第23节 圆的有关性质及相关计算-【卓文中考·加速度】2024年内蒙古中考数学精练册

第六章 圆 第23节 圆的有关性质及相关计算 公中考真题·女点妹 命题点⑦圆周角定理及其推论的相关计算 (2)若tanC=,BD=4,求AE 1.[2022包头，7]如图，AB,CD是⊙O的两条直 径，E是劣弧BC的中点，连接BC,DE.若 ∠ABC=22°，则∠CDE的度数为 () 第1题图 A.22° B.32° 加速度中考 C.349 D.449 2.[2022呼和浩特，20]如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径的⊙O交BC于点D,交线段 CA的延长线于点E,连接BE. 第2题 (1)求证：BD=CD: 命题点②三角形的外接圆 3.[2023包头，9]如图，⊙O是锐角三角形ABC的 外接圆，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.垂足 分别为D,E,F,连接DE,EF,FD.若DE十 DF=6.5,△ABC的周长为21，则EF的长 为 () 第3题图 A.8 B.4 C.3.5 D.3 ·45· 4.[2023呼和浩特，14]如图，△ABC内接于⊙O且 (2)若∠ACB=45°，AD=4,tan∠ABC=2, ∠ACB=90°，弦CD平分∠ACB,连接AD, 求HF的长. BD.若AB=5,AC=4,则BD= CD- D 第4题图 命题点③圆内接四边形 5.[2023赤峰，10]如图，圆内接四边形ABCD中， ∠BCD=105°，连接OB,OC,OD,BD ∠BOC=2∠COD.则∠CBD的度数是() 第5题图 A.25° B.30° C.35 是BC边上的高，以AD为直径的⊙Q交 点E,交AC于点F,过点E作RGAB,垂 足为H,交AE于点G,交AD点M,连接 AG,DE.DF. D 第6题图 (1)求证：∠GAD+∠EDF=180°： ·46· 7.[2023包头，22]如图，AB是⊙O的直径，AC是 (2)若∠ACP=∠ADC,⊙O的半径为3，CP= 弦，D是AC上一点，P是AB延长线上一点， 4,求AP的长 连接AD,DC,CP. 备用图 第7题图 (1)多解设间求证：∠ADC-∠BAC=90°：（请 用两种证法解答) 命题点④圆内接正多边形 8.题学文化2021呼和浩特，8]如图，正方形的边长为 4,剪去四个角后成为一个正八 边形，则可求出此正八边形的外 接圆直径d,根据我国魏晋时期 学家刘徽的“割圆术”思想，如 第8题图 用此正八边形的周长近似代替其外接圆周 加速度 ，便可估计π的值，下面d及π的值都正确 的是 ()》 A.d= 8(√2-1) sin22.5°，r8sin22.5 Bd=4(W2-1) sin22.5°，r≈4sin22.5° C.d=4(W2-1) sin22.5°，r≈8sin22.5 D.d=8(2-1) sin22.5,r≈4sin22.5 核心素养创新 1.