第22节 矩形、菱形、正方形-【卓文中考·加速度】2024年内蒙古中考数学精练册

第22节矩形、菱形、正方形 公中考真题·乡点妹 命题点可与矩形有关的证明与计算 的长为 1.[2023呼和浩特，7]如图，矩形ABCD中，对角线 A号 B33 2 C.6 D.3 BD的垂直平分线MN分别交AD,BC于点 M,N.若AM=1,BN=2,则BD的长为 5.[2021呼和浩特.15]已知菱形ABCD的面积为 ( 23,点E是一边BC上的中点，点P是对角 A.2w3 B.3 C.25 D.32 线BD上的动点，连接AE.若AE平分 ∠BAC,则线段PE与PC的和的最小值 为 ,最大值为 6.[2021呼和浩特，18]如图，四边形ABCD是平行 四边形，BE∥DF且分别交对角线AC于点 第1题图 第2题图 E.F. 2.[2022包头，12]如图，在矩形ABCD中，AD> (1)求证，△ABE2△CDF; AB,点E,F分别在AD,BC边上，EF∥AB (②当四边形ABCD分别是矩形和菱形时， AE=AB,AF与BE相交于点O,连接OC 请分别说出四边形BEDF的形状（无需说明 若BF=2CF,则OC与EF之间的数量关 正确的是 A.2OC=√5EF B.50C=2必 C.2OC=√3EF D.OC-EF 命题点②与菱形有关的证明与计算 第6题图 3.[2022呼和浩特，9]如图，四边形ABCD是菱形， ∠DAB=60°，点E是DA中点，F是对角线 AC上一点，且∠DEF=45°，则AF:FC的 值是 ( A.3 B.√5+1C.22+1D.2+3 A行 第3题图 第4题图 4.多解题2022影尔多斯，9]如图，菱形ABCD中，AB =2√3，∠ABC=60°，矩形BEFG的边EF经 过点C,且点G在边AD上.若BG=4,则BE 。41· 7.[2023呼和浩特，20]如图，四边形ABCD是平行8.[2023包头，23]如图，在菱形ABCD中，对角线 四边形，连接AC,BD交于点O,DE平分 AC,BD相交于点O,点P,Q分别是边BC, ∠ADB交AC于点E,BF平分∠CBD交 线段OD上的点，连接AP,QP,AP与OB相 AC于点F,连接BE,DF. 交于点E. (1)求证：∠1=∠2： (1)如图①，连接QA.当QA=QP时，试判断 (2)若四边形ABCD是菱形且AB=2, 点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说 ∠ABC=120°，求四边形BEDF的面积 明理由 (2)如图②，若∠APB=90°，且∠BAP=∠ADB. ①求证：AE=2EP; ②当OQ=OE时，设EP=a,求PQ的长（用 含a的代数式表示). 第7题图 加速度中考 图2 8题图 ·42 命题点③与正方形有关的证明与计算 (2)如图②，改变点P在AD上的位置（点P 9.