第24节 点、直线与圆有关的位置关系&第25节 与圆有关的计算-【卓文中考·加速度】2024年内蒙古中考数学精练册

第24节点、直线写圆有关的位置关系 公中考真题·台点练 命题点与切线性质有关的证明与计算 (2)多解设回试探究DE与EF之间的数量关 1.[2021包头，18]如图，在 系，写出并证明你的结论（请用两种证法解 □ABCD中，AD=12, 答). 以AD为直径的⊙O 与BC相切于点E,连 B E 接OC.若OC=AB,则 第1题图 □ABCD的周长为 2.[2022呼和浩特，15]已知AB为⊙O的直径且 AB=2,点C是⊙O上一点（不与A,B重合）， 点D在半径OB上，且AD=AC,AE与过点C 则CD= ,OD= ∠DOE=2∠CGE. 速度中考 的⊙O的切线垂直，垂足为E.若∠EAC=36°， 3.[2022包头，23]如图，AB为⊙O的切线，C为切 点，D是⊙O上一点，过点D作DF⊥AB,垂 足为F,DF交⊙O于点E,连接EO并延长 交⊙O于点G,连接CG,OC,OD, 第3题图 (1)若⊙O的半径为5，求CG的长： ·48· 4.[2021呼和浩特，23]已知AB是⊙O的任意一条 命题点②与切线判定有关的证明与计算 直径 5.[2022鄂尔多所，21]如图，以AB为直径的⊙O与 (1)如图①，求证：⊙O是以直径AB所在直 △ABC的边BC相切于点B,且与AC边交 线为对称轴的轴对称图形： 于点D,点E为BC中点，连接DE,BD (2)已知⊙O的面积为4π，直线CD与⊙O相切 于点C,过点B作BD⊥CD,垂足为D,如图②. 求证：a2BC=2BD: b.改变图②中切点C的位置，使得线段OD1 第5题图 BC时，OD=2√2. (1)求证：DE是⊙O的切线： B 图① 加速度中考 图② 第4题图 (2)若DE=5,os∠ABD=号，求OE的长. ·49 6.[2021鄂尔多斯，21]如图，在△ABC中，AB=AC,7.[2023通辽，23]如图，AB为⊙O的直径，D,E是 以AB为直径的⊙O交AC于点D,交BC于 ⊙O上的两点，延长AB至点C,连接CD, 点E,直线EF⊥AC于点F,交AB的延长线 ∠BDC=∠A. 于点H (1)求证：△ACD∽△DCB: (1)求证：HF是⊙O的切线： (2)求证：CD是⊙O的切线； (2)当EB=6,eos∠ABE=3时，求amH的值. 3)若tanE=号AC=10,求⊙0的半径 E 第6题图 第7题图 加速度中考 ·50 8.[2023赤峰，24]如图，AB是⊙O的直径，C是 (2)若AF=10,nF=号求CD的长. ⊙O上一点，过点C作CD⊥AB于点E,交 ⊙O于点D,点F是AB延长线上一点，连接 CF,AD,∠FCD=2∠DAF 第8题图 (1)求证：CF是⊙O切线： 加速度中考 ·51 9.[2023呼和浩特，23]已知在Rt△ABC中，∠ACB= (2)点P为直线BC上任意一动点，连接AP 90°，BC=6,AC=8,以边AC为直径作⊙O, 交⊙O于点Q,连接CQ. 与AB边交于点D,点M为边BC的中点，连 ①分菱腔题当an∠BAP-号时，求BP的长： 接DM. ②面求器的最大值， 第9题图 (1)求证：DM是⊙O的切线； 加速度中考 ·52· 第25节 与圆有关的计算 公中考真题·女点朱 命题点⑦弧长、扇形面积的相关计算 子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘 1.[2022鄂尔多斯，8]实验学校的花坛形状如图所 贴一条从点A处开始，绕侧面 示，其中，等圆⊙O,与⊙O2的半径为3米，且 一周又回到点A的彩带（彩带 ⊙O经过⊙O的圆心O.已知实线部分为此 宽度忽略不计)，这条彩带的最 花坛的周长，则花坛的周长为 ( 短长度是 ( A.4π米 B.6π米 C.8π米 D.12x米 A.30 cm B.30/3cm 第5题图 C.60 cm D.20x cm 6.[2022呼和浩特，13]如图，从一 个边长是a的正五边形纸 片上剪出一个扇形，这个 第1题图 第2題图 扇形的面积为 2.[2023通丑，9]如图，在扇形AOB中，∠AOB= (用含心的代数式表示)； 第6题图 60°，OD平分∠AOB交AB于点D,点C是半 如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的 径OB上一动点，若OA=1,则阴影部分周长 底面圆直径为 的最小值为 A2+晋 2023呼和酷特，12]圆锥的高为2√2，母线长为3， BE+骨 沿条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的 C.22+晋 D.22+ 圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 (结果用含π的式子表示). 3.[202包头，16]如图，已知⊙0的类径为月 命题点③☒阴影部分面积的计算 是⊙O的弦.若AB=22,则劣弧AB的长 8.