如图，AB是⊙O的直径， AE=2 cm,BE=6 cm,DE=3 cm,CE= BC是⊙O的弦，先将BC cm:学以致用：如图②，点P是直径为 沿BC翻折交AB于点 10的⊙Q中的一点且PQ=2,过点P作弦 D,再将BD沿AB翻折交 HK,则线段PH与线段PK的积等于 BC于点E.若BE=DE, 第1题图 设∠ABC=a,则a所在的范围是 ( A.21.9°<a<22.3°B.22.3°<a<22.7° C.22.7°<a<23.1°D.23.1°<a<23.59 图① 图② 2.如图①，在⊙O中，弦AB,CD相交于点E, 第2题图 ·47·第六章　圆 第２３节　圆的有关性质及相关计算 【中考真题分点练】 １．Ｃ 第２题答图 ２．（１）证明：如答图，连接ＡＤ． ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＤＢ＝９０°，即ＡＤ⊥ＢＣ． ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴ＢＤ＝ＣＤ． （２）解：∵ＣＤ＝ＢＤ＝４，∴ＣＢ＝ ＢＤ＋ＣＤ＝８． 在Ｒｔ△ＡＤＣ中，ｔａｎＣ＝１２， ∴ＡＤ＝ＣＤ·ｔａｎＣ＝４×１２＝２， ∴ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２＝ ２２＋４槡 ２ 槡＝２５． ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＥＢ＝９０°． ∵∠ＡＥＢ＝∠ＡＤＣ＝９０°，∠Ｃ＝∠Ｃ， ∴△ＣＤＡ∽△ＣＥＢ，∴ ＣＥＣＤ＝ ＣＢ ＣＡ， ∴ＣＥ４ ＝ ８ 槡２５ ，∴ＣＥ＝ 槡１６５５ ， ∴ＡＥ＝ＣＥ－ＡＣ＝ 槡６５５ ， ∴ＡＥ的长为 槡６５５ ． ３．Ｂ 第４题答图 ４．槡５２２　 槡７２ ２　【解析】∵△ＡＢＣ内接 于⊙Ｏ且∠ＡＣＢ＝９０°，∴ＡＢ为⊙Ｏ 的直径，∴∠ＡＤＢ＝９０°，∴∠ＤＡＣ＋ ∠ＤＢＣ＝１８０°，∵弦ＣＤ平分∠ＡＣＢ， ∴∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤ＝４５°，∴ＡＤ＝ＢＤ，∵ＡＢ＝５，ＡＣ＝４，∴ ＣＢ＝３，ＡＤ＝ＢＤ＝ 槡５２２，∴如答图，把△ＡＣＤ绕 Ｄ逆时针 旋转 ９０°得到△ＤＢＥ，∴∠ＤＢＥ＝∠ＤＡＣ，ＢＥ＝ＡＣ，∴ ∠ＤＢＣ＋∠ＤＢＥ＝１８０°，∴Ｃ，Ｂ，Ｅ三点共线，∴△ＤＣＥ为 等腰直角三角形，∴ＣＥ＝ＡＣ＋ＢＣ＝７，∴ＣＤ＝ＤＥ＝槡７２２． ５．Ａ ６．（１）证明：∵ＦＧ⊥ＡＢ， ∴∠ＡＧＦ＋∠ＧＡＥ＝９０°． ∵ＡＤ为⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＤＦ＋∠ＦＡＤ＝９０°． 又∵∠ＡＧＦ＝∠ＡＤＦ， ∴∠ＧＡＥ＝∠ＦＡＤ， ∴∠ＧＡＥ＋∠ＤＡＥ＝∠ＦＡＤ＋∠ＤＡＥ， 即∠ＧＡＤ＝∠ＥＡＦ． ∵四边形ＡＥＤＦ是圆的内接四边形， ∴∠ＥＡＦ＋∠ＥＤＦ＝１８０°， ∴∠ＧＡＤ＋∠ＥＤＦ＝１８０°． （２）解：如答图，连接ＯＦ． ∵ＡＤ是⊙Ｏ的直径，且ＡＤ是△ＡＢＣ的高，ＦＧ⊥ＡＢ， ∴∠ＡＥＤ＝∠ＡＤＢ＝∠ＡＨＭ＝∠ＡＦＤ＝９０°， ∴△ＡＨＭ∽△ＡＤＢ， ∴ ＡＨＨＭ ＝ ＡＤ ＤＢ． 