[2021包头，19]如图，BD是正方形ABCD的 不与，点A,D重合)，判断∠MBQ与∠CBQ 条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线 的数量关系，并说明理由。 上一点，连接CE,EF,AF.若DE=DC,EF =EC,则∠BAF的度数为 B 第9题图 10.[2023呼和浩特，16]如图.正方形ABCD的边长 为25，点E是CD的中点，BE与AC交于 点M,F是AD上一点，连接BF分别交 AC,AE于点G,H,且BF⊥AE,连接MH, 则AH= ,MH- 第10题图 度中考 11.[2023通辽，22]综合与实践课上，老师t同学 以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有 一位同学操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片ABCD,使AD与 BC重合，得到折痕EF,把纸片展平： 操作二：在AD上选一点P,沿BP折叠，使 点A落在正方形内部点M处，把纸片展平， 连接PM,BM,延长PM交CD于点Q,连 接BQ. 图1 图② 第11题图 (1)如图①，当点M在EF上时，∠EMB= 度； ·43· 12.[2022呼和浩特，23]下面图片是八年级教科书中 (3)在(2)的条件下，连接AC,过点E作 的一道题， EP⊥AC,垂足为P 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边 设既-6，当长为何值时，四边形BCFP是 BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方 平行四边形，并给予证明. 形外角的平分线CF于点F,求证：AE EF(提示：取AB的中点G,连接EG.) 第12题图 备用图 (1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线 的意图是得到条件： (2)如图，若点E是BC边上任意一点（不与 B,C重合)，其他条件不变.求证：AE=EF: 加速度中考 ·44·第２２节　矩形、菱形、正方形 【中考真题分点练】 １．Ａ 第２题答图 ２．Ａ　【解析】如答图，过点 Ｏ作 ＯＨ⊥ ＢＣ于点 Ｈ．∵在矩形 ＡＢＣＤ中，ＥＦ∥ ＡＢ，ＡＥ＝ＡＢ，∴四边形 ＡＢＦＥ是正方 形，∴ＯＨ＝１２ＥＦ＝ １ ２ＢＦ＝ＢＨ＝ＨＦ． ∵ＢＦ＝２ＣＦ，∴ＣＨ＝ＢＦ＝ＥＦ＝２ＯＨ，∴ＯＣ 槡＝５ＯＨ，即２ＯＣ 槡＝５ＥＦ．故选Ａ． 第３题答图 ３．Ｄ　【解析】如答图，连接ＤＢ 交ＡＣ于点Ｏ，连接ＯＥ．∵四 边形 ＡＢＣＤ是菱形，∠ＤＡＢ ＝６０°，∴∠ＤＡＣ＝１２∠ＤＡＢ ＝３０°，ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＤ＝１２ ＢＤ，ＡＣ＝２ＡＯ，ＡＢ＝ＡＤ．