1.1 菱形的性质与判定（8大题型）-（题型·技巧培优系列）2024-2025学年九年级数学上册同步精讲精练（北师大版）

（北师大版）九年级上册数学《第1章 特殊的平行四边形》 1.1 菱形的性质与判定 菱形的定义知识点一 ●●定义：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形. ★1、菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等，二者必须同时具备，缺一不可. ★2、菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的基本判定方法. 菱形的性质知识点二 ★1、菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质. ②菱形的四条边都相等. ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线. ⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等. 性质定理应用格式： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD； AC平分∠BAD，AC平分∠BCD； BD平分∠ABC，BD平分∠ADC； ★2、菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式=底×高． ②菱形面积＝ ab．（a、b是两条对角线的长度） ③ 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)； 菱形的判定知识点三 ●●菱形的判定方法： ★1、定义法：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形. ★2、判定定理1（从对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理1应用格式： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴ 四边形ABCD是菱形. ★3、判定定理2（从边）：四条边相等四边形是菱形. 定理2应用格式： ∵ AB=BC=CD=AD, ∴ 四边形ABCD是菱形. 【要点解析】 （1）判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的； （2）①若从“四边形”出发的，则还需四条边相等. ②若从“平行四边形”出发的，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直. （3）①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分； ②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等. 题型一 利用菱形的性质求角度 【例题1】（2023•自贡一模）若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（　　） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1 在求有关菱形的角的问题时，由于菱形的对角线互相垂直且平分一组对角，因此常通过连接对角线，把四边形的问题转化为特殊三角形（等边三角形、直角三角形）问题来解答. 【变式1-1】（2022秋•丰城市校级期末）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【变式1-2】（2023秋•碑林区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠AED＝（　　） A．95° B．105° C．100° D．110° 【变式1-3】（2023秋•南关区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝94°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CFD的度数是（　　） A．80° B．82° C．86° D．88° 【变式1-4】（2023秋•西安期末）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝120°，则∠OED＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【变式1-5】（2024•秦都区校级一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE、CE、FE，若AE＝FE，∠BEC＝58°，则∠AFE的度数为 　 　． 【变式1-6】（2023春•香坊区校级期中）已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，对角线AC和BD相交于点O，在AC上取点P，连接PB、PD，若∠PBD＝20°，则∠PDC的度数为 　 　． 【变式1-7】如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝24°，求∠CEF的度数． 题型二 利用菱形的性质求线段长 【例题2】（2023秋•山亭区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝4，则OE＝　 ． 由于菱形的对角线互相垂直平分，所以对于菱形的两条对角线及边这三个元素中知道任意两个的长度，都能根据勾股定理求出第三个. 【变式2-1】（2023秋•甘州区校级期末）菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 【变式2-2】（2023秋•宝鸡期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【变式2-3】（2023秋•崂山区校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝10，AC：BD＝3：4，DH⊥AB于H，则DH等于（　　） A． B． C．5 D．4 【变式2-4】（2023•汉阳区校级一模）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，则GF的长为（　　） A．3 B． C．2 D． 【变式2-5】（2023秋•青岛期末）如图，在菱形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE＝AD，连接DE，若AB＝10，AC＝16，则DE的长为 　 ． 【变式2-4】（2023秋•朝阳区校级期末）如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　 　． 【变式2-6】（2023秋•锦江区校级期末）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得过点D作∠ECM＝30°，DF⊥CM，垂足为F，若，则对角线BD的长为 　 　． 【变式2-7】（2023秋•榆阳区校级月考）已知四边形ABCD是菱形，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．若AB＝7，BD＝4，求OE长． 题型三 利用菱形的性质求周长 【例题3】（2024•深圳模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．30 C． D． 因为菱形的四边都相等，所以菱形的周长等于边长×4； 菱形的面积计算公式：（1）底×高；（2）对角线乘积的. 【变式3-1】（2023秋•太谷区期末）若菱形的面积为216，其中一条对角线的长为24，则该菱形的周长 为（　　） A．36 B．24 C．48 D．60 【变式3-2】（2022秋•峰峰矿区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAD＝60°，AC＝2，则菱形ABCD的周长为（　　） A．8 B． C．6 D．4 【变式3-3】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝4，则菱形ABCD的周长为（　　） A．48 B．32 C．24 D．16 【变式3-4】（2022秋•阳山县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，着EF，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（　　） A．4 B．4 C．4 D．28 【变式3-5】（2023秋•鼓楼区校级期末）已知，如图，∠ABM＝60°，BA＝2，G为射线BM上的一动点，AP为∠BAG的角平分线且交BM于点P，以AP为边在∠ABM内部作菱形APCD，使得∠APC＝60°，DP交AG于点E，连接CE并延长交AB于点F． （1）求证：△AEP≌△CEP； （2）判断CF与BM的位置关系并证明； （3）若△AEF的周长为3，求菱形APCD的周长． 题型四 利用菱形的性质求面积 【例题3】（2023秋•武侯区期末）在菱形ABCD中，若对角线AC，BD＝8，则菱形ABCD的面积是 　 　． 因为菱形的四边都相等，所以菱形的周长等于边长×4； 菱形的面积计算公式：（1）底×高；（2）对角线乘积的. 【变式3-1】（2023秋•碑林区校级期末）我们常常在建筑中看到四边形的元素．如图，墙面上砌出的菱形窗户的边长为1米（边框宽度忽略不计），其中较小的内角为60°，则该菱形窗户的采光面积为（　　）平方米． A．4 B． C．1 D． 【变式3-2】（2023秋•峰峰矿区校级期末）如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（　　） A．48 B．24 C．12 D．6 【变式3-3】（2024•碑林区校级一模）如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M、N分别是BC、AD的中点，连接AM、CN．若四边形AMCN为菱形，则▱ABCD的面积为（　　） A．7.5 B．9.6 C．12 D．15 【变式3-4】（2023秋•海淀区校级期末）小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C．a2 D． 【变式3-5】（2023秋•达州期末）如图，菱形ABCD的边长为26，对角线AC的长为48，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为 　 　． 【变式3-6】（2023•下陆区校级开学）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E． （1）求菱形ABCD的面积； （2）求AE的长度． 题型五 利用菱形的性质进行证明 【例题5】（2024•榆阳区校级一模）如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，，，连接AM，AN． 求证：△ABM≌△ADN． 菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形（特殊时为两个全等的等边三角形），两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以有关菱形的一些证明与计算问题常常与特殊三角形的有关问题综合在一起 . 【变式5-1】（2023秋•汉中期末）已知：如图，菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE＝AF，连接CE，CF．求证：∠AEC＝∠AFC． 【变式5-2】（2023秋•府谷县期末）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的点，CE＝CF，连接BE，DF交于点G．