5+1.2=1.9，即标志物向甲移了1.9m，由此判断甲没获胜． 【详解】拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向， 标志物最后表示的数=0.5-0.8-0.5+1.5+1.2=1.9， 即标志物向甲移了1.9m＜2m，由此判断甲没获胜． 考点：有理数的加减混合运算． 3、（23-24七年级上·重庆渝中·阶段练习）一辆货车从货场出发，向西走了千米到达批发部，继续向西走了千米到达商场，又向东走了千米到达超市，最后回到货场． (1)用一个单位长度表示千米，以东为正方向，货场为原点，画出数轴并在数轴上标明的位置； (2)超市距货场多远？ (3)货车一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)作图见详解 (2)千米 (3) 【分析】（1）根据数轴表示有理数的方法即可求解； （2）运用数轴求两点之间的距离的方法即可求解； （3）运用有理数的加减法运算即可求解． 【详解】（1）解：货车从货场出发，用一个单位长度表示千米，以东为正方向， ∴以货场为原点，根据题意，货车行驶到各点的位置如图所示，    （2）解：由（1）中数轴图示可知，超市距货场的距离为千米． （3）解：货车行驶的路程为． 【点睛】本题主要考查有理数加减法在实际中的运用，掌握数轴表示有理数的方法，数轴上求两点之间距离的方法，有理数加减法的运算等知识是解题的关键． 1．（22-23七年级上·浙江温州·期中）点、在同一条数轴上，其中点表示的数为1，若点到点的距离为4，则点表示的数是（    ） A．3 B．5 C．3或 D．5或 【答案】D 【分析】与点距离为4的点有两个，分别在点左侧4个单位长度和点右侧4个单位长度． 【详解】解：，， 点表示的数是5或， 故选：D． 【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法是解题的关键． 2．（22-23七年级上·天津南开·期末）如图，点A和B表示的数分别为a和b，下列式子中，不正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用a，b的位置，进而得出：，，即可分析得出答案． 【详解】解：如图所示：，， A、，正确，不合题意； B、，正确，不合题意； C、，故此选项错误，符合题意； D、，正确，不合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了数轴以及有理数混合运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键． 3．（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） ①在3和4之间没有数； ②在0和之间没有负数； ③在9和10之间有无数个正数； ④数轴上，在表示和的两点之间的整数有6个． A．③ B．④ C．①②③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据有理数和数轴上的相关概念判断即可． 【详解】①在3和4之间有数，故说法错误； ②在0和之间有负数，说法错误； ③在9和10之间有无数个正数，正确； ④数轴上，在表示和的两点之间的整数有6个，正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数和数轴，解题的关键是熟悉有理数和数轴的相关知识． 4．（22-23七年级上·江苏南京·期中）如图，数轴上的点分别表示数，，若，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴，由可得，结合算出值即可． 【详解】解：∵在数轴上， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数轴与有理数、数轴上两点之间的距离等知识，解题关键是由得到． 5．（22-23七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将数轴上左边部分按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合），则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示数字为（    ） （　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出数轴在此圆上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，3，2，1的点重合． 【详解】解：∵， ， ∴数轴上表示数﹣2014的点与圆周上的数字3重合． 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴，本题找到表示数的点与圆周上表示的数字重合是解题的关键． 6．（23-24七年级上·天津河西·期中）在数轴上，到和两个点的距离相等的点所表示的数为 . 【答案】2 【分析】根据数轴上两点的中点求法，即两数之和的一半，即可得到答案． 【详解】解：， 在数轴上，到和两个点的距离相等的点所表示的数为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握中点的求法是解题的关键． 7．（23-24七年级上·北京海淀·期中）已知数轴上点A，B所对应的数分别是1，3，从点A出发向负方向移动2个单位长度得到点C，从点B出发向正方向移动2个单位长度得到点D，则点C，D之间的距离为 个单位长度． 【答案】6 【分析】根据题意可以分别求得C、D对应的数，从而可求点C，D之间的距离． 【详解】解：由题意可得， 点C对应的数为：； 点D对应的数为：； ∴点C，D之间的距离为：， 故答案为：6 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数轴的特点解答． 8．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合：若数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数是 ． 【答案】 【分析】根据折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合，得到折痕点对应的数是，结合数轴上A、B两点之间的距离为10，得点A与的距离为5，解答即可． 【详解】根据折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合， ∴折痕点对应的数是， ∵数轴上A、B两点之间的距离为10， ∴点A与的距离为5， ∴点A表示的数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴上的折叠，两点间的距离，熟练掌握折叠的意义，和距离公式是解题的关键． 9．（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）点从原点向距离原点左侧1个单位的点处跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此不断跳动下去，则第4次跳动后，P点（即表示的数）为 ．    【答案】 【分析】解：根据题意可得第一次跳动到的中点处时，；第二次从点跳动到的中点处时，；第三次从点跳动到的中点处时，，第四次从点跳动到的中点处时，，最后结合线段的和差即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴第一次跳动到的中点处时，， 第二次从点跳动到的中点处时，， 第三次从点跳动到的中点处时，， 第四次从点跳动到的中点处时，， ∴第4次跳动后，， ∴点表示的数为． 