[2021包头，5]如图，在Rt△ABC中，∠ACB 为 90°，AB=√5，BC=2,以点A为圆心，AC的 长为半径画弧，交AB于点D,交AC于点C, 以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB 于点E,交BC于点F,则图中阴影部分的面 M 积为 ( ) 图① 图② 第3题图 第4题图 A.8-π B4-xC.2- D.1- 4.[2023通辽，17某款“不倒翁”（如图①）的主视图 是图②，PA,PB分别与AMB所在圆相切于 点A,B,若该圆半径是10cm,∠P=60°，则 主视图的面积为 cm". 第8题图 第9题图 命题点②圆锥的相关计算 9.[2023包头，13]如图，正方形ABCD的边长为2， 5.[2023赤峰，5]某班学生表演课本剧，要制作一顶 对角线AC,BD相交于点O,以点B为圆心， 圆锥形的小丑帽.如图，这个圆锥的底面圆周 对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线 长为20πcm,母线AB长为30cm.为了使帽 于点E,则图中阴影部分的面积为 ·53.OC//DF LCOE= OED 第24节 点、直线与圆有关的位置关系 . LDOE= OED..OD=DE. 又OD=OE.:. △ODE是等边三角形. 【中考真题分点练】 . D0E=60$$ $CGE=30$$$$ 1.24+6/5 【解析】如答图,连接 .0的半径为5.:.EG=10 OE.过点C作CF1AD于点F.. .EG是⊙0的直径。.GCE=90. 四边形ABCD为平行四边形,. 在Bt△GCE中. AB=CD.AD=BC.AD/BC. =53. E0D+乙0EC=180::0与 第1题答图 (2)DE=2EF. BC相切于点E.:OE1BC 0EC=90*乙E0D= 90”°.·CF1AD..乙CFO=90.四边形OECF为矩形 方法一:证明: 乙COE=乙DOE=60*. .FC=0E.AD为0的直径,AD=12..FC=0E= .CE=DE. 0D-- .CE=DE. :. OC=OE=CF .△OCE为 角形, 第3题答图 .20CE=60 $F$C$=3+6=45.AB=0C=35.'$ABCD的周长为$ $2+12+35+35=24+65 -30. -1+5 2.1 【解析】如答图。 EF=- 2 1_Cf. 连接OC.设0D=t直径AB F. EF DE,即DE=2EF. =2.0A=0C=1.'.AD=AC =1+x.EC与0相切于点 方法二:证明:如答图,过点O作0H1DF交DF于点H C. . OC1 EC. AE1EC. 则乙0HF=90*. 又 0CB= DFC=90*. 0C.. OAC=ACO=36*: AC=AD .ADC=ACD .四边形0CFH是矩形。 = 2 *.'0CD= ACD-$ ACO=36·'COD= .CF-OH. $ CAD=72*'$COD=0DC=72* $$CD=0$C=1.$ ·△0DE是等边三角形 .DE=OE. OCD=CAD.ODC=CDA.. △DOC△DCA .OH1DF. 0DCD 2 ,三 5..0D--15 :乙COE=乙DOE. 2 2 2 .CE=DE. 3.解:(1)如答图,连接CE . CE=DE.. CE-OE .CE=CE.'1COE=2 CGE .CF=OH. · DOE=2 CGE . COE= DOE :. Rt△CFERt△OHE(HL). .AB为⊙O的切线,C为切点, ·.FF=FH. '.0C1AB..乙0CB=90*. 又:DF1AB.. DFB= OCB=90*.$ 63/ .DE=2EF. 4.证明:(1)如答图①,设P是⊙0上除点A.B以外的任意 5.(1)证明:如答图,连接0D 一点,过点P作PP'1AB,交0于点P,垂足为M .AB为⊙0的直径. 若点M与圆心0不重合,连接0P.0P . /BDC= ADB=90。 在△0PP中..:0P=0P' 点E为BC中点: .△0PP是等腰三角形. 第5题答图 又PP'IAB.:PM=MP',则AB是PP'的垂直平分线 1OD=0B. 若V与圆心0重合,显然AB是PP的垂直平分线 在△DOE和△BOE中. DE=BE. .对于0上任意一点P.在。0上都有关于直线AB的 IOE=0E, 对称点P',因此⊙0是以直径AB所在直线为对称轴的轴 对称图形. .. △DOE△BOE(SSS). .乙ODE=ABC (2)a.设0半径为r .BC与⊙0相切于点B. 由0的面积-=4n可得r=2.:.AB=4. .. ABC=90. 如答图②.连接OC.连接AC.则/BCA=90* . 乙0DE= .C是切点..0C1CD .0D1D . BD1 CD.. OC//BD 0半径:DE是0的切线 .. 乙OCB=/DBC 2ABC=90*. . 0C=OB.:乙0CB=乙0BC. ABDDBC=900. . 乙DBC=乙OBC (1知2BDC=90”,BC=2DE. 又:乙BCA= BDC=90*. .