22.1 二次函数的图象和性质22.1.3第一课时（要点系统练+提升整合练+探究创新练）-2024-2025学年九年级数学上册核心要点同步题型精练（人教版）

好题精选·同步精练22.1二次函数的图象和性质 22.1.3第一课时 二次函数的图象和性质 1．抛物线y＝x2﹣9的顶点坐标是（    ）知识点1 二次函数的图象和性质 A．(0，﹣9) B．(﹣3，0) C．(﹣9，0) D．(3，0) 2．对于抛物线，下列结论正确的是（    ） A．图象过原点 B．对称轴是直线 C．顶点是 D．有最小值1 3．（重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题）关于二次函数的图象，下列结论不正确的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．拋物线顶点 4．（2023·江西九江·二模）下列图象中，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）抛物线的图象上有两点、，则、的大小是（    ） A． B． C． D．无法判断 6．（2024·山西晋城·一模）若点，，都在二次函数的图象上，则有（    ） A． B． C． D． 7．（21-22九年级上·山东临沂·期中）在下列平面直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图象，并说明两个函数图象性质的相同点与不同点． 8．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）二次函数的最 值是 ． 9．（23-24九年级下·全国·课后作业）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则 ． 10．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）已知点在二次函数的图象上，那么 （填“”、“”、“”）． 知识点2 二次函数与的图象平移 11．（21-22九年级上·全国·课前预习）抛物线的图象相当于把抛物线的图象 （k＞0）或 （k＜0）平移 个单位． 12．（23-24九年级上·天津津南·阶段练习）抛物线可由抛物线沿轴向 平移 个单位得到，它的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 点 13．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）将抛物线向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是 ． 14．（2019·四川广安·一模）将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是 ． 15．（吉林省长春市朝阳区2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题）若将抛物线向上平移个单位后所得的抛物线记为，则抛物线对应的与之间的函数关系式为(    ) A． B． C． D． 16．（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 17．（22-23九年级上·山东威海·期末）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）点在以轴为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于 ． 19．（2024九年级·全国·竞赛）抛物线与轴交于，与轴交于，当为直角三角形时，满足的关系为： ． 20．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ． 21．（人教版九年级上册 22.3实际问题与二次函数 同步测试题）如图，两条抛物线，与分别经过点，且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 ． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练22.1二次函数的图象和性质 22.1.3第一课时 二次函数的图象和性质 1．抛物线y＝x2﹣9的顶点坐标是（    ）知识点1 二次函数的图象和性质 A．(0，﹣9) B．(﹣3，0) C．(﹣9，0) D．(3，0) 【答案】A 【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，即可得出抛物线的顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是(0，-9)． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，牢记“二次函数的顶点式为，的顶点坐标是(，) ”． 2．对于抛物线，下列结论正确的是（    ） A．图象过原点 B．对称轴是直线 C．顶点是 D．有最小值1 【答案】B 【分析】求出当x=0时y的值即可判断A，根据二次函数的性质即可判断B、C、D． 【详解】解：∵当x=0时，y=0+1=1≠0，故A不正确； ∵，∴对称轴是直线，顶点是(0，1)，故B正确，C错误； ∵-2＜0，∴抛物线开口向下，有最大值1，故D错误． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k(a，b，c为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是（h，k），对称轴是x=h． 3．（重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题）关于二次函数的图象，下列结论不正确的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．拋物线顶点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质可进行求解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、因为，所以抛物线开口向上，故正确，不符合题意； 、因为抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，所以，故正确，不符合题意； 、抛物线的对称轴为直线，故错误，符合题意； 、因为抛物线的对称轴为直线，当时，，所以，故正确，不符合题意； 故选：． 4．（2023·江西九江·二模）下列图象中，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，根据二次函数的开口方向和与y轴的交点位置分别判定a的符号，以及对称轴是y轴，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：函数的对称轴为y轴， A、抛物线开口向上，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； B、抛物线开口向上，则，与y轴交于负半轴，则，即，但是对称轴不是y轴，不符合题意； C、抛物线开口向下，则，与y轴交于负半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； D、抛物线开口向下，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者一致，且对称轴是y轴，符合题意； 故选：D． 5．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）抛物线的图象上有两点、，则、的大小是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查抛物线的图像和性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．根据题意求出、的值比较即可． 【详解】解：将、代入抛物线， ， ， 故选C． 6．（2024·山西晋城·一模）若点，，都在二次函数的图象上，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是y轴，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵的图象开口向下，对称轴是y轴，关于y轴的对称点是， ∴时，y随x的增大而减小， 又∵ ∴， 故选：D． 7．