4.4 用相似三角形综合应用（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

4.4 用相似三角形综合应用 【考点1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】 【考点2 利用相似三角形测量高度-影子测量法】 【考点3 利用相似三角形测量高度-手臂测量法】 【考点4 利用相似三角形测量高度-标杆测量法】 【考点5 利用相似三角形测量距离】 知识点1 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 【考点1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】 代四方楼阁式砖塔，它是佛塔这种古印度佛寺的建筑形式随佛教传入中原地区，并融入华夏文化的典型物证，凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．小明同学想利用所学数学知识来测量大雁塔的高度，如图，小明在点B处放置一个平面镜，站在A处恰好能从平面镜中看到塔的顶端D，此时测得小明到镜面距离AB为2米，已知平面镜到塔底部中心的距离BC为86米，小明眼睛到地面距离AE为1.5米，已知AE⊥AC，CD⊥AC，点A、B、C在一条水平线上．请你帮小明计算出大雁塔CD的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【变式1-1】（2023春•绿园区期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米，则旗杆的高度为 　　米． ​ 【变式1-2】（2023•宝鸡模拟）成都熊猫基地瞭望塔可以看到熊猫基地的全貌，还可以看到339电视塔，成为了成都的新地标，也是去成都观光旅游的新景点．小辉想利用所学知识测量瞭望塔的高度（AB），测量方法如下：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到瞭望塔AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合，如图，其中B，C，D三点在同一直线上．已知小辉的眼睛距离地面的高度ED约为1.75m，测得BC＝40m，CD＝1m，请你帮助他求出该瞭望塔的高度AB． 【变式1-3】（2023•启东市二模）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求BC的长． （2）求灯泡到地面的高度AG． 【考点2 利用相似三角形测量高度-影子测量法】 【典例2】（2023春•岱岳区期末）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米． （1）图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？ （2）求信号发射塔的高度． 【变式2-1】（2022秋•滨海新区校级期末）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD＝4m，BD＝12m，则旗杆AB的高为　 　m． 【变式2-2】（2022秋•武侯区校级期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【变式2-3】（2022秋•铁西区校级期末）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m，求路灯的高度OP． 【考点3 利用相似三角形测量高度-手臂测量法】 【典例3】（2023•横山区模拟）西安古城墙凝聚了中国古代劳动人民的智慧，它作为古城西安的地标性建筑，吸引了不少人慕名而来．节假日，乐乐去城墙游玩，看见宏伟的城墙后，他想要测量城墙的高度DE．如图，他拿着一根笔直的小棍BC，站在距城墙约30米的点N处（即EN＝30米），把手臂向前伸直且让小棍BC竖直，BC∥DE，乐乐看到点B和城墙顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知乐乐的臂长CM约为60厘米，小棍BC的长为24厘米，AN⊥EN，CM⊥AN，DE⊥EN．求城墙的高度DE． 【变式3-1】（2022•滨海县校级三模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A（如图）．设小明的手臂长l＝50cm，小尺长a＝20cm，点D到铁塔底部的距离AD＝40m，则铁塔的高度为 　　m． 【考点4 利用相似三角形测量高度-标杆测量法】 【典例4】（2023春•河口区期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一棵大树CD的高度，如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.7米，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该树的高度． 【变式4-1】（2022秋•惠来县期末）综合实践活动 在现实生活中，对于较高的建筑物，人们通常用图形相似的原理测量建筑物的高度．如图，九（1）班数学活动小组的同学们在综合实践课里测量学校里一栋教学楼MN的高度，他们在教学楼前的D处竖立一个长度为4米的直杆CD，测得DN等于18米，让同学调整自己的位置，使得他直立时眼睛A、直杆顶点C和高楼顶点M三点共线．此时测量人与直杆的距离BD＝3.2米，眼睛高度AB＝1.6米．请你根据以上测量数据求出这栋教学楼MN的高度． 【变式4-2】（2023•榆林一模）某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1）．如图2，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑AB的高度． 【变式4-3】（2023•临渭区二模）庆安寺塔（图1），位于临渭区交斜镇东堡村南，当地人又称其为来化塔．如图2，某校社会实践小组为了测量庆安寺塔的高度AB，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，庆安寺塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得DE＝3米，将标杆CD沿BD方向平移14米到点H处（DH＝14）．