∴△ＡＢＤ是等边三角形，∴ＢＤ＝ ＡＤ．∵∠ＡＯＤ＝９０°，点Ｅ是ＤＡ中点，∴ＯＥ＝ＡＥ＝ＤＥ＝１２ ＡＤ．设ＯＥ＝ＡＥ＝ＤＥ＝ａ，则ＡＤ＝ＢＤ＝２ａ，∴ＯＤ＝１２ＢＤ＝ ａ，在Ｒｔ△ＡＯＤ中，ＡＯ＝ ＡＤ２－ＤＯ槡 ２ ＝ （２ａ）２－ａ槡 ２ 槡＝３ ａ，∴ＡＣ＝２ＡＯ 槡＝２３ａ．∵ＡＥ＝ＯＥ，∴∠ＥＯＡ＝∠ＥＡＯ＝３０°， ∴∠ＤＥＯ＝∠ＥＡＯ＋∠ＥＯＡ＝６０°．∵ ∠ＤＥＦ＝４５°， ∴∠ＯＥＦ＝∠ＤＥＯ－∠ＤＥＦ＝１５°，∴∠ＥＦＯ＝∠ＥＯＡ－ ∠ＯＥＦ＝１５°，∴∠ＯＥＦ＝∠ＥＦＯ，∴ＯＦ＝ＯＥ＝ａ，∴ＡＦ＝ＡＯ＋ ＯＦ 槡＝３ａ＋ａ，∴ＦＣ＝ＡＣ－ＡＦ 槡＝３ａ－ａ，∴ ＡＦ ＦＣ＝ 槡３ａ＋ａ 槡３ａ－ａ ＝ 槡３＋１ 槡３－１ 槡＝２＋３．故选Ｄ． ４．Ｂ　【解析】方法一：如答图①，过点Ｇ作ＧＭ⊥ＢＣ于点Ｍ， 过点Ｃ作ＣＮ⊥ＡＤ于点Ｎ．∵四边形ＡＢＣＤ为菱形，∴ＢＣ ＝ＡＤ＝ＣＤ＝ＡＢ 槡＝２３，∠Ｄ＝∠ＡＢＣ＝６０°，ＡＤ∥ＢＣ，∴ ∠ＭＧＮ＝∠ＧＭＣ＝９０°，又∵∠ＣＮＧ＝９０°，∴四边形 ＧＭ ＣＮ为矩形，∴ＧＭ＝ＣＮ．在Ｒｔ△ＣＤＮ中，∠Ｄ＝６０°，ＣＤ＝２ 槡３，∴ＣＮ＝ＣＤ· 槡ｓｉｎ６０°＝２３×槡 ３ ２＝３，∴ＧＭ＝３．∵四边 形ＢＥＦＧ为矩形，∴∠Ｅ＝９０°，ＢＧ∥ＥＦ，∴∠ＢＣＥ＝ ∠ＧＢＭ，又∵∠Ｅ＝∠ＢＭＧ，∴△ＧＢＭ∽△ＢＣＥ，∴ＧＢＢＣ＝ ＧＭ ＢＥ，∴ ４ 槡２３ ＝３ＢＥ，∴ＢＥ＝ 槡３３ ２．故选Ｂ．方法二：如答图②， 连接ＣＧ，同方法一求出 ＢＣ上的高为３，∴Ｓ菱形ＡＢＣＤ 槡＝２３ 槡×３＝６３，∵Ｓ△ＢＣＧ＝ １ ２Ｓ矩形ＢＥＦＧ＝ １ ２Ｓ菱形ＡＢＣＤ，∴ １ ２ＢＥ×４ ＝１２ 槡×６３，∴ＢＥ＝ 槡３３ ２．故选Ｂ． 第４题答图 第５题答图 ５．槡 槡３　２＋７　【解析】根据题意可 画出图形，如答图，过点 Ｂ作 ＢＦ ∥ＡＣ交 ＡＥ的延长线于点 Ｆ，∴ ∠Ｆ＝∠ＣＡＥ，∠ＥＢＦ＝∠ＡＣＥ．∵ 点Ｅ是 ＢＣ的中点，∴ＢＥ＝ＣＥ， ∴△ＡＣＥ≌△ＦＢＥ（ＡＡＳ），∴ＢＦ＝ ＡＣ．∵ＡＥ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＥ，∴∠ＢＡＥ＝∠Ｆ， ∴ＡＢ＝ＢＦ＝ＡＣ．在菱形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，∴ＡＢ＝ＢＣ＝ ＡＣ，即△ＡＢＣ是等边三角形，∴∠ＡＢＣ＝６０°．设ＡＢ＝ａ，则 ＢＤ 槡＝３ａ，∴Ｓ菱形ＡＢＣＤ＝ １ ２ＡＣ·ＢＤ 槡＝２３，即 １ ２ａ·槡３ａ＝２ 槡３，∴ａ＝２（负值已舍去），即ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝２．