专题01 认识有理数重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题01 认识有理数重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 正数与负数的辨别 题型二 正数与负数的分类 题型三 具有相反意义的量 题型四 正负数的意义 题型五 有理数的概念 题型六 有理数的分类 题型七 带“非”字的有理数 题型八 正负数的应用之温差问题 题型九 正负数的应用之时差问题 题型十 正负数的应用之合理范围问题 题型十一 正负数的应用之简单计算问题 题型十二 正负数的应用综合大题 知识点一：正数与负数 1. 负数的由来 为了能简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数。 2. 正数和负数 正数就是我们小学学过的除零以外的所有数，即大于零的数叫做正数。根据需要有时候在正数前面加上“+”（正） 3. 0既不是正数也不是负数 4.非负数：0和正数统称为非负数；则非正数是指0和负数 知识点二：具有相反意义的量 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 知识点三：有理数的分类 (1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数； (2)有理数的分类: ① ② (3)自然数 0和正整数； a＞0 a是正数； a＜0 a是负数； a≥0 a是正数或0 a是非负数； a≤ 0 a是负数或0 a是非正数. 【经典例题一 正数与负数的辨别】 【例1】（23-24七年级上·四川·阶段练习）下列说法中，正确的为（        ）． A．一个数不是正数就是负数 B．是最小的数 C．正数都比大 D．是负数 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列语句中错误的有（    ）个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）易错题  关于负数有下列4种说法：①在某个数的前面加上符号“-”得到的数；②不大于0的数；③除去正数的其他数；④在正数的前面加上符号“-”得到的数.其中正确的是 (填序号). 3．（13-14七年级上·全国·课后作业）我们用字母表示一个有理数，试判断下列说法是否正确，若不正确，请举出反例． (1)一定表示正数，一定表示负数； (2)如果是零，那么就是负数； (3)若是正数，则一定为非正数． 【经典例题二 正数与负数的分类】 【例2】（23-24七年级上·新疆阿勒泰·阶段练习）下列说法中：①不带“”的数都是正数；②不是正数的数一定是负数；③表示没有温度；④“”表示向东走；⑤如果a是正数，那么一定是负数．其中正确的个数有（　　）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3 1．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期中）下列说法正确的是（    ） A．不是正数的数一定是负数 B．零是正数不是负数 C．零既是正数也是负数 D．零既不是正数也不是负数 2．（2024七年级上·山东青岛·专题练习）下列各数中：，负数有 个． 3．（2023七年级上·全国·专题练习）下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ ，，，，+2.009，，，81． 【经典例题三 具有相反意义的量】 【例3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）下面四个选项中，不具有相反意义的量的是（　　） A．借贷5万元与还贷6万元 B．高出海平面8888米与低于海平面188米 C．亏损2万元与盈利8万元 D．增产10吨粮食与减产吨粮食 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（　　） A．盈利3万元和支出3万元 B．增长和亏损 C．胜两局和负三局 D．前进和后退 2．（24-25七年级上·全国·假期作业） （1） 在天气预报中，零上12度用表示，那么零下5度表示为 °C． （2） 如果盈利300元用元表示，那么亏损300元表示为 元． （3）水位升高时水位变化记作，那么水位下降记作 ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？ （2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量记作，那么表示什么？ （3）某大米包装袋上标注着“净含量：”，这里的“”表示什么？ 【经典例题四 正负数的意义】 【例4】（23-24七年级上·广东江门·阶段练习）我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果向北走5步记作步，那么向南走7步记作（   ） A．步 B．步 C．步 D．步 1．（23-24七年级上·山东青岛·开学考试）某种袋装食品，质检员为了解该种食品的质量（单位：g），抽样监测了其中4袋．其中超标的记为正数，不足的记为负数．检验结果分别是，，，，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·云南昆明·期中）美丽的西山坐落在滇池之边，以滇池的水面为标准，高出水面的高度记为正，西山最高的峰为美女峰，高出滇池约620米，记做 米． 3．（23-24七年级上·山东青岛·单元测试）图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中A→C（________，________），B→C（________，________），C→________（+1，﹣2）； （2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程． （4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？ 【经典例题五 有理数的概念】 【例5】（23-24七年级下·广东珠海·开学考试）在数0，，，，，0.3，0.141041004…（相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1），中，有理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（22-23七年级上·广西贺州·期末）下列关于有理数的说法正确的是（　　） A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合 C．0既不属于整数也不属于分数 D．整数和分数统称为有理数 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有 个． 3．（23-24六年级上·上海杨浦·阶段练习）为庆祝国庆，外滩甲乙两大楼晚上亮彩灯，甲楼每4分钟亮出“庆祝国庆”字样，乙楼每6分钟亮出国旗图案，甲乙两大楼从18点开始同时亮灯． (1)甲乙两大楼下一次同时亮出“庆祝国庆”字样和国旗图案是几点几分？ (2)到晚上22点，甲乙两大楼同时亮出“庆祝国庆”字样和国旗图案的次数有几次？ 【经典例题六 有理数的分类】 【例6】（23-24七年级上·全国·课后作业）下列各数：，1，8.6，，0，，，，，中，下列说法正确的是（    ） A．只有1，，，是整数 B．其中有三个数是正整数 C．非负数有1，8.6，，0 D．只有，，是负分数 1．（22-23九年级上·广东湛江·期中）在中，分数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）在下列数，，，，0，，，，中，属于负分数的是 ． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①0；②；③200；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 整数：{ ___________⋯}； 正数：{ ___________⋯}； 正分数：{ ___________⋯}； 负有理数：{ ___________⋯}． 【经典例题七 带“非”字的有理数】 【例7】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）在，0，3.14，，，，中，非负整数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（23-24六年级下·上海·期末）在，，0，，，，，7中，非负数有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在，0，,，2023，，0.26，11.3中，非负整数有 个． 3．（23-24七年级上·贵州黔东南·阶段练习）把下列各数填在相应的集合内： ，8，，0，，，，． 负数集合{        ……}； 正分数集合{        ……}； 非负数集合{        ……}； 有理数集合{        ……}． 【经典例题八 正负数的应用之温差问题】 【例8】（23-24七年级上·湖南娄底·期中）小文买了一支温度计，回家后发现里面有一个小气泡（即不准确了），先拿它在冰箱里试一下，在标准温度是零下7℃时，显示为℃，在36℃的温水中，显示为32℃，那么用这个温度计量得的室外气温是23℃，则室外的实际气温应是（    ） A．27℃ B．19℃ C．23℃ D．不能确定 1．（2024·河南周口·模拟预测）塔克拉玛干沙漠是中国最大的沙漠，昼夜温差大：某科学考察队测得其夏季某天中午的最高温度是零上，记为，测得其当天晚上的最低温度是零下，应记为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·重庆·期中）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射成功，成功对接空间站．