1.2.3 直线的一般式方程（2种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

1.2.3 直线的一般式方程（2种题型基础练+能力提升练） 一．直线的一般式方程与直线的性质（共9小题） 1．（2023秋•泉山区期中）已知为实数，若三条直线，和不能围成三角形，则的值为　　 A． B．1 C． D． 【分析】由题意得直线过已知直线的交点或与已知一条直线平行，然后结合直线平行条件可求． 【解答】解：联立，得，，即交点， 三条直线，和不能围成三角形， 所以直线过点或与已知一条直线平行， 当直线过点是，， 当与平行时，， 当与平行时，， 综上，或或． 故选：． 【点评】本题主要考查了直线相交及平行条件的应用，体现了分类讨论思想的应用． 2．（2023秋•苏州期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 　　．（写成一般式） 【分析】由题意求出直线，的交点坐标，设直线的方程，将交点的坐标代入，求出直线的斜率，进而求出直线的方程． 【解答】解：联立，解得，，即直线，的交点，， 由题意设的方程为：，即， 即， 所以直线的方程为， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查直线的交点的求法，属于基础题． 3．（2023秋•江苏月考）已知直线和直线都过点，求过点，和点，的直线方程 　　． 【分析】由两条直线都过点，可得，和，满足的方程，进而求出直线所在的直线方程． 【解答】解：因为两条直线都过， 所以和直线， 所以，和点，的直线方程为：． 故答案为：． 【点评】本题考查直线方程的求法，属于基础题． 4．（2023秋•海陵区校级月考）与两坐标轴围成的三角形面积为4，且斜率为的直线的方程为 　　． 【分析】由已知设直线方程为，从而可得直线的截距为，进而有，解方程可得的值． 【解答】解：设直线的方程为， 令，可得；令，可得； 由题意可得：，解得， 所以直线的方程为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了直线方程的求解，属于基础题． 5．（2023秋•京口区校级期中）如图，已知等腰直角三角形的斜边所在直线方程为，其中点在点上方，直角顶点的坐标为． （1）求边上的高线所在直线的方程； （2）求三角形的面积． 【分析】（1）利用两条直线垂直的条件可得的斜率，再利用点斜式写出直线的方程； （2）利用点到直线的距离公式求得，再根据等腰直角三角形的性质与面积公式，求解即可． 【解答】解：（1）设的斜率为， 因为斜边所在直线方程为， 所以， 又经过点，所以， 即的直线方程为． （2）由题意知，， 因为是等腰直角三角形， 所以， 所以的面积为． 【点评】本题主要考查直线方程的求法，熟练掌握两条直线垂直的条件，点到直线的距离公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 6．（2023秋•常熟市期中）在中，点的坐标为，边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为． （1）求点的坐标； （2）过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求为坐标原点）面积的最小值． 【分析】（1）根据直线的倾斜角为得到直线的方程，然后与边上的中线所在的直线方程联立得到点； （2）设直线的方程为，根据点的坐标得到，然后利用基本不等式求最值． 【解答】解：（1）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又的坐标为，所以直线的方程为，即． 因为边上的中线经过点，即为直线与边中线的交点， 联立，解得，， 所以点的坐标为． （2）依题意可设直线的方程为，则． 因为，，所以，则， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为． 【点评】本题考查直线交点的求法及均值不等式的性质的应用，属于基础题． 7．（2023秋•海安市校级月考）三角形的顶点，边上的中线所在直线为，的平分线所在直线为． （1）求的坐标和直线的方程； （2）若为直线上的动点，，，求取得最小值时点的坐标． 【分析】（1）设点坐标并表示中点坐标，由点在直线方程建立方程求解即可得，利用角平分线的性质可得点关于直线的对称点，从而求方程； （2）由两点之间的距离公式结合二次函数求最值计算即可． 【解答】解：（1）由题意可设，可得的中点， 由直线，的方程可知： ，即， 设点关于直线的对称点，可得直线为的中垂线， 则中点坐标为，， 依题意有，解之得，，即， 易知在直线上，故由两点式可得，化简得； 所以，直线的方程为：； （2）由（1）所得方程，不妨设， 则， 由二次函数的性质可知当，上式取得最小值，此时． 【点评】本题考查点关于直线的对称点的坐标的求法及直线方程的求法，属于基础题． 8．（2023秋•盐城月考）已知平面内两点．． （1）求的垂直平分线方程； （2）直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程． 【分析】（1）先求出的中点的坐标，再求出的斜率，可得的垂直平分线的斜率，再用点斜式求出的垂直平分线的方程． （2）由题意可得，直线可能经过点，或者直线和平行，分类讨论，分别求出的方程． 【解答】解：（1）平面内两点、，的中点为，， 可得的垂直平分线的斜率为． 故的垂直平分线方程为，即． （2）由题意可得，直线可能经过点，或者直线和平行． 当经过点的直线还经过的中点时，直线的方程为． 当直线和平行时，它的斜率为3，故它的方程为，即． 