求证：BE＝DF． 【变式5-3】（2023秋•武功县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F在对角线BD上，且BF＝DE，连接AE，AF．求证：AE＝AF． 【变式5-4】（2023秋•渭滨区校级月考）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝CF，DE，DF分别与AC交于点M，N．求证：DM＝DN． 【变式5-5】（2023春•江汉区校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AC，BD交于点O，DH⊥AB于点H． （1）若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，求DH的长； （2）连HO，求证：∠BOH＝∠DAH． 【变式5-6】（2023秋•安徽月考）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点P为对角线AC上任一点，过点P作EF∥BC分别交AB、CD于点E、F，过点P作GH∥AB分别交AD、BC于点G、H，AH、CE交于点Q，连接PQ． （1）求证：△AEC≌△BHA； （2）求证：∠AQP＝60°． 题型六 菱形判定的条件 【例题6】（2023秋•二七区校级月考）如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的 是（　　） A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 【变式6-1】（2024•西安校级一模）▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD 【变式6-2】（2023秋•榆林期末）如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【变式6-3】（2024•罗湖区校级开学）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．下列说法不能使平行四边形ABCD为菱形的是（　　） A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC 【变式6-4】（2023秋•南山区期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-5】（2023秋•顺庆区月考）如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接AF、CE，下列选项可以使四边形AFCE是菱形的为（　　） A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC 【变式6-6】（2023春•海伦市期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件 　 　，使四边形AEDF是菱形． 【变式6-7】（2022•营口）如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是 　 　．（写出一个即可） 【变式6-8】（2023春•绥江县期中）在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（6，0），点C在第一象限，且AC＝BC＝6，若存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　 　． 题型七 菱形的判定的证明 【例题7】（2023秋•武功县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，点D为AB的中点，连接CD，过点D作DE∥BC，且DE＝BC，连接BE，求证：四边形BCDE是菱形． 证明一个图形是菱形时，关键是看已知条件，若是一般的四边形，则考虑证明四条边相等或对角线互相垂直平分；若是平行四边形，则考虑证明一组邻边相等或对角线互相垂直. 【变式7-1】（2023秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，∠EFC＝2∠ABE． 求证：四边形DBFE是菱形． 【变式7-2】（2023秋•虹口区校级月考）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M为AC中点，MN⊥BD于点O，BN∥DM，求证：BNDM为菱形． 【变式7-3】（2023秋•锦州期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，EF，FA，若AE＝AF，CE＝CF．求证：四边形ABCD是菱形． 【变式7-4】（2022春•南丹县期末）已知：如图，在▱ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点． （1）求证：四边形AMCN是平行四边形； （2）当∠ACD满足什么条件时，四边形AMCN是菱形，请说明理由． 【变式7-5】（2022春•梅江区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2． （1）求证：AE＝CF． （2）若BE＝ED时，求证：四边形EBFD是菱形． 【变式7-6】（2024•市南区校级一模）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD． （1）求证：△ECG≌△GHD； （2）当∠B为多少度时，四边形AEGF为菱形，请说明理由． 【变式7-7】（2024•市南区校级开学）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？请说明理由． 题型八 菱形的性质与判定的综合应用 【例题8】（2023秋•牟平区期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，AD＝2CD．下列结论：①DC⊥AC；②BC＝4OF；③四边形AECF是菱形；④S△BOES△ADC，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 菱形的判定可以确定菱形的存在，再利用菱形的性质，可以得出线段或角的对应关系. 【变式8-1】（2023春•高邑县期末）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．则四边形AOBC的面积是（　　） A．4 B．8 C．4 D． 【变式8-2】（2023秋•南海区期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD．测得A，B的距离为3，A，C的距离为2，则B，D的距离是（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】（2023•仙居县二模）如图，分别以点A，B为圆心，以大于AB同样长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，连接AB，CD，AC，BC，AD，BD，则下列说法中正确的是（　　） A．CD⊥AB，但CD不一定平分AB B．CD垂直平分AB，但AB不一定垂直平分CD C．AC⊥BC且AC＝BC D．CD与AB互相垂直平分 【变式8-4】（2023春•黄山期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③S△BFGS平行四边形ABCD；④FG⊥AB．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【变式8-5】（2023秋•渝中区校级期末）如图，在直角△AEC中，∠AEC＝90°，B是边AE上一点，连接BC，O为AC的中点，过C作CD∥AB交BO延长线于D，且AC平分∠BCD，连接AD． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）连接OE交BC于F，∠ACD＝27°，求∠CFO的度数． 【变式8-6】（2024•娄星区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF，AF，CE．求证：四边形AFCE是菱形． 【变式8-7】（2023•青羊区校级开学）已知：如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，四边形ABFD是平行四边形，DF交BC于点E，连接AE、CF，CF＝BF． （1）求证：△ADE≌△FCD； （2）如图2，连接DB交AE于点G，连接CG，若AG＝DC．求证：四边形BFCG是菱形． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）九年级上册数学《第1章 特殊的平行四边形》 1.1 菱形的性质与判定 菱形的定义知识点一 ●●定义：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形. ★1、菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等，二者必须同时具备，缺一不可. ★2、菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的基本判定方法. 菱形的性质知识点二 ★1、菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质. ②菱形的四条边都相等. ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线. ⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等. 性质定理应用格式： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD； AC平分∠BAD，AC平分∠BCD； BD平分∠ABC，BD平分∠ADC； ★2、菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式=底×高． ②菱形面积＝ ab．（a、b是两条对角线的长度） ③ 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)； 菱形的判定知识点三 ●●菱形的判定方法： ★1、定义法：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形. ★2、判定定理1（从对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理1应用格式： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴ 四边形ABCD是菱形. ★3、判定定理2（从边）：四条边相等四边形是菱形. 定理2应用格式： ∵ AB=BC=CD=AD, ∴ 四边形ABCD是菱形. 【要点解析】 （1）判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的； （2）①若从“四边形”出发的，则还需四条边相等. ②若从“平行四边形”出发的，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直. （3）①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分； ②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等. 题型一 利用菱形的性质求角度 【例题1】（2023•自贡一模）若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（　　） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1 【分析】先根据菱形的性质求出边长AB＝2，再根据直角三角形的性质求出∠B＝30°，得出∠DAB＝150°，即可得出结论． 