第1章 二次函数（单元测试A卷）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（浙江专用）

第1章 《二次函数》单元测试卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）下列函数中，y关于x的二次函数是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（x﹣1） C． D．y＝（x﹣1）2﹣x2 2．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a+c＝b，则其图象必经过点（　　） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（1，1） D．（﹣1，1） 3．（3分）若二次函数y＝kx2+3x﹣1的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B．且k≠0 C． D．且k≠0 4．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，点（﹣1，y1），（0，y2），（1.5，y3）在该二次函数图象上，则（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2 5．（3分）关于二次函数y＝（x+3）2﹣2，下列说法错误的是（　　） A．图象的开口方向向上 B．图象的顶点坐标为（﹣3，﹣2），函数的最小值为﹣2 C．图象的对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 D．图象可由抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到 6．（3分）如图，在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+c与一次函数y＝ax+c的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，已知抛物线y＝x2+4x+2，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，﹣1），若要在y轴上找一点P，使得PM+PN最小，则点P的坐标为（　　） A．（0，﹣2） B． C． D． 8．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，M是抛物线的顶点，则下列说法正确的是（　　） A．abc＜0 B．b+3a＞0 C．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 D．若CM⊥AM，则 9．（3分）如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面2m时，水面AB的宽度为4m．有下列结论：①当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m； ②当水面下降1m时，水面宽度为； ③当水面下降2m时，水面宽度增加了． 其中，正确的是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（3分）已知函数y＝，若a≤x≤b，m≤y≤n，则下列说法正确的是（　　） A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值 B．当n﹣m＝1时，b﹣a无最大值 C．当b﹣a＝1时，n﹣m有最小值 D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值 二．填空题（每题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位长度，所得抛物线为 　 　． 12．（3分）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝　 　． 13．（3分）如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 　 　． 14．（3分）长春公园拟建一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离和对应的竖直高度呈抛物线型，当喷水管离地面3.2米喷水时，水柱在离水管水平距离3米处离地面竖直高度最大，最大高度是5米．此喷水管可以上下调节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的距离）向内平移了1米，则喷水管需要向下平移 　 　米． 15．（3分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣2和线段MN，点M和点N的坐标分别为（0，4），（5，4），将抛物线向上平移k（k＞0）个单位长度后与线段MN仅有一个交点，则k的取值范围是 　 　． 16．（3分）如图，在抛物线y＝x2的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上．按此规律类推，第2024个正方形的边长是 　 　． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝5x与二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）． （1）求m，c的值； （2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 18．（6分）二次函数的图象顶点坐标为（﹣2，﹣2），且过（1，0）． （1）求该二次函数解析式； （2）当﹣5≤x＜4时，求函数值y的取值范围． 19．