综上，直线的方程为，或者． 【点评】本题主要考查求直线方程的方法，两条直线垂直的性质，属于基础题． 9．（2023•启东市开学）解决下列问题： （1）一直线被两直线，截得线段的中点是，求此直线方程； （2）过点的直线交轴、轴的正半轴于、两点，求使：面积最小时的方程． 【分析】（1）设该直线与直线的交点为，，与直线的交点为，根据中点坐标公式列出方程组，求得，，再求得该直线的斜率，从而可得直线方程； （2）设直线的方程为，由题意得到．利用基本不等式得到，代入三角形面积公式即可求解． 【解答】解：（1）设该直线与直线的交点为，，与直线的交点为， 由中点坐标公式可得， 则该直线与直线的交点为，直线斜率为， 则直线方程为：，即， 故此直线方程为． （2）设直线的方程为，则，， 直线过点，，则， 当且仅当时取等号，，， 当且仅当，时，取最小值4，此时直线的方程为， 即． 【点评】本题主要考查直线的一般式方程与直线的性质，属于基础题． 二．待定系数法求直线方程（共4小题） 10．（2023秋•苏州期中）直线分别交轴和轴于、两点，若是线段的中点，则直线的方程为　　 A． B． C． D． 【分析】首先，设直线的方程，然后根据中点坐标公式，即可求出，的值，可得直线方程． 【解答】解：设，，，则直线的方程为， 为中点，，， ，， 则直线的方程为：，即， 故选：． 【点评】本题主要考查了直线的截距式方程，中点公式，属于基础题． 11．（2023秋•天宁区校级期中）瑞士数学家欧拉在1765在其所著的《三角形的几何学》一书中指出：任意三角形的外心、垂心、重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是　　 A． B． C． D． 【分析】由已知求出的垂直平分线方程，由欧拉线联立求得外心坐标，得到圆的方程，设，求得三角形的重心坐标，代入欧拉线方程，整理后与圆的方程联立求解的坐标． 【解答】解：，， 的垂直平分线方程为， 又外心在欧拉线上， 联立，解得的外心， 又， 外接圆的方程为． 设，则三角形的重心，在欧拉线上，即， 整理得． 联立，解得或． 顶点的坐标可以是或， 故选：． 【点评】本题考查命题真假的判断，考查直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 12．（2023秋•连云港期末）已知的一条内角平分线的方程，两个顶点为，，则顶点的坐标为　　． 【分析】先求出点关于直线的对称点的坐标，再根据点在直线上，利用两点式求得的方程，再把的方程和的方程联立方程组，求得第三个顶点的坐标 【解答】解：由题意可知：关于直线的对称点在直线上，设对称点为， 则由，解得：， 用两点式求得直线（即的方程为． 再由，求得点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件．还考查了用两点式求直线的方程，求两条直线的交点，属于基础题． 13．（2023秋•邗江区校级月考）已知平面内两点，． （1）求线段的中垂线方程； （2）直线平行于直线，且点到直线的距离为3，求直线的纵截距． 【分析】（1）根据已知条件，结合斜率公式，以及点斜式方程，即可求解． （2）根据已知条件，结合直线平行的性质，以及点到直线的距离公式，即可求解． 【解答】解：（1）两点，， 则的中点坐标为，，且， 则线段的垂直平分线斜率为， 故的中垂线方程为，即． （2）直线平行于直线， ，可设直线的方程为， 点到直线的距离为3， ，解得， 故直线的纵截距为． 【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，以及斜率公式，属于基础题． 一．选择题（共1小题） 1．（2023秋•常熟市期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为　　 A． B． C． D． 【分析】的顶点为，，，可得重心．设的外心为，，利用，解得．利用点斜式即可得出该三角形的欧拉线方程． 【解答】解：的顶点为，，， 重心． 设的外心为，，则，， 解得．可得，． 则该三角形的欧拉线方程为，化为：． 故选：． 【点评】本题考查了直线非常、欧拉线的应用、三角形重心外心的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二．多选题（共1小题） 2．（2023秋•赣榆区期中）下列结论中，不正确的是　　 A．若直线的斜率越大，则其倾斜角越大 B．若圆与圆没有公共点，则两圆外离 C．直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线 D．将已知三点的坐标代入圆的一般式方程，所得三元一次方程组必有唯一一组解 【分析】直接利用直线的斜率和倾斜角的关系，圆与圆的位置关系，圆的方程判断、、、的结论． 【解答】解：对于：直线在和范围内，直线的斜率越大，倾斜角就越大，故错误； 对于：圆与圆没有公共点，则两圆外离或内含，故错误； 对于：直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线，故正确； 对于：将已知不共线的三点的坐标代入圆的一般式方程，所得三元一次方程组必有唯一一组解，故错误． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：直线的斜率和倾斜角的关系，圆与圆的位置关系，圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 三．填空题（共2小题） 3．（2023秋•海安市校级期中）已知两条直线和都过点，则过两点，、，的直线的方程为 　　． 