专题07 平面向量(讲义+练习)-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

专题07 平面向量(练习) 一、填空、单选题 1．下列说法错误的是（　　）． A．零向量没有方向 B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．向量与的长度相等 2．若向量与为非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若非零向量，则与的方向相同 D．若，则 3．如图所示，在中，为BC边上的三等分点，若，，为AD中点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则的值为 ． 5．在中，，且，则 ． 6．如图，在等腰梯形中，，则 .    7．已知两个单位向量，的夹角是，则 . 8．若向量满足,则与所成角的大小为 ． 9．与向量平行的所有单位向量为（    ） A． B． C． D．或 10．如图所示，（    ）    A． B． C． D． 11．已知向量不共线，则向量与共线时，实数（   ） A． B． C． D． 12．已知向量满足，且，则 ． 13．在中，，，是边上一点．若，，则 ． 14．已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 15．设，若向量、、满足，且，则满足条件的k的取值范围是 ． 16．已知是边长为1的正的边上靠近C的四等分点，为的中点，则的值是（ ） A． B． C． D． 17．在中，且，则错误的选项为（   ） A． B． C． D． 18．已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为 ． 19．已知平面向量，且，向量满足，则当成最小值时 . 20．已知向量满足，，则（   ） A．－2 B． C． D．6 21．已知平面向量，均为单位向量，若，则向量，的夹角（    ） A． B． C． D． 22．已知是单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 23．已知向量，，，若与的夹角为，且⊥，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 24．在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 25．中，，，，是边上的中线，，分别为线段，上的动点，交于点.若面积为面积的一半，则的最小值为 26．如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 . 27．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点，其中，分别为点到两个顶点的向量；若将点到正六角星个顶点的向量，都写成的形式，则的最大值为 ． 28．已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值与最大值的和 . 29．在矩形中，，，E为的中点，F为的中点，Q为边上的动点（包括端点），则的取值范围为 ． 30．在中，，点满足，且对任意，恒成立，则的值为 ． 31．如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ． 32．在平行四边形中，，点为该平行四边形所在平面内的任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 33．如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（    ） A． B． C． D． 34．在中，，．点满足．过点的直线分别与边交于点且，．已知点为的外心，，则为 ． 35．在中，点O满足，且AO所在直线交边BC于点D，有，，，则的值为 . 36．点在△所在的平面内，则以下说法正确的有 ． ①若，则点为△的重心； ②若，则点为△的垂心； ③若，则点为△的外心． 37．在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（    ） A．垂心，重心，外心，内心 B．垂心，重心，内心，外心 C．外心，重心，垂心，内心 D．外心，垂心，重心，内心 38．点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题： ①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中； ②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中； ③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中； ④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为 . ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平面向量(练习) 一、填空、单选题 1．下列说法错误的是（　　）． A．零向量没有方向 B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．向量与的长度相等 【答案】A 【分析】A.由零向量的定义判断；B.由相等向量的定义判断；C.由向量模的定义判断；D.由相反向量的定义判断. 【解析】A.规定零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故错误； B.两个相等的向量大小相同，方向相同，所以若起点相同，则终点必相同，故正确； C.由向量模的定义可知只有零向量的模等于0，故正确； D.向量与是相反向量，大小相同，方向相反，故正确； 故选：A 2．若向量与为非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若非零向量，则与的方向相同 D．若，则 【答案】C 【分析】利用平面向量不能比大小可判断选项A；利用平面向量的加法与减法法则可判断选项B；由平面向量的数量积和模的性质可判断选项C；根据向量相等的定义判断D选项. 