连接 ＡＰ．∵ 四边形ＡＢＣＤ是菱形，∴点 Ａ和点 Ｃ关于 ＢＤ对称，∴ＰＥ ＋ＰＣ＝ＰＥ＋ＰＡ≥ＡＥ，当点 Ａ，Ｐ，Ｅ三点共线时，ＰＥ＋ＰＡ 的值最小，即为ＡＥ，此时 ＡＥ 槡＝３；当点 Ｐ和点 Ｄ重合时， ＰＥ＋ＰＣ的值最大，此时 ＰＣ＝ＤＣ＝２，过点 Ｄ作ＤＧ⊥ＢＣ 交ＢＣ的延长线于点 Ｇ，连接 ＤＥ．∵ＡＢ∥ＣＤ，∠ＡＢＣ＝ ６０°，∴∠ＤＣＧ＝６０°，∴ＣＧ＝１，ＤＧ 槡＝３，∴ＥＧ＝２，∴ＤＥ＝ ＥＧ２＋ＤＧ槡 ２＝ ２２＋（槡３）槡 ２ 槡＝ ７，此时 ＰＥ＋ＰＣ＝２＋ 槡７．综上所述，线段ＰＥ与ＰＣ的和的最小值为槡３，最大值 为 槡２＋７                                                                 ． ７５ 加 速 度 中 考 第６题答图 ６．（１）证明：∵四边形 ＡＢＣＤ是平 行四边形， ∴ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ， ∴∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦ． ∵ＢＥ∥ＤＦ， ∴∠ＢＥＣ＝∠ＤＦＡ， ∴１８０°－∠ＢＥＣ＝１８０°－∠ＤＦＡ， ∴∠ＡＥＢ＝∠ＣＦＤ． 在△ＡＢＥ和△ＣＤＦ中， ∠ＡＥＢ＝∠ＣＦＤ， ∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦ， ＡＢ＝ＣＤ { ， ∴△ＡＢＥ≌△ＣＤＦ（ＡＡＳ）． （２）解：如答图，连接ＥＤ，ＢＦ，ＢＤ． 由（１）知△ＡＢＥ≌△ＣＤＦ，∴ＢＥ＝ＤＦ． ∵ＢＥ∥ＤＦ，∴四边形ＢＥＤＦ是平行四边形． ∴当四边形 ＡＢＣＤ是矩形时，四边形 ＢＥＤＦ是平行四 边形； 当四边形ＡＢＣＤ是菱形时， 可得ＡＣ⊥ＢＤ，即ＥＦ⊥ＢＤ， ∴四边形ＢＥＤＦ是菱形． ７．（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，ＯＤ＝ＯＢ，∴∠ＡＤＯ＝∠ＣＢＯ， ∵ＤＥ平分∠ＡＤＢ，ＢＦ平分∠ＣＢＤ， ∴∠ＯＤＥ＝１２∠ＡＤＯ，∠ＯＢＦ＝ １ ２∠ＣＢＯ， ∴∠ＯＤＥ＝∠ＯＢＦ，∴ＤＥ∥ＢＦ， ∵ＯＤ＝ＯＢ，∠ＤＯＥ＝∠ＢＯＦ， ∴△ＯＤＥ≌△ＯＢＦ（ＡＳＡ）， ∴ＤＥ＝ＢＦ， ∴四边形ＤＥＢＦ是平行四边形， ∴ＢＥ∥ＤＦ，∴∠１＝∠２． （２）解：由（１）知△ＯＤＥ≌△ＯＢＦ， ∴ＯＥ＝ＯＦ， ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＢＤ⊥ＥＦ，ＡＤ＝ＡＢ，ＯＤ＝ＯＢ，ＡＤ∥ＢＣ， ∴四边形ＤＥＢＦ是菱形， ∵ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠ＢＡＤ＋∠ＡＢＣ＝１８０°． ∵∠ＡＢＣ＝１２０°，∴∠ＢＡＤ＝６０°， ∵ＡＤ＝ＡＢ，∴△ＡＢＤ是等边三角形， ∴ＢＤ＝ＡＢ＝２，∠ＡＤＯ＝６０°， ∴ＯＤ＝１２ＢＤ＝１， ∵∠ＯＤＥ＝１２∠ＡＤＯ＝３０°， ∴ＯＥ＝槡３３ＯＤ＝ 槡３ ３，∴ＥＦ＝２ＯＥ＝ 槡２３ ３， ∴Ｓ四边形ＢＥＤＦ＝ １ ２ＢＤ·ＥＦ＝ １ ２×２× 槡２３ ３ ＝ 槡２３ ３． ８．