【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB+∠B＝180°， ∵AE＝1，AE⊥BC， ∴AEAB， ∴∠B＝30°， ∴∠DAB＝150°， ∴∠DAB：∠B＝5：1； 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含30°角的直角三角形的判定是解决问题的关键． 在求有关菱形的角的问题时，由于菱形的对角线互相垂直且平分一组对角，因此常通过连接对角线，把四边形的问题转化为特殊三角形（等边三角形、直角三角形）问题来解答. 【变式1-1】（2022秋•丰城市校级期末）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】根据菱形的性质，可得△ABC是等边三角形，进一步可得∠ADC＝60°，根据菱形的性质可得∠ADB的度数． 【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ADC＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°， 在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB， ∴∠ADB＝30°， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质，涉及等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 关键． 【变式1-2】（2023秋•碑林区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠AED＝（　　） A．95° B．105° C．100° D．110° 【分析】由菱形的性质得∠ABD∠ABC＝40°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠BAE＝∠BEA＝70°，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝80°， ∴∠ABD∠ABC＝40°． ∵BA＝BE， ∴∠BAE＝∠BEA（180°﹣40°）＝70°， ∴∠AED＝∠BAE+∠ABD＝70°+40°＝110°， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式1-3】（2023秋•南关区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝94°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CFD的度数是（　　） A．80° B．82° C．86° D．88° 【分析】连接BD、BF，由菱形的性质得AB∥CD，AC垂直平分BD，∠FAD＝43°，再证AF＝DF，则∠FAD＝∠FDA＝43°，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【解答】解：如图，连接BD、BF， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝94°， ∴AB∥CD，AC垂直平分BD，∠FAD∠BAD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°，BF＝DF， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣94°＝86°， ∴∠FAD＝43°， 又∵EF垂直平分AB， ∴AF＝BF， ∴AF＝DF， ∴∠FAD＝∠FDA＝43°， ∴∠CFD＝∠FAD+∠FDA＝43°+43°＝86°， 故选：C． 【点评】此题考查了菱形的性质、线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式1-4】（2023秋•西安期末）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝120°，则∠OED＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【分析】根据菱形的性质得到点O为BD的中点，∠CBD＝60°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OE＝OD，再由三角形内角和定理得到∠ODE＝30°，则∠OED＝∠ODE＝30°． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC交BD于O，∠ABC＝120°， ∴点O为BD的中点，， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， ∴， ∴∠OED＝∠ODE＝30°， 故选：C． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【变式1-5】（2024•秦都区校级一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE、CE、FE，若AE＝FE，∠BEC＝58°，则∠AFE的度数为 　 　． 【分析】根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ABE＝∠CBE＝20°，证明△BCE≌△BAE，得∠AEB＝58°，由三角形的内角和定理可得∠BAE＝102°，最后由等腰三角形的性质和平角的定义可得结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，E点在对角线BD上， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC＝20°，AB＝CB， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝EC，∠BEA＝∠BEC＝58°， ∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴∠BAD＝140°， 在△ABE中， ∵∠ABE＝20°，∠AEB＝58°， ∴∠BAE＝180°﹣20°﹣58°＝102°， ∴∠EAF＝140°﹣102°＝38°， ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠AFE＝38°． 故答案为：38°． 【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ABE≌△CBE． 【变式1-6】（2023春•香坊区校级期中）已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，对角线AC和BD相交于点O，在AC上取点P，连接PB、PD，若∠PBD＝20°，则∠PDC的度数为 　 　． 【分析】根据题意画出图形，然后根据垂直平分线的性质以及菱形的性质：对角线互相垂直平分，对角线平分对角进行分情况讨论即可． 【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，对角线AC和BD相交于点O， ∴AC，BD互相垂直平分， ∵∠ABC＝∠ADC＝100°， ∴， 当点P如下图P点所在位置时： ∵PB＝PD， ∴∠PBD＝∠PDB＝20°， ∴∠PDC＝50°﹣20°＝30°； 当点P如下图P′点所在位置时： ∵P'B＝P'D， ∴∠P'BD＝∠P'DB＝20°， ∴∠P'DC＝∠P'DB+∠CDO＝70°； 综上：∠PDC的度数为30°或70°， 故答案为：30°或70°． 【点评】本题考查了菱形的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键，注意分类讨论． 【变式1-7】如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝24°，求∠CEF的度数． 【分析】先连接AC，证明△ABE≌△ACF，然后推出AE＝AF，证明△AEF是等边三角形，最后运用三角形外角性质，求出∠CEF的度数． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵∠B＝∠EAF＝60°， ∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°， ∴AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°， ∵∠BAE+∠EAC＝∠FAC+∠EAC， ∴∠BAE＝∠FAC， 在△ABE与△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴AE＝AF， 又∵∠EAF＝∠D＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AEF＝60°， 又∠AEC＝∠B+∠BAE＝84°， ∴∠CEF＝84°﹣60°＝24°． 【点评】此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定以及三角形的内角和定理的综合应用，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形． 题型二 利用菱形的性质求线段长 【例题2】（2023秋•山亭区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝4，则OE＝　 ． 【分析】根据菱形的性质可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，则BO＝2，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD， ∴BO＝2， ∴AOBO＝2， ∴AB＝2AO＝4， ∵E为AD的中点，∠AOD＝90°， ∴OEAD＝2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 由于菱形的对角线互相垂直平分，所以对于菱形的两条对角线及边这三个元素中知道任意两个的长度，都能根据勾股定理求出第三个. 【变式2-1】（2023秋•甘州区校级期末）菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 【分析】由菱形的性质可得AB＝5，AC⊥BD，AO＝COAC＝3，BO＝DOBD，由勾股定理可求BO的长，即可求解． 【解答】解：如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝5，AC⊥BD，AO＝COAC＝3，BO＝DOBD， ∴BO4， ∴BD＝8 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 【变式2-2】（2023秋•宝鸡期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝ODBD，BD⊥AC， ∴BD＝2OB＝12， ∵S菱形ABCDAC•BD＝54， ∴AC＝9， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴OEAC＝4.5， 故选：B． 【点评】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【变式2-3】（2023秋•崂山区校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝10，AC：BD＝3：4，DH⊥AB于H，则DH等于（　　） A． B． C．5 D．