这时地面上的点F，标杆的顶端点C，庆安寺塔的塔尖点A正好又在同一直线上，测得FH＝4米，点F，H，E，D与塔底处的点B在同一直线上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF．请你根据以上数据，计算庆安寺塔的高度AB． 知识点2 利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【考点5 利用相似三角形测量距离】 【典例5】（2022春•港闸区校级月考）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连结AC并延长到点D，使CD＝AC，连结BC并延长到点E，使CE＝BC，连结DE．量得DE的长为15米，求池塘两端A，B的距离． 【变式5-1】（2023春•新泰市期末）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为（　　） A．20m B．30m C．40m D．60m 【变式5-2】（2022•柳北区模拟）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，再在河岸的这一边选取点B和点C，使AB⊥BC，然后再选取点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝160m，DC＝80m，EC＝50m，求A、B间的大致距离． 一、单选题 1．学校教学楼前面有一根高是4.2米的旗杆，在某时刻太阳光下的影子长是6.3米，与此同时， 在旗杆周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是9米，则此大树的高度是（      ） A．4.8米 B．8.4米 C．6米 D．9米 2．如图，为估算学校的旗杆的高度，身高米的小红同学沿着旗杆在地面的影子由向走去，当她走到点处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得，，则旗杆的高度是（     ） A．6.4m B．7m C．8m D．9m 二、填空题 3．贺哲同学的身高1.86米，影子长3米，同一时刻金老师的影子长2.7米，则金老师的身高为 米（结果保留两位小数）。 4．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河的宽度等于 ． 5．在同一时刻太阳光下，身高的小华在地面上形成的影长是米，此时测得一棵大树在地面上的影长是米，则大树的实际高度是 ． 6．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体 ． 7．物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为 ． 8．小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是，幻灯片到屏幕的距离是，幻灯片上小树的高度是，则屏幕上小树的高度是 ． 三、解答题 9．小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角） 10．如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？ 11．如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度． 12．如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C处放置一平面镜，他从点C沿后退，当退行0.9米到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离为1.2米；然后，苏海沿的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，求雕像的高度．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4 用相似三角形综合应用 【考点1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】 【考点2 利用相似三角形测量高度-影子测量法】 【考点3 利用相似三角形测量高度-手臂测量法】 【考点4 利用相似三角形测量高度-标杆测量法】 【考点5 利用相似三角形测量距离】 知识点1 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 【考点1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】 代四方楼阁式砖塔，它是佛塔这种古印度佛寺的建筑形式随佛教传入中原地区，并融入华夏文化的典型物证，凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．小明同学想利用所学数学知识来测量大雁塔的高度，如图，小明在点B处放置一个平面镜，站在A处恰好能从平面镜中看到塔的顶端D，此时测得小明到镜面距离AB为2米，已知平面镜到塔底部中心的距离BC为86米，小明眼睛到地面距离AE为1.5米，已知AE⊥AC，CD⊥AC，点A、B、C在一条水平线上．请你帮小明计算出大雁塔CD的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【答案】64.5米． 【解答】解：由题意得：∠EBA＝∠DBC， ∵EA⊥AC，DC⊥AC， ∴∠EAB＝∠DCB＝90°， ∴△DCP∽△ABP， ∴＝， ∴＝， ∴AB＝64.5米， ∴长安塔的高度AB为64.5米． 【变式1-1】（2023春•绿园区期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米，则旗杆的高度为 　8　米． ​ 【答案】8． 【解答】解：由题意得：∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD， ∴＝， ∵AB＝1.6米，OB＝2米，OD＝10米， ∴＝， 解得：CD＝8， ∴旗杆的高度为8米， 故答案为：8． 【变式1-2】（2023•宝鸡模拟）成都熊猫基地瞭望塔可以看到熊猫基地的全貌，还可以看到339电视塔，成为了成都的新地标，也是去成都观光旅游的新景点．