（１）解：点Ｑ在线段ＰＣ的垂直平分线上．理由如下： 如答图①，连接ＱＣ． ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ， ∴ＢＤ⊥ＡＣ，ＯＡ＝ＯＣ，∴ＱＡ＝ＱＣ， ∵ＱＡ＝ＱＰ，∴ＱＣ＝ＱＰ， ∴点Ｑ在线段ＰＣ的垂直平分线上． 第８题答图 （２）①证明：∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ， ∴∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ，∠ＣＢＤ＝∠ＣＤＢ， ∵ＢＤ⊥ＡＣ， ∴∠ＡＤＯ＝∠ＣＤＯ， ∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ＝∠ＡＤＯ． ∵∠ＢＡＰ＝∠ＡＤＢ， ∴∠ＢＡＰ＝∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ， ∴ＡＥ＝ＢＥ． ∵∠ＡＰＢ＝９０°， ∴∠ＢＡＰ＋∠ＡＢＰ＝９０°， ∴∠ＢＡＰ＝∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ＝３０°． 在Ｒｔ△ＢＰＥ中，∠ＥＰＢ＝９０°，∠ＰＢＥ＝３０°， ∴ＥＰ＝１２ＢＥ． ∵ＡＥ＝ＢＥ， ∴ＥＰ＝１２ＡＥ， ∴ＡＥ＝２                                                                 ＥＰ． ８５ 加 速 度 中 考 ②解：如答图②，连接ＱＣ． ∵ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝６０°， ∴△ＡＢＣ是等边三角形． ∵∠ＡＰＢ＝９０°，∴ＢＰ＝ＣＰ． ∵ＥＰ＝ａ， ∴ＡＥ＝２ａ，ＡＰ＝３ａ， 在Ｒｔ△ＡＰＢ中，∠ＡＰＢ＝９０°， ∵ｔａｎ∠ＡＢＰ＝ＡＰＢＰ 槡＝３， ∴ＢＰ 槡＝３ａ，∴ＣＰ＝ＢＰ 槡＝３ａ， ∵ＡＯ＝ＣＯ，∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＱ，ＯＥ＝ＯＱ，△ＡＯＥ≌△ＣＯＱ （ＳＡＳ）， ∴ＣＱ＝ＡＥ＝２ａ，∠ＥＡＯ＝∠ＱＣＯ， ∴ＡＥ∥ＣＱ． ∵∠ＡＰＢ＝９０°， 在Ｒｔ△ＰＣＱ中，由勾股定理得ＰＱ２＝ＰＣ２＋ＣＱ２， ∴ＰＱ２＝（槡３ａ） ２＋（２ａ）２， ∴ＰＱ 槡＝７ａ（负值已舍去）． 第９题答图 ９．