第06讲 不等式的求解（4大知识点+4种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第一册）

第06讲 不等式的求解 课程标准 学习目标 1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养. 2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养. 1.掌握一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法(重点). 2.会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点). 知识点01. 不等式的解集与不等式组的解集 1、在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解. 2、一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集； 3、一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集； 4、求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式； 5、将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组. 6、对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集； 【注意】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为； 【即学即练1】（1）（24-25高一上·上海·课后作业）若不等式组有解，求实数的取值范围． （2）（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，若，求实数m的取值范围． （3）（24-25高一上·上海·随堂练习）把一些书分给几个学生，学生的人数不超过6人，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的人每人分5本，最后一人分不到3本，求书有多少本？学生有多少人？ （4）（24-25高一上·上海·随堂练习）对，定义一种新的运算，规定：（其中，，），已知，． (1)求，的值； (2)若，解不等式组． 知识点02.一元二次不等式 1、一元二次不等式的概念 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 【注意】一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等，即：一元二次不等式的一般形式 （1）ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；（2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；（3）ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；（4）ax2＋bx＋c≤0(a≠0)； 都是一元二次不等式； 2、用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2， 则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)； 3、用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 4.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系。 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(不妨设x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像 5.一元二次不等式在求解时应当注意事项 （1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； （2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； （4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集。 【即学即练2】（1）（24-25高一上·上海·课堂例题）已知方程． (1)若关于的方程总有实数解，求的取值范围； (2)求证：无论取何实数，关于的方程必有互异实数根． （2）．（24-25高一上·上海·随堂练习）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为万元/辆，出厂价为万元/辆，年销售量为辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加．已知年利润（每辆车的出厂价每辆车的投入成本）年销售量．若年销售量增加的比例为，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？ （3）．（24-25高一·上海·课堂例题）对于实数x，若（且），则规定，解不等式． （4）．（24-25高一·上海·课堂例题）已知关于x的不等式的解集为M． (1)若，求不等式的解集； (2)若M中的一个元素是0，求实数a的取值范围． 知识点03分式不等式的解法 1、分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。 只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。 即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。 分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。 2、分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：；； ；； 【即学即练3】（1）（24-25高一上·上海·随堂练习）某船从甲码头顺流航行75 km到达乙码头，停留30 min后再逆流航行126 km到达丙码头．如果水流速度为4 km/h，该船要在5 h内（包含5 h）完成整个航行任务，那么船的速度至少要达到（    ）千米． A．45 B．46 C．47 D．48 （2）．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． （3）．（24-25高一·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． （4）．（24-25高一上·上海·随堂练习）解关于的不等式． 知识点04.简单绝对值不等式的解法 1、绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|AB|＝|a－b|，线段AB的中点M对应的数x＝． 【注意】（1）求线段AB的长|AB|时，不要忽视绝对值；（2）线段AB的中点坐标与A、B两点的顺序无关。 2、含绝对值不等式的解法 （1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值； 关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；②两边平方；③分段讨论。 （2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值； （3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值. 【注意】去绝对值符号，化绝对值不等式为整式不等式时要保持同解性。 3、常见绝对值不等式的解法与结论： ①几个基本不等式的解集 （1）|x|<a(a>0)⇔x2<a2⇔-a<x<a；（2）|x|>a(a>0)⇔x2>a2⇔x>a,或x<-a; （3）|x-m|<a(a>0)⇔-a<x-m<a⇔m-a<x<a+m；（4）|x-m|>a(a>0)⇔x-m>a,或x-m<-a⇔x>m+a,或x<m-a. ②几种主要的基本类型 （1）|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x)(平方法)；（2）|f(x)|>g(x)(g(x)>0)⇔f(x)>g(x),或f(x)<-g(x); （3）|f(x)|<g(x)(g(x)>0)⇔-g(x)<f(x)<g(x);　 （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 【即学即练4】（1）（24-25高一上·上海·课前预习）简单绝对值不等式的解法 （1）的解法 不等式的解集为 ； （2）不等式的解法 不等式的解集为 . （2）．