第13节 二次函数的图象与性质-【卓文中考·加速度】2024年内蒙古中考数学精练册

第13节 二次函数的图象与性质 中考真题·点 命题点刀二次函数的图象与性质 则n=1. 1.[2023通辽.12]如图，抛物线y=a.x2十bx十c 其中正确的结论有 ( (a≠0)与x轴交于点(x1,0),(2,0),其中0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 x1<1,下列四个结论： 4.[2023包头14已知二次函数y=一a.x2十2a.x+ ①ab<0;②a+b+c>0:③2b+3c<0:④不 3(a>0),若点P(m,3)在该函数的图象上，且 等式a.x2+bx十c<- 2x+c的解集为0< m≠0，则m的值为 5.多解题[2022呼和浩特，16]在平面直角坐标系中， x<2.其中正确结论的个数是 点C和点D的坐标分别为（一1，一1）和(4， 一1)，抛物线y=m.x2一2x十2(m≠0)与线 段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 6.多解题2 如图，抛物线y=x2一6.x十5 第1题图 与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点D A.1 B.2 C.3 D.4 2,m)在抛物线上，点E在直线BC上，若 2.一题多解法2021呼和浩特，10]已知二次项系数等于 XDEB2∠DCB,则点E的坐标是 1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点( 0),m,0),且过A(0,b),B(3.a)两点(b,是实/ 数).若0<<2，则ab的取值范围是 A.O<ab<41 B.O<ab<19 coKa器 第6题图 7.[2021呼和浩特，24]已知抛物线y=a.x2十k.x十h D.0<ah< 49 (a>0). (1)通过配方可以将其化成顶点式为 3.[2023呼和洁特，10]关于x的二次函数y=m.x2 ,根据该抛物 6m.x-5(m≠0)的结论： 线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以 ①对于任意实数a,都有x1=3十a对应的函 判断，当顶点在x轴 (填上方或下 数值与x2=3一a对应的函数值相等 方)，即4ah-k 0(填“>”或“<”)时， ②若图象过点A(x,y1),点B(x2,y2),点C 该抛物线与x轴必有两个交点： (2,-13),则当>x>号时，二<0， 'x1-x2 (2)若抛物线上存在两点A(x1,y),B(22), ③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则 分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下 方，请你结合A,B两点在抛物线上的可能位 号<m≤-3或好<m< 置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确 ④当m>0且n≤x≤3时，-14≤y≤n2+1, 性给以说明（为了便于说明，不妨设1<x2且 ·20 都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图 命题点②二次函数与方程、不等式的关系 象辅助说明，可自己画出简单示意图)： 8.