（8分）如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD（含隔离栏EF），菜园的一面靠墙MN，墙MN可利用的长度为39m．（篱笆的宽度忽略不计） （1）菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长AB的长，若不可能，说明理由． （2）因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m，求该菜园面积的最大值． 20．（8分）已知抛物线L：y＝ax2﹣5ax+c（a≠0）与x轴交于A（1，0）与B点，与y轴交于点C（0，4），抛物线L′与L关于原点中心对称，且A的对应点为A′，B的对应点为B′，C的对应点为C′． （1）求抛物线L的解析式并直接写出L′的解析式． （2）在x轴上方的抛物线L上有一点M，点M在抛物线L′上的对应点为M′，若四边形MAM′A′的面积为20，请求出M的点坐标． 21．（10分）某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图①，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从A处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡OB上的点C处，以水平地面为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系如图②．已知抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx﹣50a（a≠0），直线OB的函数表达式为，OA＝1米，点E为抛物线的顶点，过点E作EF⊥x轴于点F，点E到y轴的水平距离OF＝20米． （1）请求出抛物线的函数表达式； （2）点M是点E左侧抛物线上一点，过点M作MN∥y轴交坡面OB于点N，若石头运动到M点时到坡面OB的铅直高度MN为米，求此时石头（点M）到y轴的距离． 22．（10分）“高山云雾出好茶”，我国的产茶区大多处于高海拔山区，交通和信息都相对不便．清明节刚过，大学生李明为了能够尽快帮助茶农销售明前新茶，以160元/千克的价格将附近茶农的明前新茶全部收购，并利用网络平台进行网上销售．根据往年的销售经验，这种明前新茶以200元/千克的价格销售，每天可售出80千克，若价格每上涨10元/千克，销售量会减少5千克．设销售单价为x元/千克，每天的销售量为y千克，且销售单价高于收购价，且不超过收购价的2倍． （1）试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）销售单价为多少元时，所获得的日利润最大？最大日利润为多少元？ （3）由于明前新茶产量较少，李明仅收购了320千克，在（2）的条件下全部销售完之后，明后春茶上市．李明提高了m%的收购量收购了一批春茶，以每千克40元的利润进行网上销售，很快被抢购一空，李明再次收购一批春茶，并将收购量再提高m%，每千克的利润不变．所有茶叶全部销售完后，明前新茶和明后春茶共获利80000元，求m的值． 23．（12分）根据以下信息，探索完成任务． 如何设计种植方案？ 素材1 小明以“种植农作物”为主题在自己家100平方米的土地上进行课外实践，现有A、B两种作物的相关信息如下表所示： A作物 B作物 每平方米种植株树（株） 2 10 单株产量（千克） 1.2 0.5 素材2 由于A作物植株间距较大，可增加A作物每平方米的种植株树．经过调研发现，每平方米种植A作物每增加1株，A作物的单株产量减少0.1千克． 素材3 若同时种植A、B两种作物，实行分区域种植． 问题解决 单一种植（全部种植A作物） 任务1：明确数量关系 设每平方米增加x株A作物（x为正整数），则每平方米有 　 　株，单株产量为 　 　千克． （用含x的代数式表示） 任务2：计算产量 要使A作物每平方米产量为4.8千克，则每平方米应种植多少株？ 分区种植（种植A、B两种作物） 任务3：规划种植方案 设这100平方米的土地中有a平方米用于种植A作物，且每平方米产量最大，其余区域按照每平方米10株种植B作物，当这100平方米总产量不低于496千克时，则a的取值范围是 　 　. 24．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a≠0）． （1）若a为整数，二次函数图象过点（n，0）（其中n是正整数），求抛物线的对称轴． （2）若M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点． ①当x1+x2＝4时，y1＝y2，求a的值． ②若对于x1＞x2≥2，都有y1＞y2，求a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 《二次函数》单元测试卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）下列函数中，y关于x的二次函数是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（x﹣1） C． D．y＝（x﹣1）2﹣x2 【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论． 【解答】解：A、当a＝0时，y＝bx+c不是二次函数； B、y＝x（x﹣1）＝x2﹣x是二次函数； C、y＝不是二次函数； D、y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1为一次函数． 故选：B． 2．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a+c＝b，则其图象必经过点（　　） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（1，1） D．