4 【分析】设OA＝3a，则OB＝4a，由勾股定理求出OA、OB的长，得出AC、BD的长，再由菱形面积的计算方法即可求解． 【解答】解：设AC与BD交于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴OAAC，OBBD，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵AC：BD＝3：4， ∴OA：OB＝3：4， 设OA＝3a，则OB＝4a， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：（3a）2+（4a）2＝102， 解得：a＝2（负值已舍去）， ∴OA＝6，OB＝8， ∴AC＝2OA＝12，BD＝2OB＝16， ∵菱形ABCD的面积＝AB•DHAC•BD12×16＝96， ∴DH， 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 【变式2-4】（2023•汉阳区校级一模）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，则GF的长为（　　） A．3 B． C．2 D． 【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，∠BAD＝∠BCE＝60°，再由三角形中位线定理得FHAB＝2，FH∥AB，然后证△FHG≌△CEG（AAS），得EG＝GHEH，进而由勾股定理即可得出结论． 【解答】解：∵菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°， ∴AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，∠BAD＝∠BCE＝60°， ∵F为AE的中点，H为BE的中点， ∴EHBE，FH是△ABE的中位线， ∴FHAB＝2，FH∥AB， ∴FH∥AB∥CD， ∵BE⊥AB， ∴FH⊥BE，CD⊥BE， ∴∠FHE＝∠BEC＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣60°＝30°， ∴CEBC＝2， ∴BE2， ∴EHBE， ∴FH＝CE， 在△FHG和△CEG中， ， ∴△FHG≌△CEG（AAS）， ∴EG＝GHEH， 在Rt△FHG中，由勾股定理得：GF， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式2-5】（2023秋•青岛期末）如图，在菱形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE＝AD，连接DE，若AB＝10，AC＝16，则DE的长为 　 ． 【分析】连接DB，根据菱形的性质得出AD＝AE＝AB＝10，AF＝CF＝8，根据线段的和差关系求出EF的值，再利用勾股定理解答即可． 【解答】解：连接DB，交AC于点F， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AF＝CF， ∵AB＝10， ∴AD＝AE＝AB＝10， ∵AC＝16， ∴AF＝CF＝8， 在Rt△ADF中，AD＝10，AF＝8， 根据勾股定理得：DF＝6， ∵AE＝10，AF＝8， ∴EF＝AE﹣AF＝10﹣8＝2， 在Rt△DEF中，DF＝6，EF＝2， 根据勾股定理得：DE2， 故答案为：2， 【点评】本题主要考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． 【变式2-4】（2023秋•朝阳区校级期末）如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　 　． 【分析】直接利用菱形的性质得出AB＝AD＝10，S△ABD＝12.5，进而利用三角形面积求法得出答案． 【解答】解：∵菱形ABCD的周长为40，面积为24， ∴AB＝AD＝5，S△ABD＝12， ∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF， ∴AB×PEPF×AD＝12， ∴5×（PE+PF）＝12， ∴PE+PF＝4.8． 故答案为：4.8． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，正确得出AB×PEPF×AD＝S△ABD是解题关键． 【变式2-6】（2023秋•锦江区校级期末）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得过点D作∠ECM＝30°，DF⊥CM，垂足为F，若，则对角线BD的长为 　 　． 【分析】连接AC交BD于H，证明△DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度． 【解答】解：如图，连接AC交BD于点H， 由菱形的性质得∠ADC＝∠ABC＝80°，∠DCE＝80°，∠DHC＝90°， 又∵∠ECM＝30°， ∴∠DCF＝50°， ∵DF⊥CM， ∴∠CFD＝90°， ∴∠CDF＝40°， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴BD平分∠ADC， ∴∠HDC＝40°， 在△CDH和△CDF中， ， ∴△CDH≌△CDF（AAS）， ∴DH＝DF， ∴DB＝2DH＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，掌握菱形的对角线互相平分是解题的关键． 【变式2-7】（2023秋•榆阳区校级月考）已知四边形ABCD是菱形，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．若AB＝7，BD＝4，求OE长． 【分析】根据菱形的性质得出OB的长以及∠AOB＝90°，利用勾股定理求出OA的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出OE，即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC， ∵CE⊥AB， ∴OE＝OA， ∵BD＝4， ∴OB＝2， 在Rt△AOB中，AB＝7，OB＝2， ∴OA， ∴OE＝OA＝3． 【点评】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 题型三 利用菱形的性质求周长 【例题3】（2024•深圳模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．30 C． D． 【分析】先根据菱形的性质证明AB＝BC＝CD＝AD，在根据已知条件证明△ABC是等边三角形，求出AB＝BC＝AC＝6，从而求出菱形周长即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝6， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝6， ∴菱形ABCD的周长为： AB+BC+CD+AD ＝6+6+6+6 ＝24， 故选：A． 【点评】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握菱形的性质、等边三角形的判定和性质． 因为菱形的四边都相等，所以菱形的周长等于边长×4； 菱形的面积计算公式：（1）底×高；（2）对角线乘积的. 【变式3-1】（2023秋•太谷区期末）若菱形的面积为216，其中一条对角线的长为24，则该菱形的周长 为（　　） A．36 B．24 C．48 D．60 【分析】作菱形ABCD，使它的面积为216，AC与BD交于点O，AC＝24，则24BD＝216，求得BD＝18，则OA＝OC＝12，OB＝OD＝9，即可根据勾股定理求得AB＝15，则该菱形的周长为15×4＝60，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，菱形ABCD的面积为216，AC与BD交于点O，AC＝24， ∵AC⊥BD， ∴AC•BD24BD＝216， ∴BD＝24， ∵∠AOB＝90°，OA＝OCAC＝12，OB＝ODBD＝9， ∴AB15， ∴菱形ABCD的周长＝15×4＝60， 故选：D． 【点评】此题重点考查菱形的性质、根据面积等式求线段的长度、勾股定理等知识与方法，根据勾股定理求出菱形的边长是解题的关键． 【变式3-2】（2022秋•峰峰矿区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAD＝60°，AC＝2，则菱形ABCD的周长为（　　） A．8 B． C．6 D．4 【分析】根据菱形的性质得到，∠DAO＝30°，再根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出AD的长即可得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∵∠BAD＝60°， ∴∠DAO＝30°， ∴AD＝2OD， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝OD2+AO2， ∴， ∴AD＝2， ∴菱形ABCD的周长为4AD＝8， 故选：A． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知菱形的性质是解题的关键． 【变式3-3】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝4，则菱形ABCD的周长为（　　） A．48 B．32 C．24 D．16 【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA， ∴△COD为直角三角形． ∵OE＝4，点E为线段CD的中点， ∴CD＝2OE＝8． ∴C菱形ABCD＝4CD＝4×8＝32． 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出CD＝8． 【变式3-4】（2022秋•阳山县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，着EF，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（　　） A．4 B．4 C．4 D．28 【分析】首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可． 【解答】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF， ∴AC＝2EF＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OAAC，OBBD＝2， ∴AB， ∴菱形ABCD的周长为4． 故选：C． 【点评】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解决问题的关键． 【变式3-5】（2023秋•鼓楼区校级期末）已知，如图，∠ABM＝60°，BA＝2，G为射线BM上的一动点，AP为∠BAG的角平分线且交BM于点P，以AP为边在∠ABM内部作菱形APCD，使得∠APC＝60°，DP交AG于点E，连接CE并延长交AB于点F． （1）求证：△AEP≌△CEP； （2）判断CF与BM的位置关系并证明； （3）若△AEF的周长为3，求菱形APCD的周长． 【分析】（1）根据菱形的性质得PA＝PC，∠APD＝∠CPD，据此可依据“SAS”判定△AEP和△CEP全等； （2）先由∠ABM＝60°得∠BAP+∠BPA＝120°，再由∠APC＝60°得∠CPM+∠BPA＝120°，则∠BAP＝∠CPM，由（1）的结论得∠PAE＝∠PCE，然后根据AP为∠BAG的角平分线得∠PAE＝∠BAP，据此可得∠PCE＝∠CPM，据此可判定CF与BM的位置关系； （3）在PM上截取PN＝BA＝2，连接CN，过C作CH∥BA交BM于H，连接PF，先证△BAP和△CPN全等得BP＝CN，∠B＝∠CNP＝60°，进而得△AHN为等边三角形，则CN＝CH＝HN＝BP，再证四边形BHCF为平行四边形得BH＝CF，CH＝BF，由此可得PN＝BH＝CF＝2，然后由△AEF的周长为3，得AE+EF+AF＝CE+EF+AF＝3，据此得AF＝1，则BF＝AF＝BP＝1，则△BPF为等边三角形，进而可证∠BPA＝90°，最后在Rt△BPA中求出PA即可得出菱形APCD的周长． 