[2023呼和浩特，24探究函数y=一2x2十4x (3)利用二次函数(1)(2)结论，求证：当a>0, 的图象和性质，探究过程如下： (a十c)(a+b+c)<0时，(b-c)>4a(a+b+ c). 3-2-10 3 图① 图② 第8题图 (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y 的几组对应值列表如下： 5 3 1 3 2 5 2 2 0 2 2 3 0 3 2 0 2 其中，m 根据如表数据，在图①所示 平面直角坐标系中，通过描点画出了函数 加速度 象的二部分，请画出该函数图象的另一部 分.观察图象，写出该函数的一条性质： (2)点F是函数y=一2|x2十4|x|图象上的 动点，点A(2,0),点B(-2,0),当S△B 3时，请直接写出所有满足条件的点F的 坐标； 21 (3)在图②中，当x在一切实数范围内时，抛物线y=一2x2十4x交x轴于O,A两点（点O在点 A的左边)，点P是点Q(1,0)关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线1分别交线段OP, AP(不含端点)于M,N两点.当直线l与抛物线只有一个公共点时，PM与PN的和是否为定 值？若是，求出此定值：若不是，请说明理由 加速度中考 ·22·第１３节　二次函数的图象与性质 【中考真题分点练】 第１题答图 １．Ｃ　　【解析】∵抛物线开口向上，对 称轴在 ｙ轴右边，与 ｙ轴交于正半 轴，∴ａ＞０，ｂ＜０，ｃ＞０，∴ａｂｃ＜０，∴ ①正确．∵当 ｘ＝１时，ｙ＜０，∴ａ＋ｂ ＋ｃ＜０，∴②错误．∵抛物线过点 （２，０），∴４ａ＋２ｂ＋ｃ＝０，∴ｂ＝－２ａ－ｃ２，ａ＝－ １ ２ｂ－ １ ４ ｃ，∵ａ＋ｂ＋ｃ＜０，∴ａ－２ａ－ｃ２＋ｃ＜０，∴２ａ－ｃ＞０，∴－ｂ －１２ｃ－ｃ＞０，∴－２ｂ－３ｃ＞０，∴２ｂ＋３ｃ＜０，∴③正确．如 答图，设ｙ１＝ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ，ｙ２＝－ ｃ ２ｘ＋ｃ，由图可知，当 ｙ１ ＜ｙ２时，０＜ｘ＜２，∴④正确．故选Ｃ． ２．Ｃ　【解析】解法１：由题意知，该二次函数图象的开口向 上，开口大小一定，且抛物线与 ｘ轴交于两点（ｍ，０），（ｎ， ０），０＜ｍ＜ｎ＜２，∴ａ＞０，ｂ＞０，∴ａｂ＞０，∵（ａ－ｂ）２＝ａ２ ＋ｂ２－２ａｂ≥０（ａ＝ｂ时取等号），即 ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（当 ａ＝ｂ 时取等号），∴当ａ＝ｂ时，ａｂ最大，∵抛物线过Ａ（０，ｂ），Ｂ （３，ａ）两点，∴当ａ＝ｂ时，点Ａ，Ｂ关于抛物线的对称轴对 称，即抛物线的对称轴为直线ｘ＝１．