第13讲 相似多边形（2大考点3大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（北师大版）

第13讲 相似多边形 课程标准 学习目标 通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。． 1、经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形的含义． 2.在探索相似多边形本质特征的过程中，进一步发展学生观察、操作、归纳、类比、反思、交流等多方面的能力,提高学生的数学思维水平，体会反例的作用． 知识点一：相似图形 (1)相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形； (2)相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况； (3)相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形； 知识点二：相似多边形的性质 (1)如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形； (2)相似多边形对应边的比叫做相似比； (3)全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形； (4)相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等； 题型01 相似图形 1．如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（    ） A．相似 B．平移 C．轴对称 D．旋转 2．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 3．下列说法不正确的是（    ） A．客机模型与客机相似 B．用放大镜看到的图形与原图形相似 C．亮亮4岁时的照片与16岁时的照片相似 D．一棵树与它在水中的倒影相似 4．下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 5．观察图中①～⑨的图形，其中哪些图形分别与(1)，(2)，(3)，(4)相似？ 题型02 相似多边形的判定 6．下列说法正确的是（   ） A．所有的菱形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似 C．对应角相等的两个多边形相似 D．所有的正方形都是相似形 7．下列图形中不一定是相似图形的是（　　） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．两个等腰直角三角形 D．两个矩形 8．如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，则两个图形对应边不成比例的一组是（　　） A．   B．   C．   D．   9．已知矩形的长与宽分别为4和3，下列矩形与它相似的是（    ） A．   B．   C．   D．   10．如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（    ）    A．三个矩形都不相似 B．乙与丙 C．甲与乙 D．甲与丙 11．如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（　　） A． B． C． D． 12．两个大小不一的五边形和五边形如图所示放置，点F在线段上，点H在线段上，对应连接并延长刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能确定 题型03 相似多边形的性质 13．一个四边形各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形最短边为8．则四边形的最长边长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 14．如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，矩形与矩形相似，则矩形的面积为（    ） A．16 B． C． D． 15．小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 16．两个相似的五边形，如果一组对应边的长分别为，，且它们面积的差为，则较大的五边形的面积为（   ） A． B． C． D． 17．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到，矩形沿对开（分别为的中点）后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（    ）    A． B． C．0.618 D． 18． 五边形五边形，相似比为，若，则 ． 19．如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为 ． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， 20．一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6，则其周长为 ． 21．已知矩形中，，在BC上取一点E，沿将向上折叠，使B点落在上的F点，若四边形与矩形相似，则 ． 22．书籍开本指书刊幅面的规格大小．如图，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推，可以得到8开纸、16开纸……这些开本都是相似图形，我们所用的数学课本是16开本，有些图书是32开本，16开的纸和32开的纸的相似比是 ．    23．如图，四边形四边形，，． (1)___________； (2)求边的长度． 24．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点A落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为 ． 25．已知五边形五边形，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C．五边形的周长是五边形周长的倍 D． 26．如图所示，矩形纸片被分割成六个小矩形，其中矩形矩形，若已知的面积，则一定能求出（   ） A．矩形的面积 B．矩形的面积 C．矩形的面积 D．矩形的面积 27．如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按顺时针方向作矩形的相似矩形；再连接，以对角线为边，按顺时针方向作矩形的相似矩形依次类推，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． ∵矩形矩形， ∴矩形的面积， 28．如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点B的对应点为点F，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点D的对应点为点H，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 29．