据悉，在超过200摄氏度的大温差、长期低温、强辐射的空间环境中，飞船舱内环境温度会始终控制在，为航天员营造舒适的温度环境．可知，载人飞船座舱内的最高温度是 ． 3．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）探空气球的气象观测统计资料表明，海拔高度每升高1000米，气温就下降6℃，某时刻，甲市地面温度为20℃，有一架飞机飞过甲市上空时，机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃，求飞机离地面的高度为多少千米？ 【经典例题九 正负数的应用之时差问题】 【例9】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）：当北京10月8日时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） 城市 悉尼 纽约 时差/时 A．10月8日时；10月9日时 B．10月8日时；10月8日时 C．10月8日时；10月9日时 D．10月8日时；10月8日时 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）： 城市 悉尼 纽约 时差/时 当北京10月9日23时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） A．10月10日1时；10月9日10时 B．10月10日1时；10月8日10时 C．10月9日21时；10月9日10时 D．10月9日21时；10月10日12时 2．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）下表列出了国外几个市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的点时数）如果现在的东京时间时8:00，那么北京时间是 ，伦敦的时间是 ，纽约的时间是 ． 城市 纽约 伦敦 东京 巴黎 时差/时 7 3．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在下表中，给出了国外四个城市与北京的时差 城市 时差/h 悉尼 2 罗马 伦敦 纽约 下面的五个时钟显示了同一天同一时刻国外四个城市时间和北京时间， (1)若北京时间是11月12日上午9点10分，那么伦敦时间为___________； (2)从左到右五个时钟对应的城市分别为：①___________  ②___________  ③___________  ④___________  ⑤___________． 【经典例题十 正负数的应用之合理范围问题】 【例10】（24-25七年级上·全国·随堂练习）两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为的零部件，其中范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）椰树牌椰子汁外包装标明：净含量为表明了这瓶椰子汁的净含量x的范围是（        ） A． B． C． D． 2．（2024·河南驻马店·一模）生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种食品的说明书上标明保存温度是，请你写出一个适合该食品保存的温度： ． 3．（23-24七年级上·山东·课后作业）一种商品的标准价格是200元，但随着季节的变化，商品的价格可浮动±10%，想一想． （1）±10%的含义是什么？ （2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格； （3）如果以标准价为标准，超过标准价记“＋”，低于标准价记“－”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 【经典例题十一 正负数的应用之简单计算问题】 【例11】（2024·四川成都·模拟预测）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为15次，若在平时训练时小成把18次记为，则应把14次记为（    ） A． B．0 C． D． 1．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）小红和她的同学共买了袋标准质量为的食品，她们对这袋食品的实际质量进行了检测，检测结果（用正数记超过标注质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）如下： 第一袋 第二袋 第三袋 第四袋 第五袋 第六袋 食品质量最接近标准质量的是第几袋，最重的是第几袋．  （   ） A．二，四 B．六，四 C．一，六 D．二，六 2．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）体育课上全班女生进行了米测试，达标成绩为，下面是某小组8名女生的成绩记录：，，，，，，，，其中“”号表示成绩大于，“”号表示成绩小于，该小组女生的达标率为 3．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图1，一只甲虫在的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负．例如：从A到B记为：；从C到D记为：其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向]． (1)填空：（___，____）；（___，____）； (2)若甲虫的行走路线为：，请计算甲虫走过的路程． (3)若这只甲虫去Q处的行走路线依次为：，请依次在图2上标出点M、N、Q的位置． 【经典例题十二 正负数的应用综合大题】 【例9】（23-24七年级上·湖北恩施·期末）出租车司机小李国庆长假期间的某天下午的营运全是在南北走向的城区市心路上进行的，如果规定向南行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，， (1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李距下午出发地有多远？ (2)如果汽车耗油量为升/千米，油价每升元，那么从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为多少元？ 1．（23-24七年级上·天津静海·阶段练习）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小王把自家种的苹果放到网上销售，计划每天销售千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周苹果的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 苹果销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周实际销售苹果超过或不足多少千克？实际销售苹果的总量是多少千克？ (2)若小王按元千克进行苹果销售，成本为元千克，且平均运费为1元千克，则小王第一周销售苹果的利润一共多少元？ 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：    (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2024个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 3．（23-24七年级上·江苏南京·期中）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况： 班级 1班 2班 3班 4班 实际购书量（本） a 32 c 22 实际购书量与计划购书量的差值（本） b (1)直接写出___， ___； (2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本； (3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用． 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．上升了6米和后退了7米 B．卖出10斤米和盈利10元 C．收入20元与支出30元 D．向东行30米和向北行30米 2．（2023七年级上·全国·专题练习）下面说法中，不正确的是（   ） A．有最小的正整数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 3．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）以下的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若表中给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（    ） 城市 时差/h 纽约 ﹣13 悉尼 +2 伦敦 ﹣8 罗马 ﹣7 A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京 B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约 C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼 D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约 4．