专题04 根与系数的关系的五种常见应用-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（湘教版）

专题04 根与系数的关系的五种常见应用 题型一：求两根之和、两根之积 题型二：已知方程，求有关两根的代数式的值 题型三：已知两方程，求含两未知数的代数式的值 题型四：已知方程，求字母系数的值 题型五：已知两根，求一元二次方程 题型一：求两根之和、两根之积 若是方程的两个根，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握若是方程的两个根，则．直接利用一元二次方程根与系数的关系解题即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ， 故选：A． 一．选择题（共3小题） 1．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，根据根与系数关系可得，，代入即可解答． 【详解】解：∵是一元二次方程，即的两个实数根， ∴，， ∴． 故选：D 2．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：B． 3.已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，直接根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故选：D． 题型二：已知方程，求有关两根的代数式的值 已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 一．选择题（共4小题） 1．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则 ． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分， ，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 2．若方程 的两根为，，则 的值为：（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，根据方程 的两根为，得，，根据进行计算即可得；掌握一元二次方程根与系数的关系，代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵方程 的两根为， ∴， ∴， 故选：B． 3．已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 根据一元二次方程的解得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， 即， ∴ ， 故选：A． 4.已知a，b是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及方程解的定义，根据所对应的代数式进行适当的变形是解题关键． 首先得到，，然后将原式变形代入求解即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个根， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 题型三：已知两方程，求含两未知数的代数式的值 已知，则的值是（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，求代数式的值，根据题意得到可以看作方程的两个实数根，则，把代数式变形后整体代入即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴可以看作方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C 一、单选题（共5小题） 1.已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．14 B．7 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，以及根与系数的关系，根据，，可得，可得是一元二次方程的两个根，根据跟与系数的关系即可解答，熟练掌握解的意义和根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 是一元二次方程的两个根， 可得， ， 故选：B． 2.已知实数满足，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系等知识，由题意得到是一元二次方程的两个实数根，再由根与系数的关系得到，再化简代值即可得到答案． 【详解】解：实数满足，， 是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：B． 3.已知两个不等实数，满足，，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，根据题意得、为方程的两个根，得到，，将转化为，然后代入计算即可．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 【详解】解：∵两个不等实数，满足，， ∴、为方程的两个根， ∴，， ∴， ∴的值为． 故选：A． 4.若，且有，及，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了构造一元二次方程解题，正确构造方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．根据，方程除以得，从而得到是方程的两个根，根据根与系数关系定理，得，故是． 【详解】解：根据，方程除以得， 故是方程的两个根， 根据根与系数关系定理，得， 故是． 故选：A． 5.已知实数，满足，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，将变形为据此可知，为方程 的两个实数根，根据根与系数的关系得到，，整理得，，代入所求代数式化简即可，熟练掌握根与系数的关系及分式的化简是解题的关键． 【详解】解：，易得，方程两侧同除得： ， 又∵，且， ∴，为方程 的两个实数根， ∴，，整理得，， ∴， 故选：． 题型四：已知方程，求字母系数的值 已知关于x的一元二次方程． (1)若这个方程没有实数根，求k的取值范围． (2)方程的两个根分别为，，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式； （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：方程没有实数根， ， ； （2）方程的两个根分别为 ，， ， ， ， ． 一、单选题（共2小题） 1.已知关于x的一元二次方程有两个实数根和，且，m的值为（    ） A．或1 B．或0 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和跟的判别式，先根据根的情况得出判别式为非负数，求出m的范围，再根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，根据，得出或，然后代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵一元二次方程有两个实数根和， ∴， ∵， ∴或， 当时，，解得； 当，即时，，解得， 综上，， 故选：D． 2.设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　） A．1 B． C．3或 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出，再得出，得出关于m的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ， 解得：或， 当时，原方程为，， 则原方程有实数根，符合题意； 当时，原方程为，， 则原方程无实数根，不符合题意； 综上：． 故选：A． 二、解答题（共4小题） 3.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k为何实数，方程总有两个实数根； (2)若一元二次方程有两个根和，且，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)k的值为0或． 【分析】本题主要考查了根的判别式及根与系数的关系，熟知一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． （1）利用根的判别式即可解决问题； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得出两根之和，再结合，求出两根即可解决问题． 【详解】（1）证明：△， 无论为何实数，方程总有两个实数根； （2）解：由根与系数的关系知， ， 又， 则联立方程组， 解得． 将代入原方程得， ， 解得或， 的值为0或． 4.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两根，且，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系（，方程有两个不等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；），熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据根的判别式进行证明即可； （2）由得到或，再根据以上两种情况结合一元二次方程根与系数的关系讨论，即可解题． 