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为，则 ． （3）．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． （4）．（24-25高一上·上海·随堂练习）解不等式：． 题型01分式不等式 1．（2023•浦东新区校级一模）不等式的解集为　 　． 2．（2023秋•奉贤区期末）不等式的解集用区间表示为 　　． 3．（2023秋•松江区期末）解下列不等式： （1）； （2）． 4．（2023秋•青浦区校级月考）解不等式组：． 题型02一元二次不等式及其应用 5．（2023秋•杨浦区校级期中）若关于的方程的两个实数根，，集合，，，，则关于的不等式的解集为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•奉贤区期中）关于的不等式的解集为，，，则下列说法正确的个数是　　个． ①；②关于的不等式的解集为；③；④关于的不等式的解集为． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2023秋•静安区校级期中）已知不等式的解集是，则不等式的解集是　　 A．，， B． C． D． 8．（2023秋•浦东新区校级期中）已知、是非零常数，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 9．（2023秋•黄浦区期中）设表示不超过的最大整数，如，，则不等式的解集是　　 A．， B．， C．， D．， 10．（2024春•黄浦区校级期末）不等式的解集是 　　． 11．（2023秋•长宁区期末）不等式的解集为　　． 12．（2023秋•长宁区校级期中）不等式的解集为 　　． 13．（2020秋•浦东新区校级月考）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 　　． 14．（2023秋•普陀区校级期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 　　． 15．（2023秋•长宁区校级期中）已知、、均为实数，若存在、使得关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 　　． 16．（2022秋•青浦区校级期中）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是 　　． 17．（2023秋•浦东新区校级期中）若关于的不等式的解集为，则　　． 18．（2023秋•嘉定区校级期中）设，，则 　　．（填“”、“ ”、“ ”或“” 19．（2023秋•黄浦区校级期中）如果关于的不等式的解集为，，其中常数，则的最小值是 　　． 20．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，关于的不等式的解集为，设，当变化时，集合中的元素个数最少时的集合为 　　． 21．（2023秋•杨浦区校级期末）已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 22．（2023秋•浦东新区校级期末）若不等式的解集是． （1）求实数的值； （2）当的解集为时，求的取值范围． 题型03一元二次方程的根的分布与系数的关系 23．（2023秋•普陀区校级月考）若关于的方程有无穷多个解，则　　 A． B． C． D． 24．（2023秋•嘉定区校级期末）已知方程的两根为、，则　　． 25．（2023秋•普陀区校级期末）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则实数的值为 　　． 26．（2023秋•奉贤区期末）已知方程的两根为，，则　　． 27．（2023秋•普陀区校级期末）已知函数两个零点，一个大于2另一个小于2，则实数的取值范围为 　　． 28．（2023秋•浦东新区校级期中）关于的方程的两根都在之内，则实数的取值范围为 　　． 29．（2023秋•浦东新区校级期中）若，是一元二次方程的两根，的值为 　　． 30．（2023秋•浦东新区期末）已知一元二次方程的两个实根为，． （1）求，； （2）求证：． 31．（2024春•浦东新区校级期末）（1）已知关于的一元二次方程的两个正实数根分别为，，且，求实数的值． （2）设，是方程的两个实根，，是方程的两个实根，若，求实数的取值范围． 题型04绝对值不等式的解法 32．（2023秋•浦东新区校级期末）设，方程的解集为 　　． 33．（2023秋•浦东新区期末）不等式的解集为 　　． 34．（2023秋•徐汇区期末）已知问题：“恒成立，求实数的取值范围”．两位同学对此问题展开讨论： 小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题． 请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数的取值范围 　　． 35．（2023秋•松江区期末）已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是 　　． 36．（2023秋•浦东新区校级期末）若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是　 　． 37．（2023秋•闵行区期末）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 　　． 38．（2023秋•宝山区校级期末）已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为． （1）若，求集合； （2）若，求正数的取值范围． 39．（2024春•黄浦区校级期末）关于的不等式有解，则实数的取值范围是 　　． 40．（2023秋•宝山区校级期末）设，则方程的解集为 　　． 41．（2023秋•黄浦区校级期末）已知实数，满足且，则的最小值是 　　． 42．（2023秋•杨浦区校级期中）关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 　　． 43．（2023秋•普陀区校级期末）（1）解不等式； （2）证明：对所有实数恒成立，并指出等号成立时的取值范围． 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•普陀区校级期中）一元二次不等式的解集是，则　　． 2．（2023秋•浦东新区校级期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 　　． 3．（2023秋•浦东新区校级期中）不等式的解集是 　　． 4．（2023秋•徐汇区校级期中）设，则方程的解集为 　　． 5．（2023秋•徐汇区校级期中）不等式的解集为 　　． 6．（2023秋•长宁区校级期中）关于的不等式的解集是，则不等式的解集为 　　． 7．（2023秋•浦东新区校级期中）若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是 　　． 8．（2023秋•青浦区校级期中）已知关于的一元二次方程的两个实根分别为和，且，则实数　　． 9．（2023秋•杨浦区校级期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是 　　． 10．（2023秋•闵行区校级期中）已知关于的方程有两个不同实根，，若，则实数的取值范围是 　　． 11．（2023秋•浦东新区校级期中）若关于的不等式对所有实数均成立，则实数的取值范围是 　　． 12．（2023秋•浦东新区校级期中）设，，若，则的取值范围为 　　． 二．选择题（共4小题） 13．（2023秋•普陀区校级期中）已知集合，，则　　 A． B． C． D． 14．（2021秋•徐汇区校级期中）已知实数，，则“”是“”的　　条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 15．