某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 30．如图，正方形，点在对角线上，，分别交、于点、，若随机向正方形内投一粒米，则落在阴影部分的概率是（    ）    A． B． C． D． 31．一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形矩形．设矩形与矩形的面积分别为m和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 32．如图，，，，分别是矩形四条边上的点，连接，相交于点，且，，矩形矩形，连接交，于点，，下列一定能求出面积的条件是（    ） A．矩形和矩形的面积之差 B．矩形与矩形的面积之差 C．矩形和矩形的面积之差 D．矩形和矩形的面积之差 33．宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，我们可以用这样的方法画出黄金矩形；作正方形，的中点E，F，连接，以为半径画弧，交的延长线于点G，交的延长线于点H．则图中共有几个黄金矩形（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．如图，矩形中，，．将矩形分成矩形和矩形．    （1）若矩形与矩形相似，则的长是 ； （2）若矩形与矩形相似（两矩形全等的情况除外），则的长是 ． 35．将一张平行四边形纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形相似，则平行四边形的相邻两边与的比值是 ． 36．如图，一个矩形广场的长米，宽米，广场内两条纵向的小路宽为a米，横向的两条小路宽为b米，矩形矩形EFGH． (1)求的值； (2)若，求矩形EFGH的面积． 37．在的矩形花坛四周修筑小路． (1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由； (2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由． 38．向阳中学有一块正方形的空地，边长为，学校计划将空地分为五部分，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形①与矩形②为相似矩形，中间小正方形的边长为． 小芳：如图，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为．    (1)求小明的方案中矩形①的面积． (2)求小芳设计的方案中，每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ 39．数学实践课上，老师要求同学们先制作一个透明的菱形塑料板，然后在纸上画一个与透明的菱形相似的菱形．把透明的菱形放在上面记作菱形，它们的锐角顶点A重合，且，连接，． (1)如图1，当边在边所在的射线上，直接写出与的数量关系； (2)如图2，将菱形绕点A按逆时针方向旋转，使点D落在边上，连接和．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，探究并说明线段和的数量关系和位置关系． 40．形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．    一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______． 一分为多 （3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例． 一分为三 （4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值． 试卷第2页，共32页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 相似多边形 课程标准 学习目标 通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。． 1、经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形的含义． 2.在探索相似多边形本质特征的过程中，进一步发展学生观察、操作、归纳、类比、反思、交流等多方面的能力,提高学生的数学思维水平，体会反例的作用． 知识点一：相似图形 (1)相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形； (2)相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况； (3)相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形； 知识点二：相似多边形的性质 (1)如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形； (2)相似多边形对应边的比叫做相似比； (3)全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形； (4)相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等； 题型01 相似图形 1．如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（    ） A．相似 B．平移 C．轴对称 D．旋转 【答案】A 【分析】本题考查数学知识解决实际问题，理解相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质是解决问题的关键．根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案． 【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将石阡旅游图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似， 故选：A． 2．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 3．下列说法不正确的是（    ） A．客机模型与客机相似 B．用放大镜看到的图形与原图形相似 C．亮亮4岁时的照片与16岁时的照片相似 D．一棵树与它在水中的倒影相似 【答案】C 【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．根据相似图形的定义判断即可． 【详解】解：A．客机模型与客机相似，正确； B．用放大镜看到的图形与原图形相似，正确； C．因为亮亮4岁和16岁的长相是不完全相同的，所以不是相似图形，故不正确； D．一棵树与它在水中的倒影相似，正确； 故选C． 4．下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是相似图形的判断，掌握相似图形的概念及特征是解决此题的关键； 根据形状相同对应角相等、对应边成比例的图形为相似图形，对各组图形逐一进行分析，即可得到结果； 【详解】根据题意得：C选项的两个图象，形状相同、对应角相等、对应边成比例，为相似图形， 故选：C． 