【解析】对于A选项，由于向量不能比大小，所以A选项错误； 对于B选项，，B错误； 对于C选项， 因为，所以， 所以， 所以，设向量 又向量与是非零向量，所以，又， 所以，故与的方向相同；C正确； 若，方向不一定相同，则不一定相等，D错误； 故选：C. 3．如图所示，在中，为BC边上的三等分点，若，，为AD中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【解析】 故选：A 4．已知，且，则的值为 ． 【答案】15 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【解析】，，解得． 故答案为：15． 5．在中，，且，则 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【解析】，， 即，，． 故答案为：. 6．如图，在等腰梯形中，，则 .    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，坐标法求向量数量积. 【解析】在等腰梯形中，， 过作的垂线，垂足为，，， 以的中点为原点，为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：    依题意可得， 由，得， 所以， 得 故答案为：. 7．已知两个单位向量，的夹角是，则 . 【答案】 【分析】利用单位向量模长以及夹角，将平方即可求得结果. 【解析】由单位向量可知，且； 所以可得， 即. 故答案为： 8．若向量满足,则与所成角的大小为 ． 【答案】/ 【分析】根据模长相等,两边同时平方,展开即可. 【解析】解:由题知, 两边同时平方可得: , , 与所成角. 故答案为: 9．与向量平行的所有单位向量为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】首先求出，则与向量平行的单位向量为或，即可判断. 【解析】因为，所以， 所以与向量平行的单位向量为或. 故选：D 10．如图所示，（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，由平面向量正交分解和向量的线性运算即可得到结果. 【解析】由题意得，，， 故. 故选：A． 11．已知向量不共线，则向量与共线时，实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理，列式计算即得. 【解析】由向量不共线，得向量， 由向量与共线，得， 于是，所以. 故选：B 12．已知向量满足，且，则 ． 【答案】 【分析】由向量数量积的性质运算化简可得. 【解析】，， 由，得， 则. 故答案为：. 13．在中，，，是边上一点．若，，则 ． 【答案】 【分析】设，则，由题设可得关于和的方程组，从而可求的值. 【解析】设，故，即， 故， ， 所以，消，整理得到，解得或（舍去），所以. 故答案为：. 14．已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】根据题意可知，，，，可得出的取值范围，再计算与同向时的值，即可得的取值范围. 【解析】因为与的夹角为锐角， 所以，且与不同向， 所以， 因为，为互相垂直的单位向量， 所以，，， 所以，可得， 当与同向时，，即， 可得，可得，此时不满足与的夹角为锐角， 综上所述：实数的取值范围为且. 故答案为：且. 15．设，若向量、、满足，且，则满足条件的k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得，结合已知有，由的范围即可得解. 【解析】，     ， ，． 故答案为：. 16．已知是边长为1的正的边上靠近C的四等分点，为的中点，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算可得，，结合数量积的运算律计算即可求解. 【解析】如图，   ，， 所以 . 故选：A 17．在中，且，则错误的选项为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件推得为等腰直角三角形，不妨作正方形，取边长为1，结合图形依次化简等式的左右向量式，计算即可判断正误. 【解析】由可知,又由可得， 故得为等腰直角三角形. 如图，作正方形，设边长为1，连接.    对于A项，，故A项正确； 对于B项，，而，故B项正确； 对于C项，，而，故C项错误； 对于D项，，而，故D项正确. 故选：C. 18．已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为 ． 【答案】 【分析】取的中点，先证明点为的重心，易得点为的外心，将用表示，再根据数量积的几何意义结合求出，再根据求出，进而可得出答案. 【解析】取的中点，则， 因为，所以， 所以，又为公共端点，所以三点共线， 所以点在边的中线上，且， 同理点在边的中线上，即点为的重心， 故， 因为， 所以点为的外心，即为为中垂线的交点， 故， 则， 所以， 而，所以， 即， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据数量积的几何意义结合求出，是解决本题的关键. 19．已知平面向量，且，向量满足，则当成最小值时 . 【答案】 【分析】先根据平面向量数量积的定义求出夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出和，进而根据图形得出点C的几何意义，最后确定取最小值时的. 【解析】∵，，而，， 又∴，∴，，， 因为向量满足，所以 如图所示，    若，，，，则，，所以，所以在以为圆心，2为半径的圆上，若，则，由图象可得当且仅当，，三点共线且时，最小，即取最小值，此时，，又，，所以.， 故答案为：. 20．已知向量满足，，则（   ） A．－2 B． C． D．6 【答案】A 【分析】由条件，两边平方可得，结合数量积的运算律化简可求结论. 【解析】因为， 所以， 所以， 所以，又， 所以， 故选：A. 21．已知平面向量，均为单位向量，若，则向量，的夹角（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两边平方，求出，利用向量夹角余弦公式求出答案. 