（21-22九年级上·山东临沂·期中）在下列平面直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图象，并说明两个函数图象性质的相同点与不同点． 【答案】画图见解析，两个函数图象性质的相同点与不同点见解析 【分析】先分别列表，再分别描点，再分别连线，再根据图象总结两个函数的相同点与不同点即可. 【详解】解：列表如下： 描点并连线 列表如下： 两个函数的性质的相同点：两个函数的函数图象都是抛物线，都是轴对称图形，对称轴都是轴，顶点都在轴上，形状相同， 两个函数的性质的不同点：的开口向上，的开口向下； 的顶点坐标为 的顶点坐标为 对于： 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，函数有最小值1； 对于： 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，函数有最大值-1； 【点睛】本题考查的是画二次函数的图象，二次函数图象的性质，掌握“利用列表，描点，连线画函数图象”是解题的关键. 8．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）二次函数的最 值是 ． 【答案】 小 3 【分析】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．根据二次函数的解析式，即可得到结论． 【详解】解：二次函数的图像开口向上， 二次函数有最小值，最小时是3， 故答案为：小，3． 9．（23-24九年级下·全国·课后作业）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，根据二次函数的定义得到，由抛物线的性质得到，由此求得m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数，且当时，y随x的增大而增大， ∴，， 整理得：，且， 解得：． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）已知点在二次函数的图象上，那么 （填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小， 点在二次函数的图象上，， ． 故答案为：． 11．（21-22九年级上·全国·课前预习）抛物线的图象相当于把抛物线的图象 （k＞0）或 （k＜0）平移 个单位．知识点2 二次函数与的图象平移 【答案】 向上 向下 |k| 【解析】略 12．（23-24九年级上·天津津南·阶段练习）抛物线可由抛物线沿轴向 平移 个单位得到，它的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 点 【答案】 下 轴(或) 低 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 而抛物线的顶点坐标为， ∴平移方法为向下平移个单位． ∵，它的开口向上，顶点坐标为，对称轴为轴，有最低点， 故答案为：上，，上，，轴，低． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，掌握平移规律是解题的关键． 13．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）将抛物线向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像的几何变换，掌握抛物线平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 根据抛物线平移的规律求解即可． 【详解】解：抛物线向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是：，即 故答案为： 14．将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是 ． 【答案】y＝2（x+3）2+1 【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式． 【详解】抛物线y＝2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2+1． 故答案为y＝2（x+3）2+1 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 15．（吉林省长春市朝阳区2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题）若将抛物线向上平移个单位后所得的抛物线记为，则抛物线对应的与之间的函数关系式为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移个单位后所得的抛物线为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 16．（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 【答案】(1)答案见解析 (2)上，3 【分析】（1）直接利用二次函数的性质以及与的关系分析得出答案； （2）直接利用二次函数的性质以及与的图象特点分析即可． 【详解】（1）解：如图所示，    ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为： ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：； （2）解：函数与函数的图象形状完全相同，开口方向相同， 相当于向上平移3个单位得到． 故答案为：上；． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，正确把握二次函数的性质是解题关键． 17．（22-23九年级上·山东威海·期末）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； 根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，据此解答． 【详解】化为顶点式解析式为： 二次函数的对称轴为直线，开口方向向上， 在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小， 时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而减小， 实数a的取值范围是， 故选：B． 18．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）点在以轴为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值．把代入解析式得，用含m的式子表示出，找到最大值即可． 【详解】解：把代入，则， ∴， ∵ ∴当时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 19．（2024九年级·全国·竞赛）抛物线与轴交于，与轴交于，当为直角三角形时，满足的关系为： ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，理解的性质是解题关键．先分别求得抛物线与坐标轴的交点，然后根据等腰直角三角形的性质分析求解． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴交于点， 当时，，解得， ∴，且a，c异号， 当为直角三角形时，此时， ∴， ∴，即， 故答案为：． 20．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ． 【答案】9 【分析】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案． 【详解】解：∵为14， ∴令， 解得， ∴， ∴， 故答案为：9 21．（人教版九年级上册 22.3实际问题与二次函数 同步测试题）如图，两条抛物线，与分别经过点，且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 ． 【答案】8 【分析】两函数差的绝对值乘以两条直线的距离即可得到所求的阴影部分的面积． 【详解】如图， ∵两解析式的二次项系数相同， ∴两抛物线的形状完全相同， ∴两条抛物线是上下平移得到， ∴y1-y2=-x2+1-（-x2-1）=2； ∴S阴影=（y1-y2）×|2-（-2）|=2×4=8， 故答案为8． 【点睛】本题主要考查能否正确的判断出阴影部分面积，而解答此题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$