（23-24七年级上·广东深圳·期末）一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片包装上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·四川遂宁·期末）在下列各数：，＋1，6.7，－（－3），0，，－5，25%中，属于整数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（23-24七年级上·北京西城·期中）（1）桌子上有5只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过次翻转可使这5只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为 ． （2）桌子上有11只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过次翻转可使这11只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为 ． 7．（23-24七年级上·甘肃张掖·期中）把下列各数的序号填在相应的数集内： 1 , － ,  +3.2,  0,  －6.5,  +108,  －4,  －6, （1）正数集合{                                             …} （2）整数集合{                                            …} （3）负分数集合{                                           …} （4）非负整数集合{                                             …} 8．（23-24七年级上·全国·课后作业）在，2020，，0，，+13，，中，正整数有m个，负分数有n个，则m+n的值为 ． 9．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）把下列各数填在相应的集合内：，6，0．3，0，－2019，12%，． 负整数集合{　 　}；正分数集合{　 }； 非负数集合{　 　}；自然数集合{　 }． 10．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）三个互不相等的有理数，既可以表示为1、a＋b、a的形式，也可以表示为0、、b的形式，则这三个有理数是 ． 11．（23-24七年级上·广东深圳·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里： ． 负有理数集合：{ }； 分数集合：{ }； 整数集合：{ }； 负分数集合：{ }； 非负整数集合：{ }． 12．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）把下列各数分别填在相应的集合内． 、、、、3.1415926、0、、、2014、． (1)负数集合：（_____________________）； (2)整数集合：（_____________________）； (3)正分数集合：（_____________________）． 13．（2023六年级下·上海·专题练习）某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名同学中， (1)最高分是多少？ (2)最低分是多少？ (3)10名同学的平均成绩是多少？ 14．（22-23七年级上·江苏南京·期中）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况： 班级 1班 2班 3班 4班 实际购书量（本） a 32 c 22 实际购书量与计划购书量的差值（本） b (1)直接写出___， ___； (2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本； (3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用． 15．（23-24七年级·全国·假期作业）某班抽查了10名同学的期末成绩，以90分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录结果如下： ＋7，﹣3，＋10，﹣7，﹣9，﹣3，﹣8，＋1，0，＋10． （1）这10名同学中最高分是多少？最低分是多少？ （2）10名同学中，低于90分的所占的是多少？ （3）10名同学的平均成绩是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 认识有理数重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 正数与负数的辨别 题型二 正数与负数的分类 题型三 具有相反意义的量 题型四 正负数的意义 题型五 有理数的概念 题型六 有理数的分类 题型七 带“非”字的有理数 题型八 正负数的应用之温差问题 题型九 正负数的应用之时差问题 题型十 正负数的应用之合理范围问题 题型十一 正负数的应用之简单计算问题 题型十二 正负数的应用综合大题 知识点一：正数与负数 1. 负数的由来 为了能简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数。 2. 正数和负数 正数就是我们小学学过的除零以外的所有数，即大于零的数叫做正数。根据需要有时候在正数前面加上“+”（正） 3. 0既不是正数也不是负数 4.非负数：0和正数统称为非负数；则非正数是指0和负数 知识点二：具有相反意义的量 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 知识点三：有理数的分类 (1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数； (2)有理数的分类: ① ② (3)自然数 0和正整数； a＞0 a是正数； a＜0 a是负数； a≥0 a是正数或0 a是非负数； a≤ 0 a是负数或0 a是非正数. 【经典例题一 正数与负数的辨别】 【例1】（23-24七年级上·四川·阶段练习）下列说法中，正确的为（        ）． A．一个数不是正数就是负数 B．是最小的数 C．正数都比大 D．是负数 【答案】C 【分析】根据正数、负数的概念对每个选项一一判断即可． 【详解】0既不是负数，也不是正数，故A选项错误； 负数比0小，故B选项错误； 整数都比0大，故C选项正确； 当a≤0时，－a不是负数，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查正数、负数的概念，熟记正数、负数的概念是解题关键． 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列语句中错误的有（    ）个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，对各选项分析判断即可解答． 本题主要考查正数与负数的定义，熟练掌握大于0的数是正数、小于0的数是负数是解答本题的关键． 【详解】解：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数，故原说法错误； ④表示温度为0度，故原说法错误； 综上，错误的有3个． 故本题选：C． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）易错题  关于负数有下列4种说法：①在某个数的前面加上符号“-”得到的数；②不大于0的数；③除去正数的其他数；④在正数的前面加上符号“-”得到的数.其中正确的是 (填序号). 【答案】④ 【分析】根据负数的定义，负数的性质来判断即可. 【详解】解：有理数分为正数、0、负数，负数是在正数前面加上一个“-”得到的数；负数是小于0的数；所以①②③表述错误，④正确； 故答案为④. 【点睛】本题考查了有理数的分类以及负数的定义，解题的关键是准确的认识负数的定义. 3．（13-14七年级上·全国·课后作业）我们用字母表示一个有理数，试判断下列说法是否正确，若不正确，请举出反例． (1)一定表示正数，一定表示负数； (2)如果是零，那么就是负数； (3)若是正数，则一定为非正数． 【答案】(1)错误．若，则； (2)错误．若，则； (3)正确； 【分析】（1）根据有理数的分类分析小题即可判断； （2）根据有理数的分类分析小题即可判断； （3）根据有理数的分类分析小题即可判断； 【详解】（1）解：错误．举例：若，则； （2）解：错误．举例：若，则； （3）解：正确． 【点睛】本题考查有理数的分类，解题时需要掌握整数和分数，正数和负数以及0的定义和特点，理解0既不是正数也不是负数． 【经典例题二 正数与负数的分类】 【例2】（23-24七年级上·新疆阿勒泰·阶段练习）下列说法中：①不带“”的数都是正数；②不是正数的数一定是负数；③表示没有温度；④“”表示向东走；⑤如果a是正数，那么一定是负数．其中正确的个数有（　　）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3 【答案】B 【分析】根据有理数的概念，分类以及应用，逐项判断即可求解． 【详解】解：①不一定是正数，故①错误，不符合题意； ②不是正数的数一定是负数或者0，故②错误，不符合题意； ③表示当前温度处于0摄氏度，故③错误，不符合题意； ④“”不一定表示向东走，故④错误，不符号题意； ⑤如果a是正数，那么一定是负数，故⑤正确，符合题意； 综上所示，正确的有⑤， 故选：． 【点睛】本题主要考查有理数的相关概念，分类以及应用，掌握有理数的分类，正负数的概念，是解题的关键． 1．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期中）下列说法正确的是（    ） A．不是正数的数一定是负数 B．零是正数不是负数 C．零既是正数也是负数 D．零既不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的相关概念，熟练掌握零既不是正数也不是负数是解答本题的关键．根据零既不是正数也不是负数解答即可． 【详解】解：∵不是正数的数可能是负数，也可能是0，故A不正确； ∵零既不是正数也不是负数， ∴B、C不正确，D正确． 故选：D． 2．（2024七年级上·山东青岛·专题练习）下列各数中：，负数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，注意零既不是正数，也不是负数．