（﹣1，1） 【分析】当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c 且a+c＝b，则y＝0，所以图象过（﹣1，0） 【解答】解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c 且a+c＝b ∴y＝0 ∴抛物线图象过点（﹣1，0） 故选：B． 3．（3分）若二次函数y＝kx2+3x﹣1的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B．且k≠0 C． D．且k≠0 【分析】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到Δ＝32﹣4k×（﹣1）≥0，然后解不等式即可得到k的值． 【解答】解：∵二次函数y＝kx2+3x﹣1的图象与x轴有公共点， ∴Δ＝32﹣4k×（﹣1）≥0， 解得k≥﹣， 又∵y＝kx2﹣4x+4是二次函数， ∴k≠0， ∴k的取值范围是k≥﹣且k≠0． 故选：D． 4．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，点（﹣1，y1），（0，y2），（1.5，y3）在该二次函数图象上，则（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2 【分析】由图象可知，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，根据x＜1时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1， ∵点（1.5，y3）关于直线x＝1的对称点是（0.5，y3）， ∵﹣1＜0＜0.5， ∴y1＜y2＜y3， 故选：C． 5．（3分）关于二次函数y＝（x+3）2﹣2，下列说法错误的是（　　） A．图象的开口方向向上 B．图象的顶点坐标为（﹣3，﹣2），函数的最小值为﹣2 C．图象的对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 D．图象可由抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：A、∵二次函数y＝（x+3）2﹣2， ∴a＝1＞0，函数的图象开口向上，正确，不符合题意； B、图象的顶点坐标为（﹣3，﹣2），函数的最小值为﹣2，正确，不符合题意； C、图象的对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y随x的增大而减小，正确，不符合题意； D、图象可由抛物线y＝x2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，不正确，符合题意； 故选：D． 6．（3分）如图，在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+c与一次函数y＝ax+c的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】先由一次函数y＝ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+c的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，不一致； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，不一致； 都过点（0，c），正确； C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，不交于y轴同一点，不一致； D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，都过点（0，c），一致； 故选：D． 7．（3分）如图，已知抛物线y＝x2+4x+2，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，﹣1），若要在y轴上找一点P，使得PM+PN最小，则点P的坐标为（　　） A．（0，﹣2） B． C． D． 【分析】先求出点M的坐标，然后找到点N关于y轴的对称点N′，再利用待定系数法即可求出直线MN'的解析式，即可求出答案． 【解答】解：由y＝x2+4x+2得：y＝（x+2）2﹣2， ∴M（﹣2，﹣2）， 作N点关于y轴的对称点N′， 连接MN′交y轴于P点， ∵N（﹣1，﹣1）， ∴N′（1，﹣1）， 设MN′为y＝mx+n，代入M（﹣2，﹣2），N'（1，﹣1），得：， ∴， ∴MN'为， 当x＝0时，，即， 故选：B． 8．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，M是抛物线的顶点，则下列说法正确的是（　　） A．abc＜0 B．b+3a＞0 C．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 D．若CM⊥AM，则 【分析】根据抛物线的位置判断即可；利用对称轴公式，可得b＝﹣4a，可得结论；应该是x＞2时，y随x的增大而增大；设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．利用相似三角形的性质，构建方程求出a即可． 【解答】解：A．∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴是直线x＝2， ∴， ∴b＝﹣4a＜0 ∵抛物线交y轴的负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，故不正确，不符合题意， B．∵b＝﹣4a，a＞0， ∴b+3a＝﹣a＜0，故不正确，不符合题意， C．观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，不正确，不符合题意， D．∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0）， ∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a， ∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a）， 过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K． ∵AM⊥CM， ∴∠AMC＝∠KMH＝90°， ∴∠CMH＝∠KMA， ∵∠MHC＝∠MKA＝90°， ∴△MHC∽△MKA， ∴， ∴， ∴， ∵a＞0， ∴，故正确，符合题意； 故选：D． 9．（3分）如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面2m时，水面AB的宽度为4m．有下列结论：①当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m； ②当水面下降1m时，水面宽度为； ③当水面下降2m时，水面宽度增加了． 其中，正确的是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】以线段AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．设出二次函数解析式，把点C、B的坐标代入后可得二次函数解析式． ①水面宽度为5m，根据二次函数的对称性可得x＝2.5，代入二次函数解析式可得y的值，求出y的绝对值即为水面下降的高度； ②水面下降1m，取y＝﹣1，求得x的两个值，让较大的数减去较小的数即可求得水面的宽度； ③水面下降2m，取y＝﹣2，求得x的两个值，让较大的数减去较小的数即可求得水面的宽度，减去原来水面的宽度即为水面增加的宽度； 求得以上数据后即可判断正确的选项有几个． 【解答】解：以线段AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． 由题意得：点C的坐标为（0，2），点B的坐标为（2，0）． 设抛物线解析式为：y＝ax2+k． ∴． 解得：． ∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2． ①当水面宽度为5m时，x＝2.5． ∴y＝﹣×+2＝﹣1.125． ∵|﹣1.125|＝1.125， ∴当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m． 故①正确，符合题意； ②当水面下降1m时，y＝﹣1． ∴﹣x2+2＝﹣1． 解得：x＝±． ∴水面宽度为：﹣（﹣）＝2（m）． 故②正确，符合题意； ③当水面下降2m时，y＝﹣2． ∴﹣x2+2＝﹣2． 解得：x＝±2． ∴水面宽度为：2﹣（﹣2）＝4（m）． ∴水面宽度增加了（4﹣4）m． 故③正确，符合题意； ∴正确的有3个． 故选：D． 10．（3分）已知函数y＝，若a≤x≤b，m≤y≤n，则下列说法正确的是（　　） A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值 B．当n﹣m＝1时，b﹣a无最大值 C．当b﹣a＝1时，n﹣m有最小值 D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值 【分析】根据题意画出函数图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可． 【解答】解：如图： 由图可知：当x≤0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大， 当a≤b≤0时，m＝b2，n＝a2， 当n﹣m＝1时，即：a2﹣b2＝1， ∴（a﹣b）（a+b）＝1， ∴b﹣a＝﹣+1，当a+b的值越小，b﹣a越小，无限接近0，但不等于0，即b﹣a没有最小值， 当0＜a≤b时，m＝a，n＝b， 当n﹣m＝1时，b﹣a＝1， 当a＜0＜b时，m＝0， n﹣m＝1时，n＝1，当a＝﹣1，b＝1时，b﹣a的值最大，为1﹣（﹣1）＝2， 综上：当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值，无最小值， 故选项A，B错误； 当a≤b≤0时，m＝b2，n＝a2， 当b﹣a＝1时，即：n﹣m＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝﹣（a+b）， ∴当a+b越小时，n﹣m的值越大，即n﹣m没有最大值， 当0＜a≤b时，m＝a，n＝b， 当b﹣a＝1时，n﹣m＝b﹣a＝1； 当a＜0＜b时，m＝0， 当b﹣a＝1时，x＝a和x＝b的函数值相同时，n﹣m的值最小， 综上：当b﹣a＝1，n﹣m有最小值，无最大值； 故选项C正确，D错误． 故选：C． 二．填空题（每题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位长度，所得抛物线为 　 　． 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式． 【解答】解：将抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2向左平移2个单位长度得到解析式：y＝（x+1）2+2， 故答案为：y＝（x+1）2+2． 12．（3分）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝　 　． 【分析】用韦达定理求解即可． 【解答】解：由韦达定理得： x1+x2＝﹣＝2， 故答案为2． 13．（3分）如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 　 　． 