专题02 模型构建专题：全等三角形中的常见八种解题模型（8大模型）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题02 模型构建专题：全等三角形中的常见八种解题模型 目录 【典型例题】 1 【模型一 平移型模型】 1 【模型二 轴对称型模型】 4 【模型三 四边形中构造全等三角形解题】 7 【模型四 一线三等角模型】 12 【模型五 三垂直模型】 16 【模型六 旋转型模型】 22 【模型七 倍长中线模型】 28 【模型八 截长补短模型】 39 【典型例题】 【模型一 平移型模型】 例题：（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，和中，点在一条直线上，． (1)给出以下3个条件：①，②，③从中选择两个作为条件，另外一个作为结论．你选择的条件是______，结论是______（填序号）． (2)请证明你的结论． 【答案】(1)①②，③（答案不唯一） (2)见解析 【分析】此题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练运用平行线的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）选择的条件是①②，结论是③；或条件是①③，结论是②； （2）根据平行线的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； 或利用证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：选择的条件是①②，结论是③；或条件是①③，结论是②； 故答案为：①②，③；①③，②； （2）证明：若选择的条件是①②，结论是③， ∵， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； 若选择的条件是①③，结论是②， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ∴． 【变式训练】 1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在和中，点A、B、C在一条直线上，．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质得出，再根据全等三角形的判定定理证明． 【详解】， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 2．（2023春·江苏淮安·七年级期末）如图，点、、、同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据平行线性质，得到，再利用推出； （2）由（1）全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理可求，由此可得． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）由（1）可知，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键． 【模型二 轴对称型模型】 例题：（2023·云南昭通·校考三模）如图，与相交于点，，请你再添加一个条件，使得，并给出证明．（不得添加辅助线）    【答案】，证明见解析 【分析】根据题意可以知道证明两三角形全等已经具备了一个条件，然后再找到一个条件即可；选择任意的一个条件利用三角形的判定定理证明两个三角形全等即可． 【详解】解：条件：， 证明：在和中， ， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）如图，，，垂足分别为B，D，．求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明，即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】证明：，， ， 又∵， ， ∴． 2．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，，，垂足分别为，，．求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 首先证明和是直角三角形，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ． 3．（2023秋·安徽·八年级阶段练习）如图，．    (1)求证： (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定和性质推出即可； （2）根据全等三角形的判定和性质推出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和△ADE中，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，． 【模型三 四边形中构造全等三角形解题】 例题：如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，． (1)若，，求四边形AECF的面积； (2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)48 (2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析 【解析】 【分析】 （1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可； （2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC (1) 解：连接AC，如图， 在△ACE 和△ACF中 ∴△ACE ≌△ACF（SSS）． ∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC． ∵CB⊥AB，CD⊥AD， ∴CD＝CB＝6． ∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24． ∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48． (2) ∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC 证明：∵△ACE ≌△ACF， ∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC． ∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补， ∴∠DFC＝∠BEC． ∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC， ∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC ＝∠DAB＋∠ECF． ∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC 【点睛】 本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 【变式训练】 1．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF． (1)试说明：DE=DF： (2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论． (3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？ 【答案】(1)见解析； (2)CE+BG=EG，理由见解析； (3)当∠EDG=90°-α时，（2）中结论仍然成立． 【解析】 【分析】 （1）首先判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出． （2）猜想、、之间的数量关系为：．首先根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出；然后根据，可得，，再根据，判断出，据此推得，所以，最后根据，判断出即可． （3）根据（2）的证明过程，要使仍然成立，则，即，据此解答即可． (1) 证明：，，， ， 又， ， 在和中， ， ． (2) 解：如图，连接， 猜想、、之间的数量关系为：． 证明：在和中， ， ， ， 又， ，， 由（1），可得， ， ， 即， ， 在和中， ， ， 又，， ； (3) 解：要使仍然成立， 则， 即， 当时，仍然成立． 【点睛】 本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键． 【模型四 一线三等角模型】 例题：（2023春·七年级课时练习）【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、△CAF的外角．若，，求证：△ABE≌△CAF． 【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为 ． 【答案】探究：见解析；应用：6 【分析】探究：根据，，得出，根据，得出，再根据证明即可； 应用：根据全等三角形的性质得出：，进而得出，根据，的面积为9，得出，即可得出答案． 【详解】探究 证明：∵，， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和△CAF中， ∴； 应用 解：∵△ABE≌△CAF， ∴， ∴， ∵，的面积为9， ∴， ∴与的面积之和为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【变式训练】 1．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE． (1)如图1，求证：BD＝CE； (2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）． 【答案】(1)见解析 (2)∠EDC，∠BAD，∠B，∠C 【解析】 【分析】 （1）由“SAS”可证△ABD≌△DCE，可得BD=CE； （2）由全等三角形的性质可得∠B=∠C，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解． (1) 证明：在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（SAS）， ∴BD＝CE． (2) 解：∵△ABD≌△DCE， ∴∠B＝∠C， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE， ∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C， ∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定，明确角度的数量关系是解题的关键． 2．已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面问题： ①如图1，若，，求证：； ②如图2，若，探索三条线段的数量关系，并证明你的结论； (2)如图3，若直线经过的外部，，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2)不成立，，见解析 【分析】（1）①利用垂直及互余的关系得到，证明≌即可；②利用三等角模型及互补证明，得到≌即可； （2）利用互补的性质得到，证明≌即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴； ②解：． 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴； （2）解：． 理由：∵， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用三等角模型快速证明三角形全等是解题关键． 【模型五 三垂直模型】 例题：问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由． 问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由． 问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由． 