掌握正负数的定义是解决问题的关键． 根据正数和负数的定义判断即可，注意：零既不是正数，也不是负数． 【详解】解：，是正数； ，是负数； ，是负数； 0既不是正数，也不是负数； ，是负数； ，是正数； 负数有，，，共3个． 故答案为：3个． 3．（2023七年级上·全国·专题练习）下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ ，，，，+2.009，，，81． 【答案】正数有：3.2，，+2.009，，81；负数有：，， 【分析】根据正数，负数的定义进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，正数有：3.2，，+2.009，，81；负数有：，，． 【点睛】本题考查了正数、负数．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 【经典例题三 具有相反意义的量】 【例3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）下面四个选项中，不具有相反意义的量的是（　　） A．借贷5万元与还贷6万元 B．高出海平面8888米与低于海平面188米 C．亏损2万元与盈利8万元 D．增产10吨粮食与减产吨粮食 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数，确定相反意义的量是解题关键．根据正负数表示相反意义的量，可得答案． 【详解】解：A、借贷5万元与还贷6万元是具有相反意义的量，故A不符合题意； B、高出海平面8888米与低于海平面米，具有相反意义的量，故B不符合题意； C、亏损2万元与盈利8万元，具有相反意义的量，故C不符合题意； D、增产10吨粮食与减产吨粮食，因为减产吨粮食相当于增产10吨粮食，所以是不具有相反意义的量，故D符合题意； 故选：D． 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（　　） A．盈利3万元和支出3万元 B．增长和亏损 C．胜两局和负三局 D．前进和后退 【答案】C 【分析】本题考查了相反意义的量，理解“一是它们的意义相反，二是它们都是数量．”是解题的关键． 【详解】解：A.盈利和支出意义不相反，故不符合题意； B.增长和亏损意义不相反，故不符合题意； C.胜两局和负三局具有相反意义的量，故符合题意； D.前进和后退，没有具体的数量，不是相反意义的量，故不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业） （1） 在天气预报中，零上12度用表示，那么零下5度表示为 °C． （2） 如果盈利300元用元表示，那么亏损300元表示为 元． （3）水位升高时水位变化记作，那么水位下降记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正负数表示的意义，掌握其表示方法是解题关键．正负数表示两种相反意义的量： 一方用正数表示，则另一方用负数表示． 【详解】解：（1） 在天气预报中，零上12度用表示，那么零下5度表示为； （2） 如果盈利300元用元表示，那么亏损300元表示为元； （3）水位升高时水位变化记作，那么水位下降记作． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？ （2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量记作，那么表示什么？ （3）某大米包装袋上标注着“净含量：”，这里的“”表示什么？ 【答案】（1）圈；（2）乒乓球的质量低于标准质量；（3）最多超出标准质量，最少少于标准质量 【分析】（1）根据正负数表示相反意义的两种量可知：逆时针记为正，则顺时针记为负，解答即可； （2）超出标准质量记为正，低于标准质量记为负，直接得出结论即可； （3）明确正和负表示的意义，根据题意作答即可． 【详解】解：（1）如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈， 则沿顺时针方向转了12圈记作圈； （2）超出标准质量记作， 则表示乒乓球的质量低于标准质量； （3）每袋大米的标准质量应为，但实际每袋大米可能有的误差，即最多超出标准质量，最少少于标准质量． 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对相反意义的量，先规定其中一个为正，则另一个用负表示． 【经典例题四 正负数的意义】 【例4】（23-24七年级上·广东江门·阶段练习）我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果向北走5步记作步，那么向南走7步记作（   ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】A 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：向北走5步记作步， 向南走7步记作步． 故选：A． 1．（23-24七年级上·山东青岛·开学考试）某种袋装食品，质检员为了解该种食品的质量（单位：g），抽样监测了其中4袋．其中超标的记为正数，不足的记为负数．检验结果分别是，，，，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．用正负数表示意义相反的两种量：超标的记为正数，不足的记为负数．忽略正负号，比较数字大小，最小的就是最接近标准质量的． 【详解】解： 答：最接近标准质量的是． 故选：B． 2．（23-24七年级上·云南昆明·期中）美丽的西山坐落在滇池之边，以滇池的水面为标准，高出水面的高度记为正，西山最高的峰为美女峰，高出滇池约620米，记做 米． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的意义； 根据“正”和“负”的相对性，规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负，据此可得答案． 【详解】解：∵高出水面的高度记为正， ∴西山最高的峰为美女峰，高出滇池约620米，记做米， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·山东青岛·单元测试）图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中A→C（________，________），B→C（________，________），C→________（+1，﹣2）； （2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程． （4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？ 【答案】（1）（+3，+4），（+2，0），D；（2）见解析；（3）10；（4）（﹣2，﹣2） 【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负分别写出各点的坐标即可； （2）根据题意：A→M→N→Q→P，如图1； （3）分别根据各点的坐标计算总长即可； （4）令M→A与M→N对应的横纵坐标相减即可得出． 【详解】：（1）图中A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，-2）； 故答案为：（+3，+4），（+2，0），D； （2）解：P点位置如图1所示； （3）解：如图2， 根据已知条件可知： A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2）； 则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10； （4）解：由M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2）， 所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2， 所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N， 所以，N→A应记为（﹣2，﹣2） 【点睛】本题考查了正数和负数表示的意义，认真理解“向上向右走均为正，向下向左走均为负；第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向”这几句话是关键，明确每一个坐标代表的含义，从而找到对应的点． 【经典例题五 有理数的概念】 【例5】（23-24七年级下·广东珠海·开学考试）在数0，，，，，0.3，0.141041004…（相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1），中，有理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的定义，有理数分为整数和分数，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴有理数：0，，，，0.3，， 则有理数的个数为6， 故选：D． 1．（22-23七年级上·广西贺州·期末）下列关于有理数的说法正确的是（　　） A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合 C．0既不属于整数也不属于分数 D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类及定义，根据有理数的分类及定义逐项判断即可． 【详解】解：A、有理数可分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误，不符合题意； B、正整数集合，0与负整数集合合在一起构成整数集合，故本选项错误，不符合题意； C、0是整数，但不是分数，故本选项错误，不符合题意； D、整数和分数统称为有理数，正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的概念和分类，根据有理数的概念和有理数的分类，正、负数依次进行判断即可． 