【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，2），且DC∥x轴，从而求得P的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标． 【解答】解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上， ∴4＝4a，解得a＝1， ∴抛物线为y＝x2， ∵点A（﹣2，4）， ∴B（﹣2，0）， ∴OB＝2， ∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD， ∴D点在y轴上，且OD＝OB＝2， ∴D（0，2）， ∵DC⊥OD， ∴DC∥x轴， ∴P点的纵坐标为2， 代入y＝x2，得2＝x2， 解得x＝±， ∴P（，2）． 故答案为（，2）． 14．（3分）长春公园拟建一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离和对应的竖直高度呈抛物线型，当喷水管离地面3.2米喷水时，水柱在离水管水平距离3米处离地面竖直高度最大，最大高度是5米．此喷水管可以上下调节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的距离）向内平移了1米，则喷水管需要向下平移 　 　米． 【分析】根据题意求出抛物线解析式，再求出落水点的坐标，从而推出平移后的落水点坐标，再利用待定系数法求出平移距离即可． 【解答】解：根据题意，抛物线顶点坐标为（3，5），设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+5，将点（0，3.2）代入解析式得： a（0﹣3）2+5＝3.2， ∴a＝﹣， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5， 当y＝0时，0＝﹣（x﹣3）2+5， 解得x1＝8，x2＝﹣2， ∴落水点为（8，0）， 由题意可知图象上下平移水柱形状不变，设平移后抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5+b， ∵调节后的落水点（水落到地面的距离）向内平移了1米， ∴落水点坐标为（7，0），将坐标代入解析式得： ﹣（7﹣3）2+5+b＝0，解得b＝﹣， ∴喷水管需要向下平移米． 故答案为：． 15．（3分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣2和线段MN，点M和点N的坐标分别为（0，4），（5，4），将抛物线向上平移k（k＞0）个单位长度后与线段MN仅有一个交点，则k的取值范围是 　 　． 【分析】由题意可知，将抛物线向上平移k（k＞0）个单位长度后抛物线为y＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2+k，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段MN上，当抛物线经过点N（5，4）时，求出对应k的值，结合图形即可求解． 【解答】解：y＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2， 将抛物线向上平移k（k＞0）个单位长度后抛物线为y＝﹣（x﹣2）2+2+k， 当抛物线顶点恰好平移到线段MN上，此时，2+k＝4，可得k＝2； 当抛物线经过点M（0，4）时，此时﹣（0﹣2）2+2+k＝4，可得k＝6， 此时M（0，4）关于对称轴x＝2对称的点M′（4，4），在线段MN上，不符合题意； 当抛物线经过点N（5，4）时，此时﹣（5﹣2）2+2+k＝4，可得k＝11， 此时N（5，4）关于对称轴x＝2对称的点N′（﹣1，4），不在线段MN上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段MN仅有一个交点时，k＝2或6＜k≤11； 故答案为：k＝2或6＜k≤11． 16．（3分）如图，在抛物线y＝x2的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上．按此规律类推，第2024个正方形的边长是 　 　． 【分析】依据题意，直线OA1是第一象限的角平分线，故解析式为y＝x，联立方程求得A1的坐标，进而求得第一个正方形边长和B1的坐标，即可得直线B1A2的解析式为y＝x+2，联立方程求得A2的坐标，进而求得第二个正方形的边长和B2的坐标，即可得到直线B2A3的解析式为y＝x+6，联立方程求得A3的坐标，即可求得第三个正方形的边长……，以此类推得出规律，即可得到第2024个正方形的边长． 【解答】解：根据题意，∠B1OA1＝45°，即直线OA1是第一象限的角平分线，则解析式为y＝x， 联立， 解得或． 故A1（1，1）， ∴OA1＝＝，OB1＝2，即第1个正方形边长为． ∵∠B2B1A2＝45°＝∠B1OA1， ∴直线B1A2的解析式中的x系数与直线OA1的解析式中x系数相等，且经过B1（0，2）． ∴直线B1A2的解析式为y＝x+2， 联立， 解得或． 故A2（2，4）， ∴A2B1＝＝2，OB2＝6，即第2个正方形边长为2． ∵∠B3B2A3＝45°＝∠B2B1A2， ∴直线B2A3的解析式中的x系数与直线OA1的解析式中x系数相等，且经过B2（0，6）， ∴直线B2A3的解析式为y＝x+6， 联立， ∴解得或． 故A3（3，9）． ∴A3B2＝＝3，OB3＝12，即第3个正方形边长为3． … 按此规律类推，第n个正方形的边长为n． ∴第2024个正方形的边长是2024． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝5x与二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）． （1）求m，c的值； （2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 【分析】（1）将点A的坐标（﹣1，m）代入正比例函数的解析式，求出m的值，再将求出的点A的坐标代入二次函数的解析式，就可以求出c的值； （2）将求出的二次函数的解析式的一般式化为顶点式，就直接求出抛物线的对称轴和顶点坐标． 