第６题答图 ∵ｔａｎ∠ＡＢＣ＝ＡＤＢＤ＝２， ∴ ＡＨＨＭ ＝２． ∵∠ＡＣＢ＝４５°， ∴∠ＤＡＣ＝∠ＡＤＦ＝４５°， 又∵ＯＡ＝ＯＦ， ∴∠ＡＦＯ＝∠ＯＡＦ＝４５°， ∴∠ＡＯＦ＝９０°． ∵在Ｒｔ△ＡＨＭ与Ｒｔ△ＦＯＭ中，∠ＡＭＨ＝∠ＦＭＯ， ∴△ＡＨＭ∽△ＦＯＭ， ∴ ＦＯＯＭ ＝ ＡＨ ＨＭ ＝２． ∵ＡＤ＝４， ∴ＦＯ＝ＯＡ＝２， ∴ＯＭ＝１，ＡＭ＝ＯＡ－ＯＭ＝１． 设ＨＭ＝ｘ，则ＡＨ＝２ｘ， 在Ｒｔ△ＡＨＭ中，ＡＨ２＋ＨＭ２＝ＡＭ２， 即（２ｘ）２＋ｘ２＝１， 解得ｘ１＝槡 ５ ５，ｘ２＝－ 槡５ ５（舍去）， ∴ＡＨ＝ 槡２５５                                                                 ． １６ 加 速 度 中 考 在Ｒｔ△ＡＯＦ中， ∵ＯＦ＝ＯＡ＝２， ∴ＡＦ 槡＝２２． 在Ｒｔ△ＡＨＦ中，ＡＨ２＋ＨＦ２＝ＡＦ２， 即 槡２５( )５ ２ ＋ＨＦ２＝（槡２２） ２， 解得ＨＦ＝ 槡６５５ （负值已舍去）， ∴ＨＦ的长为 槡６５５ ． ７．（１）证明：方法一：如答图①，连接ＢＤ， ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＤＢ＝９０°， ∵∠ＡＤＣ－∠ＢＤＣ＝∠ＡＤＢ，∠ＢＤＣ＝∠ＢＡＣ， ∴∠ＡＤＣ－∠ＢＡＣ＝９０°． 方法二：如答图②，连接ＢＣ， ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＣＢ＝９０°， ∵∠ＰＢＣ＝∠ＢＡＣ＋∠ＡＣＢ， ∴∠ＰＢＣ－∠ＢＡＣ＝９０°， ∵四边形ＡＢＣＤ为⊙Ｏ的内接四边形， ∴∠ＡＤＣ＋∠ＡＢＣ＝１８０°， ∵∠ＰＢＣ＋∠ＡＢＣ＝１８０°， ∴∠ＡＤＣ＝∠ＰＢＣ， ∴∠ＡＤＣ－∠ＢＡＣ＝９０°． 第７题答图 （２）解：由答图②可得∠ＡＤＣ＝∠ＰＢＣ， ∵∠ＡＣＰ＝∠ＡＤＣ， ∴∠ＰＢＣ＝∠ＡＣＰ， 即∠ＰＢＣ＝∠ＰＣＡ， ∵∠ＢＰＣ＝∠ＣＰＡ， ∴△ＰＢＣ∽△ＰＣＡ，∴ＰＢＰＣ＝ ＰＣ ＰＡ， ∴ＰＣ２＝ＰＡ·ＰＢ， ∵⊙Ｏ的半径为３， ∴ＡＢ＝６，∴ＰＡ＝ＰＢ＋６， ∵ＣＰ＝４，∴４２＝（ＰＢ＋６）·ＰＢ， 解得ＰＢ＝２或ＰＢ＝－８（舍去）， ∴ＡＰ＝２＋６＝８． 第８题答图 ８．Ｃ　【解析】如答图，连接ＡＤ，ＢＣ交于点Ｏ，过 点Ｏ作 ＯＰ⊥ＣＤ于点Ｐ，则 ＰＣ＝ＰＤ，且 ∠ＣＯＰ＝２２．５°．设正八边形的边长为ａ，已 知正方形边长为４，则ａ＋２×槡２２ａ＝４，解得 ａ＝４（槡２－１），∴ＰＣ＝２（槡２－１）．在Ｒｔ△ＯＣＰ中，ＯＣ＝ ＰＣ ｓｉｎ２２．５°＝ ２（槡２－１） ｓｉｎ２２．５°，∴ｄ＝２ＯＣ＝ ４（槡２－１） ｓｉｎ２２．５°．由πｄ≈８ＣＤ， 得 ４（槡２－１） ｓｉｎ２２．５°π≈８×４（槡２－１），∴π≈８ｓｉｎ２２．５°．故选Ｃ． 【核心素养创新练】 １．Ｂ　２．                                                                 ４　２１ ２６ 加 速 度 中 考