小辉想利用所学知识测量瞭望塔的高度（AB），测量方法如下：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到瞭望塔AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合，如图，其中B，C，D三点在同一直线上．已知小辉的眼睛距离地面的高度ED约为1.75m，测得BC＝40m，CD＝1m，请你帮助他求出该瞭望塔的高度AB． 【答案】该瞭望塔的高度AB为70m． 【解答】解：由题意得：∠ECD＝∠ACB，AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠ABC＝∠CDE＝90°， ∴△ABC∽△EDC， ∴， ∴， ∴AB＝70， ∴该瞭望塔的高度AB为70m 【变式1-3】（2023•启东市二模）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求BC的长． （2）求灯泡到地面的高度AG． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意可得：FC∥DE， 则△BFC∽BED， 故， 即， 解得：BC＝3； （2）∵AC＝5.4m， ∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m）， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴∠FBC＝∠GBA， 又∵∠FCB＝∠GAB， ∴△BGA∽△BFC， ∴＝， ∴， 解得：AG＝1.2（m）， 答：灯泡到地面的高度AG为1.2m． 【考点2 利用相似三角形测量高度-影子测量法】 【典例2】（2023春•岱岳区期末）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米． （1）图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？ （2）求信号发射塔的高度． 【答案】19.8米． 【解答】解：（1）∵BC⊥AC，DE⊥AC， ∴DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE， （2）∵△ABC∽△ADE， ∴， 即， ∴DC＝19.8（米）， ∴古塔的高度为19.8米． 【变式2-1】（2022秋•滨海新区校级期末）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD＝4m，BD＝12m，则旗杆AB的高为　8　m． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵OD＝4m，BD＝14m， ∴OB＝OD+BD＝18m， 由题意可知∠ODC＝∠OBA，且∠O为公共角， ∴△OCD∽△OAB， ∴＝， 即＝， 解得AB＝8， 即旗杆AB的高为8m． 故答案为：8． 【变式2-2】（2022秋•武侯区校级期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【答案】A 【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm， 由相似三角形对应高的比等于相似比得到：＝． 解得x＝6． 即蜡烛火焰的高度是6cm． 故选：A． 【变式2-3】（2022秋•铁西区校级期末）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m，求路灯的高度OP． 【答案】路灯的高度OP是m． 【解答】解：∵AB∥OP， ∴△ABC∽△OPC， ∴＝，即＝， ∴OP＝（m）． 答：路灯的高度OP是m． 【考点3 利用相似三角形测量高度-手臂测量法】 【典例3】（2023•横山区模拟）西安古城墙凝聚了中国古代劳动人民的智慧，它作为古城西安的地标性建筑，吸引了不少人慕名而来．节假日，乐乐去城墙游玩，看见宏伟的城墙后，他想要测量城墙的高度DE．如图，他拿着一根笔直的小棍BC，站在距城墙约30米的点N处（即EN＝30米），把手臂向前伸直且让小棍BC竖直，BC∥DE，乐乐看到点B和城墙顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知乐乐的臂长CM约为60厘米，小棍BC的长为24厘米，AN⊥EN，CM⊥AN，DE⊥EN．求城墙的高度DE． 【答案】城墙的高度DE为12米． 【解答】解：由题意可作出下图： 由题意得，AF＝60厘米＝0.6米，AG＝EN＝30米，BC＝24厘米＝0.24米， ∵BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴＝， ∴＝， ∴DE＝12， ∴城墙的高度DE为12米． 【变式3-1】（2022•滨海县校级三模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A（如图）．设小明的手臂长l＝50cm，小尺长a＝20cm，点D到铁塔底部的距离AD＝40m，则铁塔的高度为 　16　m． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作CH⊥AB于H，交EF于P，如图， 则CH＝DA＝40m，CP＝50cm＝0.5m，EF＝20cm＝0.2m， ∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CBA， ∴， 即＝， ∴AB＝16（m）， 即铁塔的高度为16m． 故答案为：16． 【考点4 利用相似三角形测量高度-标杆测量法】 【典例4】（2023春•河口区期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一棵大树CD的高度，如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.7米，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该树的高度． 【答案】树高CD为6.5米． 