精品解析：安徽省六安市叶集皖西当代中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

叶集皖西当代中学高一年级六月月考 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，设角的对边分别为，且，则一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 3. 已知复数满足 ，则 A. 1 B. 0 C. D. 2 4. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A. 若则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 如图，在正方体中，O为底面ABCD的中心，P是的中点，设Q是上的点，当点Q在位置时，平面平面PAO. A. Q与C重合 B. Q与重合 C. Q为的三等分点 D. Q为的中点 6. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是 A. B. C. D. 7. 在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为 A. B. C. D. 8. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，M和N分别是的重心和内心，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个命题中的真命题为（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则 C. 若复数，满足，则 D. 若复数，则 10. 在中，角，，的对边分别为，，，则下列各组条件中使得有唯一解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11. 如图，正方体中E，F，G分别为，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成角的余弦值为 B. 直线与平面平行 C. 点C与点G到平面的距离相等 D. 平面截正方体所得大小两部分的体积比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则的外接圆半径为________. 13. 已知正方形的边长为，为的中点，则__________． 14. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，AB＝8，则鳖臑外接球的表面积为___，阳马体积的最大值为___． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是虚数单位，复数. （1）若是纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 16. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点． （1）求证: 平面平面； （2）求证: 平面； （3）求三棱锥体积． 17. 设是两个不共线的非零向量，. （1）若与起点相同，求t为何值时，向量，，的终点在一条直线上； （2）若，且与的夹角为60°，求t为何值时，的值最小. 18. △ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 19. 如图，直三棱柱的体积为，的面积为． （1）求到平面的距离； （2）设为的中点，，平面平面，求二面角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 叶集皖西当代中学高一年级六月月考 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，利用向量共线的坐标公式即可判断；对于B，利用向量数量积的坐标表达式计算即可判断； 对于C，计算两向量的模长比较判断；对于D，由判断. 【详解】对于A，因，故与不共线，即A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故，即C错误； 对于D，由，故，D正确. 故选：D. 2. 在中，设角的对边分别为，且，则一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理边化角变形， 利用两角差的正弦公式可得角的关系从而解决问题. 【详解】因为，由正弦定理得： ， 所以， 所以， 因为为的内角， 所以， 即， 所以是等腰三角形． 故选：D． 3. 已知复数满足 ，则 A. 1 B. 0 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由得，，．故选C． 考点：复数的运算． 4. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A. 若则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确. 考点：空间点线面位置关系． 5. 如图，在正方体中，O为底面ABCD的中心，P是的中点，设Q是上的点，当点Q在位置时，平面平面PAO. A. Q与C重合 B. Q与重合 C. Q为的三等分点 D. Q为的中点 【答案】D 【解析】 【分析】 由为底面的中心，是的中点，得，当点在的中点位置时，四边形是平行四边形，从而，由此推导出平面平面. 【详解】在正方体中， 因为为底面的中心，是的中点，， 所以， 设是上的点，当点在的中点位置时，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为， 平面平面， 所以平面平面， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关空间立体几何的问题，涉及到的知识点有面面平行的判定，属于简单题目. 6. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ ∴−=3(−)； ∴=−. 故选A. 7. 在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积. 【详解】在长方体中，连接， 根据线面角的定义可知， 因为，所以，从而求得， 所以该长方体的体积为，故选C. 【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果. 8. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，M和N分别是的重心和内心，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知等式，利用和角公式和正弦定理化简得到，作出图形，利用面积相等建立边与之间的关系式，再由题设条件推得，代入计算即得. 【详解】由可得，， 因， 代入得，由正弦定理得，. 如图所示，分别延长交于点，延长交于点， 分别过点作于点,过点作于点. 设的内切圆半径为，边上的高为. 由可得（*）， 因M和N分别是的重心和内心，且，则,即， 代入（*）式，可得，，解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理和三角形面积公式的应用，属于较难题. 解题的关键是在由正弦定理化简已知式求得边后，要结合三角形的内切圆半径与三角形面积的关系建立等式，再利用其他条件消元即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个命题中的真命题为（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则 C. 