（2023秋•嘉定区校级期中）对任意给定的实数，，有，且等号当且仅当　　成立． A． B． C． D． 16．（2023秋•浦东新区校级月考）若一元二次不等式，的解集分别为、，、、、、、均不为0，、既不是也不是，则“”是“”的　　条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 三．解答题（共8小题） 17．（2023秋•静安区校级期中）解关于的不等式：． 18．（2023秋•静安区校级期中）求下列不等式解集． （1）． （2）． 19．（2023秋•静安区校级期中）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围． 20．（2023秋•奉贤区期中）已知方程，且，是方程的两个不同的实数根． （1）若，求的值； （2）若，且，求取值范围． 21．（2023秋•嘉定区校级期中）已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式对任意，都成立，求实数的取值范围． 22．（2023秋•宝山区校级月考）已知． （1）已知关于的不等式的解集是，求实数的取值范围； （2）已知的解集为，且，求实数的取值范围． 23．（2023秋•闵行区校级期中）已知代数式和． （1）若，，求不等式的解集； （2）若，，证明，中至少有一个数不小于； （3）若，不等式对任意实数恒成立，试确定实数，满足的条件． 24．（2023秋•青浦区校级期中）命题甲：关于的不等式的解集为； 命题乙：关于的方程有两个不相等的实数根． （1）若命题甲为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题甲、命题乙中至多有一个命题为真，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 不等式的求解 课程标准 学习目标 1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养. 2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养. 1.掌握一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法(重点). 2.会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点). 知识点01. 不等式的解集与不等式组的解集 1、在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解. 2、一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集； 3、一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集； 4、求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式； 5、将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组. 6、对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集； 【注意】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为； 【即学即练1】（1）（24-25高一上·上海·课后作业）若不等式组有解，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】分别求解两个不等式，根据不等式组有解可得. 【详解】解不等式，得． 解不等式，得． 因为不等式组有解，所以，即． 所以实数的取值范围为. （2）（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，若，求实数m的取值范围． 【答案】． 【分析】由可知是的子集，对集合是否为空集进行讨论，即可得出实数m的取值范围为． 【详解】解不等式可得， 由可知是的子集， ①当时，， 所以； ②当时，即时， 且， 所以，所以． 综上，实数m的取值范围为． （3）（24-25高一上·上海·随堂练习）把一些书分给几个学生，学生的人数不超过6人，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的人每人分5本，最后一人分不到3本，求书有多少本？学生有多少人？ 【答案】书26本，学生6人 【分析】结合题意列关于学生人数的不等式求解,并结合学生的人数求解书本的人数即可. 【详解】设学生有x人，x为正整数， 解得，x为正整数，所以． 故学生有6人，书本人数为 所以书26本，学生6人． （4）（24-25高一上·上海·随堂练习）对，定义一种新的运算，规定：（其中，，），已知，． (1)求，的值； (2)若，解不等式组． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）先根据规定的新运算列出关于，的方程组，再解之即可； （2）由，得出，，根据规定的新运算列出关于的不等式组，解之即可. 【详解】（1）由题意，可知， ， 解得，； （2）由（1）知，， 因为， 所以，， 所以，， 所以． 所以， ， 由，得， 由，得， 综上，原不等式组的解集为. 知识点02.一元二次不等式 1、一元二次不等式的概念 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 【注意】一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等，即：一元二次不等式的一般形式 （1）ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；（2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；（3）ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；（4）ax2＋bx＋c≤0(a≠0)； 都是一元二次不等式； 2、用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2， 则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)； 3、用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 4.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系。 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(不妨设x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像 5.一元二次不等式在求解时应当注意事项 （1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； （2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； （4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集。 【即学即练2】（1）（24-25高一上·上海·课堂例题）已知方程． (1)若关于的方程总有实数解，求的取值范围； (2)求证：无论取何实数，关于的方程必有互异实数根． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根，判别式即可求解； （2）根据一元二次方程有互异实数根,根据韦达定理即可求解. 【详解】（1）已知关于的方程有实根， ∴， 整理得，∴或． 所以的取值范围为． （2）∵， ∴无论为何值，关于的方程有两个不相等的实数根． 又根据韦达定理两根之积为， 故无论为何值，关于的方程有两个异号实数根． （2）．（24-25高一上·上海·随堂练习）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为万元/辆，出厂价为万元/辆，年销售量为辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加．