【解析】, 因为，均为单位向量，， 所以，解得， 所以， 又，故. 故选：C . 22．已知是单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，推理得到，再由投影向量求得，联立得到，利用两向量的夹角公式计算即得. 【解析】因为是单位向量，且， 两边平方得，，即（*）， 由在上的投影向量为，可得， 所以，即，代入（*）可得，，即， 所以， 因为，所以． 故选：B． 23．已知向量，，，若与的夹角为，且⊥，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算得到，再由向量垂直得到方程，求出. 【解析】， 即， 所以， 因为⊥，所以 ， 解得 故选：A 24．在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得到，再利用余弦定理即可得解. 【解析】因为，， 所以，即， 由余弦定理可得. 因为，所以， 故选：D. 25．中，，，，是边上的中线，，分别为线段，上的动点，交于点.若面积为面积的一半，则的最小值为 【答案】2 【分析】利用平面向量的共线定理结合基底表示数量积，转化为函数求最值即可. 【解析】设，由向量共线的充要条件不妨设， 则， 即， 又面积为面积的一半可得：， 所以. ， 易知 当时，即重合时取得最小值. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：由点共线及向量间的关系，设、、得到，面积关系得，最后应用数量积运算律转化数量积为关键. 26．如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 . 【答案】 【分析】过作，交于，作，交的延长线于，则，由，可得则点为中点，点在上，结合图象可求的范围. 【解析】如图，过作，交于，作，交的延长线于， 则：， 又因为，，则点为中点， 又是的中点，所以，则点在上， 由图形看出，当与重合时：，此时取最小值， 当与重合时：，此时取最大值， 所以的范围是 故答案为： 27．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点，其中，分别为点到两个顶点的向量；若将点到正六角星个顶点的向量，都写成的形式，则的最大值为 ． 【答案】5 【分析】利用等和线判断取的最大值时的顶点位置,再利用基底向量的方法求解即可. 【解析】先推导等和线定理： 三点共线 ,为平面内任意一点, 为平面内任意一点, 深化：若,,则做平行线有： 如图,显然当过作与平行的直线时,能使得取最大值. 此时 ,此时. 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了平面向量的等和线的运用,需要根据题意找到使得取得最大值时的点,再求解即可.属于中档题. 28．已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值与最大值的和 . 【答案】 【分析】由题意可得，，，化简，由于，2，3，4，5，取遍，由完全平方数的最值，可得最值． 【解析】解：正方形的边长为1， 可得，，则， ， 由于，2，3，4，5，取遍， 可得，， 可取，，，， 可得所求最小值为0； 由，的最大值为4， 可取，，，，， 可得所求最大值为． 所以最小值与最大值的和为. 故答案为：． 【点睛】本题考查向量的加减运算和向量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查化简运算能力． 29．在矩形中，，，E为的中点，F为的中点，Q为边上的动点（包括端点），则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，引入参数，结合向量数量积的坐标公式将表示成的函数，由此即可得解. 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意，设， 从而， 所以的取值范围是. 故答案为：. 30．在中，，点满足，且对任意，恒成立，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，设，则，由向量模的定义以及向量减法的几何意义分析可得，即，进而可得、的值，结合余弦定理计算可得答案． 【解析】解：根据题意，在中，点满足. 设，则. ∵，且表示起点为，终点在平行于且过点的直线上的向量，如下图中的，且随变化在直线上运动， ∴对任意，恒成立，即恒成立，只需即可， ∴，即， ∵ ∴， ∴. ∴ 故答案为：. 31．如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，讨论四种情况，即可求出的取值范围. 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系： 则，所以， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 32．在平行四边形中，，点为该平行四边形所在平面内的任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】设与的交点为，由，两边平方可表示出，同理可表示，四个式子相加化简可求得结果. 【解析】设与的交点为，由， 得， 同理可得， ， ， 所以 ，当点与点重合时，等号成立. 故选：C 33．如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知三点共线，且，再由三角形面积公式即可求解. 【解析】由可得， 又因为分别是边的中点， 所以，， 所以，即， 所以三点共线，且， 所以到的距离与到的距离之比也为， 又的面积与的面积都以为底， 所以的面积与的面积的比为． 故选：A 34．在中，，．点满足．过点的直线分别与边交于点且，．已知点为的外心，，则为 ． 【答案】 【分析】由三点共线可设，由此可利用表示出，得到，利用向量线性运算可表示出，由外心特点可知，由此可构造方程求得，结合向量数量积的运算律可求得，进而得到结果. 【解析】三点共线，可设， ，，即，， ，即，，； ，， 为的外心，， ， 整理可得：，     ，解得：（舍）或； ， . 