△ACB△CDB C+ DBC=90*,BC=2DE=10. . BC*=AB·BD-4BD 力口速度 b.如答图③.由a.可知乙DBC=乙0BC 与切点C的位置 无关。 6.(1)证明:如答图,连接0E .OD1BC... BD=OB .AB为⊙0的直径. A0CB是等腰三角形。 .. 乙AEB=90. ·BC与0D互相垂直平分 . AB=AC.:.BE=CE. 又:乙BDC=90*. ..OE为△BCA的中位线 第6题答图 :.四边形B0CD是边长为2的正方形 .0E/AC. .0D=2/2. 又HF1AC:OF1HF .0E是0的半径. .HF是0的切线 (2)解:如答图.过点E作FG1AV干点G.连接AE 则乙EGB=90% 图② ③ .'cos乙ABE-- 64 第4题答图 .BG=2.:FG=4/2 8.(1)证明:如答图①.连接0C.0D H+ HEG=90$.GEO + HEG=9 0$ ·CD1AB,AB是0的直径. .乙H=/GFO .CB=DB.. COB=LDOB. 在Rt△BEA中 DOB=2 DAF. .C0B=2/DAF .FCD=2ZDAF .AB=18, .乙FCD=COB. .0B-AB=9. .CD1AB. $. GO=0B-BG=7. .. 乙CE0=90*. c0772 .乙C0B+乙0CF-90* '. tan H=tan/GEo= EG4/2 8 :. 乙FCD+乙0CE=90* 7. (1)证明:乙DCB= ACD.LBDC= CAD 即/OCF=90*:0C 1CF. .△ACD△DCB 又0C为0的半径. (2)证明:如答图,连接0D ..CF是oo切 AB为⊙0的直径 '. ADB=90. A+ ABD=90 . OB=OD.. 乙ABD= ODB 21 图① .乙BDC=/A. 图② ' 乙BDC+ 0DB=90*. 第8题答图 . 乙0DC=90.:0D1CD 解:如答图②,连接0C ·0D是0的半径.:cD是⊙0的切线. 由(1)知0C1CF. 设0C=2x.则0F=3x. 速度中 :0A=0C=2x. .AF-10. 第7题答图 ..0A+0F=10. (3)解: ADB=90.tan/BED= 即2x+3x=10. 解得x=2. . tanBAD3 AD=5 .0C=4. CD BC BD 3 .△BDC△DAC... -.0C1CF. AC=CD=AD=5' .. 乙0CE+乙FCE=90*. *AC=10. .CD1AB. .-. CD=6. CD3 . 乙F+乙FCE=90*. BC 3 18 .. 乙F=乙0CE. ..BC= 5 .. sin F=sin乙OCE. . AB=AC-BC=10-1832 5=5 在Rt△CEO中, sinzoCE-0F-2 0=3 65/ 由勾股定理得。 $A=310.BK=10$$ $CE=$OC^*-0EF= ·CD1AB,AB是0的直径, #Bp B 10 #P __ .CD=2CE-85 3 设BP=m,则AP410 5 9.(1)证明:如答图①.连接0D.CD. :4C是⊙0的直径。 在Rt△ACP中,AC+CP=AP.$$ '.乙ADC=90* 即8+(m+6)*-(410 _m). 5 '. 乙BDC=180*-ADC=90$$$ 50 解得m,-50,m。=- .50 点V为边BC的中点. .MC=MD.. MDC= MCD : C=0D.20DC=0CD$ 乙ACB=90*,即 MCD+0CD=90*$ ②如答图④.设CP=n.则AP=AC+CP=$64+ . MDC+ODC= MCD+OCD=90$. :AC是⊙0的直径:c01AP 即 0ODM=90*.:DM10D .C0·AP ·0D是0的半径.:DM是⊙0的切线. 64n (2)解:①当点P在线段BC上时,如答图②,过点P作PT 1AB于点T. 在Rt△ABC中,AB=AC+BC=8+6=10 n0..(n-8)=0:.64+n*=16n 0 C0 $.BT=AB-AT=10-3x 力口速度 8 3.P7 3 图① ② ".sin/ABC= BP=AB' :BP= 10 % 当点P在CB的延长线上时,如答图③.过点B作B AF 于点K. .tan2BAP-寸3. 1.B.1 设BK=a.则AK-3a. 图③ 阁④ 在Rt△ABK中.AK+BK=AB 第9题答图 即(3a)+a=10. 解得a.=v10.a=-v10(舍去). △66 第25节 与圆有关的计算 【中考真题分点练】 1.C 2.A 【解析】如答图,作D点关于直线 0B的对称点E,连接AE,与0B的交 点为C点,此时阴影部分周长最小 在扇形AOB中,/AOB=60*,0D平 分乙AOB交AB于点D.:AOD= 乙BOD=30*,由轴对称的性质可知, 第2题答图 FOB= BOD=30*$0E=0D '$ A0E=90$$ $ △AOE 是等腰直角三角形.:0A=1.: AE=2,1n-30πx1 180 7.120 3n 3 10 8.D 9.n 加速度中考 67