【解答】解：（1）把点A（﹣1，m）代入正比例函数y＝5x，得m＝﹣5， 所以点A坐标为（﹣1，﹣5）； 把点A坐标（﹣1，﹣5）代入二次函数y＝﹣x2+2x+c，得：﹣5＝﹣1﹣2+c， 解得c＝﹣2． （2）把c＝﹣2代入二次函数，得y＝﹣x2+2x﹣2＝﹣（x2﹣2x+2）＝﹣（x2﹣2x+1﹣1+2）＝﹣（x﹣1）2﹣1， 所以二次函数图象的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，﹣1）． 18．（6分）二次函数的图象顶点坐标为（﹣2，﹣2），且过（1，0）． （1）求该二次函数解析式； （2）当﹣5≤x＜4时，求函数值y的取值范围． 【分析】（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x+2）2﹣2，将点（1，0）代入上式即可求解； （2）根据x的取值范围和函数图象可以求得相应的y的取值范围． 【解答】解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x+2）2﹣2， x＝1时，y＝a（1+2）2﹣2＝0，解得：a＝， 故抛物线的表达式为：y＝（x+2）2﹣2； （2）当x＝﹣2时，y＝﹣2， 当x＝4时，y＝6， ∴当﹣5≤x＜4时，函数值y的取值范围是﹣2≤y＜6， 故答案为：﹣2≤y＜6． 19．（8分）如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD（含隔离栏EF），菜园的一面靠墙MN，墙MN可利用的长度为39m．（篱笆的宽度忽略不计） （1）菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长AB的长，若不可能，说明理由． （2）因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m，求该菜园面积的最大值． 【分析】（1）设AB的长为x m，则BC的长为（60﹣3x）m，根据矩形的面积＝252列出方程，解方程取符合题意的值即可； （2）设AB的长为x m，菜园面积为y m2，根据矩形的面积列出函数解析式，根据函数的性质求最值． 【解答】解：（1）设AB的长为x m，则BC的长为（60﹣3x）m， 根据题意得：x（60﹣3x）＝252， 解得x＝6或x＝14， 当x＝6时，BC＝60﹣18＝42＞39，舍去； 当x＝14时，BC＝60﹣42＝18＜39，满足题意， ∴花园面积可能是252m2，此时边AB长为14m； （2）设AB的长为x m，菜园面积为y m2， 由题意得：y＝x（60﹣3x）＝﹣3x2+60x＝﹣3（x﹣10）2+300， ∵﹣3＜0， ∴当x＜10时，y随x的增大而增大， ∵x≤8， ∴当x＝8时，y最大，最大值为288． 答：该菜园面积的最大值为288平方米． 20．（8分）已知抛物线L：y＝ax2﹣5ax+c（a≠0）与x轴交于A（1，0）与B点，与y轴交于点C（0，4），抛物线L′与L关于原点中心对称，且A的对应点为A′，B的对应点为B′，C的对应点为C′． （1）求抛物线L的解析式并直接写出L′的解析式． （2）在x轴上方的抛物线L上有一点M，点M在抛物线L′上的对应点为M′，若四边形MAM′A′的面积为20，请求出M的点坐标． 【分析】（1）依据题意，由抛物线L与x轴交于A（1，0）与B点，与y轴交于点C（0，4），可得方程组，求出a，c进而可得抛物线L的解析式，再根据中心对称的性质，即可计算抛物线L′的解析式； （2）依据题意，设M（x，x2﹣5x+4），则M'为（﹣x，﹣x2﹣5x﹣4），故S四边形MAM′A′＝AA'•2|x2﹣5x+4|＝20，解方程即可计算得解． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线L与x轴交于A（1，0）与B点，与y轴交于点C（0，4）， ∴． ∴． ∴抛物线L的解析式为y＝x2﹣5x+4． 又抛物线L′与L关于原点中心对称， ∴抛物线L′的解析式为：﹣y＝（﹣x）2﹣5（﹣x）+4，即y＝﹣x2﹣5x﹣4． （2）由题意，如图， 设M（x，x2﹣5x+4），则M'为（﹣x，﹣x2﹣5x﹣4）， ∴S四边形MAM′A′＝AA'•2|x2﹣5x+4|＝20． 又∵A（1，0），A'（﹣1，0）， ∴AA'＝2． ∴|x2﹣5x+4|＝10． ∴x2﹣5x+4＝10或x2﹣5x+4＝﹣10． ∴x＝6或x＝﹣1． ∴M（﹣1，10）或（6，10）． 21．（10分）某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图①，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从A处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡OB上的点C处，以水平地面为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系如图②．已知抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx﹣50a（a≠0），直线OB的函数表达式为，OA＝1米，点E为抛物线的顶点，过点E作EF⊥x轴于点F，点E到y轴的水平距离OF＝20米． （1）请求出抛物线的函数表达式； （2）点M是点E左侧抛物线上一点，过点M作MN∥y轴交坡面OB于点N，若石头运动到M点时到坡面OB的铅直高度MN为米，求此时石头（点M）到y轴的距离． 【分析】（1）将A（0，1）代入y＝ax2+bx﹣50a，进而得出a，根据对称轴为直线x＝20，进而求得b的值，即可求解； （2）根据题意，解方程，即可求解． 