12.2 全等三角形的判定（第2课时 SAS定理）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

八年级人教版数学上册 第十二章 全等三角形 12.2 全等三角形的判定 第二课时 “SAS”边角边定理 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 　1．探索并正确理解三角形全等的判定方法“SAS”.（重点） 　2．会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的 应用．（重点） 3.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件．（难点）　 情景导入 上节课我们学习了证明两个三角形全等的第一个基本事实 还记得它的内容吗？ 文字语言：三边对应相等的两个三角形全等. （简写为“边边边”或“SSS”） 在△ABC和△ DEF中， ∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）. AB=DE， BC=EF， CA=FD， 几何语言： 本节课我们就来学习证明三角形全等的第二个基本事实 “SAS”（边角边） 1.三角形全等的判定（“边角边”定理） 新知探究 若我们已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角在位置上有几种可能性？ A B C A B C “两边及夹角” “两边和其中一边的对角” 我们可以根据它们判定两个三角形全等吗？ 任意画出一个△ABC.再画出一个△A'B'C'，使A'B'=AB，A'C'=AC，∠A’=∠A（即两边和它们的夹角分别相等），把画好的△A'BC'剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？ A B C A′ D E B′ C′ 画法： (1)画∠DA′E =∠A； (2)在射线A′D上截取A′B′=AB， 在射线A′E上截取A′C′=AC； (3)连接B′C′． A B C A′ D E B′ C′ △A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？为什么？ 在△ABC 和△ DEF中， ∴　△ABC ≌△ DEF（SAS）． 文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）． “边角边”判定方法 几何语言： AB = DE， ∠A =∠D， AC =AF ， A B C D E F 注：必须是两边“夹角” 概念归纳    1.(2021四川宜宾中考)如图,已知OA=OC,OB=OD,∠AOC=∠BOD.求证:△AOB≌△COD.   练一练 分析     观察图形,已知两边分别相等,只要再证得这两边所夹的角相等, 即∠COD=∠AOB,然后根据“SAS”即可证明△AOB≌△COD. ∵∠AOC=∠BOD, ∴∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD, 即∠COD=∠AOB, 在△AOB和△COD中, ∴△AOB≌△COD(SAS). 练一练    1.(2021四川宜宾中考)如图,已知OA=OC,OB=OD,∠AOC=∠BOD.求证:△AOB≌△COD.   证三角形全等时,常见的隐含的等角有: (1)公共角相等; (2)对顶角相等; (3)等角加(或减)等角仍得等角; (4)角平分线得两等角; (5)同角(或等角)的余角、补角相等; (6)平行线得同位角、内错角相等; (7)垂直定义得两角相等. 概念总结 边角边(SAS) 内容 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或 “SAS”) 应用 格式 在△ABC和△A‘B’C‘中, ∴△ABC≌△A'B'C'(SAS) 图形 表示        知识 详解 (1)用“SAS”判定两个三角形全等时,对应相等的三对元素中的角必须是两边的夹角,而不是其中一边的对角.书写时,要按照边角边的顺序来写. (2)在两个三角形中,两边和其中一边的对角分别相等时,两个三角形不一定全等 总结归纳 用“边角边(SAS)”判定两个三角形全等 课本例2.如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B.连接AC并延长到点D，使CD=CA.连接BC并延长到点E，使得CE=CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么？ 分析：如右图所示，连线构成△CAB和△CDE，若能证明△CAB≌△CDE，就说明DE的长就是A，B的距离. （由题意可知，△ABC和△DEC具备“边角边”的条件.） 典例剖析 A B C D E 1 2 解：由题可知，∠ACB=∠DCE（对顶角相等）. 在△CAB和△CDE中， CA=CD， ∠ACB=∠DCE， CB=CE， ∴△CAB≌△CDE（SAS）. ∴AB=DE，即DE的长就是A，B的距离. A B C D E 1 2 注：证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决. 2.探索“SSA”能否证明两三角形全等 新知探究 思考探究： 如右图所示，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC. 固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD. 这个实验说明了什么？ A B C D 　　如图，在△ABC 和△ABD 中， AB =AB，AC = AD，∠B =∠B， 但△ABC 和△ABD 不全等．　 两边和其中一边的对角对应相等这三个条件无法唯一确定三角形的形状，所以不能保证两个三角形全等．因此，△ABC 和△DEF 不一定全等． 动手画一画： △ABC 和△DEF，使∠B =∠E =30°， AC =DF =3 cm， AB =DE =5 cm .观察所得的两个三角形是否全等？   A B M C D A B C A B D 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 2.下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是(　　) A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF 点拨：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C. C 注：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的． 练一练 3.判断下列结论的对错. （1）有两条边及一个角对应相等的两个三角形全等. （ ） （2）如图，AD=BC，要根据“SAS”判定△ABD≌△BAC，还需要添加的条件是（∠D=∠C）.（ ） （3）“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角.（ ） A C B D O 分析：（1）错，两边及其中一边的对角分别相等的两个三 角形不一定全等. （2）错，需要添加的条件是∠DAB=∠CBA √ × × 练一练 4.如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD.求证：△ABC≌△ADC. 证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC. 在△ABC和△ADC中， AB=AD， ∠BAC=∠DAC， AC=AC， ∴△ABC≌△ADC（SAS）. 练一练 （1）牢记“边边角”不能判定两个三角形全等， 只有两边及其夹角分别相等才能判定两个三角形全等. （2）在已知的两个三角形中，有两条边对应相等， 一般要根据题意去找第三条边对应相等（“SSS”）， 或者去找这两组边的夹角对应相等（“SAS”）. 概念总结 1.如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地.此时C，D到B的距离相等吗？为什么？ 解：C，D到B的距离相等. ∵AB是南北方向，CD是东西方向， ∴∠BAD=∠BAC=90°. 在△BAD和△BAC中， AD=AC， ∠BAD=∠BAC， BA=BA， ∴△BAD≌△BAC（SAS），∴BD=BC. 课本练习 证明：∵BE = CF ， ∴BE + EF = CF + EF， 即BF = CE， 又AB = DC，∠B =∠C， ∴△ABF≌△DCE， ∴∠A =∠D. 2.如图，点E，F在BC上，BE = CF，AB = DC，∠B =∠C. 求证∠A =∠D. 课本练习 B 随堂练 B 随堂练 35° 随堂练 ① 两边及夹角对应相等的两个三角形全等 随堂练 随堂练 随堂练 夹角 边角边 SAS ≌ SAS 分层练习-基础 D 分层练习-基础 6 C 分层练习-基础 分层练习-基础 AD＝AE BD＝CE 分层练习-基础 D C 分层练习-巩固 ∠BAC＝ ∠DCA AC＝CA AB＝CD 1 有两边及夹角对应相等的两个三角形全等 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 全等 全等 SAS 课堂反馈 5 B 课堂反馈 课堂反馈 DE＝AB或∠ACB＝∠DCE等 课堂反馈 边角边 内容 有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成 “SAS”) 应用 为证明线段和角相等提供了新的证法 注意 1.已知两边，必须找“夹角” 2. 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边 课堂小结 1．如图所示，BD、AC交于点O，若OA＝OD，则用“SAS”证明△AOB≌DOC，还需要(　　) A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠BAD＝∠ADC D．∠AOB＝∠DOC 2．下列能判定△ABC与△A′B′C′全等的条件是(　　) A．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠C＝∠C′ B．∠B＝∠B′，AB＝B′C′，BC＝B′A′ C．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′ D．AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B′ 3．如图，在△ABC中，AD＝AE，BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝105°，∠B＝40°，则∠CAE＝ . 4．如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心将它打破成①、②两块，现需配成同样大小的一块，为了方便起见，需带上第 块，其理由是 ． 5．如图所示，AD是△ABC的高线，AD＝BD，DE＝DC，∠C＝75°，求∠AEB的度数． 解：在△BDE和△ADC中，BD＝AD，∠EDB＝∠CDA，DE＝DC，∴△BDE≌△ADC(SAS)．∴∠BED＝∠C＝75°，∴∠AEB＝105°. 6．(无锡中考)如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF.求证： (1)△ABF≌△DCE； (2)AF∥DE. 证明：(1)∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.∵BE＝CF，∴BE－EF＝CF－EF，即BF＝CE.又∵AB＝CD，∴△ABF≌△DCE(SAS)； (2)∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB＝∠DEC，∴∠AFE＝∠DEF，∴AF∥DE. 知识点一：用“SAS”判定三角形全等 三角形全等的判定—SAS：两边和它们的 分别对应相等的两个三角形全等，简写成“ ”或“ ”． 1．(荆门中考)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AB＝AD，则△ABC △ADC，理由是 ． 2．下列四组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是(　　) A．AB＝DE，∠A＝∠D，BC＝EF　　 B．AC＝DF，∠B＝∠E，BC＝EF C．BC＝EF，∠C＝∠F，AB＝DE D．AC＝DF，∠C＝∠F，BC＝EF 知识点二：用“SAS”证明线段或角相等 利用“SAS”推理时，注意图形中隐含条件的挖掘，如“对顶角相等”“公共角、公共边”等． 3．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE， AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝ ． 4．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝ ∠DAE，则下列结论不正确的是(　　) A．∠BAD＝∠CAE　　　　　　 B．△ABD≌△ACE C．AB＝BC D．BD＝CE 5．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB.求证：∠A＝∠E. 证明：∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠BDE.在△ABC与△EDB中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝DE,∠ABC＝∠BDE,BC＝DB))，∴△ABC≌△EDB(SAS)，∴∠A＝∠E. 能力点：准确添加“SAS”的条件 “SAS”中的角应是两边的夹角，不能认为只要有两边一角对应相等，就能证明两个三角形全等． 6．如图，AB＝AC，根据SAS，只需补充条件 或 ， 则有△ABE≌△ACD. 7．如图，若AB与CD互相平分于点O，则下列结论中错误的是(　　) A．∠C＝∠D　　　　　 B．AD＝BC C．AD∥BC D．AB＝CD 8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有(　　) A．1对　　 B．2对　　 C．3对　　 D．4对 9．如图，BA⊥AC，DC⊥AC，要使△ABC≌△CDA，现已有 和 ，只需要添加 就能利用“SAS”求证． 10．如图，有一块三角形镜子，小明不小心将它打破成1、2两块，现需配成同样大小的一块，为了方便起见，需带上 块，其理由是 ． 11．(苏州中考)如图，点A、F、C、D在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC.求证：BC∥EF. 证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵AF＝DC，∴AC＝DF. ∴在△ABC与△DEF中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝DE,∠A＝∠D,AC＝DF))， ∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴∠ACB＝∠DFE， ∴BC∥EF. 12．如图，为修公路，需测量出被大石头阻挡的∠A的大小，为此，小张师傅便在AC的延长线上取点D，使AC＝CD，在BC的延长线上取点E，使BC＝CE，连接DE，则只要测出∠D的度数，便可求出∠A的度数，请说明理由． 解：在△CAB与△CDE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(CA＝CD,∠ACB＝∠DCE,CB＝CE))， ∴△CAB≌△CDE(SAS)，∴∠A＝∠D.即只要测出∠D的度数，就能求出∠A的度数． 13．在△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AE与BD相交于点F. (1)如图①，当α＝90°时，求证：①△ACE≌△BCD；②AE⊥BD； (2)如图②，当α＝60°时，直接写出∠AFB的度数； (3)如图③，直接写出∠AFD的度数(用含α的式子表示)． (1)证明：①在△ACE和△BCD中，∵∠ACB＝∠DCE＝α，∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，∴∠ACE＝∠BCD.又∵CD＝CE，CA＝CB，∴△ACE≌△BCD(SAS)；②由①可得∠CAE＝∠CBD，∴∠AFB＝180°－∠ABC－∠CBD－(∠CAB－∠CAE)＝180°－(∠ABC＋∠CAB)＝180°－90°＝90°，∴AE⊥BD；　 (2)解：∠AFB＝60°；　 (3)解：∠AFD＝180°－α. 用“SAS”判定两个三角形全等 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形 (可以简写成“边角边”或“SAS”)． 1. 如图，AB＝AC，∠1＝∠2，则△ABD和△ACD的关系是 ，依据是 . “SAS”判定三角形全等的应用 2. 把两根钢条AA′、BB′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽的工具(卡钳)．如图，若测得A′B′＝5 cm，则内槽宽为 cm. 易错点：误用“SSA”判定三角形全等． 3. 在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，BC＝EF，根据“SAS”判定△ABC≌△DEF，还需要的条件是(　　) A．∠A＝∠D　　　　　 B．∠B＝∠E C．∠C＝∠F　　　　　 D．以上三个均可 会用“SAS”判定三角形全等． 【例1】(武汉中考)如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF. 【思路分析】求出BF＝CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论． 【规范解答】∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，∴BF＝CE，在△ABF和△DCE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝DC,∠B＝∠C,BF＝CE))，∴△ABF≌△DCE(SAS)，∴∠GEF＝∠GFE，∴EG＝FG. 能添加适当的条件使三角形全等． 【例2】(湖南中考)如图，已知AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件： ，使得△ABC≌△DEC. 【思路分析】已知两边分别相等，可寻找夹角或第三边分别相等．当添加条件DE＝AB时，根据“SSS”可得△ABC≌△DEC；当添加条件∠ACB＝∠DCE或∠ACD＝∠BCE时，根据“SAS”可得△ABC≌△DEC. $$