５，∵抛物线与ｘ轴交 于两点（ｍ，０），（ｎ，０），且０＜ｍ＜ｎ＜２，∴抛物线的顶点 越接近ｘ轴，ａｂ的值越大，即当抛物线与ｘ轴只有一个交 点时，是ａｂ最大值的分界点，当抛物线与ｘ轴只有一个交 点时，此时ｍ＝ｎ＝３２，∴抛物线的解析式为ｙ＝ ｘ－( )３２ ２ ＝ｘ２－３ｘ＋９４，∴ａ＝ｂ＝ ９ ４，∴ａｂ＜( ) ９ ４ ２ ＝８１１６， ∴０＜ａｂ＜８１１６．故选Ｃ． 解法２：∵二次函数的二次项系数为１，其图象与ｘ轴交于 两点（ｍ，０），（ｎ，０），∴可设交点式ｙ＝（ｘ－ｍ）（ｘ－ｎ），分 别代入（０，ｂ），（３，ａ），∴ａｂ＝ｍｎ（３－ｍ）（３－ｎ）＝（３ｍ－ ｍ２）（３ｎ－ｎ２）＝［－ ｍ－( )３２ ２ ＋９４］［－ ｎ－( )３２ ２ ＋ ９ ４］．∵０＜ｍ＜ｎ＜２，∴０＜－（ｍ－ ３ ２） ２＋９４≤ ９ ４，０＜－ （ｎ－３２） ２＋９４≤ ９ ４，∵ｍ＜ｎ，∴ａｂ不能取 ８１ １６，∴０＜ａｂ＜ ８１ １６．故选Ｃ． ３．Ｂ　【解析】①二次函数ｙ＝ｍｘ２－６ｍｘ－５的对称轴为ｘ＝ －－６ｍ２ｍ ＝３，∵ｘ１＝３＋ａ和 ｘ２＝３－ａ关于直线 ｘ＝３对 称，∴对于任意实数 ａ，都有 ｘ１＝３＋ａ对应的函数值与 ｘ２＝３－ａ对应的函数值相等，∴①符合题意；②将点Ｃ（２， －１３）代入ｙ＝ｍｘ２－６ｍｘ－５，得－１３＝４ｍ－１２ｍ－５，解得 ｍ＝１．∴函数的解析式为ｙ＝ｘ２－６ｘ－５，当ｘ＞３时，ｙ随ｘ 的增大而增大．∴当 ｘ１＞ｘ２＞ ９ ２时，ｙ１＞ｙ２，∴ ｙ１－ｙ２ ｘ１－ｘ２ ＞０． ∴②不符合题意；③∵ｙ＝ｍｘ２－６ｍｘ－５＝ｍ（ｘ－３）２－５－ ９ｍ，∴抛物线的对称轴为直线ｘ＝３，当ｘ＝３时，ｙ＝－５－ ９ｍ，当ｘ＝６时，ｙ＝－５，∵若３≤ｘ≤６，对应的ｙ的整数值 有４个，∴若 ｍ＞０，当３≤ｘ≤６时，ｙ随着 ｘ的增大而增 大，则－９＜－５－９ｍ≤ －８，∴ １３≤ｍ＜ ４ ９；若 ｍ＜０，当３ ≤ｘ≤６时，ｙ随着ｘ的增大而减小，则 －２≤ －５－９ｍ＜－ １，∴－４９＜ｍ≤－ １ ３，∴－ ４ ９＜ｍ≤－ １ ３或 １ ３≤ｍ＜ ４ ９． ∴③符合题意；④当ｍ＞０且ｎ≤ｘ≤３时，ｙ随着 ｘ的增大 而减小，∵－１４≤ｙ≤ｎ２＋１，∴－５－９ｍ＝－１４，解得 ｍ＝ １，∴ｎ２－６ｎ－５＝ｎ２＋１，解得 ｎ＝－１，∴④不符合题意． 综上所述，正确结论有①③，共２个．故选Ｂ． ４．２ ５．ｍ＝３或－１＜ｍ≤－３８　【解析】由题意得抛物线的对称 轴为直线ｘ＝－－２ｍ２ｍ ＝１，当ｘ＝０时，代入得ｙ＝２，∴抛物 线与ｙ轴的交点坐标为（０，２），顶点坐标为（１，２－ｍ），直 线ＣＤ的表达式为ｙ＝－１，当 ｍ＞０且抛物线过点 Ｄ（４， －１）时，１６ｍ－８ｍ＋２＝－１，解得 ｍ＝－３８（不符合题意， 舍去）；当抛物线经过点（－１，－１）时，ｍ＋２ｍ＋２＝－１，解 得ｍ＝－１（不符合题意，舍去），当ｍ＞０且抛物线的顶点 在线段ＣＤ上时，２－ｍ＝－１，解得ｍ＝３；当ｍ＜０且抛物线 过点Ｄ（４，－１）时，１６ｍ－８ｍ＋２＝－１，解得ｍ＝－３８；当抛 物线经过点（－１，－１）时，ｍ＋２ｍ＋２＝－１，解得ｍ＝－１．综 上所述，ｍ的取值范围为ｍ＝３或－１＜ｍ≤－３８． ６．