故答案是：． 【点睛】本题考查了数轴上的找规律问题，此类题目在中考中经常出现，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的是解决问题的关键． 10．（22-23七年级上·福建漳州·期末）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的特征值，记作，即，例如：当点P是线段的中点时，因为，所以．若数轴上的点P满足，则的值是 ． 【答案】或 【分析】首先分类讨论P的位置，然后根据新定义，直接代值求解即可． 【详解】 因为，所以P在或处，所以，或 所以或 故答案为：或 【点睛】此题考查坐标轴上的动点问题，解题关键是分类讨论可能在的位置． 11．（23-24七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）请画出一条数轴，把，，4，3在数轴上表示出来，并用“<”号连接起来 【答案】，图见解析 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小，在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．先在数轴上表示各个数，再比较即可． 【详解】解：如图所示： 故． 12．（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______用含的代数式表示； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点相遇？ 【答案】(1)；． (2)当点运动秒时，点与点相遇． 【分析】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据题意得出各线段之间的等量关系是解题关键． （1）由题意知，，因为点在原点左边，从而得出数轴上点表示的数；动点从点出发沿数轴向左匀速运动，根据题意则得出点表示的数； （2）设点运动秒时追上点，根据题意列方程，解得值． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， 又∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； 点P运动t秒的长度为， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：． （2）设点运动秒时追上点， 根据题意，得，         解得：，                        答：当点运动秒时，点与点相遇． 13．（23-24七年级上·陕西汉中·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以每秒4个单位长度的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒．    (1)当时，点Q到原点O的距离为_______________； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P到原点O的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)2或6 【分析】本题考查了动点在数轴上的运动，正确分析题意并分类讨论，是解题的关键． （1）当时，先计算，小于8，则用8减去即可得； （2）当时，点运动的距离大于8，则用点运动的数值减去8即可； （3）当点到原点的距离为4时，分两种情况：向左运动时，向右运动时，分别计算即可． 【详解】（1）解：当时， 点到原点的距离为6； （2）当时，点运动的距离为 点到原点的距离为2； （3）当点到原点的距离为4时， 向左运动时，，则 ； 向右运动时 运动的距离是 运动时间 点到原点的距离为2或6． 14．（23-24七年级上·北京门头沟·期末）已知数轴上点A，B对应的数分别为a，b，且，点P在线段上，点M为数轴上一动点，其对应的数为m．我们规定：点M到点P的距离的最小值为点M到线段的“到达距离”． (1)如图1，当点M与数轴上原点重合时， ①如果，那么点M到线段的“到达距离”是__________； ②如果点M到线段的“到达距离”是2，那么__________； (2)当点A对应的数a在之间（包含，3）时，如果点M到线段的“到达距离”始终大于3，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①1；②或2 (2)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题： （1）①根据“到达距离”的定义，即可求解；②根据“到达距离”的定义，即可求解； （2）根据题意可得点B对应的数a在之间（包含0，5），再由“到达距离”的定义，可得或，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵点M与数轴上原点重合， ∴点M到线段的“到达距离”是1； 故答案为：1 ②∵点M到线段的“到达距离”是2， ∴或， ∴或2； 故答案为：或2 （2）解：∵点A对应的数a在之间（包含，3），， ∴点B对应的数a在之间（包含0，5）， ∵点M到线段的“到达距离”始终大于3， ∴或， 即m的取值范围为或． 15．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）如图根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：    (1)已知点A，B，C表示的数分别为1，，．观察数轴，在点A右侧且与点B到点A的距离相等的点表示的数是________． (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，若此数轴上M，N两点之间的距离为（M在N的左侧），且当A点与C点重合时，M点与N点也恰好重合，则点M表示的数是________，点N表示的数是________： (3)若数轴上P，Q两点间的距离为a（P在Q左侧），表示数b的点到P，Q两点的距离相等，将数轴折叠，当P点与Q点重合时，点P表示的数是________，点Q表示的数是________（用含a，b的式子表示这两个数）． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离是解题的关键． （1）根据，计算求解即可， （2）由A点与C点重合，可得对折点表示的数为，根据M，N两点到对折点的距离为，计算求解即可； （3）由题意知，当P点与Q点重合时，对折点表示的数为b，P，Q两点到对折点的距离为，然后根据数轴上两点之间的距离计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，在点A右侧且与点B到点A的距离相等的点表示的数是， 故答案为 ：． （2）解：∵将数轴折叠，使得A点与C点重合， ∴对折点表示的数为， ∵此数轴上M，N两点之间的距离为， ∴M，N两点到对折点的距离为， ∴点M表示的数是，点N表示的数是， 故答案为：，； （3）．解：由题意知，将数轴折叠，当P点与Q点重合时，对折点表示的数为b，P，Q两点到对折点的距离为， ∴点P表示的数是，点Q表示的数是， 故答案为：，． 学科网（北京）股份有限公司 $$