5．观察图中①～⑨的图形，其中哪些图形分别与(1)，(2)，(3)，(4)相似？ 【答案】与(1)相似的图形是⑥；与(2)相似的图形是①⑦；与(3)相似的图形是②④；与(4)相似的图形是⑨ 【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．根据相似图形的定义判断即可． 【详解】解：与(1)相似的图形是⑥；与(2)相似的图形是①⑦；与(3)相似的图形是②④；与(4)相似的图形是⑨． 题型02 相似多边形的判定 6．下列说法正确的是（   ） A．所有的菱形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似 C．对应角相等的两个多边形相似 D．所有的正方形都是相似形 【答案】D 【分析】此题主要考查了相似图形的判定，熟练应用判定方法是解题关键．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A、所有的菱形不一定是相似形，对应角不一定相等，故此选项错误； B、对应边成比例的两个多边形不一定相似，对应角不一定相等，故此选项错误； C、对应角相等的两个多边形不一定相似，对应边的比值不一定相等，故此选项错误； D、所有的正方形都是相似形，对应边成比例且对应角相等，故此选项正确； 故选：D 7．下列图形中不一定是相似图形的是（　　） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．两个等腰直角三角形 D．两个矩形 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，利用边对应成比例，角对应相等的两个多边形相似逐一判断即可. 【详解】解：A、两个正方形的形状相同，是相似图形，故选项A不符合题意； B、两个等边三角形形状相同，是相似图形，故选项B不符合题意； C、两个等腰直角三角形形状相同，是相似图形，故选项C不符合题意； D、两个矩形的对应边不一定成比例，不一定是相似图形，故选项D符合题意； 故选：D． 8．如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，则两个图形对应边不成比例的一组是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质及判定，根据相似多边形的性质及判定：对应角相等，对应边成比例，即可判断． 【详解】解：由题意得，B、C中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似； A中菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似； 而D中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以D中矩形不是相似多边形 故选：D． 9．已知矩形的长与宽分别为4和3，下列矩形与它相似的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据相似图形的定义：所有的对应边对应成比例，所有的对应角相等，进行判断即可． 【详解】解：因为矩形的所有内角均为90°， ∴所有矩形的对应角均相等， ∴当两个矩形相似时，长比长等于宽比宽， ∴满足题意的只有C选项， 故选C． 【点睛】本题考查相似图形．熟练掌握相似图形的定义，是解题的关键． 10．如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（    ）    A．三个矩形都不相似 B．乙与丙 C．甲与乙 D．甲与丙 【答案】D 【分析】本题主要考查相似多边形的判定，根据图形得到对应边的比值，进而问题可求解． 【详解】解：甲图矩形的长宽之比为，乙图矩形的长宽之比为，丙图矩形的长宽之比为， ∴甲与丙是相似矩形； 故选D． 11．如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似多边形的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意； B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，熟练掌握相似多边形的定义，是解题的关键． 12．两个大小不一的五边形和五边形如图所示放置，点F在线段上，点H在线段上，对应连接并延长刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据相似多边形的定义即可解答． 【详解】解：∵两个大小不一的五边形和五边形对应边不成比例 ∴五边形和五边形一定不相似． 故选B． 【点睛】本题考查了相似多边形的定义，掌握对应边成比例的多边形是相似三角形成为解答本题的关键． 题型03 相似多边形的性质 13．一个四边形各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形最短边为8．则四边形的最长边长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 【答案】D 【分析】考查了相似多边形的性质，理解并掌握相似多边形的性质是解题的关键．设四边形最长边长为x，根据相似多边形的性质列得，从而求出x． 【详解】解：设四边形最长边长为x， ∵四边形相似四边形， ∴， 解得， 故选：D． 14．如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，矩形与矩形相似，则矩形的面积为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方．证明，从而可得答案． 【详解】解：∵矩形矩形，，， ∴，， ∴， 故选：C． 15．小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的相似和垂直平分线的性质，分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误． 【详解】解：如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确； 如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确； 故选：B． 16．两个相似的五边形，如果一组对应边的长分别为，，且它们面积的差为，则较大的五边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质；设较大的五边形的面积为，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设较大的五边形的面积为， 依题意，得， 解得：， 即较大的六边形的面积为． 故选：C． 17．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到，矩形沿对开（分别为的中点）后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（    ）    A． B． C．0.618 D． 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形的性质，矩形的面积是矩形面积的2倍，根据相似图形面积比等于相似比的平方，可得的值． 