【详解】解：整数分为正整数，0和负整数， ∴一个整数不是正数就是负数错误，故（1）不符合题意； 没有最小的整数，故（2）不符合题意； 负数中没有最大的数，故（3）符合题意； 自然数包括0，∴自然数一定是正整数错误，故（4）不符合题意； 有理数包括正有理数，零和负有理数，故（5）符合题意， 整数包括正整数，0和负整数，故（6）不符合题意； 零是整数但不是正数，故（7）符合题意； 整数和分数统称为有理数，故（8）不符合题意； 非负有理数是指正有理数和0，故（9）符合题意， 综上所述，正确的有（3）（5）（7）（9），共4个， 故答案为：4． 3．（23-24六年级上·上海杨浦·阶段练习）为庆祝国庆，外滩甲乙两大楼晚上亮彩灯，甲楼每4分钟亮出“庆祝国庆”字样，乙楼每6分钟亮出国旗图案，甲乙两大楼从18点开始同时亮灯． (1)甲乙两大楼下一次同时亮出“庆祝国庆”字样和国旗图案是几点几分？ (2)到晚上22点，甲乙两大楼同时亮出“庆祝国庆”字样和国旗图案的次数有几次？ 【答案】(1)18点12分 (2)到晚上22点，甲乙两大楼同时亮出“庆祝国庆”字样和国旗图案的次数有20次． 【分析】（1）求4和6的最小公倍数即可解答； （2）先求出4和6在60以内公倍数，再根据规律求出4小时内同时亮灯次数即可； 【详解】（1）解：4和6的最小公倍数为12， ∴甲乙两大楼下一次同时亮出“庆祝国庆”字样和国旗图案是12分钟以后，即18点12分． （2）4在60以内的倍数有：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48、52、56、60． 6在60以内的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60． 4和6在60以内的公倍数有12、24、36、48、60． 甲乙两大楼从18点开始同时亮灯到22点，共经历了4个小时， 由上可知1小时内甲乙两大楼同时亮灯5次，刚好回到整点，所以4个小时甲乙两大楼同时亮灯20次． 【点睛】本题主要考查公倍数的应用，正确写出4和6在60以内的公倍数、再根据规律得到4小时内的亮灯次数是解题的关键． 【经典例题六 有理数的分类】 【例6】（23-24七年级上·全国·课后作业）下列各数：，1，8.6，，0，，，，，中，下列说法正确的是（    ） A．只有1，，，是整数 B．其中有三个数是正整数 C．非负数有1，8.6，，0 D．只有，，是负分数 【答案】D 【分析】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类方法是解本题的关键．利用有理数的分类方法判断即可． 【详解】解：下列各数：，1，8.6，，0，，，，，中， 整数为1，，0，，；其中正整数为1，；非负数有1，8.6，0，，；负分数有下列各数：，，， 故选：D 1．（22-23九年级上·广东湛江·期中）在中，分数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了分数，根据分数的定义依次进行判断即可得；掌握分数的定义是解题的关键． 【详解】解：是分数；是分数；是分数；不是分数；不是分数；是分数； 即分数有4个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）在下列数，，，，0，，，，中，属于负分数的是 ． 【答案】，， 【分析】本题考查有理数的分类，小数、百分数均属于分数，据此求解即可． 【详解】解：，，，，0，，，，中，属于负分数的有：，，， 故选答案为：，，． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①0；②；③200；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 整数：{ ___________⋯}； 正数：{ ___________⋯}； 正分数：{ ___________⋯}； 负有理数：{ ___________⋯}． 【答案】①③④⑥；②③⑥⑧；②⑧；④⑤⑦ 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．根据有理数的分类，即可求解． 【详解】解：整数：{①③④⑥……}； 正数：{②③⑥⑧……} 正分数：{②⑧……} 负有理数：{④⑤⑦……} 故答案为：①③④⑥；②③⑥⑧；②⑧；④⑤⑦． 【经典例题七 带“非”字的有理数】 【例7】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）在，0，3.14，，，，中，非负整数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查数的分类，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．根据有理数的分类方法解答即可． 【详解】解：为负数，不符合题意； 0为非负整数，符合题意； 3.14为小数，不符合题意； 为非负整数，符合题意； 为小数，不符合题意； 为非负整数，符合题意； 为非负整数，符合题意； 综上所述，非负整数的个数有4个， 故选：C． 1．（23-24六年级下·上海·期末）在，，0，，，，，7中，非负数有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的分类，熟悉掌握有理数的概念是解题的关键．根据非负数的定义逐一判断即可． 【详解】解：在，，0，，，，，7中， 非负数有，0，，，7共5个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在，0，,，2023，，0.26，11.3中，非负整数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的分类及定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．非负整数包括正整数和0，据此即可求得答案． 【详解】解：，0，2023是非负整数，共3个， 故答案为：3． 3．（23-24七年级上·贵州黔东南·阶段练习）把下列各数填在相应的集合内： ，8，，0，，，，． 负数集合{        ……}； 正分数集合{        ……}； 非负数集合{        ……}； 有理数集合{        ……}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，据此填写即可，特别要注意带“非”字的分类，非负数：正数和0；非正数：负数和0；非负整数：正整数和0（自然数）；非正整数：负整数和0． 【详解】解：负数集合{ ，， }； 正分数集合{ ， }； 非负数集合{ 8，，0，，}； 有理数集合{，8，，0，，，}． 【经典例题八 正负数的应用之温差问题】 【例8】（23-24七年级上·湖南娄底·期中）小文买了一支温度计，回家后发现里面有一个小气泡（即不准确了），先拿它在冰箱里试一下，在标准温度是零下7℃时，显示为℃，在36℃的温水中，显示为32℃，那么用这个温度计量得的室外气温是23℃，则室外的实际气温应是（    ） A．27℃ B．19℃ C．23℃ D．不能确定 【答案】A 【分析】根据题意温度计在零下7°为-11°，36°时为32°，则真正的温度比温度计低4度． 【详解】解：根据题意可知真正的温度比温度计低4度． 则室外的实际气温应是：23+4=27℃． 故选A． 【点睛】本题考查了“正”数和“负”数的相对意义，找对是实际温度高，还是温度计的温度高是关键. 1．（2024·河南周口·模拟预测）塔克拉玛干沙漠是中国最大的沙漠，昼夜温差大：某科学考察队测得其夏季某天中午的最高温度是零上，记为，测得其当天晚上的最低温度是零下，应记为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数是表示具有相反意义的两种量进行求解即可． 【详解】解：若零上，记为，则零下，应记为， 故选：A． 2．（23-24七年级上·重庆·期中）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射成功，成功对接空间站．据悉，在超过200摄氏度的大温差、长期低温、强辐射的空间环境中，飞船舱内环境温度会始终控制在，为航天员营造舒适的温度环境．可知，载人飞船座舱内的最高温度是 ． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数，根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】解：， 即载人飞船座舱内的最高温度是， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）探空气球的气象观测统计资料表明，海拔高度每升高1000米，气温就下降6℃，某时刻，甲市地面温度为20℃，有一架飞机飞过甲市上空时，机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃，求飞机离地面的高度为多少千米？ 【答案】9千米 【分析】先计算出温度总共下降多少摄氏度，根据海拔高度每升高1000米，气温就下降6℃的比例关系即可求解. 【详解】∵20℃-（-34℃）=54℃， ∴54÷6×1000=9×1000=9000m ∵1000m=1km, ∴9000m=9km. 故飞机离地面的高度为9千米. 【点睛】此题考查正数和负数，解题关键在于结合题意列出相应计算式. 【经典例题九 正负数的应用之时差问题】 【例9】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）：当北京10月8日时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） 城市 悉尼 纽约 时差/时 A．10月8日时；10月9日时 B．10月8日时；10月8日时 C．10月8日时；10月9日时 D．