故答案为：. 35．在中，点O满足，且AO所在直线交边BC于点D，有，，，则的值为 . 【答案】2 【分析】由题干条件得到点为的内心，再由切线长定理和向量数量积公式变形得到答案. 【解析】，变形为， 即， 其中表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量， 故在的平分线上， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 因为，所以， 故， 因为，所以，故， 故平分， 故点为的内心， 过点作⊥于点，作⊥于点，作⊥于点， 则， 因为，所以， 又，所以， 由向量数量积得， 故. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心. 36．点在△所在的平面内，则以下说法正确的有 ． ①若，则点为△的重心； ②若，则点为△的垂心； ③若，则点为△的外心． 【答案】①③ 【分析】根据向量的线性关系及数量积，结合对应的几何意义判断点线的位置关系，进而确定△的心. 【解析】①若，即的中点与三点共线，故在中线上，同理在的中线上，故为△的重心，正确； ②由、分别平行于以顶角为的等腰三角形的底边，但不一定有、，故不一定为△的垂心，错误； ③由、表示与、中点的连线，且分别与、垂直，即为、的垂直平分线交点为，故为△的外心，正确． 故答案为：①③ 37．在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（    ） A．垂心，重心，外心，内心 B．垂心，重心，内心，外心 C．外心，重心，垂心，内心 D．外心，垂心，重心，内心 【答案】A 【分析】根据三角形垂心，重心，外心，内心的定义和性质结合平面向量的线性运算和共线定理，分别推导即可. 【解析】由，得， 即， 则， 所以，则，同理可得，， 即是三边上高的交点，则为的垂心； 由，得， 设的中点为，则，即，，三点共线， 所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上， 即是三边中线的交点，故为的重心； 由，得，即， 又是的中点，所以在的垂直平分线上， 同理可得，在，的垂直平分线上， 即是三边垂直平分线的交点，故是的外心； 延长交于点，因为，，三点共线，则设（）， 且，， 代入，得， 即①， 又因为与共线，与、不共线， 则只能当且时，①成立， 即，则, 由正弦定理得：， 又，则， 即，又，所以， 则是的角平分线，即点在的角平分线上， 同理可得，在，的垂直平分线上， 即是内角平分线的交点，故是的内心； 故选：A. 38．点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题： ①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中； ②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中； ③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中； ④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为 . 【答案】2 【分析】根据的外心、内心、重心、垂心分别是三边中垂线的交点、角平分线的交点、中线的交点、高的交点，这些几何特征与向量建立联系，进而判断每个命题的正误. 【解析】①当动点P满足时， 则点P是的重心，所以①不正确； ②显然在的角平分线上，而与的平分线所在向量共线， 所以的内心一定在满足条件的点P集合中，因此②正确； ③变形为， 而，表示点A到边的距离，设为， 所以，而表示边的中线向量， 所以表示边的中线向量， 因此的重心一定在满足条件的P点集合中，所以③正确； ④当时，的垂心与点A重合，但显然此时垂心点P不满足公式，所以④不正确； 故答案为：2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平面向量(讲义) 一、平面向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或模)． (2)零向量：长度为0的向量，记作0． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 温馨提示： 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)． 3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心，＝(＋)． 4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 二、平面向量的数量积 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 2．平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b. 3．平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e与b是方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ e. 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 a∥b的充要条件 a＝λb(λ∈R) x1y2－x2y1＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ 温馨提示： 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b. (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 三、平面向量的基本定理与坐标运算 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 温馨提示： 已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$