已知年利润（每辆车的出厂价每辆车的投入成本）年销售量．若年销售量增加的比例为，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？ 【答案】 【分析】由题意表示利润，解不等即可. 【详解】由题意得本年度每辆车的投入成本为； 出厂价为；年销售量为， 因此本年度的利润为 即：， 由，得, 所以，投入成本增加的比例应在内． （3）．（24-25高一·上海·课堂例题）对于实数x，若（且），则规定，解不等式． 【答案】 【分析】解一元二次不等式得到，故，3，…，7，从而得到不等式解集. 【详解】， 即，3，…，7，由题意得． （4）．（24-25高一·上海·课堂例题）已知关于x的不等式的解集为M． (1)若，求不等式的解集； (2)若M中的一个元素是0，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据是不等式的解集，得到，再根据两个不等式的关系求解； （2）将不等式转化为 ，再根据M中的一个元素是0，将x=0代入求解. 【详解】（1）解：因为是不等式的解集， 所以， 不等式，即为， 所以或， 所以不等式的解集是； （2）不等式转化为： ， 因为M中的一个元素是0， 所以， 解得 或 ， 所以实数a的取值范围是 . 知识点03分式不等式的解法 1、分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。 只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。 即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。 分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。 2、分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：；； ；； 【即学即练3】（1）（24-25高一上·上海·随堂练习）某船从甲码头顺流航行75 km到达乙码头，停留30 min后再逆流航行126 km到达丙码头．如果水流速度为4 km/h，该船要在5 h内（包含5 h）完成整个航行任务，那么船的速度至少要达到（    ）千米． A．45 B．46 C．47 D．48 【答案】B 【分析】设船速为，然后根据题意直接列不等式求解即可. 【详解】设船速为，则由题意得（）， 所以， 化简得， 所以，解得（舍去），或， 所以船速至少为46 ． 故选：B （2）．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 【答案】． 【分析】由的解集得出，且，再将分式不等式转化为一元二次不等式，从而得出解集. 【详解】解：由题意关于的不等式的解集是，可得，且， 所以所求不等式可化为，可变为，解得或． 所以原不等式的解集为． （3）．（24-25高一·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)或. 【分析】（1）（2）把分式不等式转化成一元二次不等式求解即得. （3）变形给定的不等式，再转化成一元二次不等式组求解. 【详解】（1）不等式，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）不等式，解得， 所以原不等式的解集为. （3）不等式化为：，即， 则或，解得或， 所以原不等式的解集为或. （4）．（24-25高一上·上海·随堂练习）解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，讨论根的大小得出解集. 【详解】解：不等式可化为，即． 即. ①当，即时，不等式的解集为； ②当，即时，不等式的解集为， ③当，即时，不等式的解集为． 知识点04.简单绝对值不等式的解法 1、绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|AB|＝|a－b|，线段AB的中点M对应的数x＝． 【注意】（1）求线段AB的长|AB|时，不要忽视绝对值；（2）线段AB的中点坐标与A、B两点的顺序无关。 2、含绝对值不等式的解法 （1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值； 关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；②两边平方；③分段讨论。 （2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值； （3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值. 【注意】去绝对值符号，化绝对值不等式为整式不等式时要保持同解性。 3、常见绝对值不等式的解法与结论： ①几个基本不等式的解集 （1）|x|<a(a>0)⇔x2<a2⇔-a<x<a；（2）|x|>a(a>0)⇔x2>a2⇔x>a,或x<-a; （3）|x-m|<a(a>0)⇔-a<x-m<a⇔m-a<x<a+m；（4）|x-m|>a(a>0)⇔x-m>a,或x-m<-a⇔x>m+a,或x<m-a. ②几种主要的基本类型 （1）|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x)(平方法)；（2）|f(x)|>g(x)(g(x)>0)⇔f(x)>g(x),或f(x)<-g(x); （3）|f(x)|<g(x)(g(x)>0)⇔-g(x)<f(x)<g(x);　 （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 【即学即练4】（1）（24-25高一上·上海·课前预习）简单绝对值不等式的解法 （1）的解法 不等式的解集为 ； （2）不等式的解法 不等式的解集为 . 【答案】 {或} 【分析】略 【详解】略 （2）．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为，则 ． 【答案】 【分析】去绝对值解不等式可得答案. 【详解】由得， 解得， 所以不等式的解集为，则. 故答案为：. （3）．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将，转化为不等式组求解即可. 【详解】因为，所以 所以 即所以不等式的解集为． 故答案为：． （4）．（24-25高一上·上海·随堂练习）解不等式：． 【答案】或 【分析】分段去绝对值符号，转化为一元一次不等式组求解即得. 【详解】不等式等价于或或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 题型01分式不等式 1．（2023•浦东新区校级一模）不等式的解集为　　． 【分析】由不等式可得，由此解得不等式的解集． 【解答】解：由不等式可得，解得， 故答案为：． 【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题． 2．（2023秋•奉贤区期末）不等式的解集用区间表示为 　，　． 【分析】由题意，把分式不等式转化为不等式组，从而求出它的解集． 【解答】解：不等式，即，即，求得， 可得不等式的解集为，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题． 3．（2023秋•松江区期末）解下列不等式： （1）； （2）． 【分析】（1）把分式不等式转化为与之等价的一元二次不等式，从而求出它的解集． （2）把绝对值不等式分类讨论，等价转化为与之等价的2个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，可得原不等式的解集． 【解答】解：（1）不等式，即，即． 求得，或，可得不等式的解集为，，． （2）由，可得①，或②． 解①可得，解②可得． 故原不等式的解集为． 【点评】本题主要考查分式不等式、绝对值不等式的解法，属于中档题． 4．（2023秋•青浦区校级月考）解不等式组：． 【分析】由绝对值不等式的解法，结合分式不等式的解法求解即可． 【解答】解：因为， 所以， 即， 即或或， 即不等式的解集为或或． 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，重点考查了分式不等式的解法，属中档题． 题型02一元二次不等式及其应用 5．