２２．５°　【解析】如答图，连接 ＡＥ． ∵ＢＤ为正方形 ＡＢＣＤ的对角线， ∴∠ＢＤＣ＝４５°．∵ＤＥ＝ＤＣ＝ＡＤ，∴ ∠ＤＥＣ＝∠ＤＣＥ＝１８０°－４５°２ ＝６７． ５°．∵∠ＤＣＢ＝９０°，∴∠ＢＣＥ＝９０°－∠ＤＣＥ＝９０°－６７．５°＝ ２２．５°．∵ＥＦ＝ＥＣ，∴∠ＥＦＣ＝∠ＥＣＦ＝２２．５°，∴∠ＦＥＣ＝ １８０°－∠ＥＦＣ－∠ＥＣＦ＝１８０°－２２．５°－２２．５°＝１３５°．∵ ∠ＢＥＣ＝１８０°－∠ＤＥＣ＝１８０°－６７．５°＝１１２．５°，∴∠ＢＥＦ ＝∠ＦＥＣ－∠ＢＥＣ＝１３５°－１１２．５°＝２２．５°．∵ＡＤ＝ＤＥ， ∠ＡＤＥ＝４５°，∴∠ＡＥＤ＝１８０°－４５°２ ＝６７．５°，∴∠ＢＥＦ＋ ∠ＡＥＤ＝２２．５°＋６７．５°＝９０°．∴∠ＡＥＦ＝１８０°－９０°＝ ９０°，在△ＡＤＥ和△ＣＤＥ中， ＡＤ＝ＣＤ， ∠ＡＤＥ＝∠ＣＤＥ ＤＥ＝ＤＥ { ， ，∴△ＡＤＥ≌ △ＣＤＥ（ＳＡＳ），∴ＡＥ＝ＥＣ，∴ＡＥ＝ＥＦ，即△ＡＥＦ为等腰直 角三角形，∴∠ＡＦＥ＝４５°，∴∠ＡＦＢ＝∠ＡＦＥ＋∠ＢＦＥ＝ ４５°＋２２．５°＝６７５°．∵∠ＡＢＦ＝９０°，∴∠ＢＡＦ＝９０°－ ∠ＡＦＢ＝９０°－６７．５°＝２２．５°． １０．２　 槡２ １３３ 　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ为正方形，且边长为 第１０题答图 槡２５，∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ 槡＝２５， ∠ＢＡＤ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＢ∥ＣＤ，∵点 Ｅ为ＣＤ的中点，∴ＤＥ＝ＣＥ 槡＝５， 在 Ｒｔ△ＡＤＥ中，ＡＤ 槡＝２ ５，ＤＥ＝ 槡５，∴ＡＥ＝ ＡＤ ２＋ＤＥ槡 ２ ＝５，∵ ∠ＢＡＤ＝９０°，ＢＦ⊥ＡＥ于点 Ｈ，∴∠ＢＡＨ＋∠ＤＡＥ＝９０°， ∠ＡＢＦ＋∠ＢＡＨ＝９０°，∴∠ＤＡＥ＝∠ＡＢＦ，在△ＤＡＥ和 △ＡＢＦ中， ∠Ｄ＝∠ＢＡＦ＝９０°， ＡＤ＝ＡＢ， ∠ＤＡＥ＝∠ＡＢＦ { ， ∴ △ＤＡＥ≌ △ＡＢＦ （ＡＳＡ）， ∴ＡＦ＝ＤＥ 槡＝ ５，ＢＦ＝ＡＥ＝５，∵ＢＦ⊥ＡＥ，∠Ｄ＝９０°， ∴∠ＡＨＦ＝∠Ｄ＝９０°，又∵∠ＨＡＦ＝∠ＤＡＥ，∴△ＡＨＦ∽ △ＡＤＥ，∴ＡＨＡＤ＝ ＡＦ ＡＥ，即 ＡＨ 槡２５ ＝槡５５，∴ＡＨ＝２．