（１７５， ８ ５）或（ ３３ ５，－ ８ ５）　【解析】如答图①，根据 Ｄ                                                                 点坐 １４ 加 速 度 中 考 标，得ｍ＝２２－６×２＋５＝－３，∴Ｄ点坐标（２，－３），设ＢＣ 所在直线解析式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ，其过点 Ｃ（０，５），Ｂ（５，０）， ｂ＝５， ５ｋ＋ｂ＝０{ ，解得 ｋ＝－１， ｂ＝５{ ， ∴ＢＣ所在直线的解析式为ｙ＝ －ｘ＋５，当Ｅ点在线段ＢＣ上时，设Ｅ（ａ，－ａ＋５），∵∠ＤＥＢ ＝∠ＤＣＥ＋∠ＣＤＥ，且∠ＤＥＢ＝２∠ＤＣＢ，∴∠ＤＣＥ＝∠ＣＤＥ， ∴ＣＥ＝ＤＥ，∵Ｅ（ａ，－ａ＋５），Ｃ（０，５），Ｄ（２，－３）， ∴ ａ２＋（－ａ＋５－５）槡 ２ ＝ （ａ－２）２＋［－ａ＋５－（－３）］槡 ２， 解得ａ＝１７５，－ａ＋５＝ ８ ５，∴Ｅ点的坐标为（ １７ ５， ８ ５），当点 Ｅ在ＣＢ的延长线上时，在△ＢＤＣ中，∵ＢＤ２＝（５－２）２＋３２ ＝１８，ＢＣ２＝５２＋５２＝５０，ＤＣ２＝（５＋３）２＋２２＝６８，∴ＢＤ２＋ ＢＣ２＝ＤＣ２，∴ＢＤ⊥ＢＣ．如答图②，延长 ＥＢ至点 Ｅ′，取ＢＥ′ ＝ＢＥ，则有△ＤＥＥ′为等腰三角形，ＤＥ＝ＤＥ′，∴∠ＤＥＥ′＝ ∠ＤＥ′Ｅ，又∵∠ＤＥＢ＝２∠ＤＣＢ，∴∠ＤＥ′Ｅ＝２∠ＤＣＢ，则Ｅ′ 为符合题意的点．∵ＯＣ＝ＯＢ，∴∠ＯＢＣ＝４５°，Ｅ′的横坐标 为５＋（５－１７５）＝ ３３ ５，纵坐标为－ ８ ５．综上 Ｅ点的坐标为 （ １７ ５， ８ ５）或（ ３３ ５，－ ８ ５）． 第６题答图 ７．解：（１）ｙ＝ａｘ＋ｋ２( )ａ ２ ＋４ａｈ－ｋ ２ ４ａ 　下方　＜ （２）由题意得ａ＞０，∴该抛物线开口向上．设ｘ１＜ｘ２且都 不等于顶点的横坐标，则 Ａ，Ｂ两点的位置可能有以下三 种情况： 当Ａ，Ｂ两点都在对称轴左侧时，如答图①， ∵ａ＞０，∴在对称轴左侧时，函数值随ｘ的增大而减小， 又∵ｘ１＜ｘ２，∴点Ａ在ｘ轴上方，点Ｂ在 ｘ轴下方，顶点 Ｍ 在点Ｂ下方，∴抛物线顶点必在ｘ轴下方． 当Ａ，Ｂ两点都在对称轴右侧时，如答图②， ∵ａ＞０，∴在对称轴右侧时，函数值随ｘ的增大而增大， 又∵ｘ１＜ｘ２，∴点Ｂ在ｘ轴上方，点Ａ在 ｘ轴下方，顶点 Ｍ 在点Ａ下方， ∴抛物线的顶点必在ｘ轴下方． 当Ａ，Ｂ在对称轴两侧时，由于Ａ，Ｂ两点分布在ｘ轴两侧， ∴不论Ａ，Ｂ哪个点在 ｘ轴下方，都可以根据抛物线的对 称性将其中一个点对称到对称轴另一侧的抛物线上，如 答图③，当点 Ａ，Ｂ在对称轴两侧时，此时过对称轴作点 Ａ 的对称点，即为点Ａ′，此时易得点 Ｍ在 ｘ轴下方．同理可 证答图④．综上所述，当点 Ａ，Ｂ分布在 ｘ轴两侧时，抛物 线顶点必在ｘ轴下方． （３）证明：令抛物线ｙ＝ａｘ２＋（ｂ－ｃ）ｘ＋（ａ＋ｂ＋ｃ），ａ＞０， 当ｘ１＝０时，ｙ１＝ａ＋ｂ＋ｃ； 当ｘ２＝－１时，ｙ２＝２（ａ＋ｃ）． 