（2023秋•杨浦区校级期中）若关于的方程的两个实数根，，集合，，，，则关于的不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【分析】根据一元二次不等式的解法，可知的解集在两根之外，规定两根大小，然后根据集合的运算即可求解． 【解答】解：不妨设，则的解集为或， 则，，，， 所以或． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题． 6．（2023秋•奉贤区期中）关于的不等式的解集为，，，则下列说法正确的个数是　　个． ①；②关于的不等式的解集为；③；④关于的不等式的解集为． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据解一元二次不等式的规则，得出，，三者之间的关系，进而判断每一个说法的正误，得出本题结果． 【解答】解：因为关于的不等式的解集为，，， 所以且和3是的解，所以说法①正确； 由韦达定理得，，解得， 所以即为，故，所以说法②错误； ，所以说法③正确； 不等式即为， 即，解得， 所以不等式的解集为，所以说法④正确． 故选：． 【点评】本题考查一元二次不等式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7．（2023秋•静安区校级期中）已知不等式的解集是，则不等式的解集是　　 A．，， B． C． D． 【分析】由不等式的解集是可知，，且方程的两个根分别为，2．然后结合方程的根与系数关系可得，的关系，代入到所求不等式可求． 【解答】解：由不等式的解集是可知，，且方程的两个根分别为，2． 由方程的根与系数关系可得：， 所以，， 代入所求不等式得：， 因为， 化简得：，即， 解得或， 所以不等式的解集为， 故选：． 【点评】本题主要考查了二次方程与二次不等式关系的应用，体现了转化思想的应用，属于基础题． 8．（2023秋•浦东新区校级期中）已知、是非零常数，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【分析】根据充分条件与必要条件的定义、一元二次不等式的解法以及集合并集的运算进行分析求解即可． 【解答】解：①当时，若，则，此时，，，，，所以； 当，时，此时，，，，所以， 所以“”是“”的充分条件； ②当时，若，此时，， 当时，，不满足题意， 当时，，，，符合题意，此时； 若，此时，，， 当时，，，，不符合题意； 当时，，满足题意，此时； 所以“”是“”的必要条件． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，一元二次不等式的解法，集合之间关系的运用问题，也考查了逻辑推理与运算能力，是基础题． 9．（2023秋•黄浦区期中）设表示不超过的最大整数，如，，则不等式的解集是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】先求出，再结合表示不超过的最大整数求解即可． 【解答】解：设，则， 解得， 即， 所以， 即不等式的解集是，． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题． 10．（2024春•黄浦区校级期末）不等式的解集是 　，，．　． 【分析】直接利用不等式组的解法的应用求出结果． 【解答】解：不等式，整理得， 解得，，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查的知识要点：不等式组的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 11．（2023秋•长宁区期末）不等式的解集为　　． 【分析】先求对应方程的实数根，再写出不等式的解集 【解答】解：方程的实数根是，； 不等式的解集为， 故答案为：， 【点评】本题考查了求一元二次不等式的解集问题，考查解一元二次不等式的基本步骤等基础知识，是基础题． 12．（2023秋•长宁区校级期中）不等式的解集为 　　． 【分析】根据题意利用配方法分析求解． 【解答】解：因为， 即不等式对任意实数均成立， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题． 13．（2020秋•浦东新区校级月考）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 　，　． 【分析】分两种情况和，可求出的取值范围． 【解答】解：①当时，不等式化为，恒成立，符合题意， ②当时，则，即， 解得， 综上所述，实数的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了一元二次不等式在实数集上恒成立问题，注意对二次项系数分类讨论，是基础题． 14．（2023秋•普陀区校级期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 　　． 【分析】利用分类讨论法、一元二次不等式的解法运算即可得解． 【解答】解：由题意，当时，不等式化为，在上恒成立， 当时，不等式的解集为， 即不等式在上恒成立， ，解得：， 综上，，即实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次不等式的应用，涉及到恒成立问题，属于基础题． 15．（2023秋•长宁区校级期中）已知、、均为实数，若存在、使得关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 　　． 【分析】分，和三种情况，结合二次不等式与二次函数之间的关系分析求解． 【解答】解：当时，例如，，则不等式的解集为，符合题意； 当时，由题意可知：二次函数的对称轴为，开口向上， 所以时，，时，，时，， 联立解得：； 当时，由题意可知：二次函数的对称轴为，开口向下， 所以时，，时，，时，， 联立解得：； 综上所述：的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了二次函数的性质，属于基础题． 16．（2022秋•青浦区校级期中）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是 　　． 【分析】分，，三种情况，结合二次函数的性质求解即可． 【解答】解：当时，不等式化为，显然有解，符合题意， 当时，不等式显然有解，符合题意， 当时，则△，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了二次函数的性质，属于基础题． 17．（2023秋•浦东新区校级期中）若关于的不等式的解集为，则　　． 【分析】根据三个二次关系计算即可． 【解答】解：由题意可知有两个实数根，， 由根与系数的关系，则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了韦达定理的应用，属于基础题． 18．（2023秋•嘉定区校级期中）设，，则 　　．（填“”、“ ”、“ ”或“” 【分析】利用作差法比较大小即可． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了作差法比较大小，属于基础题． 19．（2023秋•黄浦区校级期中）如果关于的不等式的解集为，，其中常数，则的最小值是 　　． 【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系和基本不等式即可求解． 【解答】解：不等式的解集为，，其中常数， 所以，是方程的实数根， 时，△， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 故的最小值是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了基本不等式的应用，属于中档题． 20．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，关于的不等式的解集为，设，当变化时，集合中的元素个数最少时的集合为 　，　． 【分析】由基本不等式得到得到不等式解集，要想集合中的元素个数最少，则取最小值，得到答案． 【解答】解：，令，得， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 其中， 则 的解集为， 要想集合中的元素个数最少，则取最小值， 此时解集为， 此时，． 故答案为：，． 【点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题． 