精品解析：天津市天津市北辰区天津市南仓中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

天津市南仓中学2023至2024学年度第二学期 高二年级教学质量过程性检测 （数学 学科） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共120分，考试用时100分钟.第Ⅰ卷至1页，第Ⅱ卷至2页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题纸上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9小题，共36分. 一、选择题（每小题4分，共36分） 1. 设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}，则（∁RS）∪T=（　　） A. （﹣2，1] B. （﹣∞，﹣4] C. （﹣∞，1] D. [1，+∞） 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若二项式的展开式中倒数第三项的系数为，则含有项的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 若随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 5. 从5名医生和2名护士中选出3人，要求医生护士都需要参加，将这3人分别分配到3个医院参加交流活动，则不同的安排方法种数为（ ） A. 300 B. 240 C. 180 D. 150 6. 函数的图象大致是（    ） A B. C. D. 7. 设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法中正确的是（ ） ①设随机变量X服从二项分布 ②已知随机变量X服从正态分布且，则 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则 ④． A. ②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①② 9. 已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上. 2．本卷共11小题，共84分. 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 已知，则关于x的不等式的解集是______. 11. 某校高二年级一次数学考试成绩服从正态分布.若平均分为100，120分以下人数概率为0.8，理论上说在80~120分数段人数概率为____________. 12. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围是________． 13. 已知0是函数的极大值点，则的取值范围为________． 14. 从1，3，5，7中任取两个数，从0，2，4，6中任取两个数，组成没有重复数字四位数．这样的四位偶数有________个．（用数字作答） 15. 已知，且，则的最小值为_________． 三、解答题（每题12分，共60分） 16. 已知在的展开式中，第6项为常数项． 求n的值； 求展开式的所有项的系数之和； 求展开式中所有的有理项． 17. 已知函数其中为常数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间及极值； （3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 18. 某食品生产厂生产某种市场需求量很大食品，这种食品有A、B两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A元素指标达标的概率为，B元素指标达标的概率为，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品． （1）一个食品经过检测，AB两类元素至少一类元素含量指标达标的概率； （2）任意依次抽取该种食品4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及． 19. 一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球（假设取到任何—个小球的可能性相同）. （1）求取出3个小球中，含有编号为4的小球的概率； （2）在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为，求随机变量的分布列及数学期望. 20. 已知函数，（且） （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：； （3），若在上恒成立，求实数取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市南仓中学2023至2024学年度第二学期 高二年级教学质量过程性检测 （数学 学科） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共120分，考试用时100分钟.第Ⅰ卷至1页，第Ⅱ卷至2页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题纸上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9小题，共36分. 一、选择题（每小题4分，共36分） 1. 设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}，则（∁RS）∪T=（　　） A. （﹣2，1] B. （﹣∞，﹣4] C. （﹣∞，1] D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】 【详解】∵集合S={x|x＞﹣2}， ∴∁RS={x|x≤﹣2} 由x2+3x﹣4≤0得：T={x|﹣4≤x≤1}， 故（∁RS）∪T={x|x≤1} 故选C． 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】用充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】解不等式，得 ，可知由此条件不能推出 ， 相反由 ，可以推出，所以是必要而不充分条件； 故选：B. 3. 若二项式的展开式中倒数第三项的系数为，则含有项的系数为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出展开式的通项，再根据倒数第三项的系数及组合数公式求出，再由通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为 （其中且）， 所以倒数第三项的系数为，故，即，所以， 所以，解得或（舍）； 则展开式的通项为 （其中且）， 令，解得，所以， 即展开式中含的系数为. 故选：C 4. 若随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布的期望与方程的计算公式，由题中条件，列出方程，即可求出结果. 【详解】因为，， 则，解得， 所以. 故选：D. 5. 从5名医生和2名护士中选出3人，要求医生护士都需要参加，将这3人分别分配到3个医院参加交流活动，则不同的安排方法种数为（ ） A. 300 B. 240 C. 180 D. 150 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步计数原理，结合排列组合即可求解. 【详解】由题意，先选出三人分两种情况， 即2名医生和1名护士，有种选法， 或1名医生和2名护士，有种选法， 再将选出的三个人全排列即可， 所以，共有种安排方法. 故选：D 6. 函数的图象大致是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的零点排除两个选项，再求出函数的极大值，结合图形即可判断得解. 【详解】函数定义域为，由，得或，即函数有两个零点和，BC错误；，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，因此函数在处取得极大值，D错误，A符合题意. 故选：A. 7. 设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全概率公式即可处理. 【详解】设=“任取一个X光片为次品”，=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应） 则,且两两互斥. 由题意可得：, . 故选：A. 8. 下列说法中正确的是（ ） ①设随机变量X服从二项分布 ②已知随机变量X服从正态分布且，则 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则 ④． A. ②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①② 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式判断①，根据正态分布的性质判断②，根据条件概率判断③，根据方差的性质判断④. 【详解】对于①：随机变量服从二项分布， 则，故①正确； 对于②：随机变量服从正态分布且， 则，故②正确； 对于③：事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”， 则，，所以，故③正确； 对于④：，故④错误． 故选：B 9. 