【答案】问题1，AD＝EC，证明见解析；问题2：DE+BE＝AD；问题3：DE＝AD+BE，证明见解析． 【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到△ADC≌△CEB，即可得出AD=EC； （2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案； （3）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到DE、AD、BE之间的等量关系． 【详解】解：（1）AD＝EC； 证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， ∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC， ∴△ADC≌△CEB， ∴AD＝EC； （2）DE+BE＝AD； 由（1）已证△ADC≌△CEB， ∴AD＝EC，CD=EB，CE=AD ∴CE=CD+DE=BE+DE=AD 即DE+BE＝AD； （3）DE＝AD+BE． 证明：∵BE⊥BC，AD⊥CE， ∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°， ∴∠EBC+∠ECB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECB+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE， ∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC， ∴△ADC≌△CEB， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∵CD+CE＝DC， ∴DE＝AD+BE． 【点睛】此题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． 【变式训练】 1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)90° (2)见解析 (3)CD= BE + DE，证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由∠BAC=90°可直接得到90°； （2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE． （3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE + DE． (1) ∵∠BAC=90° ∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90° 故答案为：90°． (2) 证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°    ∵   ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB    ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且EA=DC 由图可知：DE = EA+AD = DC+BE． (3) ∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°                       ∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB                     ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且AE=CD 由图可知：AE = AD +DE ∴ CD= BE + DE． 【点睛】 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质． 2．如图，已知：在中，，，直线经过点，，． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD 【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案； （2）结论：DE=AD-BE．与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案． （3）结论：DE=BE-AD．证明方法类似． 【详解】解：（1）证明：如图1， ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠EBC+∠ECB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECB+∠ACE=90°， ∴∠ACD=∠EBC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=EC-CD=AD-BE． （3）DE=BE-AD； 如图3，∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90° ∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠DAC=∠ECB， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=CD-CE=BE-AD． 【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD≌△CBE是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． 【模型六 旋转型模型】 例题：（22-23八年级上·江苏徐州·期中）在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示． (1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)【延伸发现】连接，，如图所示，求证：； (3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）在中，根据点D是的中点，得出，由，是直角三角尺，得出，从而得到，在和中，立即证明全等，由性质即可解答； （2）根据，得出，，，从而得到，由于是含45°直角三角尺，推出，利用即可证明和全等，从而求解； （3）猜想：，理由：根据和，得出，又根据，等量代换得到从而证明． 【详解】（1）证明：在中，∵，， ∴， 又∵点D是的中点， ∴，且， ∴， 又∵是直角三角尺， ∴，即， ∴ 在和中 ∴， ∴； （2）证明：∵ ∴，， ∴，且由于是含45°直角三角尺， ∴， ∴ 即 在和中 ∴， ∴； （3）解：作图正确（如图所示） 猜想：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．求证：．    【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了图形的旋转全等三角形的判定与性质，由旋转性质可知，，则，证明即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：由旋转性质可知，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 2．（2022八年级上·全国·专题练习）问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析 【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案； 拓展探究：用SAS证，根据全等三角形的性质即可证得． 【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示： ∵， ∴， 又∵, ∴（SAS）， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：，； 拓展探究：成立． 理由如下：设与相交于点，如图1所示： ∵， ∴， 又∵，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，依然成立． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键． 3．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务： 如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【模型七 倍长中线模型】 例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知是的中线，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了倍长中线证全等，三角形的三边关系；延长至点E，使，连接，证明，得出，进而根据三角形的三边关系，即可得证． 【详解】证明：如图，延长至点E，使，连接， 在中， ∴， ∴． 在中，， ∴， 即． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 (2)C (3)见解释 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可． （2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． （3）判断，即可． 【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2） 解：如图，延长至点，使,连接． 是的中线， , 在与中， , ， , 在中，， 即， ． 故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点， ∴, 又 ∴， ，， ∵， ∴, , 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 2．（2023上·江苏南通·八年级统考期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系． （1）由作图可得，根据“”证得，得到，在中，根据三角形的三边关系有，代入即可求解； （2）延长到M，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，故； （3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、，证得得到，证得得到． 延长交于F，由三角形的三边关系得到，即． 【详解】（1）∵， ∴ ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴． 故答案为： （2）， 理由：如图，延长到M，使得，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、， ∵点M是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， 延长交于F， 则，且， ∴， ∴， 即． 3．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，， 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______． 【答案】（1）；（2）②③；（3）证明见解析；（4）． 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论； （4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是中线， ， 又，， ， ，， ，， ， 为中线， ， ， ， 又， ， ，， ， 故答案为：②③； （3）证明：如图3，延长至，使，连接， 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， 又，， ， ， ； （4）如图3，，， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：8． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【模型八 截长补短模型】 例题：在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 【详解】（1），理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴ ，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴． ∴ ． ∵， ∴． （2），理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·河南信阳·期中）如图，某村庄有一块五边形的田地，，，连接对角线，，． (1)，与之间的数量关系是____________． (2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长至点，使） (3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为克，请直接写出需提前准备多少千克的小麦种． 【答案】(1) (2)12000元 (3)千克 【分析】（1）由直接可以得到； （2）延长至点，使，证得，得到，，进而证明解题； （3）利用（2）中结论可得，运用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）， ， 故答案为：； （2）如图，延长至点，使，连接． . 在与中， ， ，. ，即. 在与中， ， ， （米）． 五边形的周长为（米）， （元）． 答：建造木栅栏共需花费12000元. （3）千克 ， 需小麦种数量为：(千克）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解决一条线段长等于两条线段和的问题常用方法“截长或补短”． 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论； （2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数； （3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段、、的数量关系． 此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形． 【详解】（1）证明：的高、交于点，如图1所示： ，， ，， ， （2）解：在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）解：、、的数量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图2所示： 是的高，， ，， 在和中， ， ， ，， 由（2）可知：，即， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 3．（23-24七年级下·四川达州·期末）在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动． 【初步探索】 （1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若，延长到点G，使．连接，再证明，由此可得出，，之间的数量关系为________； 【灵活运用】 （2）“实践”小组提出问题：如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【延伸拓展】 （3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若，点E、F分别在线段的延长线上，连接，且仍然满足．请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3），证明见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，则，从而得出，证明得出，证明得出，即可证明； （2）延长到点，使，连接，则，从而得到，证明得出，证明得出，即可证明； （3）延长到点，使，连接，则，证明得出，证明得出，从而得到，即可得解． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，连接，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）成立， 理由：如图，延长到点，使，连接，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）， 证明：如图，延长到点，使，连接， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线构造三角形全等是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 模型构建专题：全等三角形中的常见八种解题模型 目录 【典型例题】 1 【模型一 平移型模型】 1 【模型二 轴对称型模型】 4 【模型三 四边形中构造全等三角形解题】 7 【模型四 一线三等角模型】 12 【模型五 三垂直模型】 16 【模型六 旋转型模型】 22 【模型七 倍长中线模型】 28 【模型八 截长补短模型】 39 【典型例题】 【模型一 平移型模型】 例题：（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，和中，点在一条直线上，． (1)给出以下3个条件：①，②，③从中选择两个作为条件，另外一个作为结论．你选择的条件是______，结论是______（填序号）． (2)请证明你的结论． 【变式训练】 1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在和中，点A、B、C在一条直线上，．求证：．    2．（2023春·江苏淮安·七年级期末）如图，点、、、同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【模型二 轴对称型模型】 例题：（2023·云南昭通·校考三模）如图，与相交于点，，请你再添加一个条件，使得，并给出证明．（不得添加辅助线）    【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）如图，，，垂足分别为B，D，．求证： ． 2．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，，，垂足分别为，，．求证． 3．（2023秋·安徽·八年级阶段练习）如图，．    (1)求证： (2)求证： 【模型三 四边形中构造全等三角形解题】 例题：如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，． (1)若，，求四边形AECF的面积； (2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 【变式训练】 1．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF． (1)试说明：DE=DF： (2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论． (3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？ 【模型四 一线三等角模型】 例题：（2023春·七年级课时练习）【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、△CAF的外角．若，，求证：△ABE≌△CAF． 【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为 ． 【变式训练】 1．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE． (1)如图1，求证：BD＝CE； (2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）． 2．已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面问题： ①如图1，若，，求证：； ②如图2，若，探索三条线段的数量关系，并证明你的结论； (2)如图3，若直线经过的外部，，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明． 【模型五 三垂直模型】 例题：问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由． 问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由． 问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由． 【变式训练】 1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 2．如图，已知：在中，，，直线经过点，，． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________． 【模型六 旋转型模型】 例题：（22-23八年级上·江苏徐州·期中）在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示． (1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)【延伸发现】连接，，如图所示，求证：； (3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．求证：．    2．（2022八年级上·全国·专题练习）问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 3．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务： 如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【模型七 倍长中线模型】 例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知是的中线，且．求证：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 2．（2023上·江苏南通·八年级统考期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 3．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，， 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______． 【模型八 截长补短模型】 例题：在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·河南信阳·期中）如图，某村庄有一块五边形的田地，，，连接对角线，，． (1)，与之间的数量关系是____________． (2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长至点，使） (3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为克，请直接写出需提前准备多少千克的小麦种． 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 3．（23-24七年级下·四川达州·期末）在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动． 【初步探索】 （1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若，延长到点G，使．连接，再证明，由此可得出，，之间的数量关系为________； 【灵活运用】 （2）“实践”小组提出问题：如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【延伸拓展】 （3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若，点E、F分别在线段的延长线上，连接，且仍然满足．请写出与的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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