【解答】（1）证明：∵四边形APCD为菱形， ∴PA＝PC，∠APD＝∠CPD， 在△AEP和△CEP中； ， ∴△AEP≌△CEP（SAS）； （2）解：CF与BM的位置关系是：CF∥BM，证明如下： ∵∠ABM＝60°， ∴∠BAP+∠BPA＝180°﹣∠ABM＝120°， ∵∠APC＝60°， ∴∠CPM+∠BPA＝180°﹣∠APC＝120°， ∴∠BAP＝∠CPM， 由（1）可知：△AEP≌△CEP， ∴∠PAE＝∠PCE， ∵AP为∠BAG的角平分线， ∴∠PAE＝∠BAP， ∴∠PCE＝∠CPM， ∴CF∥BM； （3）解：在PM上截取PN＝BA＝2，连接CN，过C作CH∥BA交BM于H，连接PF，如图所示： 由（2）可知：∠BAP＝∠CPN， 在△BAP和△CPN中， ， ∴△BAP≌△CPN（SAS）， ∴BP＝CN，∠B＝∠CNP＝60°， ∵CH∥BA， ∵∠AHN＝∠B＝60°， ∴△AHN为等边三角形， ∴CN＝CH＝HN＝BP， 由（2）可知：CF∥BM， ∴四边形BHCF为平行四边形， ∴BH＝CF，CH＝BF， ∴CN＝CH＝BF＝BP， ∵PN＝PH+HN，HN＝BP， ∴PN＝PH+BP＝BH＝CF＝2， 由（1）可知：△AEP≌△CEP， ∴AE＝CE， ∵△AEF的周长为3， ∴AE+EF+AF＝3， 即CE+EF+AF＝3， ∴CF+AF＝3， ∵CF＝2， ∴AF＝1， ∵BA＝2， ∴BF＝BA﹣AF＝1， ∴BF＝AF＝BP＝1， ∴△BPF为等边三角形， ∴BF＝BP＝PF＝AF＝1， ∴∠BFP＝∠BPF＝60°，∠FAP＝∠FPA， ∵∠BFP＝∠FAP+∠FPA， ∴∠FAP＝∠FPA＝30°， ∴∠BPA＝∠BPF+∠FPA＝90°， 在Rt△BPA中，AB＝2，BP＝1， 由勾股定理得：PA， ∴菱形APCD的周长＝4PA． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形和平行四边形是解决问题的难点． 题型四 利用菱形的性质求面积 【例题3】（2023秋•武侯区期末）在菱形ABCD中，若对角线AC，BD＝8，则菱形ABCD的面积是 　 　． 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【解答】解：菱形ABCD中，AC，BD＝8， ∴AC⊥BD， ∴菱形ABCD的面积AC•BD＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了菱形面积的计算，熟记菱形的各种计算面积公式是解题的关键． 因为菱形的四边都相等，所以菱形的周长等于边长×4； 菱形的面积计算公式：（1）底×高；（2）对角线乘积的. 【变式3-1】（2023秋•碑林区校级期末）我们常常在建筑中看到四边形的元素．如图，墙面上砌出的菱形窗户的边长为1米（边框宽度忽略不计），其中较小的内角为60°，则该菱形窗户的采光面积为（　　）平方米． A．4 B． C．1 D． 【分析】根据菱形的性质和面积公式解答即可． 【解答】解：∵菱形窗户的边长为1米，较小的内角为60°， ∴菱形的一条对角线为1米，另一条为米， ∴菱形窗户的采光面积（平方米）， 故选：B． 【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出对角线的长度解答． 【变式3-2】（2023秋•峰峰矿区校级期末）如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（　　） A．48 B．24 C．12 D．6 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答． 【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为12和8， ∴菱形的面积6×8＝24， ∵O是菱形两条对角线的交点， ∴阴影部分的面积24＝12． 故选：C． 【点评】本题考查了中心对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键． 【变式3-3】（2024•碑林区校级一模）如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M、N分别是BC、AD的中点，连接AM、CN．若四边形AMCN为菱形，则▱ABCD的面积为（　　） A．7.5 B．9.6 C．12 D．15 【分析】连接AC，由菱形的性质得AM＝CM，再证AMBC，则△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，进而由勾股定理得AC＝4，S△ABCAB•AC＝6，然后由平行四边形的性质即可得出结论． 【解答】解：如图，连接AC， ∵四边形AMCN是菱形， ∴AM＝CM， ∵点M是BC的中点， ∴CMBC， ∴AMBC， ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°， ∴AC4， ∴S△ABCAB•AC3×4＝6， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝2×6＝12， 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质、直角三角形的判定、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 【变式3-4】（2023秋•海淀区校级期末）小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C．a2 D． 【分析】过A作AH⊥BC于H，由四边形ABCD是菱形，得到AB＝BC＝a，又∠B＝60°，推出△ABC是等边三角形，求出AHa，即可求出菱形ABCD的面积． 【解答】解：过A作AH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝a， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AHABa， ∴菱形ABCD的面积＝BC•AHa2． 故选：B． 【点评】本题考查菱形的面积，等边三角形的判定和性质，菱形的面积，关键是由菱形的性质，推出△ABC是等边三角形． 【变式3-5】（2023秋•达州期末）如图，菱形ABCD的边长为26，对角线AC的长为48，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为 　 　． 【分析】连接BD交AC于点O，根据菱形的性质可得BD与AC互相垂直平分，再根据AC平分∠DAB，BF平分∠CBE，可以证明AC∥FB，根据平行线间的距离处处相等可得S△CBG＝S△ABG，进而可得S△ACG＝S△ABC． 【解答】解：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD与AC互相垂直平分， ∴OA＝OC＝24， ∴OB＝OD10， ∵DA∥CB， ∴∠DAB＝∠CBE， ∵AC平分∠DAB， ∴∠CABDAB， ∵BF平分∠CBE， ∴∠FBECBE， ∴∠CAB＝∠FBE， ∴AC∥FB， ∴S△CBG＝S△ABG， ∴S△ACG＝S△ABCAC•OB48×10＝240， 则△ACG的面积为240． 故答案为：240． 【点评】本题考查了菱形的性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 【变式3-6】（2023•下陆区校级开学）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E． （1）求菱形ABCD的面积； （2）求AE的长度． 【分析】（1）根据对角线求解菱形面积； （2）解Rt△OBC，OBBD＝4，OCAC＝3，BC5，根据菱形面积求线段AE． 【解答】解：（1）菱形ABCD的面积AC•BD6×8＝24； （2）菱形ABCD中，AC⊥BD， 在Rt△OBC中，OBBD＝4，OCAC＝3， ∴BC5， ∴S菱形ABCD＝BC⋅AE＝5AE＝24， ∴AE． 【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理；由勾股定理求解线段BC的长是解题的关键． 题型五 利用菱形的性质进行证明 【例题5】（2024•榆阳区校级一模）如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，，，连接AM，AN． 求证：△ABM≌△ADN． 【分析】根据菱形的性质可得AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，根据BMBC，DNDC，可得BM＝DN，利用SAS即可证明 【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D， ∵BMBC，DNDC， ∴BM＝DN， 在△ABM和△ADN中， ， ∴△ABM≌△ADN（SAS）． 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，通过菱形的性质得到BM＝DN是解题的关键． 菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形（特殊时为两个全等的等边三角形），两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以有关菱形的一些证明与计算问题常常与特殊三角形的有关问题综合在一起 . 【变式5-1】（2023秋•汉中期末）已知：如图，菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE＝AF，连接CE，CF．求证：∠AEC＝∠AFC． 【分析】由菱形的性质可得∠BAC＝∠DAC，由“SAS”可证△AEC≌△AFC，可得结论． 【解答】证明：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAC＝∠DAC， ∵AC＝AC，AE＝AF， ∴△AEC≌△AFC（SAS） ∴∠AEC＝∠AFC． 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△AEC≌△AFC是本题的关键． 【变式5-2】（2023秋•府谷县期末）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的点，CE＝CF，连接BE，DF交于点G．求证：BE＝DF． 【分析】根据菱形的性质得出BC＝DC，再根据CE＝CF证明△BCE≌△DCF即可解答． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝DC， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴BE＝DF． 【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 【变式5-3】（2023秋•武功县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F在对角线BD上，且BF＝DE，连接AE，AF．求证：AE＝AF． 【分析】由菱形的性质得到OB＝OD，AC⊥BD，由BF＝DE得到OF＝OE，根据线段垂直平分线的性质即可得到AE＝AF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，AC⊥BD， ∵BF＝DE， ∴BF﹣OB＝DE﹣OD， ∴OF＝OE， ∴AE＝AF． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解决问题的关键． 【变式5-4】（2023秋•渭滨区校级月考）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝CF，DE，DF分别与AC交于点M，N．求证：DM＝DN． 【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定SAS，可以证明△ADE≌△CDF，再利用等腰三角形的性质，可以得到DE＝DF，DM＝DN． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB， ∵BE＝BF， ∴AE＝CF， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）； ∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DAM＝∠DCN， ∵∠ADM＝∠CDN， ∴∠DMA＝∠DNC， ∴∠DMN＝∠DNM， ∴DM＝DN． 【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式5-5】（2023春•江汉区校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AC，BD交于点O，DH⊥AB于点H． （1）若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，求DH的长； （2）连HO，求证：∠BOH＝∠DAH． 【分析】（1）由勾股定理求出AB＝5cm，根据菱形的面积公式可得出答案； （2）由菱形的性质及三角形内角和定理可得出答案． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD， ∵AC＝8cm，BD＝6cm， ∴OA4cm，OBBD＝3cm， ∴AB5（cm）， ∴S菱形ABCDAC•BD＝AB•DH， ∴DH（cm）； （2）证明：∵∠DHB＝90°，OB＝OD， ∴OH＝OB， ∴∠OHB＝∠OBH， ∴∠BOH＝180°﹣2∠OBH， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠DAH＝2∠OAB， ∵∠OAB＝90°﹣∠OBH， ∴∠DAH＝180°﹣2∠OBH， ∴∠BOH＝∠DAH． 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 【变式5-6】（2023秋•安徽月考）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点P为对角线AC上任一点，过点P作EF∥BC分别交AB、CD于点E、F，过点P作GH∥AB分别交AD、BC于点G、H，AH、CE交于点Q，连接PQ． （1）求证：△AEC≌△BHA； （2）求证：∠AQP＝60°． 【分析】（1）由菱形的性质得到AB＝BC，则可证明△ABC是等边三角形，得到AC＝AB，∠B＝∠BAC＝60°，再证明△AEP是等边三角形，得到PE＝AE，接着证明四边形BEPH是平行四边形，得到BH＝PE，推出BH＝AE，即可证明△AEC≌△BHA（SAS）； （2）由全等三角形的性质得到∠ACE＝∠BAH，由平行线的性质得到∠AHG＝∠BAH，则∠AHG＝∠ACE，可推出C、P、Q、H四点共圆，得到∠PQH+∠PCH＝180°，则∠PQH＝120°，由此可得∠AQP＝180°﹣∠PQH＝60°． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB，∠B＝∠BAC＝60°， ∵EF∥BC， ∴∠AEP＝∠B＝60°， ∴△AEP是等边三角形， ∴PE＝AE， 又∵GH∥AB， ∴四边形BEPH是平行四边形， ∴BH＝PE， ∴BH＝AE， ∴△AEC≌△BHA（SAS）； （2）∵△AEC≌△BHA， ∴∠ACE＝∠BAH， ∵GH∥AB， ∴∠AHG＝∠BAH， ∴∠AHG＝∠ACE， ∴C、P、Q、H四点共圆， ∴∠PQH+∠PCH＝180°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠PCH＝60°， ∴∠PQH＝120°， ∴∠AQP＝180°﹣∠PQH＝60°． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质等等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型六 菱形判定的条件 【例题6】（2023秋•二七区校级月考）如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的 是（　　） A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OCAC，OB＝ODBD， ∵OA＝OD，∴AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键． ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 【变式6-1】（2024•西安校级一模）▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD 【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可解答． 【解答】解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形． 故选：C． 【点评】本题综合考查了菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，菱形的判定：①四条边都相等的四边形是菱形菱形．②对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形．③一组邻边相等的平行四边形是菱形菱形． 【变式6-2】（2023秋•榆林期末）如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【分析】翻折后得到的四边形ABDC的四条边都相等． 【解答】解：由AB＝AC，将△ABC沿BC边翻折可得AB＝BD＝CD＝AC，所以根据“四边相等的四边形是菱形”可得四边形ABDC是菱形． 故选：B． 【点评】本题侧重考查菱形的判定，四边相等的四边形是菱形． 【变式6-3】（2024•罗湖区校级开学）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．下列说法不能使平行四边形ABCD为菱形的是（　　） A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明平行四边形ABCD是菱形，可判断A不符合题意；由AB＝BC，可根据菱形的定义证明平行四边形ABCD是菱形，可判断B不符合题意；由AC＝BD，根据“两条对角线相等的平行四边形是矩形”可证明平行四边形ABCD是矩形，但平行四边形ABCD不一定是菱形，可判断C符合题意；由AD∥BC，得∠DAC＝∠BCA，则∠BCA＝∠BAC，所以AB＝BC，可根据菱形的定义证明平行四边形ABCD是菱形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故A不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故B不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，但平行四边形ABCD不一定是菱形， 故C符合题意； 如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， ∵∠DAC＝∠BAC， ∴∠BCA＝∠BAC， ∴AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故D不符合题意， 故选：C． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定等知识，正确地理解和掌握菱形的定义和判定定理是解题的关键． 【变式6-4】（2023秋•南山区期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定定理求解即可． 【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故A不符合题意； 根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形， 故B不符合题意； 一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形， 故C符合题意； 根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故D不符合题意； 故选：C． 【点评】此题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，熟记菱形的判定定理及平行四边形的性质定理是解题的关键． 【变式6-5】（2023秋•顺庆区月考）如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接AF、CE，下列选项可以使四边形AFCE是菱形的为（　　） A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC 【分析】由平行四边形的判定与性质、菱形的判定以及矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵O为AC的中点， ∴OA＝OC， ∵OE＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形，故选项A不符合题意； B、四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵AE＝CF， ∴四边形AFCE是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEO＝∠CFO， ∵O为AC的中点， ∴OA＝OC， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴平行四边形AFCE是菱形，故选项C符合题意； D、∵EF＝AC， ∴平行四边形AFCE是矩形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【变式6-6】（2023春•海伦市期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件 　 　，使四边形AEDF是菱形． 【分析】根据DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立． 【解答】解：DF∥AB，理由如下： ∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠FAD， ∴∠ADF＝∠FAD， ∴FA＝FD， ∴四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 【点评】本题考查菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的需要的条件，利用菱形的判定解答． 【变式6-7】（2022•营口）如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是 　 　．（写出一个即可） 【分析】由平移的性质得AB∥DE，AB＝DE，则四边形ABED是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论． 