【解答】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G， 由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴四边形EFDH为矩形， ∴EF＝GB＝DH＝1.7米，EG＝FB＝2米，GH＝BD＝6米， ∴AG＝AB﹣GB＝2.9﹣1.7＝1.2（米）， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴AG∥CH， ∴△AEG∽△CEH， ∴， ∴， 解得：CH＝4.8， ∴CD＝CH+DH＝4.8+1.7＝6.5（米）， 答：树高CD为6.5米． 【变式4-1】（2022秋•惠来县期末）综合实践活动 在现实生活中，对于较高的建筑物，人们通常用图形相似的原理测量建筑物的高度．如图，九（1）班数学活动小组的同学们在综合实践课里测量学校里一栋教学楼MN的高度，他们在教学楼前的D处竖立一个长度为4米的直杆CD，测得DN等于18米，让同学调整自己的位置，使得他直立时眼睛A、直杆顶点C和高楼顶点M三点共线．此时测量人与直杆的距离BD＝3.2米，眼睛高度AB＝1.6米．请你根据以上测量数据求出这栋教学楼MN的高度． 【答案】17.5米． 【解答】解：如图： 过点A作AH⊥MN于点H，交CD于点E，则四边形ABDE，四边形ABNH都是矩形． ∴NH＝DE＝AB＝1.6米，AE＝BD＝3.2米，EH＝DN＝18米， ∵CD＝4米， ∴CE＝CD﹣DE＝4﹣1.6＝2.4（米）， ∵CE∥MH， ∴△ACE∽△AMH， ∴＝， ∴＝， ∴MH＝15.9（米）， ∴MN＝MH+NH＝15.9+1.6＝17.5（米）． 答：这栋教学楼MN的高度是17.5米． 【变式4-2】（2023•榆林一模）某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1）．如图2，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑AB的高度． 【答案】25m． 【解答】解：设BE＝ym，由题意可知， ∵EF∥AB，GH∥AB， ∴△ABD∽△FED，△ABC∽△HGC， ∴，， ∵EF＝HG＝2， ∴， ∴， 解得：y＝23， 则，即， 解得：AB＝25， 答：该古建筑AB的高度为25m． 【变式4-3】（2023•临渭区二模）庆安寺塔（图1），位于临渭区交斜镇东堡村南，当地人又称其为来化塔．如图2，某校社会实践小组为了测量庆安寺塔的高度AB，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，庆安寺塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得DE＝3米，将标杆CD沿BD方向平移14米到点H处（DH＝14）．这时地面上的点F，标杆的顶端点C，庆安寺塔的塔尖点A正好又在同一直线上，测得FH＝4米，点F，H，E，D与塔底处的点B在同一直线上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF．请你根据以上数据，计算庆安寺塔的高度AB． 【答案】30米． 【解答】解：∵BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF， ∴∠ABC＝∠CDE＝∠GHF＝90°， ∵∠DEC＝∠BEA， ∴△EDC∽△EBA， ∴＝， ∴＝， ∵∠HFG＝∠BFA， ∴△HFG∽△BFA， ∴＝， ∴＝， ∴＝， ∴BD＝42， ∴＝， ∴AB＝30（米）， 答：庆安寺塔的高度AB为30米 知识点2 利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【考点5 利用相似三角形测量距离】 【典例5】（2022春•港闸区校级月考）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连结AC并延长到点D，使CD＝AC，连结BC并延长到点E，使CE＝BC，连结DE．量得DE的长为15米，求池塘两端A，B的距离． 【答案】池塘两端A，B的距离为30米． 【解答】解：∵CD＝AC，CE＝BC， ∴＝，＝， ∴＝， ∵∠DCE＝∠ACB， ∴△DCE∽△ACB， ∴＝＝， ∵DE＝15， ∴AB＝30（米）， 答：池塘两端A，B的距离为30米． 【变式5-1】（2023春•新泰市期末）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为（　　） A．20m B．30m C．40m D．60m 【答案】C 【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴△BAE∽△CDE， ∴， ∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m， ∴， 解得：AB＝40， 【变式5-2】（2022•柳北区模拟）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，再在河岸的这一边选取点B和点C，使AB⊥BC，然后再选取点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝160m，DC＝80m，EC＝50m，求A、B间的大致距离． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意可得：∠ABD＝∠ECD＝90°，∠ADB＝∠EDC， 则△ABD∽△ECD， 故＝， 即＝， 解得：AB＝100． 答：A、B间的距离为100m． 一、单选题 1．学校教学楼前面有一根高是4.2米的旗杆，在某时刻太阳光下的影子长是6.3米，与此同时， 在旗杆周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是9米，则此大树的高度是（      ） A．4.8米 B．8.4米 C．6米 D．9米 【答案】C 【分析】此题利用相似三角形测高，先找出对应的成比例线段，再把数据代入计算即可． 【详解】 如图，根据题意得: AG=4.2米 ，AB=6.3米，EF=9米， 同一时刻树高与影长的比和旗杆与影长的比相等得△DFE与△GAB相似， 即 ， 代入得： 解得：树高= 6米． 故选：C． 【点睛】此题考查利用相似三角形测高，主要利用线段成比例，找出对应边是关键，难度一般． 2．如图，为估算学校的旗杆的高度，身高米的小红同学沿着旗杆在地面的影子由向走去，当她走到点处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得，，则旗杆的高度是（     ） A．