21．（2023秋•杨浦区校级期末）已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）将，代入不等式，即可求出． （2）由求出集合的表示，然后求出集合，根据集合算出，再由建不等式组，解不等式组即可得出结果． 【解答】解：（1）若，由， ，解得， 所以． （2） 由，解得， ，或 又， 所以 所以实数的取值范围，． 【点评】本题考查集合的运算，属于中档题． 22．（2023秋•浦东新区校级期末）若不等式的解集是． （1）求实数的值； （2）当的解集为时，求的取值范围． 【分析】（1）由题得出的两个解为，，代入即可； （2）分类讨论是否为0，然后结合二次函数图像判断取值范围． 【解答】解：（1）由题得的两个解为，， 代入得，解得， 所以． （2）由（1）得的解集为， 当时： 当时，原不等式等价为，显然为，合题意； 当，原不等式等价为，显然不为，舍去； 当时，要想的解集为， 需要， 解得， 即， 综上的取值范围为，． 【点评】本题考查二次不等式的应用，属于中档题． 题型03一元二次方程的根的分布与系数的关系 23．（2023秋•普陀区校级月考）若关于的方程有无穷多个解，则　　 A． B． C． D． 【分析】依题意可得关于的方程有无穷多个解，则，从而求出、的值，即可得解． 【解答】解：因为， 又关于的方程有无穷多个解， 即关于的方程有无穷多个解， 即关于的方程有无穷多个解， 所以，解得， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的个数问题，属于基础题． 24．（2023秋•嘉定区校级期末）已知方程的两根为、，则　7　． 【分析】由题意，利用韦达定理，化简可得结果． 【解答】解：方程的两根为、， ，， 则． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题． 25．（2023秋•普陀区校级期末）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则实数的值为 　5　． 【分析】由题意，利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得的值． 【解答】解：一元二次方程的两个实根分别为、， ，，△． ，则实数， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题． 26．（2023秋•奉贤区期末）已知方程的两根为，，则　　． 【分析】由题意，利用韦达定理，变形求得结果． 【解答】解：方程的两根为，， ，， 则， 故答案为：． 【点评】本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题． 27．（2023秋•普陀区校级期末）已知函数两个零点，一个大于2另一个小于2，则实数的取值范围为 　　． 【分析】由题意，利用二次函数的性质，求出实数的取值范围． 【解答】解：函数两个零点，一个大于2另一个小于2， ①，或②． 由①可得，由②可得． 综上，，即实数的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，属于基础题． 28．（2023秋•浦东新区校级期中）关于的方程的两根都在之内，则实数的取值范围为 　，　． 【分析】由题意利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得的范围． 【解答】解：关于的方程的两根都在之内，令， 则，求得， 则实数的取值范围为，， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题． 29．（2023秋•浦东新区校级期中）若，是一元二次方程的两根，的值为 　10　． 【分析】利用韦达定理直接求解． 【解答】解：，是一元二次方程的两根， ，， ． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，属于基础题． 30．（2023秋•浦东新区期末）已知一元二次方程的两个实根为，． （1）求，； （2）求证：． 【分析】先写出韦达定理，再把韦达定理代入化简即得证 【解答】解：（1）由一元二次方程的两个实根为，， 利用韦达定理得：，． （2）证明：因为由（1）可得，． 所以原题得证． 【点评】本题考查了韦达定理的应用，属于基础题． 31．（2024春•浦东新区校级期末）（1）已知关于的一元二次方程的两个正实数根分别为，，且，求实数的值． （2）设，是方程的两个实根，，是方程的两个实根，若，求实数的取值范围． 【分析】（1）先根据韦达定理和已知条件解出两个实数根的表达式，再代入韦达定理求解即可，注意题干要求． （2）先根据韦达定理得出根之间的关系，根据表达式判断根正负性，最后结合①求解即可． 【解答】解：（1）根据韦达定理可得， 又因为， 所以，． 所以， 解得，． 又因为，且，是两个正实数根， 所以， 所以． （2）由韦达定理，得，，，． 前后两式分别相除，得． 因为，所以、同号． 若， 则，，矛盾． 若，则，，矛盾． 所以、、、同号，且有，即． 又因为，得， 所以． 结合①，得， 即，结合，可知实数的取值范围为． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数关系，属于中档题． 题型04绝对值不等式的解法 32．（2023秋•浦东新区校级期末）设，方程的解集为 　　． 【分析】利用零点分段法去绝对值，由此求得方程的解集． 【解答】解：依题意， 当时，方程化为，，恒成立， 当时，方程化为，不符合题意， 当时，方程化为，，解得， 当时，方程化为，，恒成立， 综上所述，程的解集为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查零点分段去绝对值，属于基础题． 33．（2023秋•浦东新区期末）不等式的解集为 　　． 【分析】直接利用绝对值不等式的解法求出结果． 【解答】解：，整理得， 解得； 故不等式的解集为． 【点评】本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． 34．（2023秋•徐汇区期末）已知问题：“恒成立，求实数的取值范围”．两位同学对此问题展开讨论： 小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题． 请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数的取值范围 　，，　． 【分析】利用三角不等式的性质进行转化求解即可． 【解答】解：， 要使恒成立，则即可， 或，解得或， 即实数的取值范围是，，， 故答案为：，，． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的求解，利用三角不等式的性质是解决本题的关键，是基础题． 35．（2023秋•松江区期末）已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是 　或　． 【分析】先求出的最小值，即可列出符合题意的不等式，即可求解． 【解答】解：表示数轴上的对应点到和2对应点的距离之和，其最小值为4， 关于的不等式有实数解， 则，解得或， 故实数的取值范围为或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题． 36．（2023秋•浦东新区校级期末）若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是　，　． 【分析】由条件根据绝对值的意义求得的最小值为5，从而得到实数的取值范围． 【解答】解：由于表示数轴上的对应点到、3对应点的距离之和，它的最小值为4， 不等式对任意的实数恒成立，故， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题． 37．（2023秋•闵行区期末）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 　，　． 【分析】由绝对值三角不等式求得的最小值，由题得到不等式，求解即可． 【解答】解：由绝对值三角不等式可得：， 因为关于的不等式有解， 所以，解得， 所以实数的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题． 38．