而（ａ＋ｃ）（ａ＋ｂ＋ｃ）＜０，∴ｙ１·ｙ２＜０， ∴抛物线ｙ＝ａｘ２＋（ｂ－ｃ）ｘ＋（ａ＋ｂ＋ｃ）上存在两点（－１， ２ａ＋２ｃ），（０，ａ＋ｂ＋ｃ）分别位于ｘ轴两侧， ∴由（１）（２）可知，抛物线ｙ＝ａｘ２＋（ｂ－ｃ）ｘ＋（ａ＋ｂ＋ｃ） 顶点在ｘ轴下方， 即 ４ａ（ａ＋ｂ＋ｃ）－（ｂ－ｃ）２ ４ａ ＜０， 又∵ａ＞０，∴４ａ（ａ＋ｂ＋ｃ）－（ｂ－ｃ）２＜０， 即（ｂ－ｃ）２＞４ａ（ａ＋ｂ＋ｃ）． 第７题答图 ８．解：（１）ｍ＝２；函数图象如答图①；由图象可得该函数的性 质：该函数关于ｙ轴对称；当ｘ＜－１或０≤ｘ＜１时，ｙ随 ｘ 的增大而增大；当 －１≤ｘ＜０或 ｘ≥１时，ｙ随 ｘ的增大而 减小． （２）当ｘ＜０时，ｙ＝－２ｘ２－４ｘ， 当ｘ≥０时，ｙ＝－２ｘ２＋４ｘ， ∵Ａ（２，０），Ｂ（－２，０），∴ＡＢ＝４， ∵Ｓ△ＦＡＢ＝３，∴ １ ２×４｜ｙＦ｜＝３，∴ｙＦ＝± ３ ２， 当ｙＦ＝ ３ ２时，若ｘ＜０，则－２ｘ ２－４ｘ＝３２， 解得ｘ＝－３２或－ １ ２                                                                 ， ２４ 加 速 度 中 考 若ｘ≥０，则－２ｘ２＋４ｘ＝３２，解得ｘ＝ ３ ２或 １ ２， ∴Ｆ（－３２， ３ ２）或（－ １ ２， ３ ２）或（ ３ ２， ３ ２）或（ １ ２， ３ ２）； 当ｙＦ＝－ ３ ２时，若ｘ＜０，则－２ｘ ２－４ｘ＝－３２， 解得ｘ＝－１－槡７２或ｘ＝－１＋ 槡７ ２（舍去）， 若ｘ≥０，则－２ｘ２＋４ｘ＝－３２， 解得ｘ＝１－槡７２（舍去）或ｘ＝１＋ 槡７ ２， ∴Ｆ（－１－槡７２，－ ３ ２）或（１＋ 槡７ ２，－ ３ ２）． 综上所述，所有满足条件的点Ｆ的坐标为（－３２， ３ ２）或（－ １ ２， ３ ２）或（ ３ ２， ３ ２）或（ １ ２， ３ ２）或（－１－ 槡７ ２，－ ３ ２）或 （１＋槡７２，－ ３ ２）． 第８题答图 （３）ＰＭ与ＰＮ的和是定值． 如答图②，连接直线 ＰＱ，∵抛物线 ｙ＝－２ｘ２＋４ｘ交 ｘ轴 于Ｏ，Ａ两点，∴Ｏ（０，０），Ａ（２，０）， ∵ｙ＝－２ｘ２＋４ｘ＝－２（ｘ－１）２＋２， ∴抛物线ｙ＝－２ｘ２＋４ｘ的顶点为（１，２）， ∵点Ｐ是点 Ｑ（１，０）关于抛物线顶点（１，２）的对称点， ∴点Ｐ的坐标为（１，４）， 由点Ｐ，Ｏ的坐标可得，直线ＯＰ的表达式为ｙ＝４ｘ①， 同理可得，直线ＡＰ的表达式为ｙ＝－４ｘ＋８②， 设直线ｌ的表达式为ｙ＝ｔｘ＋ｎ（ｔ≠０）， 联立ｙ＝ｔｘ＋ｎ和ｙ＝－２ｘ２＋４ｘ； 整理得２ｘ２＋（ｔ－４）ｘ＋ｎ＝０， ∵直线ｌ与抛物线只有一个公共点， ∴Δ＝（ｔ－４）２－８ｎ＝０，解得ｎ＝１８（ｔ－４） ２， ∴直线ｌ的表达式为ｙ＝ｔｘ＋１８（ｔ－４） ２③， 联立①③并解得ｘＭ＝－ １ ８（ｔ－４）， 同理可得ｘＮ＝－ １ ８（ｔ－１２）， ∵射线 ＰＯ，ＰＡ关于直线 ＰＱ：ｘ＝１对称，则∠ＡＰＱ＝ ∠ＯＰＱ，设∠ＡＰＱ＝∠ＯＰＱ＝α， 则ｓｉｎ∠ＡＰＱ＝ｓｉｎ∠ＯＰＱ＝ＯＱＯＰ＝ １ １２＋４槡 ２ ＝ １ １槡７ ＝ｓｉｎα， ∴ＰＭ＋ＰＮ＝ １－ｘＭ ｓｉｎα ＋ ｘＮ－１ ｓｉｎα 槡 ＝ １７（ｘＮ －ｘＭ） 槡＝ １７为 定值                                                                 ． ３４ 加 速 度 中 考