6.4m B．7m C．8m D．9m 【答案】C 【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可． 【详解】解：因为人和旗杆均垂直于地面， 所以构成的两个三角形相似， 设旗杆的高度为米，由同一时刻物高与影长成比例可得： ， 解得： 经检验：符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了考查相似三角形应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 二、填空题 3．贺哲同学的身高1.86米，影子长3米，同一时刻金老师的影子长2.7米，则金老师的身高为 米（结果保留两位小数）。 【答案】1.67 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 【详解】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，设金老师的高度为xm， 则， 解得x=1.67． 故答案为：1.67． 【点睛】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力． 4．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河的宽度等于 ． 【答案】 【分析】易证△ABE∽△DCE，即可求得． 【详解】∵∠ABE=∠DCE=90°，∠BEA=∠DEC ∴△ABE∽△DCE ∴ 即 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 5．在同一时刻太阳光下，身高的小华在地面上形成的影长是米，此时测得一棵大树在地面上的影长是米，则大树的实际高度是 ． 【答案】米 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 【详解】设树高为x米， 因为人的高度：人的影长=树的高度：树的影长， 所以1.6：0.8=x：4.8， 所以x=4.8×2=9.6， 故答案为9.6米． 【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，找出相似的三角形，根据对应边成比例列出方程是解题的关键. 6．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质． 高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图： ， ，即相似比为, ， , 故答案为：． 7．物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为 ． 【答案】 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：， ， ， , 的高为,为,为, ， 故答案为： 8．小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是，幻灯片到屏幕的距离是，幻灯片上小树的高度是，则屏幕上小树的高度是 ． 【答案】 【详解】设小树的高度为xcm，1.5m=150cm， 根据题意得,， 解得x=60 故答案为60. 三、解答题 9．小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角） 【答案】教学楼AB的高度为16米 【分析】根据反射角等于入射角可得∠AEB＝∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性质得，即可求出AB． 【详解】解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°， ∴Rt△AEB∽Rt△CED， ∴，即 解得：AB＝16（米）． 答：教学楼AB的高度为16米． 【点睛】此题考查了相似三角形的实际应用，利用入射角与反射角相等得到相似三角形是解题关键． 10．如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？ 【答案】这棵树高． 【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，利用竹竿这个参照物就可以求出图中的，是的影子，然后加上CD就是树高． 【详解】过点作交于点 则， ，即 答：这棵树高． 【点睛】解决此类问题的关键是利用在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论，列出方程求解． 11．如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度． 【答案】这棵树的高度为 【分析】利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：这棵树的高度为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似三角形是解题的关键． 12．如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C处放置一平面镜，他从点C沿后退，当退行0.9米到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离为1.2米；然后，苏海沿的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，求雕像的高度．    【答案】 【分析】根据已知条件推出，求得与的关系，再根据题意易得四边形、四边形、四边形均为矩形，得到，根据，得，构造一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：设米，如图，    根据题意可得，，， ∴， ∴, ∴， ∵点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，， ∴四边形、四边形、四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得 ∴ 答：雕像的高度为16.8米． 【点睛】本题考查相似三角形的判定、性质与实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$