【详解】解：∵矩形的面积是矩形面积的2倍，各种开本的矩形都相似， ∴， ∴． 故选B． 18． 五边形五边形，相似比为，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比即为相似比是解本题的关键．利用相似五边形的对应边之比等于相似比求解即可． 【详解】解：五边形五边形相似比为． ， ， ． 故答案为：6 19．如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为 ． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质，两个相似多边形的面积比等于相似比的平方，因为两个相似多边形的面积比为，所以得到两个相似多边形的相似比为；再结合两个相似多边形周长的比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴这两个相似多边形的相似比为， ∴这两个相似多边形的周长比等于相似比， 故答案为：． 20．一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6，则其周长为 ． 【答案】66 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的周长之比等于相似比进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6， ∴两个相似多边形的相似比， ∴两个相似多边形的周长比为， ∴另一个与它相似的六边形的最短边为6，其周长为， 故答案为：66． 21．已知矩形中，，在BC上取一点E，沿将向上折叠，使B点落在上的F点，若四边形与矩形相似，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，由四边形与矩形相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， 整理得，， ∴（负值舍去）， 由题意得，， 故答案为：． 22．书籍开本指书刊幅面的规格大小．如图，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推，可以得到8开纸、16开纸……这些开本都是相似图形，我们所用的数学课本是16开本，有些图书是32开本，16开的纸和32开的纸的相似比是 ．    【答案】 【分析】设32开的纸的长为a，宽为b，则16开的纸的长为，宽为a，根据相似多边形的性质得到，然后整理求解即可． 【详解】设32开的纸的长为a，宽为b，则16开的纸的长为，宽为a， ∵这两种长方形相似， ∴， ∴， ∴， ∴，或（舍去）， ∴16开的纸和32开的纸的相似比是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质． 23．如图，四边形四边形，，． (1)___________； (2)求边的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似多边形的性质； （1）根据相似多边形的性质得出对应角相等，根据四边形内角和定理求得； （2）由四边形四边形，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，将，代入，计算即可求出边的长． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴ ∴ 故答案为： （2）解：∵四边形四边形 ∴ ∵， ∴ 解得： 24．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点A落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质．先根据折叠的性质与矩形性质，得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∵矩形中，设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， 故答案为：． 25．已知五边形五边形，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C．五边形的周长是五边形周长的倍 D． 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形的性质：如果两个多边形相似，则其对应边成比例， 根据相似形对应边的比相等，就可以求出． 【详解】解：A、∵五边形五边形， ∴，故选项不符合题意； B、∵， ∴，故选项符合题意； C、五边形的周长是五边形周长，故选项不符合题间； D、，故选项符合题意； 故选：B． 26．如图所示，矩形纸片被分割成六个小矩形，其中矩形矩形，若已知的面积，则一定能求出（   ） A．矩形的面积 B．矩形的面积 C．矩形的面积 D．矩形的面积 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，设，，的面积为，根据，推出，再由相似多边形的性质得到，即，则，据此证明，再由可以推出，据此可得答案． 【详解】解：设，，的面积为， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵矩形矩形， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， ∴已知的面积，则一定能求出矩形的面积， 故选：C． 27．如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按顺时针方向作矩形的相似矩形；再连接，以对角线为边，按顺时针方向作矩形的相似矩形依次类推，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似多边形的性质、图形的变化规律，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质求出矩形的面积，总结规律，根据规律解答． 【详解】解：矩形的面积， 由勾股定理得，， 则矩形与矩形的相似比为， ∵矩形矩形， ∴矩形的面积， 同理，矩形的面积 矩形的面积， …… 则矩形的面积为， 故答案为：A． 28．如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点B的对应点为点F，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点D的对应点为点H，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质、翻折的性质及相似多边形性质，熟练应用矩形和相似多边形性质是解题关键，设，则，根据两矩形相似求出即可． 【详解】解：在矩形中，设， 则，， 由翻折得， 四边形是正方形， 同理，四边形是正方形， ， ， 矩形矩形， ，即， 解得：（负值舍去）， 经检验，是原方程的解， 故选：C． 29．某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键； 根据相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】∵四边形和四边形是相似的图形，， ∴四边形和四边形是相似比为， ∴四边形和四边形的面积比等于，四边形和四边形的两条对角线之比等于， ∴四边形和四边形的两条对角线的和之比等于，则①和②都正确， 故选：D． 