如答图，过点 Ｍ作 ＭＮ⊥ ＡＥ 于 点 Ｎ，在 △ＡＤＥ 和 △ＢＣＥ 中， ＡＤ＝ＢＣ， ∠Ｄ＝∠ＢＣＥ＝９０°， ＤＥ＝ＣＥ { ， ∴△ＡＤＥ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ），∴ＢＥ＝ ＡＥ＝５，∴ＥＨ＝ＡＥ－ＡＨ＝５－２＝３，在 Ｒｔ△ＡＨＢ中，ＡＢ＝ 槡２５，ＡＨ＝２，∴ＢＨ＝ ＡＢ ２－ＡＨ槡 ２ ＝４，∵ＡＢ∥ＣＤ，∴ △ＭＥＣ∽△ＭＢＡ，∴ＭＥＭＢ＝ ＣＥ ＡＢ＝ 槡５ 槡２５ ＝１２，∴ ＭＥ ＭＢ＝ １ ３，∴ ＭＥ：ＥＢ＝１∶３，∵ＢＦ⊥ＡＥ，ＭＮ⊥ＡＥ，∴ＭＮ∥ＢＨ，∴ △ＭＮＥ∽△ＢＨＥ，∴ＭＮＢＨ＝ ＥＮ ＥＨ＝ ＭＥ ＥＢ，∴ ＭＮ ４ ＝ ＥＮ ３＝ １ ３，∴ ＭＮ＝４３，ＥＮ＝１，∴ＨＮ＝ＥＨ－ＥＮ＝３－１＝２，在 Ｒｔ△ＭＨＮ中，ＭＮ＝４３，ＨＮ＝２，由勾股定理得 ＭＨ＝ ＭＮ２＋ＨＮ槡 ２＝ 槡２ １３３ ． １１．解：（１）３０ （２）∠ＭＢＱ＝∠ＣＢＱ．理由如下： ∵在ＡＤ上选一点Ｐ，沿 ＢＰ折叠，使点 Ａ落在正方形内 部点Ｍ处， ∴ＡＢ＝ＢＭ，∠Ａ＝∠ＢＭＰ＝９０°， ∴ＢＣ＝ＡＢ＝ＢＭ，∠ＢＭＱ＝∠Ｃ＝９０°， ∵ＢＱ＝ＢＱ                                                                 ， ９５ 加 速 度 中 考 ∴Ｒｔ△ＢＭＱ≌Ｒｔ△ＢＣＱ（ＨＬ）， ∴∠ＭＢＱ＝∠ＣＢＱ． １２．（１）解：ＡＧ＝ＣＥ （２）证明：如答图①，取ＡＧ＝ＥＣ，连接ＥＧ． ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＢ＝ＢＣ，∠Ｂ＝∠ＢＣＤ＝９０°． ∵ＡＧ＝ＥＣ， ∴ＢＧ＝ＢＥ， ∴△ＢＧＥ是等腰直角三角形， ∴∠ＢＧＥ＝∠ＢＥＧ＝４５°， ∴∠ＡＧＥ＝１３５°． ∵ＣＦ为正方形外角的平分线， ∴∠ＤＣＦ＝４５°， ∴∠ＥＣＦ＝１３５°， ∴∠ＡＧＥ＝∠ＥＣＦ． ∵ＡＥ⊥ＥＦ，∴∠ＡＥＢ＋∠ＦＥＣ＝９０°． ∵∠ＢＡＥ＋∠ＡＥＢ＝９０°， ∴∠ＦＥＣ＝∠ＢＡＥ． 在△ＧＡＥ和△ＣＥＦ中， ∠ＥＡＧ＝∠ＦＥＣ， ＡＧ＝ＥＣ， ∠ＡＧＥ＝∠ＥＣＦ { ， ∴△ＧＡＥ≌△ＣＥＦ（ＡＳＡ）， ∴ＡＥ＝ＥＦ． 第１２题答图 （３）解：ｋ＝１３时，四边形 ＥＣＦＰ是平行四边形．如答 图②． 由（２）知，△ＧＡＥ≌△ＣＥＦ， ∴ＧＥ＝ＣＦ． 设ＢＣ＝ｘ，则ＢＥ＝ｋｘ， ∴ＥＣ＝（１－ｋ）ｘ． 由（２）知，△ＢＧＥ是等腰直角三角形， ∴ＣＦ＝ＧＥ 槡＝２ｋｘ． ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，ＡＣ是对角线， ∴∠ＡＣＢ＝４５° 又∵ＥＰ⊥ＡＣ，∴△ＰＥＣ是等腰直角三角形， ∴∠ＰＥＣ＝４５°，ＰＥ＝槡２２ＥＣ＝ 槡２ ２（１－ｋ）ｘ． 由（２）知，∠ＥＣＦ＝１３５°， ∴∠ＰＥＣ＋∠ＥＣＦ＝１８０°，∴ＰＥ∥ＣＦ， ∴当ＰＥ＝ＣＦ时，四边形ＥＣＦＰ是平行四边形， ∴槡２２（１－ｋ）ｘ 槡＝２ｋｘ，解得ｋ＝ １ ３                                                                 ． ０６ 加 速 度 中 考