【分析】先将点代入得到两条直线方程，再由两点都在直线上得到过该两点的直线． 【解答】解：将点代入两条直线可得， 所以点，，，都在直线上， 而经过两点的直线只有一条，所以直线方程是， 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：直线间的位置关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 4．（2023秋•宝应县期中）已知直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为，则直线的一般式方程为 　　． 【分析】根据题意可得，利用倍角公式可求直线的斜率，根据斜截式求直线的方程并转化为一般式． 【解答】解：由题意可知：直线的斜率为，即， 则直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 四．解答题（共5小题） 5．（2023秋•新吴区校级月考）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． （1）求直线的方程； （2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答． ①角的平分线所在直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为． 若_____，求直线的方程． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【分析】（1）由已知结合直线垂直的斜率关系先求出直线的斜率，进而可求； （2）若选①，由已知结合直线垂直的斜率关系先求出边上的高所在的直线方程，然后联立角的平分线方程即可求出的坐标，再求出点关于的对称点为的坐标，进而可求； 若选②：边上的中线所在的直线方程为，先求出的坐标，结合中点坐标公式求出的坐标，进而可求． 【解答】解：（1）因为边上的高所在的直线方程为， 所以直线的斜率为，又因为的顶点， 所以直线的方程为：，即； （2）若选①，角的平分线所在直线方程为， 由，解得，，所以点坐标为， 设点关于的对称点为，， 则，解得，，即坐标为， 又点在直线上，所以， 所以直线的方程为，即． 若选②：边上的中线所在的直线方程为， 由，解得，，所以点， 设点，，则的中点在直线上， 所以，即，又点，在直线上，所以， 所以，所以直线的方程为， 即直线的方程为． 【点评】本题主要考查了直线位置关系的应用，直线方程的求解，属于中档题． 6．（2023秋•江阴市期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求顶点的坐标． （2）求直线的方程． 【分析】（1）先设，然后结合在直线上及与垂直关系可建立关于，的方程组，进而可求； （2）先设进而可求的中点，由在上及在直线上可得关于，的方程组，进而可求． 【解答】解：（1）边上的高所在直线方程为 ， ， 的顶点， 直线方程；，即 与联立，，解得：． 顶点的坐标为． （2）所在直线方程为，设点 是中点，， 在所在直线方程为上 ， 解得：， 所以， 的方程为：， 即． 【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 7．（2023秋•滨湖区校级期中）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为． （1）求直线的方程； （2）若边上的中线所在的直线方程为，求的值． 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）设点，求出线段的中点的坐标，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，可得出点的坐标，再将点的坐标代入直线的方程，即可求出实数的值． 【解答】（1）解：由条件知边上的高所在的直线的斜率为，所以直线的斜率为2， 又因为，所以直线的方程为，即． （2）解：因为点在轴上．所以设，则线段的中点为， 点在直线上，所以，得，即， 又点在直线上，所以，解得． 【点评】本题考查的知识要点：直线的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 8．（2023秋•淮安期中）已知在中，点，角的角平分线为，边上的中线所在直线为． （1）求点的坐标； （2）求边所在直线方程． 【分析】（1）将中点代入直线方程即可求出值，则得到答案； （2）首先得到，计算出直线的方程，将其与直线方程联立即可求出的坐标，则得到的方程． 【解答】解：（1）设，由题意知，的中点在直线上， 则有，点坐标为． （2）由题意知关于的对称点在直线上， 则有边所在直线方程为，即． 联立方程有，解得， 又，则，则所在直线方程为， 即所在直线方程为． 【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 9．（2023秋•天宁区校级期中）已知的顶点，，． （1）若直线过顶点，且顶点，到直线的距离相等，求直线的方程； （2）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的外心、重心、垂心共线，这条直线称为欧拉线．求的欧拉线方程． 【分析】（1）对是否与直线平行进行分类讨论，由点斜式或斜截式求得直线的方程． （2）利用三角形的重心坐标公式可得重心，设的外心为，可得，解得．利用点斜式即可得出欧拉线方程． 【解答】解：（1）直线的斜率为， 若直线与直线平行，则直线的方程为，即． 