10月8日时；10月8日时 【答案】B 【分析】由统计表得出：悉尼时间比北京时间早2小时，也就是10月8日17时．纽约比北京时间要晚13个小时，也就是10月8日2时． 【详解】解：悉尼的时间是：10月8日15时+2小时=10月8日17时， 纽约时间是：10月8日15时-13小时=10月8日2时． 故选：B． 【点睛】本题考查了正数和负数．解决本题的关键是根据图表得出正确信息，再结合题意计算． 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）： 城市 悉尼 纽约 时差/时 当北京10月9日23时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） A．10月10日1时；10月9日10时 B．10月10日1时；10月8日10时 C．10月9日21时；10月9日10时 D．10月9日21时；10月10日12时 【答案】A 【分析】本题主要考查了正数和负数，掌握题意是解题的关键．由统计表得出，悉尼比北京早小时，纽约比北京晚小时，计算即可． 【详解】解：悉尼的时间：10月9日23时小时10月10日1时； 纽约的时间：10月9日23时小时10月9日10时． 故选A． 2．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）下表列出了国外几个市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的点时数）如果现在的东京时间时8:00，那么北京时间是 ，伦敦的时间是 ，纽约的时间是 ． 城市 纽约 伦敦 东京 巴黎 时差/时 7 【答案】 【分析】根据正负数的意义，结合表格数据，即可求解． 【详解】解：∵东京与北京的时差是 则如果现在的东京时间时，那么北京时间是 ∵伦敦与北京的时差是， ∴伦敦的时间是前一天的 ∵纽约与北京的时差是 ∴纽约的时间是前一天的 【点睛】本题考查了正负数在实际生活中的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 3．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在下表中，给出了国外四个城市与北京的时差 城市 时差/h 悉尼 2 罗马 伦敦 纽约 下面的五个时钟显示了同一天同一时刻国外四个城市时间和北京时间， (1)若北京时间是11月12日上午9点10分，那么伦敦时间为___________； (2)从左到右五个时钟对应的城市分别为：①___________  ②___________  ③___________  ④___________  ⑤___________． 【答案】(1)11月12日凌晨1点10分 (2)悉尼，北京，纽约，伦敦，罗马 【分析】（1）根据伦敦与北京的时差，确定出伦敦时间即可； （2）根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】（1）解：由伦敦与北京的时差为， ∴北京时间是11月12日上午9点10分，此时伦敦时间为11月12日凌晨1点10分． 故答案为：11月12日凌晨1点10分． （2）解：由第一个时钟与第二个时钟相差2个小时， 所以第一个时钟表示的是悉尼时间，第二个时钟表示的北京时间， 结合表格信息可得：第三个时钟与北京时间相比，早13个小时，所以是纽约时间， 第四个时钟与北京时间相比，早8个小时，所以是伦敦时间， 第五个时钟与北京时间相比，早7个小时，所以是罗马时间， 所以五个城市依次为：悉尼，北京，纽约，伦敦，罗马． 故答案为：悉尼，北京，纽约，伦敦，罗马． 【点睛】本题考查了正数与负数的含义，弄清各城市与北京的时差是解本题的关键． 【经典例题十 正负数的应用之合理范围问题】 【例10】（24-25七年级上·全国·随堂练习）两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为的零部件，其中范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正数和负数，根据正数和负数的实际意义求得合格尺寸的范围，然后进行判断即可，结合已知条件求得合格尺寸的范围是解题的关键． 【详解】解：由题意可得合格尺寸的范围为，不在尺寸范围内， 故选：D． 1．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）椰树牌椰子汁外包装标明：净含量为表明了这瓶椰子汁的净含量x的范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正负数的意义可得答案． 【详解】解：，， 所以净含量为表明了这瓶椰子汁的净含量x的范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了正负数的实际意义，正确理解的含义是解题的关键．． 2．（2024·河南驻马店·一模）生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种食品的说明书上标明保存温度是，请你写出一个适合该食品保存的温度： ． 【答案】25（答案不唯一）． 【分析】本题考查了正负数的意义，根据给出的范围写出符合题的温度即可． 【详解】因为某种食品的说明书上标明保存温度是， 所以适合该食品保存的温度可以是， 故答案为：25（答案不唯一）． 3．（23-24七年级上·山东·课后作业）一种商品的标准价格是200元，但随着季节的变化，商品的价格可浮动±10%，想一想． （1）±10%的含义是什么？ （2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格； （3）如果以标准价为标准，超过标准价记“＋”，低于标准价记“－”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 【答案】（1）+10%表示比标准高10%，-10%表示比标准价低10%；（2）最高价格220元，最低价格180元；（3）+20～-20． 【分析】(1)“+”表示高,“-”表示底. (2)根据浮动标准,可计算出最高价格和最低价格; (3)求出10%,所代表的价格,然后即可表示出价格的浮动范围. 【详解】（1）+10%表示比标准高10%，-10%表示比标准价低10%； （2）最高价格200（1+10%）=220（元），最低价格200（1-10%）=180（元）； （3）∵200×10%=20元，200×（-10%）=-20元， ∴该商品价格的浮动范围是：+20～-20． 【点睛】本题考查了正数和负数的知识,“±”在实际问题中表示浮动,或高于或低于的意思. 【经典例题十一 正负数的应用之简单计算问题】 【例11】（2024·四川成都·模拟预测）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为15次，若在平时训练时小成把18次记为，则应把14次记为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了运用正数和负数表示两个相反意义的量．正确理解正、负数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为15次，若在平时训练时小成把18次记为， ∴应把14次记为， 故选：A． 1．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）小红和她的同学共买了袋标准质量为的食品，她们对这袋食品的实际质量进行了检测，检测结果（用正数记超过标注质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）如下： 第一袋 第二袋 第三袋 第四袋 第五袋 第六袋 食品质量最接近标准质量的是第几袋，最重的是第几袋．  （   ） A．二，四 B．六，四 C．一，六 D．二，六 【答案】A 【分析】求出各袋高于或低于标准质量的绝对值，根据绝对值的大小做出判断，绝对值最小的最接近标准，超出标准最多的就是最重的． 【详解】解：∵|+10|＜|+15|＜|-20|＜|-25|＜|+30|＜|-40|， ∴第2袋最接近标准质量． ∵-40＜-25＜-20＜+10＜+15＜+30 ∴第四袋最重， 故选：A． 【点睛】考查正数、负数的意义以及有理数大小比较，理解绝对值的意义是正确判断的前提． 2．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）体育课上全班女生进行了米测试，达标成绩为，下面是某小组8名女生的成绩记录：，，，，，，，，其中“”号表示成绩大于，“”号表示成绩小于，该小组女生的达标率为 【答案】 【分析】根据正负数的意义可得达标的有人，然后计算即可． 【详解】解：由题意得：：，，，，，，，中，小于等于0的有6个，即达标的有6人， 则这个小组的达标率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义得出达标的人数是解题的关键． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图1，一只甲虫在的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负．例如：从A到B记为：；从C到D记为：其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向]． (1)填空：（___，____）；（___，____）； (2)若甲虫的行走路线为：，请计算甲虫走过的路程． (3)若这只甲虫去Q处的行走路线依次为：，请依次在图2上标出点M、N、Q的位置． 【答案】(1) (2)16 (3)见解析 【分析】（1）根据规定结合图形写出即可； （2）根据甲虫的运动路线列式计算即可得解； （3）根据运动路线标注解答即可； 【详解】（1）根据题意得出：； 故答案为：． （2）∵甲虫的行走路线为：， ∴甲虫走过的路程为：； （3）如图2所示： 【点睛】本题考查了正数和负数，读懂题目信息，理解正负数的意义以及写法的规定是解题的关键． 