已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构建，根据题意分析可知在上单调递减，结合函数单调性解不等式. 【详解】构建，则， 因为，则，即， 可知在上单调递减，且， 由可得，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：根据构建，进而利用导数判断函数单调性，结合单调性解不等式. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上. 2．本卷共11小题，共84分. 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 已知，则关于x的不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式的左边进行因式分解，然后比较和的大小，再利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为关于x的不等式可化为： ，又因为，所以， 所以不等式的解集为， 则关于x的不等式的解集是， 故答案为：. 11. 某校高二年级一次数学考试的成绩服从正态分布.若平均分为100，120分以下人数概率为0.8，理论上说在80~120分数段人数概率为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求解即可. 【详解】由题意得，， 所以 所以， 故答案为： 12. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出原命题的否定，转化为恒成立问题，再利用一元二次不等式恒成立问题即可求解. 【详解】依题意，“，”为真命题， 即不等式在上恒成立， 当时，，显然成立， 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 13. 已知0是函数的极大值点，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数导数，研究导数的正负求得函数单调性即可得解. 【详解】由题， 当时，恒成立，故是增函数，无极值点，不符合； 当时，令或， 若，，所以： 当时，，故在和上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 则在处取得极小值，是的极小值点，不符合； 若时，，所以： 当时，，故和上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 则在处取得极大值，是的极大值点， 所以0是函数的极大值点，则的取值范围为. 故答案为：. 14. 从1，3，5，7中任取两个数，从0，2，4，6中任取两个数，组成没有重复数字四位数．这样的四位偶数有________个．（用数字作答） 【答案】396 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理求出个位为偶数字的排列数，去掉最高位是数字0且个位为偶数字的排列数即可得结果. 【详解】取出两个奇数字和两个偶数字的方法数为种， 把取出的4个数字排列，个位为偶数字的排列方法数为， 其中取出数字0并排在最高位，个位为偶数字的有， 所以符合要求的四位偶数个数为. 故答案为：396 15. 已知，且，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用基本不等式，即可求解. 【详解】解： ， （当且仅当且时，即取“=”）， 故答案为：4 三、解答题（每题12分，共60分） 16. 已知在的展开式中，第6项为常数项． 求n的值； 求展开式的所有项的系数之和； 求展开式中所有的有理项． 【答案】（I）；（II）；（III）有理项分别为，；. 【解析】 【分析】在二项展开式的第六项的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值；在二项展开式中，令，可得展开式的所有项的系数之和； 二项式的展开式的通项公式为，令为整数，可求出的值，即可求得展开式中所有的有理项． 【详解】在的展开式中，第6项为 为常数项， ，． 在的展开式中， 令，可得展开式的所有项的系数之和为． 二项式的展开式的通项公式为， 令为整数，可得，5，8， 故有理项分别为， ；． 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 17. 已知函数其中为常数． （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）求的单调区间及极值； （3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）递增区间，递减区间为，极大值，无极小值； （3）． 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程即得. （2）利用导数求出函数的单调区间及极值. （3）由（2）求出函数的最大值，借助恒成立建立不等式求解即得. 【小问1详解】 当时，，求导得， 则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，， 所以的递增区间为，递减区间为，在处取得极大值，无极小值. 【小问3详解】 由（2）知，当时，函数取得最大值， 由对任意，不等式恒成立，得，即，解得或， 所以的取值范围为. 18. 某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A、B两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A元素指标达标的概率为，B元素指标达标的概率为，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品． （1）一个食品经过检测，AB两类元素至少一类元素含量指标达标的概率； （2）任意依次抽取该种食品4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及． 【答案】（1）； （2）分布列见解析，期望值为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件、相互独立事件的概率公式计算即得. （2）求出合格品的概率，利用二项分布的概率求出分布列和数学期望. 【小问1详解】 令M为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，则是A，B都不达标的事件， 因此， 所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为. 【小问2详解】 依题意，A，B两类元素含量指标都达标的概率为， 的所有可能取值为0，1，2，3，4，显然， 因此，，， ，， 所以的概率分布为： 0 1 2 3 4 P 数学期望. 19. 一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球（假设取到任何—个小球的可能性相同）. （1）求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率； （2）在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为，求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）计算取出的3个小球所有的结果数，然后计算含有编号为4的结果数，最后利用古典概型进行计算，可得结果. （2）列出的所有可能取值，并计算相对应的概率，然后画出分布列，根据期望公式，可得结果. 【详解】（1）由题可知： 取出的3个小球所有的结果数 含有编号为4的结果数 所以所求得概率为 （2）所有得可能取值为：3，4，5 所以的分布列为 所以 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列以及数学期望，掌握离散型随机变量的数学期望以及方差的公式计算，审清题意，使用排列组合细心计算，属基础题. 20. 已知函数，（且） （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：； （3），若在上恒成立，求实数取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的取值情况，从而判断导数正负，即可判断函数单调性； （2）要证明，即证，由此构造函数，利用导数求解函数的最值即可证明； （3）将在上恒成立，参变分离整理即为在上恒成立，由此构造函数，利用导数求解函数的最值，即可得答案. 【小问1详解】 由题意得函数的定义域为， ， 当时，，则在上单调递增； 当时，令，则， 当时，，则，在上单调递减； 当时，，则，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 证明：当时，， 要证明，即证明：，即证； 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故时的极大值点，也是最大值点， 则，即， 故. 【小问3详解】 由题意得， 在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故， 故 【点睛】方法点睛：（1）利用导数证明不等式时，转化为函数的最值问题解决，即整理变形，构造函数，从而利用导数求解；（2）不等式恒成立问题要参变分离，构造函数，转化为函数最值问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$