【解答】解：这个条件可以是 AB＝AD，理由如下： 由平移的性质得：AB∥DE，AB＝DE， ∴四边形ABED是平行四边形， 又∵AB＝AD， ∴平行四边形ABED是菱形， 故答案为：AB＝AD（答案不唯一）． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及平移的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平移的性质是解题的关键． 【变式6-8】（2023春•绥江县期中）在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（6，0），点C在第一象限，且AC＝BC＝6，若存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　 　． 【分析】分三种情况讨论，由菱形的性质和勾股定理可求解． 【解答】解：∵A（0，0），B（6，0）， ∴AB＝6， ∵点C在第一象限，且AC＝BC＝6， ∴AB＝AC＝BC＝6， ∴△ABC是等边三角形， 过点C作CE⊥AB于点E， ∴AE＝BE＝3， ∴CEAE＝3， ∴C（3，3）， 当BC为菱形的对角线时，如图， ∵四边形ABDC为菱形， ∴CD＝AB＝6，AB∥CD， ∴CD+AE＝9， ∴D（9，3）， 当AC为菱形的对角线时， D′与C关于y轴对称， ∴D′（﹣3，3）， 当AB为菱形的对角线时， D′′与C关于x轴对称， ∴D′′（3，﹣3）， 综上所述：点D的坐标为（9，3）或（﹣3，3）或（3，﹣3）． 故答案为：（9，3）或（﹣3，3）或（3，﹣3）． 【点评】本题考查了菱形的判定，坐标与图形性质，含30度角的直角三角形，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 题型七 菱形的判定的证明 【例题7】（2023秋•武功县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，点D为AB的中点，连接CD，过点D作DE∥BC，且DE＝BC，连接BE，求证：四边形BCDE是菱形． 【分析】先证明四边形BCDE是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而证明△BCD为等边三角形得到BC＝CD，根据菱形的判定定理可证得结论． 【解答】证明：∵DE∥BC，且DE＝BC， ∴四边形BCDE是平行四边形． ∵CD为Rt△ABC的斜边AB上的中线， ∴． ∵∠ABC＝60°， ∴△BCD为等边三角形， ∴BC＝CD， ∴四边形BCDE是菱形． 【点评】本题考查菱形的判定，涉及平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，证明△BCD为等边三角形是解答的关键． 证明一个图形是菱形时，关键是看已知条件，若是一般的四边形，则考虑证明四条边相等或对角线互相垂直平分；若是平行四边形，则考虑证明一组邻边相等或对角线互相垂直. 【变式7-1】（2023秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，∠EFC＝2∠ABE． 求证：四边形DBFE是菱形． 【分析】证四边形DBFE是平行四边形，再证DE＝DB，然后由菱形的判定即可得出结论． 【解答】证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠EFC＝2∠ABE＝∠ABC， ∴EF∥AB， ∴四边形DBFE是平行四边形， ∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠DEB， ∴DE＝DB， ∴四边形DBFE是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 【变式7-2】（2023秋•虹口区校级月考）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M为AC中点，MN⊥BD于点O，BN∥DM，求证：BNDM为菱形． 【分析】根据直角三角形的性质得到BM＝DMAC，根据等腰三角形的性质得到∠BMN＝∠DMN，由平行线的性质得到∠BNM＝∠DMN，等量代换得到∠BMN＝∠BNM，求得BM＝BN，得到BN＝DM，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M为对角线AC的中点， ∴BM＝DMAC， ∵MN⊥BD， ∴∠BMN＝∠DMN， ∵BN∥DM， ∴∠BNM＝∠DMN， ∴∠BMN＝∠BNM， ∴BM＝BN， ∴BN＝DM＝BM＝DN， ∴四边形BNDM是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 【变式7-3】（2023秋•锦州期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，EF，FA，若AE＝AF，CE＝CF．求证：四边形ABCD是菱形． 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠AEB＝∠AFD，根据平行四边形的性质得到∠B＝∠D，根据全等三角形的性质得到AB＝AD，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：∵AE＝AF，CE＝CF， ∴∠AEF＝∠AFE，∠CEF＝∠CFE， ∴∠AEF+∠CEF＝∠AFE+∠CFE， ∴∠AEC＝∠AFC， ∴∠AEB＝∠AFD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D， 在△ABE与△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 【变式7-4】（2022春•南丹县期末）已知：如图，在▱ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点． （1）求证：四边形AMCN是平行四边形； （2）当∠ACD满足什么条件时，四边形AMCN是菱形，请说明理由． 【分析】（1）根据平行四边形的性质证得AM∥CN，AD＝BC，根据M，N分别是AD和BC的中点证得AM＝CN即可证得结论； （2）当∠ACD＝90°，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵M、N分别是AD和BC的中点， ∴AMAD，CNBC， ∴AM＝CN， ∵AM∥CN，AM＝CN， ∴四边形AMCN是平行四边形； （2）解：当∠ACD＝90°，四边形AMCN是菱形， 理由如下： ∵M是AD的中点， ∴AM＝DM， ∵∠ACD＝90°， ∴CM＝AM＝DM， ∴AM＝CM， 由（1）知，四边形AMCN是平行四边形， ∴四边形AMCN是菱形． 【点评】本题考查了平行四边形和菱形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，菱形的判定：①四条边都相等的四边形是菱形菱形．②对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形．③一组邻边相等的平行四边形是菱形菱形． 【变式7-5】（2022春•梅江区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2． （1）求证：AE＝CF． （2）若BE＝ED时，求证：四边形EBFD是菱形． 【分析】（1）证明△ADE≌△CBF（AAS），即可得出结论； （2）由平行线的判定得DE∥BF，再由全等三角形的性质得DE＝BF，则四边形EBFD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCF， ∵∠1＝∠2， ∴∠AED＝∠CFB， 在△ADE与△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF； （2）∵∠1＝∠2， ∴DE∥BF． 由（1）知，△ADE≌△CBF， ∴DE＝BF， ∴四边形EBFD是平行四边形， 又∵BE＝ED， ∴平行四边形EBFD是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式7-6】（2024•市南区校级一模）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD． （1）求证：△ECG≌△GHD； （2）当∠B为多少度时，四边形AEGF为菱形，请说明理由． 【分析】（1）证∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，再证FH是△ADE的中位线，得FG是线段ED的垂直平分线，则GE＝GD，∠CGE＝∠GDE，然后由AAS证△ECG≌△GHD即可； （2）由含30°角的直角三角形的性质得AEAD，则AE＝AF＝FG，得四边形AEGF是平行四边形，然后由AE＝AF，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AF＝FG， ∴∠FAG＝∠FGA， ∵AG 平分∠CAB， ∴∠CAG＝∠FAG， ∴∠CAG＝∠FGA， ∴AC∥FG， ∵DE⊥AC， ∴FG⊥DE， ∵FG⊥BC， ∴DE∥BC， ∴AC⊥BC，∠CGE＝∠GED， ∴∠C＝90°， ∵F是AD的中点，FG∥AE， ∴FH是△ADE的中位线， ∴H是ED的中点 ∴FG是线段ED的垂直平分线， ∴GE＝GD，∠DHG＝90°， ∴∠GDE＝∠GED， ∴∠CGE＝∠GDE， 在△ECG和△GHD中， ， ∴△ECG≌△GHD（AAS）； （2）解：当∠B为30°，四边形AEGF为菱形，理由如下： 由（1）得：DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B＝30°， ∴AEAD， ∴AE＝AF＝FG， 由（1）得：AE∥FG， ∴四边形AEGF是平行四边形， ∵AE＝AF， ∴四边形AEGF是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和全等三角形的判定与性质，证明DE∥BC是解题的关键． 【变式7-7】（2024•市南区校级开学）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？请说明理由． 【分析】（1）由AF∥BC，得到两对内错角相等，再由E为中点，得到AE＝DE，利用AAS得到△AFE与△CDE全等，利用全等三角形对应边相等得到AF＝CD，再由BD＝CD，等量代换得到AF＝BD，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； （2）由∠BAC＝90°，AD为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD＝BD由邻边相等的平行四边为菱形，即可得证． 【解答】（1）证明：∵E为AD的中点，D为BC中点， ∴AE＝DE，BD＝CD， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE， 在△AFE和△DCE中， ， ∴△AFE≌△DCE（AAS）， ∴AF＝CD， ∴AF＝BD， ∵AF∥BD ∴四边形AFBD为平行四边形； （2）解：当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形，理由为： ∵E为AD的中点，D为BC中点， ∴AE＝DE，BD＝CD， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE， 在△AFE和△DCE中， ， ∴△AFE≌△DCE（AAS）， ∴AF＝CD， ∴AF＝BD， ∵AF∥BD ∴四边形AFBD为平行四边形； ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴ADBD， ∵四边形AFBD为平行四边形，AD＝BD； ∴四边形AFBD为菱形． 