30．如图，正方形，点在对角线上，，分别交、于点、，若随机向正方形内投一粒米，则落在阴影部分的概率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明四边形是正方形，，进而可得阴影部分面积等于正方形的面积，根据相似图形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过作于点，于点，则四边形是矩形，    ∵四边形是正方形，点在的对角线上， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ 阴影部分面积等于正方形的面积， 又∵正方形与正方形相似，， ∴, ∴阴影部分面积与正方形的面积比， 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似图形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 31．一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形矩形．设矩形与矩形的面积分别为m和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题意得到，由矩形矩形可得，代入整理可得，最后表示出大长方形的周长，代入化简即可求得． 【详解】解：设， 则， 依题意得： ， 矩形矩形， ， ， 整理得， 这个大矩形的面积为： 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形相似的性质和矩形面积；解题的关键是利用相似的性质找到等量关系． 32．如图，，，，分别是矩形四条边上的点，连接，相交于点，且，，矩形矩形，连接交，于点，，下列一定能求出面积的条件是（    ） A．矩形和矩形的面积之差 B．矩形与矩形的面积之差 C．矩形和矩形的面积之差 D．矩形和矩形的面积之差 【答案】A 【分析】设，，，根据，，分别用含a、b、k的式子表示出、，利用割补法表示出面积，即可求解． 【详解】连接、， 根据矩形的性质点B、D到AC的距离相等， 又∵， ∴ 设，，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， 同理，， ∴， ∴， ∵ ， ∵， ∴ ． ∴ 故选：A 【点睛】本题为三角形相似知识的综合，综合性较强，根据题意设出参数，根据相似表示出相关线段，恰当利用割补法进行转换是解题关键． 33．宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，我们可以用这样的方法画出黄金矩形；作正方形，的中点E，F，连接，以为半径画弧，交的延长线于点G，交的延长线于点H．则图中共有几个黄金矩形（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】本题主要考查了黄金分割，设正方形的边长为，把、分别用含a的代数式表示出来，再根据黄金分割的意义可得答案．解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形． 【解答】解：设正方形的边长为，则， ∴， ∴ ， 矩形中，， 矩形中，， ∴黄金矩形是矩形和矩形． 故选：B． 34．如图，矩形中，，．将矩形分成矩形和矩形．    （1）若矩形与矩形相似，则的长是 ； （2）若矩形与矩形相似（两矩形全等的情况除外），则的长是 ． 【答案】 2或8 【分析】本题考查了矩形的性质，相似多边形的性质．根据相似写出比例关系是解题的关键． （1）由矩形的性质可知，，设，则，由矩形与矩形相似，分当时，当时，两种情况求出满足要求的解即可； （2）由矩形与矩形相似，可知，即，计算求出满足的解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， 设，则， ∵矩形与矩形相似， ∴当时，即，解得（舍去）； 当时，即，解得； 综上，， 故答案为：； （2）解：∵矩形与矩形相似， ∴，即，整理得，，解得或， ∴的值为2或8； 故答案为：2或8． 35．将一张平行四边形纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形相似，则平行四边形的相邻两边与的比值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，相似多边形的性质，根据题意，正确的画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．分两种情况进行讨论进而根据相似多边形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，设． 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∵剩下的平行四边形与原来平行四边形相似， ∴对应边成比例， 分两种情况讨论： ①， ∴， 设，分子分母同时除以，得：， 解得：； ②， ， 设，则：， 解得：， 两个答案都满足， 综上：平行四边形的相邻两边与的比值是或． 故答案为：或． 36．如图，一个矩形广场的长米，宽米，广场内两条纵向的小路宽为a米，横向的两条小路宽为b米，矩形矩形EFGH． (1)求的值； (2)若，求矩形EFGH的面积． 【答案】(1)a：b＝2：1 (2)6272米2 【分析】（1）根据题意可得HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，根据矩形ABCD∽矩形EFGH．可得，进而可以解决问题； （2）由（1）得2b＝a，根据矩形EFGH的面积＝EF•HE，即可解决问题． 【详解】（1）根据题意可知：HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米， ∵矩形ABCD∽矩形EFGH． ∴， ∴， 整理，得2b＝a， ∴a：b＝2：1； （2）∵a＝4，2b＝a， ∴b＝2， ∴矩形EFGH的面积 ＝EF•HE ＝（120﹣2a）•（60﹣2b） ＝（120﹣8）（60﹣4） ＝112×56 ＝6272（米2）． 答：矩形EFGH的面积为6272米2． 【点睛】本题考查了相似多边形的应用，列代数式，解决本题的关键是掌握相似多边形的性质． 37．在的矩形花坛四周修筑小路． (1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由； (2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由． 【答案】(1)不相似，见解析 (2)，见解析 【分析】此题考查了相似多边形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）首先设四周的小路的宽为x，易得，则可判定：小路四周所围成的矩形和矩形不相似； （2）由相似多边形的性质可得：当时，小路四周所围成的矩形和矩形相似，继而求得答案． 【详解】（1）解：不相似，理由如下： 如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形不相似； 设四周的小路的宽为x， ∵，， ∴， ∴小路四周所围成的矩形和矩形不相似； （2）解：当小路的宽x与y的比值为时， 矩形和矩形相似． 