【经典例题十二 正负数的应用综合大题】 【例9】（23-24七年级上·湖北恩施·期末）出租车司机小李国庆长假期间的某天下午的营运全是在南北走向的城区市心路上进行的，如果规定向南行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，， (1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李距下午出发地有多远？ (2)如果汽车耗油量为升/千米，油价每升元，那么从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为多少元？ 【答案】(1)小李距下午出发地有6千米； (2)从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为元； 【分析】（1）把所有行车记录相加，然后根据和的正负情况确定最后的位置； （2）求出所有行车记录的绝对值的和，再乘以，再根据总价=单价×数量即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：（千米）， ∴小李距下午出发地有6千米； （2）解： （元） ∴从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为元； 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 1．（23-24七年级上·天津静海·阶段练习）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小王把自家种的苹果放到网上销售，计划每天销售千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周苹果的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 苹果销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周实际销售苹果超过或不足多少千克？实际销售苹果的总量是多少千克？ (2)若小王按元千克进行苹果销售，成本为元千克，且平均运费为1元千克，则小王第一周销售苹果的利润一共多少元？ 【答案】(1)超过千克，实际销售苹果的总量为千克； (2)利润一共为元． 【分析】（）先计算出第一周实际销售的量比第一周计划销售的量是多多少，再加上第一周计划的销售量即可求得实际销售的总量； （）求出每千克苹果的利润，则可求得第一周销售苹果的总利润． 【详解】（1）由题意有：（千克）， ∴小王第一周实际销售苹果超过千克， ∴小王第一周实际销售苹果的总量为：（千克）， 答：小王第一周实际销售苹果超过千克，实际销售苹果的总量为千克． （2）由题意有： 每千克苹果的利润为：（元）， ∴小王第一周销售苹果的利润一共为：（元）， 答：小王第一周销售苹果的利润一共为元． 【点睛】此题考查了正数和负数，有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，列式计算并掌握相关运算法则． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：    (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2024个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 【答案】(1)在处的数是正数 (2)负数排在和的位置 (3)排在的位置 【分析】（1）由图可知，向下的箭头的上方的数为负数，下方的数为正数，向上的箭头的下方的数是负数，上方的数为正数，即可得出结论； （2）由（1）的规律即可得出结论； （3）由图可知，每4个为一组，利用，确定的位置即可； 【详解】（1）解：由图可知，向下的箭头的上方的数为负数，下方的数为正数，向上的箭头的下方的数是负数，上方的数为正数， ∴在处的数是正数； （2）由（1）中规律可知：负数排在和的位置； （3）因为，所以第2024个数是正数，排在的位置． 【点睛】本题考查有理数的规律探究，解题的关键是根据已知数据抽象概括出相应的数字规律． 3．（23-24七年级上·江苏南京·期中）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况： 班级 1班 2班 3班 4班 实际购书量（本） a 32 c 22 实际购书量与计划购书量的差值（本） b (1)直接写出___， ___； (2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本； (3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由于4班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为，进而可把表格补充完整； （2）把每班实际数量相加即可； （3）根据已知求出总费用即可． 【详解】（1）∵由于4班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为本， ∴一班实际购入本，二班实际购入数量与计划购入数量的差值本， 故答案依次为：，． （2）4个班一共购入数量为：本， 故答案为： （3）∵， ∴如果每次购买本，则可以购买次，且最后还剩本书需单独购买， ∴最低总花费为：元． 【点睛】本题考查了正负数的应用．在生活实际中利用正负数的计算能力，并通过相关运算来比较大小，进而得出最佳方案；正确理解正负数的意义是解题的关键． 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．上升了6米和后退了7米 B．卖出10斤米和盈利10元 C．收入20元与支出30元 D．向东行30米和向北行30米 【答案】C 【分析】本题考查了对正负数概念的理解，关键明确正负数是表示一对意义相反的量．根据相反意义的量的概念，逐项判断分析即可解题． 【详解】解：A.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； B.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； C.是一对具有相反意义的量，符合题意； D.不是一对具有相反意义的量，不符合题意． 故本题选：C． 2．（2023七年级上·全国·专题练习）下面说法中，不正确的是（   ） A．有最小的正整数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 【答案】C 【分析】自然数是大于等于0的整数，0是最小的自然数A正确；没有最小的正有理数，故B正确；-1是最大的负整数，故C不正确；无最大非负数，D正确． 【详解】解：A、1是最小的正整数，故本选项正确，不符合题意； B、没有最小的正有理数，故本选项正确，不符合题意； C、-1是最大的负整数，所以有最大的负整数，故本选项错误，符合题意； D、没有最大非负数，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，属于基础题． 3．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）以下的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若表中给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（    ） 城市 时差/h 纽约 ﹣13 悉尼 +2 伦敦 ﹣8 罗马 ﹣7 A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京 B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约 C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼 D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约 【答案】A 【分析】根据纽约、悉尼、伦敦、罗马与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】解：由表格，可知悉尼比北京时差为+2，所以北京时间是16点或18点，推理可得北京时间是16点， 则纽约时间为16﹣13＝3点，悉尼时间16+2＝18点，伦敦时间16﹣8＝8点，罗马时间16﹣7＝9点， 由钟表显示的时间可得对应城市为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京； 故答案为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京． 故选：A． 【点睛】本题考查正负数的应用，熟练掌握正负数的意义是解题关键 ． 4．（23-24七年级上·广东深圳·期末）一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片包装上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据净含量为60±5g可得该包装薯片的净含量，再逐项判断即可． 【详解】解：∵薯片包装上注明净含量为60±5g， ∴薯片的净含量范围为：55≤净含量≤65， 故D不符合标准， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正负数的定义，计算出净含量的范围是解答此题的关键． 5．（23-24七年级上·四川遂宁·期末）在下列各数：，＋1，6.7，－（－3），0，，－5，25%中，属于整数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】按照有理数的分类判断即可． 【详解】解：∵-（-3）=3， ∴在以上各数中，整数有：+1、-（-3）、0、-5，共有4个． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的分类．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 6．（23-24七年级上·北京西城·期中）（1）桌子上有5只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过次翻转可使这5只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为 ． （2）桌子上有11只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过次翻转可使这11只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为 ． 【答案】 3 5 【分析】（1）用“正”表示杯口朝上，用“负”表示杯口朝下，根据翻转要求逐步罗列即可得； （2）用“正”表示杯口朝上，用“负”表示杯口朝下，根据翻转要求逐步罗列即可得． 【详解】（1）用“正”表示杯口朝上，用“负”表示杯口朝下， 刚开始时：正、正、正、正、正， 第一次翻转结束后：负、负、负、正、正， 第二次翻转结束后：负、正、正、负、正， 第三次翻转结束后：负、负、负、负、负， 则m的最小值为3； （2）用“正”表示杯口朝上，用“负”表示杯口朝下， 刚开始时：正、正、正、正、正、正、正、正、正、正、正， 第一次翻转结束后：负、负、负、正、正、正、正、正、正、正、正， 第二次翻转结束后：负、负、负、负、负、负、正、正、正、正、正， 第三次翻转结束后：负、负、负、负、负、负、负、负、负、正、正， 第四次翻转结束后：负、负、负、负、负、负、负、正、正、负、正， 第五次翻转结束后：负、负、负、负、负、负、负、负、负、负、负， 则n的最小值为5； 故答案为：3，5． 【点睛】本题考查了相反意义的量，正确罗列翻转后杯口的变化情况是解题关键． 7．（23-24七年级上·甘肃张掖·期中）把下列各数的序号填在相应的数集内： 1 , － ,  +3.2,  0,  －6.5,  +108,  －4,  －6, （1）正数集合{                                             …} （2）整数集合{                                            …} （3）负分数集合{                                           …} （4）非负整数集合{                                             …} 【答案】（1）正数集合{1，+3.2，+108 ，…}；（2）整数集合{1，0，+108，-4，-6，…}；（3）负分数集合{ ，-6.5，…}；（4）非负整数集合{1，0，+108，…} 【分析】根据正数，整数，负分数以及非负整数的定义判断即可得到结果． 【详解】（1）正数集合{1，+3.2，+108 ，…}； （2）整数集合{1，0，+108，-4，-6 ，…}； （3）负分数集合{ ，-6.5，…}； （4）非负整数集合{1，0，+108，…} 【点睛】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解本题的关键． 8．（23-24七年级上·全国·课后作业）在，2020，，0，，+13，，中，正整数有m个，负分数有n个，则m+n的值为 ． 【答案】4 【分析】根据正整数，负分数的定义得出它们的个数，再代入计算即可． 【详解】正整数有2020，+13，所以m=2， 负分数有，，所以n=2， 所以m+n=2+2=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解题的关键． 9．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）把下列各数填在相应的集合内：，6，0．3，0，－2019，12%，． 负整数集合{　 　}；正分数集合{　 }； 非负数集合{　 　}；自然数集合{　 }． 【答案】－2019，－2；0.3，12%；6，0.3、0，12%；6，0，见解析 【分析】根据负整数、正分数、非负数、自然数的定义进行归类即可. 【详解】解：负整数集合{　－2019、－2 ，……}； 正分数集合{ 0.3、12%　 ，……}； 非负数集合{ 6、0.3、0、12% ，…… }； 自然数集合{　 6、0 ，……} 【点睛】本题考查了负整数、正分数、非负数、自然数的定义，掌握相关定义是解答本题的关键. 10．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）三个互不相等的有理数，既可以表示为1、a＋b、a的形式，也可以表示为0、、b的形式，则这三个有理数是 ． 【答案】–1,0,1 【分析】首先根据分数的分母不为0判断a不等于0，则a＋b＝0，则a与b是一对相反数，知分数＝－1，再比较三个数，可求出a,b的值，可求解. 【详解】解：∵中，b为分母 ∴b不等于0 ∴a+b=0 ∴a，b互为相反数 ∴不能为正数 ∴不等于1 ∴a=1 ∵a，b互为相反数 ∴b=-1 ∴a的值为1，b的值为-1 故答案为-1，0，1. 【点睛】此题主要考查了有理数的概念.根据题意的出“a+b与a中有一个是0，与b中有一个是1”是解决问题的关键. 11．（23-24七年级上·广东深圳·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里： ． 负有理数集合：{ }； 分数集合：{ }； 整数集合：{ }； 负分数集合：{ }； 非负整数集合：{ }． 【答案】见解析 【分析】由有理数的有关概念，即可分类． 【详解】解： 负有理数集合：{，……}； 分数集合：{，……}； 整数集合：{……}； 负分数集合：{，……} 非负整数集合：{，……}； 【点睛】本题考查有理数的有关概念，关键是准确掌握有理数的分类． 12．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）把下列各数分别填在相应的集合内． 、、、、3.1415926、0、、、2014、． (1)负数集合：（_____________________）； (2)整数集合：（_____________________）； (3)正分数集合：（_____________________）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据有理数的分类：有理数包括整数和分数，整数包括正整数，0和负整数；分数包括正分数和负分数即可解答． 【详解】（1）解：负数集合为； （2）解：整数集合为； （3）解：正分数集合为， 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟知有理数分类的情况是解题的关键． 13．（2023六年级下·上海·专题练习）某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名同学中， (1)最高分是多少？ (2)最低分是多少？ (3)10名同学的平均成绩是多少？ 【答案】(1)92分 (2)70分 (3)分 【分析】（1）根据正负数的意义，可得答案； （2）根据正负数的意义，可得答案； （3）根据平均数的意义，可得答案． 【详解】（1）最高分是分； （2）最低分是分； （3）10名同学的平均成绩是分． 【点睛】本题考查了正数和负数，利用正负数的意义超出的分数记为正数，不足的分数记为负数是解题关键． 14．（22-23七年级上·江苏南京·期中）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况： 班级 1班 2班 3班 4班 实际购书量（本） a 32 c 22 实际购书量与计划购书量的差值（本） b (1)直接写出___， ___； (2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本； (3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由于4班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为，进而可把表格补充完整； （2）把每班实际数量相加即可； （3）根据已知求出总费用即可． 【详解】（1）∵由于4班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为本， ∴一班实际购入本，二班实际购入数量与计划购入数量的差值本， 故答案依次为：，． （2）4个班一共购入数量为：本， 故答案为： （3）∵， ∴如果每次购买本，则可以购买次，且最后还剩本书需单独购买， ∴最低总花费为：元． 【点睛】本题考查了正负数的应用．在生活实际中利用正负数的计算能力，并通过相关运算来比较大小，进而得出最佳方案；正确理解正负数的意义是解题的关键． 15．（23-24七年级·全国·假期作业）某班抽查了10名同学的期末成绩，以90分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录结果如下： ＋7，﹣3，＋10，﹣7，﹣9，﹣3，﹣8，＋1，0，＋10． （1）这10名同学中最高分是多少？最低分是多少？ （2）10名同学中，低于90分的所占的是多少？ （3）10名同学的平均成绩是多少？ 【答案】（1）100分，81分；（2）50%；（3）89.8分 【分析】（1）根据正负数的意义找出最高分和最低分即可； （2）记录为负数的都是低于90分的，然后求出所占的百分比即可； （3）先把所有的记录相加并求出平均分，再加上90即可． 【详解】解：（1）根据题意得：最高分为90+10=100分，最低分为90-9=81分； （2）低于90分的为87，83，81，87，82，共5个，一共有10个，5100％=50％ ，占的百分比为50%； （3）10名同学的平均成绩为（＋7﹣3＋10﹣7﹣9﹣3﹣8＋1＋0＋10＋90×10）＝89.8（分）． 【点睛】本题考查了正数和负数，理解“正”和“负”的相对性是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$