【详解】（1）证明：∵ ， ， ∴无论m取任何实数，该方程总有实数根； （2）解：， 或， ①当时， ， 解得， ①当时，， 解得， 综上可知或. 5.关于x的方程， 的两个实数根为 (1)若等腰三角形，其中两边的长度为 且另一边的边长为6，求 的周长； (2)若 求m的值 【答案】(1)的周长为或 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一元二次方程根的定义，等腰三角形的定义； （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得判别式大于，据此建立关于的不等式，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可分别表示出与的值，利用条件可得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）解：∵的两个实数根为 ∴ 解得： 当时，， 则 解得： ∵等腰三角形其中两边的长度为 且另一边的边长为6， ∴周长为 当，则有一个根为， ∴ 解得：或（舍去） ∴原方程为 解得: ∴的周长为， 综上所述，的周长为或 （2）∵的两个实数根为 ∴ 又∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴或 由（1）可得，当时， 当时， ∴ ∴ 解得： 综上所述，或 6.已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， ∴ 解得：． （2）解：原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去）， 题型五：已知方程，求一元二次方程 下列方程中两根之和为2的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】解：A、的两根之和为，故A错误； B、由可知：，该方程无实数根，故B错误； C、的两根之和为，故C正确； D、的两根之和为，故D错误． 故选：C． 一、单选题（共5小题） 1．若，，则以，为根的一元二次方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴以，为根的一元二次方程是， 故选：A． 2．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．已知一元二次方程的两根分别为，，且；，则b，c的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，根据根与系数关系列式计算求解即可． 【详解】 故选：B． 4．已知方程，求作一个一元二次方程，使它的根分别是原方程各根的倒数，则这个一元二次方程是（　　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．设方程两个为，，根据根与系数的关系得到，，再分别计算和，然后根据根与系数的关系写出以和为两根的一元二次方程． 【详解】解：设方程两个为，， 根据题意得，， 所以，， 所以以和为两根的一元二次方程为． 故选：C． 5．下列一元二次方程中，有两个互为倒数的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根与系数的关系，根据两个根互为倒数，得到两根之积为1，进行判断即可． 【详解】解：A、,两根之积为，不符合题意； B、，两根之积为，不符合题意； C、，方程没有实数根，不符合题意； D、，且两根之积为1，符合题意； 故选D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 根与系数的关系的五种常见应用 题型一：求两根之和、两根之积 题型二：已知方程，求有关两根的代数式的值 题型三：已知两方程，求含两未知数的代数式的值 题型四：已知方程，求字母系数的值 题型五：已知两根，求一元二次方程 题型一：求两根之和、两根之积 若是方程的两个根，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握若是方程的两个根，则．直接利用一元二次方程根与系数的关系解题即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ， 故选：A． 一．选择题（共3小题） 1．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A．4 B． C． D．2 2．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是(   ) A． B． C． D． 3.已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型二：已知方程，求有关两根的代数式的值 已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 一．选择题（共4小题） 1．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 2．若方程 的两根为，，则 的值为：（   ） A．2 B． C． D． 3．已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C．2024 D．2025 4.已知a，b是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 题型三：已知两方程，求含两未知数的代数式的值 已知，则的值是（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，求代数式的值，根据题意得到可以看作方程的两个实数根，则，把代数式变形后整体代入即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴可以看作方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C 一、单选题（共5小题） 1.已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．14 B．7 C． D．1 2.已知实数满足，，则的值为（　　） A． B． C． D． 3.已知两个不等实数，满足，，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 4.若，且有，及，则的值是（    ） A． B． C． D． 5.已知实数，满足，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型四：已知方程，求字母系数的值 已知关于x的一元二次方程． (1)若这个方程没有实数根，求k的取值范围． (2)方程的两个根分别为，，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式； （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：方程没有实数根， ， ； （2）方程的两个根分别为 ，， ， ， ， ． 一、单选题（共2小题） 1.已知关于x的一元二次方程有两个实数根和，且，m的值为（    ） A．或1 B．或0 C． D．1 2.设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　） A．1 B． C．3或 D．1或 二、解答题（共4小题） 3.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k为何实数，方程总有两个实数根； (2)若一元二次方程有两个根和，且，求k的值． 4.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两根，且，求m的值． 5.关于x的方程， 的两个实数根为 (1)若等腰三角形，其中两边的长度为 且另一边的边长为6，求 的周长； (2)若 求m的值 6.已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值． 题型五：已知方程，求一元二次方程 下列方程中两根之和为2的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】解：A、的两根之和为，故A错误； B、由可知：，该方程无实数根，故B错误； C、的两根之和为，故C正确； D、的两根之和为，故D错误． 故选：C． 一、单选题（共5小题） 1．若，，则以，为根的一元二次方程是（      ） A． B． C． D． 2．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 3．已知一元二次方程的两根分别为，，且；，则b，c的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知方程，求作一个一元二次方程，使它的根分别是原方程各根的倒数，则这个一元二次方程是（　　　　） A． B． C． D． 5．下列一元二次方程中，有两个互为倒数的实数根的是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$