若复数，满足，则 D. 若复数，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，设，，根据得到，从而；BC选项，可举出反例；D选项，由，得到，D正确. 【详解】A选项，设，，则，故， 则，故A为真命题； B选项，复数满足，但，故命题B为假命题； C选项，若复数，满足，但，故命题C为假命题； D选项，若复数，则，故D为真命题. 故选：AD 10. 在中，角，，的对边分别为，，，则下列各组条件中使得有唯一解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦定理判断． 【详解】中所有内角的正弦均为正值， A．，，有两解； B．，，但，只有一解； C．，所以B可以为锐角或钝角，但，B为锐角或钝角时只有一解，所以共两解； D．，若为钝角，则，，不合题意，只能为锐角，只有一解， 故选：BD． 11. 如图，正方体中E，F，G分别为，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成角的余弦值为 B. 直线与平面平行 C. 点C与点G到平面的距离相等 D. 平面截正方体所得大小两部分的体积比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过转化找到其异面直线所成角判断A；利用线面平行证明面面平行进而证明线线平行判断B；对点到平面的距离是否相等，通过反证法得出与其矛盾的结论判断C；对组合体体积进行合理分割求解即得D. 【详解】 对于A，因,则即直线与所成角或其补角， 不妨设正方体棱长为1，则, 在中，，故A正确； 对于B，如图，取中点，连接,则易得, 因平面,平面，则平面， 又得，则有, 因平面,平面，故平面， 因，故平面平面， 又平面，故平面，故B正确； 对于C，若点C与点G到平面的距离相等，则平面必过的中点， 连接交于，显然不是的中点，则平面不过的中点， 即点C与点G到平面的距离不相等，故C错误； 对于D，因，则等腰梯形即为平面截正方体所得截面， 正方体被平面所截的后半部分，即较小的那部分空间几何体，其体积为, 它是由四棱锥和三棱锥组成，易得： 故剩余部分体积为于是故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查正方体中的线线关系，线面关系，点到平面的距离，空间几何体体积等，属于难题，综合性较强，尤其是D项中的组合体体积，需要对其进行合理分割再去求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则的外接圆半径为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理求出边，然后根据同角三角函数关系式和正弦定理即可求出外接圆半径. 【详解】由余弦定理，得，所以， 因为，，所以， 所以，即. 故答案为：. 13. 已知正方形的边长为，为的中点，则__________． 【答案】2 【解析】 【详解】·=(+)·(-) =-·+·-·=22-×22=2. 14. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，AB＝8，则鳖臑外接球的表面积为___，阳马体积的最大值为___． 【答案】 ①. ②. 64 【解析】 【分析】将鳖臑外接球即为堑堵的外接球，从而求出外接球直径为，得到外接球表面积，利用基本不等式得到，求出体积的最大值 【详解】鳖臑外接球即为堑堵的外接球，可将堑堵补成长方体， 则外接球直径为， ∴其表面积为． ∵，当且仅当时取等号， 所以， ∴阳马的体积为． 故答案为：，64 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是虚数单位，复数. （1）若是纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的类型列出相应的不等式组，即可求得答案； （2）根据复数在复平面内对应的点位于第二象限，列出相应的不等式组，求得答案. 【小问1详解】 因为复数是纯虚数， 故，解得； 【小问2详解】 由于复数在复平面内对应的点位于第二象限， 故，解得， 即的取值范围是. 16. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点． （1）求证: 平面平面； （2）求证: 平面； （3）求三棱锥体积． 【答案】 （1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB， 又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面 ，因为AB平面，所以平面平面. （2）取AB中点G，连结EG，FG， 因为E，F分别是、的中点，所以FG∥AC，且FG=AC， 因为AC∥，且AC=，所以FG∥，且FG=， 所以四边形为平行四边形，所以EG， 又因为EG平面ABE，平面ABE， 所以平面. （3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式. （1）略 （2）略 （3）因为=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=， 所以三棱锥的体积为：==. 考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想． 17. 设是两个不共线的非零向量，. （1）若与起点相同，求t为何值时，向量，，的终点在一条直线上； （2）若，且与的夹角为60°，求t为何值时，的值最小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的充要条件列出方程组，解之即得； （2）利用向量数量积的运算律将所求式转化成关于的二次函数，求其最小值即得. 【小问1详解】 由已知可得，. 因与不共线，∴，解得. 即当时，向量，，的终点在一条直线上. 【小问2详解】 由， ∴当时，取得最小值. 18. △ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 【答案】(1)(2) . 【解析】 【详解】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为. 试题解析：（1）由题设得，即. 由正弦定理得. 故. （2）由题设及（1）得，即. 所以，故. 由题设得，即. 由余弦定理得，即，得. 故的周长为. 点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 19. 如图，直三棱柱的体积为，的面积为． （1）求到平面的距离； （2）设为的中点，，平面平面，求二面角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用体积桥可构造方程求得结果； （2）利用线面垂直的判定与性质可证得平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 由题意知：； 设点到平面的距离为， ，解得：， 即点到平面的距离为. 【小问2详解】 取的中点，连接， ，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，； 三棱锥为直三棱柱，平面， 又平面，； ，平面，平面 则以为坐标原点，正方向为轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 由（1）知：，，， ，， ，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ， 而，所以， 则二面角的大小为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $