1.3.3 等比数列的前n项和（教学课件）数学湘教版2019选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第一章 数列 1.3.3 等比数列的前n项和 1.3 等比数列 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 (1)探索并掌握等比数列的前n项和公式． (2)理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． (3)理解与等比数列的前n项和有关的性质． 相传，古印度的舍罕王准备奖赏国际象棋的发明者——达依尔宰相. 达依尔对国王说：“我有一个简单的愿望，请您在棋盘的第一个方格放一粒小麦，在第二个方格放两粒，第三个方格放四粒，以此类推，每一方格的麦粒数都是前一方格麦粒数的两倍.这就是我想要的.”国王觉得要求不高，就慷慨地答应了宰相的要求，国王真的能兑现他对宰相许下的诺言吗？ 同学们，现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗麦粒吗？如果他无法实现他的诺言，你能帮他解决吗？ 情景导入 1.等比数列的前n项和 新知探究 我们来计算一下所需麦粒数∶ 每一个方格内的麦粒数依次为1，2，22，23，…，263，其总和记为S64， 则 S64=1＋2＋22＋23＋…＋262＋263． ① ①式右边每一项的 2 倍是它的后一项，因此 2S64 =2＋22＋23＋24＋…＋263＋264． ② 由②－①可得 S64 = 264－1． 这是一个二十位数，将这个数字的小麦折算成质量（假设千粒麦子重 40 g），超过7 000 亿吨，据统计，2017 年全世界小麦总产量约为7.5亿吨， 由此看来，国王根本不可能兑现他的诺言． 仿照上面的计算方法，我们来寻求等比数列前n项和的计算公式 一般地，设公比为q的等比数列{an}的前n项和是 Sn=a1＋a2＋a3＋ …… ＋ an ． ① 将①式两端同时乘以公比q，由an=a1qn－1 可得 qSn= a2＋a3＋a4…… ＋ an＋ an+1 ． ② 由①－②得， (1－q) Sn= a1 － an+1 = a1 (1－qn) ． 所以当q≠1时， 由此得到等比数列{an}的前n项和的公式 又当q = 1时，Sn= na1． 这个公式表明，等差数列的前n项和可由首项、公差和项数（或末项）唯一确定． 如果等比数列{an}的首项a1，公比为q ，那么该等比数列的前n项和公式为： 等比数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1，q ，n，an，Sn”五个量，故知三可求其二．（注意方程思想的应用） 概念归纳 等比数列的前项和n公式： 解： 将该等比数列记作{an}，公比为q，则 因此 例 7 求等比数列 的各项的和． 课本例题 8 例 8 某制糖厂第一年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第一年起，约几年内可使总产量达到30万吨（结果保留到个位）? 解： 设制糖厂第n年的产量为{an}万吨．由题意，{an}是一个等比数列， 其中a1= 5，公比q=1+10%=1.1 ． 答： 约5年内可使总产量达到30万吨． 课本例题 9 解： 因为S3，S9，S6成等差数列，所以 S3＋S6=2S9， 若q = 1，则S3 = 3a1，S6 = 6a1，S9 = 9a1， 因为a1 ≠ 0，所以S3＋S6≠2S9，与题设矛盾，故q ≠1． 例 9 已知等比数列{an}的前 n 项和为Sn，且 S3，S9，S6成等差数列， 试求{an}的公比． 课本例题 10 例 10 如图1.3-4，一个小球从10 m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的 ． （1）小球第 10 次落地时，经过的路程是多少米? （2）小球第几次落地时，经过的路程为 m? 课本例题 11 而且，当n ≥ 2 时，我们可以得到递推关系 解： （1）设小球从第n－1次落地到第n次落 地时经过的路程为an m，则 而且，当n ≥ 2 时，我们可以得到递推关系 这是一个首项为，公比为的等比数列． 课本例题 例 10 如图1.3-4，一个小球从10 m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的． （1）小球第 10 次落地时，经过的路程是多少米? 所以小球第 10 次落地时，经过的路程为 课本例题 13 例 10 如图1.3-4，一个小球从10 m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的． （1）小球第 10 次落地时，经过的路程是多少米? （2）小球第几次落地时，经过的路程为m? 解：（2）设小球第n次落地时经过的路程为m，则 所以当小球第4次落地时经过的路程为m． 课本例题 14 解析：由题意知 解得或 从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝ 典例剖析 题型1　等比数列前n项和的基本运算 例1　在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； 解析：方法一　由题意知 解得从而S5＝＝. 方法二　由(a1＋a3)q3＝a4＋a6， 得q3＝，从而q＝. 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8，从而S5＝＝. 典例剖析 (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； 解析：因为a2an－1＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根． 从而或 又Sn＝＝126，所以q为2或. (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，由等比数列的通项公式和求和公式，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． 归纳总结 解析：设等比数列{an}的公比为q， 则＝＝＝1＋q2＝5，所以q2＝4， 则＝＝q2＝4. 1.(1)已知公比不为1的等比数列{an}，其前n项和为Sn，＝5，则＝(　　) A．2 B．4 C．5 D．25 练一练 B (2)[2022·湖南娄星高二期中]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a3＋a5＝21，a4＋a6＋a8＝168，则S8＝________． 255 解析： 等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＋a5＝21，a4＋a6＋a8＝168， ∴， 解得a1＝1，q＝2， ∴S8＝＝255. 练一练 例2　(1)等比数列{an}前n项的和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为______； (2)已知一个等比数列的首项为1，项数为偶数，奇数项的和为85，偶数项的和为170，则此数列的公比为___，项数为___． 60 2 8 解析：(1)设等比数列{an}的前3n项的和为S，因为S2n＝60，所以q≠－1，则54，60－54，S－60成等比数列，所以54×(S－60)＝(60－54)2，解得S＝60. (2)设该等比数列为{an}，公比为q，项数为n，由题意得：＝＝q＝＝2，Sn＝＝2n－1＝85＋170＝255，则2n＝256，n＝8，所以数列的公比为2，项数为8. 典例剖析 题型2　等比数列前n项和性质的应用 归纳总结 解决有关等比数列前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，则可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论．解题时把握好等比数列前n项和性质的使用条件，并结合题设条件寻找使用性质的切入点，方可使“英雄”有用武之地． 2.(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　) A．2 B． C． D．3 练一练 B 解析：(1)方法一　设数列{an}的公比为q， 所以S6＝S3＋q3S3，S9＝S6＋q6S3＝S3＋q3S3＋q6S3， 于是＝＝3，即1＋q3＝3，所以q3＝2. 于是＝＝＝. 方法二　由＝3，得S6＝3S3. 设数列{an}的公比为q，由题意知q≠－1， 所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列， 所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，解得S9＝7S3，所以＝. 答案：设该数列的首项为a1，公比为q，奇数项之和、 偶数项之和分别记为S奇，S偶， 由题意知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶． ∵该数列的项数为偶数，∴q＝＝. 又a1·a1q·a1q2＝·q3＝64，即a1＝12. 故所求通项公式an＝12·. (2)一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的4倍，且前3项之积为64，求该数列的通项公式． 例3　[2022·湖南长沙一中高二期中]政府鼓励创新、创业，银行给予低息贷款，一位大学毕业生想自主创业，经过市场调研，测算，有两个方案可供选择． 方案1：开设一个科技小微企业，需要一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年获得比上一年增加25%； 方案2：开设一家食品小店，需要一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年都比上一年增加获利1.5万元．两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息，两种方案均按年息2%的复利计算(参考数据：1.259＝7.45，1.2510＝9.3，1.029＝1.20，1.0210＝1.22) 典例剖析 题型3　等比数列前n项和公式的实际应用 (1)10年后，方案1，方案2的总获利分别有多少万元？ 解析：方案1是等比数列，方案2是等差数列， ①方案1，一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，即4万元， 获利：4[1＋(1＋25%)＋(1＋25%)2＋…＋(1＋25%)9] ＝4×＝132.8(万元)， 方案2，一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，即3万元， 获利：3＋(3＋1.5)＋(3＋2×1.5)＋…＋(3＋9×1.5)， ＝10×3＋×1.5＝97.50(万元)； (2)10年后，哪一种方案的利润较大？(利润＝总获利－贷款－贷款总利息) 解析： 方案1，银行贷款本息：40(1＋2%)10≈48.8(万元)， 故方案1纯利：132.8－48.8＝84(万元)． 方案2，银行贷款本息：20(1＋2%)10≈24.4(万元)， 故方案2纯利：97.50－24.4＝73.1(万元)． ∴方案1的利润较大． 归纳总结 (1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清参数是多少． ②弄清题目中主要的已知事项． (2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达． (3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式． 解数列应用题的具体方法步骤 3.一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？ 解析：用an表示热气球在第n分钟上升的高度． 由题意，得an＋1＝an. 因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列． 热气球在前n分钟内上升的总高度为 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×<125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m． 练一练 （ ） 1.等比数列{an}的首项a1＝1，公比q＝2，则S6等于 A.－63 　　　　B.31 　　　　C.－31 　　　　D.63 随堂练 2.在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________. 3或－4 D 3.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米；……，所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离(单位：米)为（ ） 随堂练 B 4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126， 则n＝_____. 6 随堂练 5.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，则r的值是 A.1 　　　　B.0 　　　　C.2 　　　　D.－1 D （ ） 6.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于（ ） A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3 7.在等比数列中，S2＝7，S4＝28，则S6＝_____. 91 8.若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为______. 300 随堂练 A 错因分析 易错辨析　忽略对公比q的讨论致误 例4　已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，a3＝________． 2或8 解析：若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意，此时a3＝a1＝2. 若q≠1时，则 S3＝＝＝6， 解得q＝－2，此时a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上a3的值为2或8. 【易错警示】 出错原因：忽略了对公比q的讨论，直接使用了等比数列的前n项和公式Sn＝，从而漏解致误． 纠错心得：解答有关等比数列求和问题时，应考虑公比q两种情况q＝1或q≠1，否则容易出错． 错因分析 1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 012，偶数项之和为2 024，则这个数列的公比为（ ） A.8 　　　　B.－2 　　　　C.4 　　　　D.2 分层练习-基础 C D 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于（ ） A.8 　　　　B.6 　　　　C.4 　　　　D.2 4.一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ ） A.6 　　　　B.8 　　　　C.10 　　　　D.12 C B 分层练习-基础 5.已知等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1为（ ） 6.(多选)下列说法正确的是（ ） A.若数列{an}是等差数列，且am＋an＝as＋at(m，n，s，t∈N＋)，则m＋n ＝s＋t B.若Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列 C.若Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列 D.若Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn＋B(其中A，B是非零常数， n∈N＋)，则A＋B＝0 B BD 分层练习-基础 7.已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝_____. 2 8.设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，已知数列{an＋bn}的前n项和Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N＋)，则d＋q的值是_____. 4 分层练习-基础 9.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以c(c>0)为公比的等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； 由条件知S1＝a1＝1. 分层练习-基础 (2)求a2＋a4＋…＋a2n. ①当c＝1时，a2＋a4＋…＋a2n＝0； ②当c≠1时，数列是以a2为首项，c2为公比的等比数列， 分层练习-基础 分层练习-基础 由题意设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q， 显然Sn＝2n－1. 令n＝1，得a1＝S1＝1； 令n＝2，得a1＋a2＝3，∴a2＝2， 分层练习-基础 11.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？ （ ） 分层练习-巩固 D 分层练习-巩固 D 分层练习-巩固 B 14.已知等比数列{an}的前n项和满足Sn＝1－A·3n，数列{bn}是递增数列，且bn＝An2＋Bn，则A＝_____，B的取值范围为____________. 1 (－3，＋∞) 分层练习-巩固 分层练习-拓展 16.已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝ ，记T2n为{an}的前2n项的和，bn ＝a2n＋a2n－1，n∈N＋. (1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn； 分层练习-拓展 因为bn＝a2n＋a2n－1， 分层练习-拓展 (2)求T2n. 所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n) 分层练习-拓展 17.某企业在第1年年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年M的价值比上年减少10万元；从第7年开始，每年M的价值为上年的75%. (1)求第n年M的价值an的表达式； 分层练习-拓展 当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列. an＝120－10(n－1)＝130－10n； 分层练习-拓展 (2)设An＝ ，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第 n年对M更新，证明：须在第9年对M更新. 分层练习-拓展 设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n； 因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列， 所以须在第9年对M更新. 分层练习-拓展 课堂小结 1.知识清单： (1)等比数列前n项和公式. (2)等比数列的前n项和公式的应用. (3)等比数列前n项和的函数特征. (4)等比数列前n项和的“片段和”性质. (5)等比数列前n项和的“奇偶项”性质. 2.方法归纳：公式法、错位相减法、方程(组)思想、分类讨论法. 3.常见误区： (1)忽略q＝1的情况而致错. (2)忽略对参数的讨论. (3)应用“片段和”性质时易忽略其成立的条件. A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为 A. 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D.－ A. 　　　　B. 　　　　C.20 　　　　D.110 10.在等比数列{an}中，对任意n∈N＋，均有a1＋a2＋…＋an＝2n－1，求a＋a＋…＋a. A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 12.等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，若这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1)，则Tn的最大值为（ ） A. 　　　　B. 　　　　C.1 　　　　D.2 13.等比数列{an}的首项为，公比为－，前n项和为Sn，则当n∈N＋时，Sn－的最大值与最小值的比值为 A.－ B.－ C. D. 15.设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N＋)均在直线y＝x＋上.若 bn＝ ，则数列{bn}的前n项和Tn＝________. n 所以{bn}是公比为的等比数列. 因为a1＝1，a1·a2＝， 所以a2＝，b1＝a1＋a2＝， 所以bn＝×n－1＝. 因为an·an＋1＝n， 所以an＋1·an＋2＝n＋1， 所以＝，即an＋2＝an， 所以＝＝＝， 由(1)可知an＋2＝an， 所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列； a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列， ＝＋＝3－. 当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，为公比的等比数列， 又a6＝70，所以an＝70×n－6. 因此，第n年M的价值an的表达式为an＝ 当n≥7时，Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70××4×＝780－210×n－6，An＝， 又A8＝＝82>80，A9＝＝76<80， $$