【点评】此题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形与直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 题型八 菱形的性质与判定的综合应用 【例题8】（2023秋•牟平区期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，AD＝2CD．下列结论：①DC⊥AC；②BC＝4OF；③四边形AECF是菱形；④S△BOES△ADC，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】通过判定△ABE为等边三角形求得∠BAE＝60°，利用等腰三角形的性质求得∠EAC＝30°，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④． 【解答】解：∵点E为BC的中点， ∴BC＝2BE＝2CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD， ∵AD＝2CD， ∴BC＝2AB， ∴AB＝BE， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠BAE＝∠BEA＝60°， ∴∠EAC＝∠ECA＝30°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°， 即AB⊥AC， ∵AB∥CD， ∴CD⊥AC，故①正确； 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO， ∴∠CAD＝∠ACB， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AB⊥AC，点E为BC的中点， ∴AE＝CE， ∴平行四边形AECF是菱形，故③正确； ∴AC⊥EF， 在Rt△AOF中，∠CAF＝30°， ∴OFAFADBC，故②正确； 在平行四边形ABCD中，OA＝OC， 又∵点E为BC的中点， ∴S△BOES△BOCS△ABC，故④正确； 正确的结论有4个， 故选：A． 【点评】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键． 菱形的判定可以确定菱形的存在，再利用菱形的性质，可以得出线段或角的对应关系. 【变式8-1】（2023春•高邑县期末）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．则四边形AOBC的面积是（　　） A．4 B．8 C．4 D． 【分析】根据作图可得：OA＝AC＝BC＝OB，从而可得四边形OACB是菱形，然后利用菱形的面积公式进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： OA＝AC＝BC＝OB， ∴四边形OACB是菱形， ∵AB＝2，OC＝4， ∴菱形OACB的面积OC•AB 4×2 ＝4， 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【变式8-2】（2023秋•南海区期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD．测得A，B的距离为3，A，C的距离为2，则B，D的距离是（　　） A． B． C． D． 【分析】先证四边形ABCD是菱形，由勾股定理可求BO，可求解． 【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，连接AC，BD交于点O， ∵两张纸条宽度相同， ∴AE＝AF， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF， ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AO＝COAC＝1，BO＝DO，AC⊥BD， ∵AB＝3， ∴BO2， ∴BD＝2BO＝4， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判断和性质以及勾股定理应用，证得四边形ABCD为菱形是解题的关键． 【变式8-3】（2023•仙居县二模）如图，分别以点A，B为圆心，以大于AB同样长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，连接AB，CD，AC，BC，AD，BD，则下列说法中正确的是（　　） A．CD⊥AB，但CD不一定平分AB B．CD垂直平分AB，但AB不一定垂直平分CD C．AC⊥BC且AC＝BC D．CD与AB互相垂直平分 【分析】根据菱形的性质即可得到结论． 【解答】解：由作法知，AC＝BC＝AD＝BD， ∴四边形ADBC是菱形， ∴AB，CD互相垂直平分， ∴A，B，C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 【变式8-4】（2023春•黄山期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③S△BFGS平行四边形ABCD；④FG⊥AB．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【分析】①根据题意可证明四边形DEBF为平行四边形，继而可判断出此项正确； ②根据①的结论，再结合AD⊥BD，E为边AB的中点得出DE＝BE＝AE可判断出四边形BEDF是菱形； ③，，可得出结论； ④要使FG⊥AB，则BF＝BC＝BG，而因为得不出BF＝BC，即不等得出FG⊥AB． 【解答】解：①∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点， ∴四边形DEBF为平行四边形， ∴DE∥BF，故①正确． ②由①知四边形DEBF为平行四边形， ∵AD⊥BD，E为边AB的中点， ∴DE＝BE＝AE， ∴四边形BEDF是菱形，故②正确． ④∵AG∥DB，AD∥BG，AD⊥BD， ∴AGBD为矩形， ∴AD＝BG＝BC， 要使FG⊥AB，则BF＝BC＝BG， 不能证明BF＝BC，即FG⊥AB不恒成立， 故④不正确． ③由④知BC＝BG， ∴， ∵F为CD中点， ∴， ∴， 故③正确． 综上可得：①②③正确． 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的性质及判定，还有全等三角形的知识，综合性较强，解答此类题目时要注意由结论推条件，把结论当做已知条件求解． 【变式8-5】（2023秋•渝中区校级期末）如图，在直角△AEC中，∠AEC＝90°，B是边AE上一点，连接BC，O为AC的中点，过C作CD∥AB交BO延长线于D，且AC平分∠BCD，连接AD． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）连接OE交BC于F，∠ACD＝27°，求∠CFO的度数． 【分析】（1）证△AOB≌△OCD（ASA），则OB＝OD，再证四边形ABCD是平行四边形，然后证∠BAC＝∠BCA，得AB＝CB，即可得出结论； （2）由菱形的性质得∠ACB＝∠ACD＝27°，则∠ECF＝36°，再由直角三角形斜边上的中线性质得OEAC＝OC，则∠OEC＝∠OCE＝63°，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵CD∥AB， ∴∠OAB＝∠OCD， ∵O为AC的中点， ∴OA＝OC， 在△AOB和△OCD中， ， ∴△AOB≌△OCD（ASA）， ∴OB＝OD， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵CD∥AB， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵AC平分∠BCD， ∴∠BCA＝∠DCA， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝CB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵CD∥AB，∠AEC＝90°， ∴∠DCE+∠AEC＝180°， ∴∠DCE＝90°， ∴∠OCE＝90°﹣∠ACD＝90°﹣27°＝63°， 由（1）可知，四边形ABCD是菱形， ∴∠ACB＝∠ACD＝27°，∠BCD＝2∠ACD＝54°， ∴∠ECF＝90°﹣∠BCD＝90°﹣54°＝36°， ∵∠AEC＝90°，OA＝OC， ∴OEAC＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE＝63°， ∴∠CFO＝∠OEC+∠ECF＝63°+36°＝99°， 即∠CFO的度数为99°． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【变式8-6】（2024•娄星区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF，AF，CE．求证：四边形AFCE是菱形． 【分析】连接AC，交BD于点O，证明平行四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，再证明EO＝FO，则四边形AECF是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【解答】证明：如图，设AC交BD于点O， ∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF， 即EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形AFCE是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【变式8-7】（2023•青羊区校级开学）已知：如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，四边形ABFD是平行四边形，DF交BC于点E，连接AE、CF，CF＝BF． （1）求证：△ADE≌△FCD； （2）如图2，连接DB交AE于点G，连接CG，若AG＝DC．求证：四边形BFCG是菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质得DF∥AB，DA＝BF，所以∠DEC＝∠ABC，而CF＝BF，∠ABC＝∠DCB，所以DA＝CF，∠DEC＝∠DCB，则DE＝CD，再证明∠ABF＝∠DCF，因为∠ABF＝∠EDA，所以∠EDA＝∠DCF，即可证明△ADE≌△FCD； （2）由全等三角形的性质得∠AED＝∠FDC，则AG∥DC，因为AG＝DC，所以四边形AGCD是平行四边形，可推导出CG∥BF，CG＝BF，所以四边形BFCG是平行四边形，而CF＝BF，四边形BFCG是菱形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABFD是平行四边形， ∴DF∥AB，DA＝BF， ∴∠DEC＝∠ABC， ∵CF＝BF，∠ABC＝∠DCB， ∴DA＝CF，∠DEC＝∠DCB， ∴DE＝CD， ∵∠ABC＝∠DCB，∠FBC＝∠FCB， ∴∠ABC+∠FBC＝∠DCB+∠FCB， ∴∠ABF＝∠DCF， ∵∠ABF＝∠EDA， ∴∠EDA＝∠DCF， 在△ADE和△FCD中， ， ∴△ADE≌△FCD（SAS）． （2）∵△ADE≌△FCD， ∴∠AED＝∠FDC， ∴AG∥DC， ∵AG＝DC， ∴四边形AGCD是平行四边形， ∴CG∥DA，CG＝DA， ∵BF∥DA，BF＝DA， ∴CG∥BF，CG＝BF， ∴四边形BFCG是平行四边形， ∴CF＝BF， ∴四边形BFCG是菱形． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明∠DEC＝∠DCB及四边形AGCD是平行四边形是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$