（2023秋•宝山区校级期末）已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为． （1）若，求集合； （2）若，求正数的取值范围． 【分析】（1）把代入，解二次不等式即可求解； （2）若，则，结合二次不等式的求法对进行分类讨论，即可求解． 【解答】解：（1）时，； （2），， 若，则， 当时，，则， 故的范围为． 【点评】本题主要考查了二次不等式及含有绝对值的不等式的求解，还考查了集合的包含关系的应用，属于基础题． 39．（2024春•黄浦区校级期末）关于的不等式有解，则实数的取值范围是 　，　． 【分析】将问题转化为求解，利用绝对值不等式的结论求解即可． 【解答】解：关于的不等式有解， 则， 因为， 所以， 故，解得， 所以实数的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了不等式有解问题，绝对值不等式结论的理解与应用，解题的关键是将问题转化为求解，属于中档题． 40．（2023秋•宝山区校级期末）设，则方程的解集为 　，，　． 【分析】利用绝对值的定义去掉绝对值，分类讨论，分别求解即可． 【解答】解：当时，则方程为，即恒成立，则满足； 当时，则方程为，解得，舍去； 当时，则方程为，解得，； 当时，则方程为，即恒成立，时满足． 综上所述，方程的解集为，，． 【点评】本题考查了含有绝对值方程的求解，解题的关键是利用绝对值的定义去掉绝对值，属于中档题． 41．（2023秋•黄浦区校级期末）已知实数，满足且，则的最小值是 　　． 【分析】由题意，根据绝对值的性质分析可知，解不等式即可得结果． 【解答】解：因为， 则，且． 再根据，两边同时除以，可得，即． 令，可得，求得， 所以的最小值是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的性质应用，属于中档题． 42．（2023秋•杨浦区校级期中）关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 　　． 【分析】由题意首先由三角不等式得到的最小值为，然后将问题转换为恒成立问题来做，进一步分类讨论解绝对值不等式即可． 【解答】解：因为，，， 所以， 即， 所以，等号成立当且仅当在和1两个数之间，规定时的取等条件为， 综上所述的最小值为， 因为关于的不等式的解集是， 所以，恒成立， 所以当且仅当， 当时，不可能成立，当时，，解得． 综上所述：实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立条件的转化，是中档题． 43．（2023秋•普陀区校级期末）（1）解不等式； （2）证明：对所有实数恒成立，并指出等号成立时的取值范围． 【分析】（1）分，，三种情况去绝对值符号，求解即可； （2）利用绝对值三角不等式即可得出结果． 【解答】解：（1）当时，原不等式等价于，解得， 此时； 当时，原不等式等价于，解得， 此时； 当时，原不等式等价于，解得，此时无解． 综上，不等式的解集为，； （2）证明：， 当且仅当，即时等号成立，此时， 对所有实数恒成立，且等号成立时的的取值范围为． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于中档题． 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•普陀区校级期中）一元二次不等式的解集是，则　0　． 【分析】利用三个二次关系计算即可． 【解答】解：由题意可知的两个根分别是，且， 所以，解得，， 所以． 故答案为：0． 【点评】本题考查了不等式的解集与对应方程关系的应用问题，是基础题． 2．（2023秋•浦东新区校级期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 　　． 【分析】根据已知条件，结合二次函数的判别式，并分类讨论，即可求解． 【解答】解：设， 当时，，符合题意， 当时，，解得，不符合题意， 当且时， ，解得， 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查一元二次不等式及其应用，属于基础题． 3．（2023秋•浦东新区校级期中）不等式的解集是 　　． 【分析】分情况讨论，去掉绝对值符号，转化为一元二次不等式求解． 【解答】解：易知时，不等式不成立． 当时，原不等式可化为：， ； 当时，原不等式可化为：（舍去）或， ． 综上，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题． 4．（2023秋•徐汇区校级期中）设，则方程的解集为 　　． 【分析】结合绝对值不等式的解法，并分类讨论，即可求解． 【解答】解：时，原式，不合题意， 时，原式，不合题意， 时，原式， 时，原式即恒成立， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题． 5．（2023秋•徐汇区校级期中）不等式的解集为 　　． 【分析】分类讨论去掉绝对值符号即可得解． 【解答】解：当时，原不等式可化为，解得，又，； 当时，原不等式可化为，不等式成立； 当时，原不等式可化为，解得，又，； 综上，不等式的解集为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题． 6．（2023秋•长宁区校级期中）关于的不等式的解集是，则不等式的解集为 　　． 【分析】由题意可得，且，可得，由此求得不等式的解集． 【解答】解：关于不等式的解集为， ，且， 可得，则不等式，即， 即，求得， 所以不等式的解集为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次不等式与二次函数转化关系的应用，还考查了二次不等式的求解，属于基础题． 7．（2023秋•浦东新区校级期中）若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是 　　． 【分析】根据判别式列出不等式求得的取值范围． 【解答】解：关于的一元二次不等式的解集为， 则△， 解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题． 8．（2023秋•青浦区校级期中）已知关于的一元二次方程的两个实根分别为和，且，则实数　　． 【分析】利用韦达定理得到二次方程两个根之间的关系，再由已知，可得的值． 【解答】解：关于的一元二次方程的两个实根分别为和， ，， ， 解得或， 当时，一元二次方程无解， 舍去． 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，属于基础题． 9．（2023秋•杨浦区校级期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是 　，　． 【分析】由题意，可得，再分类讨论的符号，解不等式，求得的范围． 【解答】解：不等式对任意实数均成立，， ． 当时，显然成立． 当时，，等价于，求得， ． 综上可得，实数的取值范围为，， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，函数的恒成立问题，属于中档题． 10．（2023秋•闵行区校级期中）已知关于的方程有两个不同实根，，若，则实数的取值范围是 　　． 【分析】利用韦达定理得到两根之和，两根之积，进而表达出，求出的取值范围． 【解答】解：关于的方程有两个不同实根，，， 由题意得：， 由韦达定理可知：， 则， 所以， 解①得：且，解②得：或， 又△， 所以，即， 综上：或， 所以的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的分布和韦达定理，属于中档题． 11．（2023秋•浦东新区校级期中）若关于的不等式对所有实数均成立，则实数的取值范围是 　，　． 【分析】根据绝对值三角不等式可得，即可得出答案． 【解答】解：由绝对值三角不等式得：， 因为不等式对所有实数恒成立， 所以， 当时，不等式恒成立； 当时，两边同时平方可得：，解得，即， 综上可得，实数的取值范围是为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 12．（2023秋•浦东新区校级期中）设，，若，则的取值范围为 　，　． 【分析】由绝对值的三角不等式可得，当且仅当，时取等号，结合已知可得只有成立，此时，，然后即可求解的取值范围． 