【解答】解：（1）由题可得，将A（0，1）代入y＝ax2+bx﹣50a得，﹣50a＝1， ∴， ∵抛物线的顶点横坐标为20， ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为． （2）由题意可得：， 解得x1＝5，x2＝25（舍去）， ∴此时石头到y轴的距离为5米． 22．（10分）“高山云雾出好茶”，我国的产茶区大多处于高海拔山区，交通和信息都相对不便．清明节刚过，大学生李明为了能够尽快帮助茶农销售明前新茶，以160元/千克的价格将附近茶农的明前新茶全部收购，并利用网络平台进行网上销售．根据往年的销售经验，这种明前新茶以200元/千克的价格销售，每天可售出80千克，若价格每上涨10元/千克，销售量会减少5千克．设销售单价为x元/千克，每天的销售量为y千克，且销售单价高于收购价，且不超过收购价的2倍． （1）试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）销售单价为多少元时，所获得的日利润最大？最大日利润为多少元？ （3）由于明前新茶产量较少，李明仅收购了320千克，在（2）的条件下全部销售完之后，明后春茶上市．李明提高了m%的收购量收购了一批春茶，以每千克40元的利润进行网上销售，很快被抢购一空，李明再次收购一批春茶，并将收购量再提高m%，每千克的利润不变．所有茶叶全部销售完后，明前新茶和明后春茶共获利80000元，求m的值． 【分析】（1）根据题意列函数解析式即可； （2）设日利润为w元，根据题意列函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论； （3）根据题意列方程，解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）由题意得y＝80﹣5×， ∵160＜x≤2×160， ∴160＜x≤320， ∴y与x之间的函数关系式为，（160＜x≤320）； （2）设日利润为w元，根据题意得： ， ∵，且160＜x≤320， ∴当 x＝260时，w有最大值为5000元； （3）由题意可知：320×（260﹣160）+320×40（1+m%）+320×40（1+m%）2＝80000， 解得：m1＝50，m2＝﹣350＜0 （舍去）， ∴m的值为50． 23．（12分）根据以下信息，探索完成任务． 如何设计种植方案？ 素材1 小明以“种植农作物”为主题在自己家100平方米的土地上进行课外实践，现有A、B两种作物的相关信息如下表所示： A作物 B作物 每平方米种植株树（株） 2 10 单株产量（千克） 1.2 0.5 素材2 由于A作物植株间距较大，可增加A作物每平方米的种植株树．经过调研发现，每平方米种植A作物每增加1株，A作物的单株产量减少0.1千克． 素材3 若同时种植A、B两种作物，实行分区域种植． 问题解决 单一种植（全部种植A作物） 任务1：明确数量关系 设每平方米增加x株A作物（x为正整数），则每平方米有 　 　株，单株产量为 　 　千克． （用含x的代数式表示） 任务2：计算产量 要使A作物每平方米产量为4.8千克，则每平方米应种植多少株？ 分区种植（种植A、B两种作物） 任务3：规划种植方案 设这100平方米的土地中有a平方米用于种植A作物，且每平方米产量最大，其余区域按照每平方米10株种植B作物，当这100平方米总产量不低于496千克时，则a的取值范围是 　 　. 【分析】任务一：根据题意直接得出结论； 任务二：根据单株产量×每平米的株数＝4.8列出方程，解方程即可； 任务三：现根据种植A作物每平米的产量＝单株产量×每平米的株数列出函数解析式，根据函数的性质求出种植A作物每平米的最高产量，再根据100平米种植A作物和B作物的产量之和≥496列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：任务一：设每平方米增加x株A作物（x为正整数），则每平方米有（2+x）株，单株产量为（1.2﹣0.1x）千克， 故答案为：（2+x），（1.2﹣0.1x）； 任务二：根据题意得：（2+x）（1.2﹣0.1x）＝4.8， 整理得：x2﹣10x+24＝0， 解得：x1＝4，x2＝6， ∴x+2＝6或x+2＝8， 答：每平方米应种植6株或8株； 任务三：设种植A作物每平方米的产量为y千克， 根据题意得：y＝（2+x）（1.2﹣0.1x）＝﹣0.1x2+x+2.4＝﹣0.1（x﹣5）2+4.9， ∵﹣0.1＜0， ∴当x＝5时，y有最大值，最大值为4.9， ∴种植A作物每平方米最大产量为4.9千克， 根据题意得：4.9a+（100﹣a）×10×0.5≥496， 解得a≤40， 则a的取值范围是a≤40， 故答案为：a≤40． 24．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a≠0）． （1）若a为整数，二次函数图象过点（n，0）（其中n是正整数），求抛物线的对称轴． （2）若M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点． ①当x1+x2＝4时，y1＝y2，求a的值． ②若对于x1＞x2≥2，都有y1＞y2，求a的取值范围． 【分析】（1）把代入（n，0）y＝ax2﹣（a+1）x，求得n1＝0，，从而可得a＝1，再代入对称轴公式求解即可； （2）①根据对称轴为直线，进行求解即可； ②根据二次函数的图象与性质可得 ，即可求解． 【解答】解：（1）把代入（n，0）y＝ax2﹣（a+1）x，得an2﹣（a+1）n＝0， 解得，n1＝0，． ∵n是正整数，a为整数， ∴n1＝0（舍去），．则a＝1， ∴对称轴为直线． （2）①∵x1+x2＝4时，y1＝y2， ∴M（x1，y1），N（x2，y2）两点关于抛物线的对称轴对称， 则对称轴为直线， ∴． ②由题意可知，对于任意的x≥2，y随x的增大而增大， 可得 ，解得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$