线段的中点坐标为， 又直线过，则直线的方程为， 即直线的方程为或； （2）的顶点为，，， 所以重心，； 设的外心为，则， 即， 解得，可得； 则该三角形的欧拉线方程为， 化为． 故的欧拉线方程为． 【点评】本题考查直线方程、两点之间的距离公式、三角形的垂心、外心、重心的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.3 直线的一般式方程（2种题型基础练+能力提升练） 一．直线的一般式方程与直线的性质（共9小题） 1．（2023秋•泉山区期中）已知为实数，若三条直线，和不能围成三角形，则的值为　　 A． B．1 C． D． 2．（2023秋•苏州期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 　　．（写成一般式） 3．（2023秋•江苏月考）已知直线和直线都过点，求过点，和点，的直线方程 　　． 4．（2023秋•海陵区校级月考）与两坐标轴围成的三角形面积为4，且斜率为的直线的方程为 　　． 5．（2023秋•京口区校级期中）如图，已知等腰直角三角形的斜边所在直线方程为，其中点在点上方，直角顶点的坐标为． （1）求边上的高线所在直线的方程； （2）求三角形的面积． 6．（2023秋•常熟市期中）在中，点的坐标为，边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为． （1）求点的坐标； （2）过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求为坐标原点）面积的最小值． 7．（2023秋•海安市校级月考）三角形的顶点，边上的中线所在直线为，的平分线所在直线为． （1）求的坐标和直线的方程； （2）若为直线上的动点，，，求取得最小值时点的坐标． 8．（2023秋•盐城月考）已知平面内两点．． （1）求的垂直平分线方程； （2）直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程． 9．（2023•启东市开学）解决下列问题： （1）一直线被两直线，截得线段的中点是，求此直线方程； （2）过点的直线交轴、轴的正半轴于、两点，求使：面积最小时的方程． 二．待定系数法求直线方程（共4小题） 10．（2023秋•苏州期中）直线分别交轴和轴于、两点，若是线段的中点，则直线的方程为　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•天宁区校级期中）瑞士数学家欧拉在1765在其所著的《三角形的几何学》一书中指出：任意三角形的外心、垂心、重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是　　 A． B． C． D． 12．（2023秋•连云港期末）已知的一条内角平分线的方程，两个顶点为，，则顶点的坐标为　　． 13．（2023秋•邗江区校级月考）已知平面内两点，． （1）求线段的中垂线方程； （2）直线平行于直线，且点到直线的距离为3，求直线的纵截距． 一．选择题（共1小题） 1．（2023秋•常熟市期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为　　 A． B． C． D． 二．多选题（共1小题） 2．（2023秋•赣榆区期中）下列结论中，不正确的是　　 A．若直线的斜率越大，则其倾斜角越大 B．若圆与圆没有公共点，则两圆外离 C．直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线 D．将已知三点的坐标代入圆的一般式方程，所得三元一次方程组必有唯一一组解 三．填空题（共2小题） 3．（2023秋•海安市校级期中）已知两条直线和都过点，则过两点，、，的直线的方程为 　　． 4．（2023秋•宝应县期中）已知直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为，则直线的一般式方程为 　　． 四．解答题（共5小题） 5．（2023秋•新吴区校级月考）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． （1）求直线的方程； （2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答． ①角的平分线所在直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为． 若_____，求直线的方程． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 6．（2023秋•江阴市期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求顶点的坐标． （2）求直线的方程． 7．（2023秋•滨湖区校级期中）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为． （1）求直线的方程； （2）若边上的中线所在的直线方程为，求的值． 8．（2023秋•淮安期中）已知在中，点，角的角平分线为，边上的中线所在直线为． （1）求点的坐标； （2）求边所在直线方程． 9．（2023秋•天宁区校级期中）已知的顶点，，． （1）若直线过顶点，且顶点，到直线的距离相等，求直线的方程； （2）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的外心、重心、垂心共线，这条直线称为欧拉线．求的欧拉线方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$