理由如下： 当矩形和矩形相似时，解得 所以当小路的宽x与y的比值为时，矩形和矩形相似． 38．向阳中学有一块正方形的空地，边长为，学校计划将空地分为五部分，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形①与矩形②为相似矩形，中间小正方形的边长为． 小芳：如图，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为．    (1)求小明的方案中矩形①的面积． (2)求小芳设计的方案中，每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设矩形①的长为，宽为．根据矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为，得到矩形②的长为，宽为，解方程即可得到结论； （2）根据小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为，得到正方形的边长为，设，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：设矩形①的长为，宽为． 矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为， 矩形②的长为，宽为， 由图可知，，， 解得，， 矩形①的面积为； （2）小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为， 正方形的边长为， 设，， ，， ， 整理可得， 解得， 负数舍去， ， 小直角三角形的周长是． 每个小三角形的实际周长为．    【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，二元一次方程组的应用，勾股定理，解一元二次方程，综合运用以上知识是解题的关键． 39．数学实践课上，老师要求同学们先制作一个透明的菱形塑料板，然后在纸上画一个与透明的菱形相似的菱形．把透明的菱形放在上面记作菱形，它们的锐角顶点A重合，且，连接，． (1)如图1，当边在边所在的射线上，直接写出与的数量关系； (2)如图2，将菱形绕点A按逆时针方向旋转，使点D落在边上，连接和．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，探究并说明线段和的数量关系和位置关系． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)， 【分析】（1）证明，从而得出； （2）由得出，进而证明，从而得出； （3）由（2）得，从而得出，，进一步求得位置关系． 【详解】（1）解：∵菱形相似于菱形， ∴， ∵四边形是菱形，四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：仍然成立，理由如下： 由（1）得：，，， ∴ 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：数量关系是：，位置关系是：，理由如下： 延长，，交于点H，如图， 由（2）得：， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了菱形和正方形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型． 40．形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．    一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______． 一分为多 （3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例． 一分为三 （4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值． 【答案】（1）；（2）；（3）同意，见解析；（4）见详解 【分析】（1）先求得小长方形的长和宽，再根据小矩形与原矩形长宽比相等列方程求解即可； （2）由小矩形的长以及长宽比求得小矩形的宽，再根据两个小矩形的宽之和为a列方程求解即可； （3）通过连接矩形的四条边的中点可将矩形分为4个一样的小矩形，再求小矩形的长宽比便可验证； （4）分四种情况：①沿原矩形的长3等分为三个矩形，②先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为，③先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为，④先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1；根据相似矩形的长宽比，利用原矩形的长和宽建立方程求解即可； 【详解】解：（1）由图可知阴影正方形的边长为1， ∴小长方形的宽为，长为1， ∵小矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得：或（边长不能为负舍去）， ∴； （2）∵两小矩形的长都为1，且与原矩形的长宽比相同， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； （3）同意，如下图连接矩形的四条边的中点，将矩形分为4个小矩形，    四个小矩形的长和宽都为和，长宽比为与原矩形长宽比相同； （4）共有四种情况： ①如下图沿原矩形的长3等分，    小矩形和原矩形的长宽比都为a， 小矩形的长为1，则宽为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ②如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为，    根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的长为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ③如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为，    根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的宽为， ∴∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ④如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1，    根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为， ∴右边两矩形的宽和长为， ∴右上矩形的长为，右下矩形的宽为， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了相似矩形，一元二次方程，分情况要按照先一分为二，再将其中一个一分为二的思路来讨论． 试卷第2页，共32页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$