【解答】解：因为， ， 当且仅当，，即，时，等号成立， 所以，又， 所以时，满足，， 则，，， 所以， 故的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查不等式的性质，属于中档题． 二．选择题（共4小题） 13．（2023秋•普陀区校级期中）已知集合，，则　　 A． B． C． D． 【分析】化简集合，再根据集合之间的关系判断选项中的命题是否正确． 【解答】解：集合或，， 所以不是的子集，选项错误； ，，所以不是的子集，选项错误； ，所以选项错误； ，选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了推理与判断能力，是基础题． 14．（2021秋•徐汇区校级期中）已知实数，，则“”是“”的　　条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【分析】由分式不等式转化为整式不等式，结合平方差公式和绝对值不等式，由充分必要条件的定义可得结论． 【解答】解：已知实数，，不等式等价为， 即为，即，即为， 所以“”是“”的充要条件． 故选：． 【点评】本题考查不等式的性质和充分必要条件的判断，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题． 15．（2023秋•嘉定区校级期中）对任意给定的实数，，有，且等号当且仅当　　成立． A． B． C． D． 【分析】由题意得出且，由此判断符合题意的选项即可． 【解答】解：对任意给定的实数，，有，且等号当且仅当且，所以排除选项、； 由，得或，不能得出且，排除选项； 由，得或，所以且，选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了不等式的性质与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题． 16．（2023秋•浦东新区校级月考）若一元二次不等式，的解集分别为、，、、、、、均不为0，、既不是也不是，则“”是“”的　　条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【分析】根据“”与“”互相推出的情况判断属于何种条件． 【解答】解：由一元二次不等式的解法知，一元二次不等式解集受二次项系数的符号及相应二次方程的解的情况决定， 由可知相应二次方程的解的情况是一致的，但二次项系数的符号不一定一致， 故由推不出， 反之若，则方程和方程的解相同， 所以， 即由“”可以推出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题． 三．解答题（共8小题） 17．（2023秋•静安区校级期中）解关于的不等式：． 【分析】先把不等式化为，再讨论两个根的大小关系，分别求出解集即可． 【解答】解：不等式可化为， ①当，即时，解集为或； ②当，即时，解集为； ③当，即时，解集为或， 综上所述，当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或． 【点评】本题主要考查了含参数的一元二次不等式的解法，属于基础题． 18．（2023秋•静安区校级期中）求下列不等式解集． （1）． （2）． 【分析】（1）将分式不等式化为求解集即可； （2）由公式法求绝对值不等式的解集． 【解答】解：（1）由， 所以不等式解集为； （2）由，则或， 所以或， 故不等式解集为，，． 【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题． 19．（2023秋•静安区校级期中）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围． 【分析】一元二次不等式解集为，则△，结合二次函数图象即可得． 【解答】解：若关于的不等式，对于一切实数都成立， ①时，恒成立， ②时，，则， 故，综上所述，的取值范围是，． 【点评】本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于基础题． 20．（2023秋•奉贤区期中）已知方程，且，是方程的两个不同的实数根． （1）若，求的值； （2）若，且，求取值范围． 【分析】（1）由根与系数的关系求出，，代入化简即可得出答案； （2）由根与系数的关系求出，，代入结合题意解方程即可得出答案． 【解答】解：（1）当时，方程为， 则；，． （2），，， ， ，解得． 又方程有两个不同的根， △， 解得或， ， 故的取值范围为． 【点评】本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题． 21．（2023秋•嘉定区校级期中）已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式对任意，都成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）利用绝对值不等式求出的最小值，即可得出不等式的解集； （2）分离参数法去求实数的取值范围． 【解答】解：（1）时，函数， 当且仅当，即时成立； 所以恒成立，所以不等式的解集为； （2）若不等式对任意，都成立，即恒成立， ①当时，有恒成立， 即，解得恒成立 因为，所以； ②当时，有恒成立， 即，解得恒成立， 因为，所以， 综上所述，实数的取值范围是． 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，是中档题． 22．（2023秋•宝山区校级月考）已知． （1）已知关于的不等式的解集是，求实数的取值范围； （2）已知的解集为，且，求实数的取值范围． 【分析】（1）将所求不等式变形为，根据二次不等式的解法可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知，对任意的，恒成立，由参变量分离法可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围． 【解答】解：（1）由，即， 整理可得， 因为不等式的解集为， 则，解得， 因此，实数的取值范围是． （2）由可得， 因为不等式的解集为，且，则， 所以，对任意的，恒成立，则，可得， 令，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，， 当时，函数的最大值为2， 所以的取值范围为． 【点评】本题主要考查了二次不等式解集的求解，还考查了二次函数性质的应用，属于中档题． 23．（2023秋•闵行区校级期中）已知代数式和． （1）若，，求不等式的解集； （2）若，，证明，中至少有一个数不小于； （3）若，不等式对任意实数恒成立，试确定实数，满足的条件． 【分析】（1）分，，去掉绝对值符号解不等式即可； （2）利用即可； （3）分情况去掉绝对值符号，利用一次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1） 或或 或， 不等式的解集． （2）证明：， 当且仅当即时，等号成立， ，中至少有一个数不小于． （3）若，不等式对任意实数恒成立， ①当，时， 对任意实数恒成立， 则． ②当，时， 对任意实数恒成立， 则与矛盾． ③当，时， 对任意实数恒成立， 则， 将代入中，得，要使与有交集，则， 与矛盾． ④当，时， 对任意实数恒成立， 则与矛盾． 综上，要使不等式在上恒成立，实数，满足的条件为． 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明，不等式恒成立问题，属于中档题． 24．（2023秋•青浦区校级期中）命题甲：关于的不等式的解集为； 命题乙：关于的方程有两个不相等的实数根． （1）若命题甲为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题甲、命题乙中至多有一个命题为真，求的取值范围． 【分析】（1）转化化简命题甲，求出相应的的取值范围，（2）转化化简命题甲乙，求出相应的的取值范围再由命题的真假进行交并补运算． 【解答】解：（1）命题甲，当时，， 符合题意；当，由，解得， 若命题甲为真命题，则的取值范围为； （2）命题乙：关于的方程有两个不相等的实数根， 则且△，解得，且， 若命题甲、命题乙中至多有一个命题为真， 若命题甲、命题乙都是真命题，则，且， 故当命题①、②中至多有一个命题为真时，则或或． 故所求的取值范围为． 【点评】本题考查了命题真假的判断问题，是中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$